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蘇教版2024-2025學年六年級數學下冊第四單元《比例》(應用題九大題型)單元復習講義(學生版+解析)

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蘇教版2024-2025學年六年級數學下冊第四單元《比例》(應用題九大題型)單元復習講義(學生版+解析)

資源簡介

1.圖形的放大和縮小:把圖形按n∶1放大,就是把圖形的每條邊都放大n倍;把圖形按1∶n(n>1)縮小,就是把圖形的每條邊都縮小到原來的。
2.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步:
一看:看原圖形每邊占幾格;
二算:按指定的比計算出將圖形放大或縮小后得到的新圖形每條邊各占幾格;
三畫:按計算出的邊長畫出原圖的放大圖或縮小圖。
1.比例的意義:表示兩個比相等的式子叫作比例。
2.判斷兩個比能否組成比例:要看它們的比值是否相等。若比值相等,則能組成比例;若比值不相等,則不能組成比例。
1.比例的項:組成比例的四個數,叫作比例的項。
2.比例的內項和外項:兩端的兩項叫作比例的外項,中間的兩項叫作比例的內項。
3.比例的基本性質:
(1)在一個比例里,兩個外項的積等于兩個內項的積,這叫作比例的基本性質。
(2)如果用字母表示比例的四個項,即a∶b=c∶d,那么比例的基本性質可以表示成:ad=bc。
1.解比例的依據是比例的基本性質,已知比例中的任意三項,就可以求出未知的一項。
2.求比例中的未知項的過程是解比例,解比例的步驟如下:
第一步,根據比例的基本性質把比例轉化成外項的積與內項的積相等的形式;
第二步,利用等式的性質解方程求出比例中的未知項。
1.一幅圖的圖上距離和實際距離的比,叫作這幅圖的比例尺。
2.圖上距離∶實際距離=比例尺或=比例尺。
1.求實際距離:根據比例尺和圖上距離求實際距離,可以根據“實際距離=圖上距離÷比例尺”求,也可以根據“=比例尺”列比例式來求。
2.求圖上距離:圖上距離=實際距離×比例尺。
易錯點1:混淆比例的外項和內項
問題描述:學生在應用比例的基本性質(兩個外項的積等于兩個內項的積)時,容易混淆比例的外項和內項,導致計算錯誤。
解析:比例的外項是比例式兩端的數,內項是比例式中間的數。在應用比例的基本性質時,必須確保外項和內項對應正確。
易錯點2:忽視比例的基本性質在解題中的應用
問題描述:學生在解題時,可能忽視比例的基本性質,導致無法正確求解。
解析:比例的基本性質是解決比例問題的關鍵,必須熟練掌握并靈活應用。
易錯點3:混淆正比例和反比例的概念
問題描述:學生可能無法準確區(qū)分正比例和反比例,導致在判斷兩個量之間的關系時出現錯誤。
解析:正比例是指兩個量之間的比值恒定,而反比例是指兩個量之間的乘積恒定。必須明確這兩個概念的區(qū)別。
易錯點4:忽視正比例和反比例的應用條件
問題描述:學生在應用正比例和反比例時,可能忽視其應用條件,導致解題錯誤。
解析:正比例和反比例的應用條件是兩個量之間存在確定的數學關系,且這種關系在特定條件下保持不變。必須明確這些條件并靈活應用。
易錯點5:忽視比例尺的單位
問題描述:學生在使用比例尺時,可能忽視單位換算,導致計算結果不準確。
解析:比例尺通常用于表示地圖上的距離與實際距離的比例關系。在使用時,必須注意單位換算,確保計算結果的準確性。
易錯點6:混淆比例尺的數值和線段表示
問題描述:學生可能無法準確區(qū)分比例尺的數值表示和線段表示,導致在解題時出現錯誤。
解析:比例尺可以用數值表示,也可以用線段表示。必須明確這兩種表示方式的區(qū)別,并靈活應用。
易錯點7:忽視解比例的基本步驟
問題描述:學生在解比例時,可能忽視基本步驟,如設未知數、列方程、解方程等,導致解題錯誤。
解析:解比例的基本步驟包括設未知數、根據比例關系列方程、解方程等。必須熟練掌握這些步驟并靈活應用。
易錯點8:混淆比例和方程的概念
問題描述:學生可能將比例和方程混淆,導致在解題時出現錯誤。
解析:比例和方程是兩個不同的數學概念。比例表示兩個數之間的比值關系,而方程表示未知數之間的數學關系。必須明確這兩個概念的區(qū)別,并靈活應用。
【考點精講一】(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)在比例尺是的地圖上,量得南京到北京的距離是18厘米,一列火車以每小時90千米的速度從南京到北京,需要多少小時?
【答案】8小時
【分析】根據題意,圖上1厘米代表實際距離40千米,先求出圖中的比例尺,結合比例尺=圖上距離÷實際距離可知,先算出南京到北京的實際距離,再根據時間=路程÷速度求出答案。
【詳解】40千米=4000000厘米
比例尺為1∶4000000;
18÷
=18×4000000
=72000000(厘米)
72000000厘米=720千米
720÷90=8(小時)
答:需要8小時。
【考點精講二】(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)在比例尺是1∶30000000的地圖上,量得AB兩地相距4.5厘米。甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。經過7.5小時相遇。甲車每小時行的路程是乙車的。則甲、乙兩車每小時各行多少千米?
【答案】甲車速度為80千米每小時,乙車速度為100千米每小時。
【分析】根據題意,結合實際距離=圖上距離÷比例尺,先算出AB兩地的實際距離,再換算成用千米作單位的數,再根據速度和=路程÷相遇時間,計算出兩車的速度和,然后把乙車速度看作單位“1”,甲、乙車的速度和為乙車速度的(1+),根據分數除法的意義,兩車的速度和除以(1+),即可計算出乙車速度,用乙車速度乘,即可算出甲車速度。
【詳解】4.5÷
=4.5×30000000
=135000000(厘米)
135000000厘米=1350千米
乙車速度:1350÷7.5÷(1+)
=180÷
=180×
=100(千米/時)
甲車速度:100×=80(千米/時)
答:甲車速度為80千米每小時,乙車速度為100千米每小時。
【考點精講三】(22-23六年級下·江蘇南京·期中)小明認為:32∶24和8∶6能組成比例,你覺得呢?請寫出理由。
理由1:
理由2:
【答案】可以組成比例;理由見詳解
【分析】根據比例的意義和比例的基本性質進行判斷即可。
【詳解】因為32∶24=,8∶6=,=,所以32∶24和8∶6能組成比例
理由1:根據比例的意義,若兩組比的比值相等,則這兩組比可以組成比例;
因為32×6=192,24×8=192,所以32∶24和8∶6能組成比例
理由2:若兩組比中外項積等于內項積,則這兩組比可以組成比例。
【點睛】本題考查比例,明確比例的意義是解題的關鍵。
【考點精講四】(22-23六年級下·江蘇常州·期中)曉東下午某一時刻在一棟樓前測得自己的身高和影子的長度比是2:3,此時這棟樓的影子長16.5米,這棟樓的實際高度是多少米?
【答案】11米
【分析】設這棟樓的實際高度是x米,在同一時間和同一地點,樓的實際高度與樓影子長度和曉東的身高與影長的比值是相等的,據此列比例:2∶3=x∶16.5,解比例,即可解答。
【詳解】解:設這棟樓的實際高度是x米。
2∶3=x∶16.5
3x=16.5×2
3x=33
x=33÷3
x=11
答:這棟樓的實際高度是11米。
【點睛】本題考查比例應用題,只要比例的兩邊統(tǒng)一即可,即都是實際∶影子,也可以都是影子∶實際。
【考點精講五】(2024·山西大同·小升初真題)為了滿足消費者對產品科學性和美觀性的要求,目前市面上大多數高清電視機屏幕長與寬的比都是16∶9,這樣的比例更符合人的視覺體驗,也有利于視頻畫面的呈現。瑤瑤的媽媽給新家買了一臺65英寸的電視機,量得寬81厘米,瑤瑤家的電視柜長2.5米,能不能放得下這臺電視機?
【答案】能
【分析】根據題意可知,電視機屏幕長∶寬=16∶9,據此列出比例方程,求出65英寸電視機的長,與電視柜的長度進行比較,得出結論。注意單位的換算:1米=100厘米。
【詳解】解:設電視機的長是x厘米。
16∶9=x∶81
9x=16×81
9x=1296
x=144
144厘米=1.44米
1.44<2.5,所以能放得下這臺電視機。
答:能放得下這臺電視機。
【考點精講六】(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)小偉調制兩杯糖水,第一杯中放了18克糖和300克水,第二杯中有水500克。如果按第一杯中糖和水的比調制,應在第二杯中加入糖多少克?(用比例解答)
【答案】30克
【分析】根據“按第一杯中糖和水的比調制”,即第二杯中糖的質量∶第二杯中水的質量=第一杯中糖的質量∶第一杯中水的質量,據此列出比例方程,并求解。
【詳解】解:設應在第二杯中加入糖克。
∶500=18∶300
300=500×18
300=9000
=9000÷300
=30
答:應在第二杯中加入糖30克。
【考點精講七】(23-24六年級下·江蘇淮安·期中)(1)按1∶2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形。
(2)以點O為圓心,按3∶1的比畫出圓放大后的圖形。放大前與放大后兩個圓的面積比是( ),它們所組成的圓環(huán)的面積是( )平方厘米。
【答案】(1)(2)圖見詳解
(2)1∶9;25.12
【分析】(1)根據畫放大或縮小后圖形的方法來畫圖即可,把圖形按照1∶2縮小,就是將圖形的每一條邊縮小到原來的,縮小后圖形與原圖形對應邊長的比是1∶2,數出原來平行四邊形每條邊占了幾個格子,然后新圖形的格子是原來圖形格子的一半,保持原圖形形狀不變即可;
(2)以點O為圓心,圓的半徑是1cm,按3∶1的比例放大,那么大圓的半徑是1×3=3cm,將數據代入圓的面積公式:,求出兩圓的面積,寫出比并化簡即可;他們所組成的圓環(huán)的形面積=外圓面積-內圓面積,列式算出答案即可。
【詳解】(1)(2)作圖如下:
π×32=9π
π×12=π
π∶9π
=1∶9
3.14×32-3.14×12
=3.14×9-3.14
=28.26-3.14
=25.12(平方厘米)
以點O為圓心,按3∶1的比畫出圓放大后的圖形。放大前與放大后兩個圓的面積比是1∶9,它們所組成的圓環(huán)的面積是25.12平方厘米。
【考點精講八】(22-23六年級下·安徽合肥·期中)有一塊長120米,寬90米的長方形草地,請你選擇合適的比例尺在下面的空白處畫出草地的平面圖。(先選擇合適的比例尺,求出圖上的長和寬,再畫圖)

(1)選擇( )比例尺
A.1∶3000 B.1∶40000 C.1∶600
(2)計算。
(3)畫圖。
【答案】(1)A;
(2)長4厘米,寬3厘米;
(3)圖見詳解
【分析】(1)先把長方形草地的長和寬的單位換算成厘米作單位的數,再利用實際距離乘比例尺看看圖上距離是多少,圖上距離與紙張大小合適就可以選擇,過小,過大都不行;
(2)根據(1)題比例尺,用實際距離乘比例尺即可計算出圖上距離。
(3)根據(2)題計算出來的長和寬畫長方形即可。
【詳解】(1)120米=12000厘米
90米=9000厘米
A.12000×=4(厘米)
9000×=3(厘米)
這個數值適合畫圖,這個比例尺合適;
B.12000×=0.3(厘米)
9000×=0.225(厘米)
圖上距離太小,畫圖太小,因此B的比例尺不合適;
C.12000×=20(厘米)
9000×=15(厘米)
這個比例尺太大,不適合畫圖。
因此選擇A比例尺合適;
故答案為:A
(2)12000×=4(厘米)
9000×=3(厘米)
長方形草地的圖上距離,長為4厘米,寬為3厘米。
(3)如圖:
【點睛】本題考查了比例尺在生活中的應用。
【考點精講九】(23-24六年級下·江蘇·期中)先按4∶1的比將下面的圓放大,畫出放大后的圖形,再分別算出兩個圓的半徑比和面積比。你有什么發(fā)現?
【答案】圖見詳解;4∶1;16∶1;放大后的圖形與原圖形的面積比等于半徑的平方比
【分析】按4∶1放大就是把圓的半徑擴大到原來的4倍,測量可知,原來圓的半徑為1厘米,放大后圓的半徑為1×4=4厘米,根據“”表示出原來和放大后圓的面積,最后求出它們的面積比,據此解答。
【詳解】作圖如下:
分析可知,放大后的圖形與原圖形的半徑比是4∶1。
1×4=4(厘米)
(×42)∶(×12)
=42∶12
=16∶1
所以,放大后的圖形與原圖形的面積比是16∶1。
由上可知,放大后的圖形與原圖形的面積比等于半徑的平方比。
一、解答題
1.(22-23六年級下·廣西防城港·期中)填一填,畫一畫。

(1)圖中( )號圖是①號長方形縮小后的圖形,它是按( )∶( )的比縮小的。
(2)按1∶3的比畫出圖形④縮小后的圖形。
(3)按2∶1的比畫出平行四邊形放大后的圖形。
2.(22-23六年級下·江蘇南通·期中)
(1)小長方形是由大長方形按( )的比縮小后得到的。
(2)按2∶1的比畫出平行四邊形變化后的圖形。
(3)平行四邊形變化后與變化前面積的比是( )。
3.(22-23六年級下·江蘇南通·期中)按3∶1的比畫出平行四邊形各邊長放大后的圖形,再按1∶2的比畫出三角形各邊長縮小后的圖形。畫出的三角形與原三角形的面積比是( )。
4.(22-23六年級下·江蘇揚州·期中)揚州到北京的實際距離大約是1200千米,在一幅地圖上量得兩地距離是24厘米。求這幅地圖的比例尺。
5.(22-23六年級下·山西大同·期中)在比例尺是1∶100的平面圖上,量得一個平行四邊形花壇的底是9厘米,高是8厘米,這個花壇的實際占地面積是多少平方米?
6.(23-24六年級下·海南海口·期末)在比例尺是1∶5000000的地圖上,量得甲乙兩城市之間的距離是6.3厘米,如果一輛汽車的速度是90千米/時,那么從甲城到乙城用幾小時?
7.(23-24六年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末)下圖三角形與梯形面積的比是1∶5,求三角形的一個底邊的長x。
8.(23-24六年級下·安徽蚌埠·期末)把一個物體分成兩部分,當較長的部分與整體的比是0.618∶1時,給人的感覺是最美的。這個神奇的比被稱為“黃金比”。“黃金比”還應用于長方形,當寬與長的比值約是0.618時,能給人更美的視覺感受,我們稱這樣的長方形為“最美長方形”。如果一個長方形長或寬的長度為4厘米,你能根據“黃金比”,畫一個“最美長方形”嗎?(結果保留一位小數,在圖上標出長或寬的長度)
9.(22-23六年級下·安徽合肥·期中)在比例尺是1∶7500000的地圖上,量得南京到北京的距離是12厘米,一列火車以每小時250千米的速度從南京去北京要多少小時?
10.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)在一幅比例尺是1∶6000000的地圖上,量得AB兩地間的距離是8厘米,一列火車以每小時100千米的速度從A地去B地需要多少小時?
11.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)實踐活動課上,小剛在學校旗桿旁立一根1米長的木條,量得木條的影長是4分米,同時量得旗桿的影長為2米,學校旗桿高度是多少米?(用解比例方法)
12.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)在一幅比例尺為1∶400的圖形上量得一間長方形的階梯教室的周長是14厘米,寬是長的,這間階梯教室的實際面積是多少平方米?
13.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)甲、乙兩城相距120千米,在一幅地圖上量得甲、乙兩城之間的距離是4厘米,同時在這幅地圖上量得乙、丙兩城之間的距離是6厘米。乙、丙兩城之間的實際距離是多少千米?
14.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)學校需要配制兩杯含鹽率相同的鹽水,第一杯中放了18克鹽和200克水,第二杯中有水500克,需要加鹽多少克?
15.(22-23六年級下·河南平頂山·期中)房產博覽會上,某樓盤的模型是按照1∶500的比例尺制作的,該樓盤1號樓模型高7厘米,它的實際高度是多少?
16.(22-23六年級下·安徽蚌埠·期中)在比例尺是1∶6000000的地圖上,量得兩地間的距離為20厘米。甲、乙兩列火車分別從兩地同時出發(fā),相向而行,6小時后相遇。已知甲、乙兩列火車的速度比是9∶11。甲火車的速度是多少?
17.(22-23六年級下·江蘇南京·期中)媽媽調制一杯蜂蜜水,400克水中放了20克蜂蜜。濤濤和妹妹想配制同樣口味的蜂蜜水,如果有600克水,那么需要放多少克蜂蜜?(列比例解決問題)
18.(22-23六年級下·江蘇南京·期中)在一幅比例尺為1∶20000的地圖上,量得學校到游樂場的距離是15厘米。在另一幅比例尺為的地圖上,學校到游樂場的距離是多少厘米?
19.(22-23六年級下·江蘇南通·期中)在一幅比例尺是1∶5000000的地圖上,量得南京到北京的距離是18厘米,一列火車每小時行駛120千米,這列火車從南京到北京需要多少小時?
20.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)在我們校園內,某天上午量得一根直立的竹竿高2米,其影長為1.5米,這時一幢教學樓的影長為13.5米,這幢教學樓高多少米?
21.(22-23六年級下·江蘇徐州·期中)在比例尺為1∶5000000的地圖上,量得A、B兩地的距離是5厘米。甲、乙兩車同時從兩地開出,相向而行,5小時后相遇。已知甲、乙兩車的速度比是2∶3,則甲、乙兩車每小時分別行駛多少千米?
22.(22-23六年級下·江蘇蘇州·期中)出租車收費標準如下:
里程 收費
3千米以下(含3千米) 10.00元
3千米以上每增加1千米 (不足1千米按1千米算) 2.00元
在比例尺是1∶350000的地圖上,量得小明家與少年宮兩地之間的距離是2.4厘米。小明乘出租車從家去少年宮要付多少元車費?
23.(22-23六年級下·江蘇淮安·期中)在一幅比例尺是千米的地圖上,量得A、B兩地間的距離是5厘米,甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行,甲、乙兩車的速度比是2∶3,相遇時甲車行駛了多少千米?
24.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)從鹽城到南京的距離為300千米,在一幅地圖上量得它們之間的距離為5厘米。在這幅地圖上量得南京到上海的距離為8厘米,那么南京到上海的實際距離是多少千米?
25.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)小明想知道操場旁邊的一棵樹有多高,他在某天下午2:00測量了大樹旁邊的旗桿和這棵大樹的影長,如圖所示。已知旗桿高15米,這棵大樹的高是多少米?(用方程解)
26.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)在比例尺是1∶40000000的地圖上,量得AB兩地的距離是8厘米,一架飛機下午1:00從A地飛往B地,下午5:00到達。這架飛機平均每小時飛行多少千米?
27.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)一個曬鹽場用600千克海水曬出18千克鹽。如果一塊鹽田一次放入485000千克海水,可以曬出多少千克鹽?
28.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)下面是一幅比例尺為1∶5000的平面圖(局部),小楓從A地出發(fā)經B地前往公交站臺C,小楓步行的速度是70米/分。公交車還有4分鐘就到達,量一量,算一算,小楓能趕上這趟公交車嗎?
29.(23-24六年級下·安徽合肥·期中)用1∶300的比例尺畫出的教學樓的占地平面圖的長是12厘米,寬是4厘米,那么這幢教學樓的實際占地面積是多少平方米?
30.(23-24六年級下·江蘇南京·期中)長征二號F遙十三運載火箭整流罩底面直徑為3.2米,科技館存放著一個按一定比例制作的長征二號F遙十三運載火箭整流罩模型(如圖)。
(1)制作整流罩模型的比例尺是多少?
(2)該整流罩模型的體積是多少?
(3)如果用一個長方體玻璃盒來存放這個模型,制作這個玻璃盒至少要用多少平方分米的玻璃?
31.(23-24六年級下·海南海口·期中)一種洗衣液的使用方法是:清洗千克的衣物要放入洗衣液3毫升。如果媽媽要清洗3千克的衣物,應放入洗衣液多少毫升?
32.(23-24六年級下·海南海口·期中)東莞是廣東省中南部的一個城市,地處珠江口東岸,全市陸地面積約2465平方千米,其中東西兩端相距大約70千米。把它畫在一幅地圖上,這時量得東西兩端距離是5厘米。這幅地圖的比例尺是多少?
33.(23-24六年級下·海南海口·期中)有一塊邊長為60米的正方形草坪,在一幅比例尺是1∶2000的平面圖上。這塊草坪的圖上面積是多少?
34.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)在一幅比例尺是1∶3000000的地圖上,量得甲、乙兩地距離是10厘米。一輛客車和一輛貨車同時從甲乙兩地相對開出。已知客車和貨車速度比是3∶2,相遇時客車和貨車各行駛了多少千米?
35.(23-24六年級下·江蘇淮安·期中)一塊三角形零件片的底長8毫米,這條底上的高是4.8毫米。現要把這塊零件片畫在比例尺為25∶1的圖紙上,畫出的三角形面積是多少?
36.(23-24六年級下·江蘇淮安·期中)甲、乙兩桶油共重95千克,從甲桶中取出它的,從乙桶中取出它的后,兩桶油剩下的一樣重。原來兩桶油各重多少千克?(油桶的質量忽略不計)
37.(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)有三堆圍棋子,每堆圍棋子都相等,其中第一堆的白子與第二堆的黑子同樣多。第三堆白子與黑子的數量比是5∶2,已知三堆圍棋子中黑子有72枚,三堆圍棋子共有多少枚?
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.圖形的放大和縮小:把圖形按n∶1放大,就是把圖形的每條邊都放大n倍;把圖形按1∶n(n>1)縮小,就是把圖形的每條邊都縮小到原來的。
2.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步:
一看:看原圖形每邊占幾格;
二算:按指定的比計算出將圖形放大或縮小后得到的新圖形每條邊各占幾格;
三畫:按計算出的邊長畫出原圖的放大圖或縮小圖。
1.比例的意義:表示兩個比相等的式子叫作比例。
2.判斷兩個比能否組成比例:要看它們的比值是否相等。若比值相等,則能組成比例;若比值不相等,則不能組成比例。
1.比例的項:組成比例的四個數,叫作比例的項。
2.比例的內項和外項:兩端的兩項叫作比例的外項,中間的兩項叫作比例的內項。
3.比例的基本性質:
(1)在一個比例里,兩個外項的積等于兩個內項的積,這叫作比例的基本性質。
(2)如果用字母表示比例的四個項,即a∶b=c∶d,那么比例的基本性質可以表示成:ad=bc。
1.解比例的依據是比例的基本性質,已知比例中的任意三項,就可以求出未知的一項。
2.求比例中的未知項的過程是解比例,解比例的步驟如下:
第一步,根據比例的基本性質把比例轉化成外項的積與內項的積相等的形式;
第二步,利用等式的性質解方程求出比例中的未知項。
1.一幅圖的圖上距離和實際距離的比,叫作這幅圖的比例尺。
2.圖上距離∶實際距離=比例尺或=比例尺。
1.求實際距離:根據比例尺和圖上距離求實際距離,可以根據“實際距離=圖上距離÷比例尺”求,也可以根據“=比例尺”列比例式來求。
2.求圖上距離:圖上距離=實際距離×比例尺。
易錯點1:混淆比例的外項和內項
問題描述:學生在應用比例的基本性質(兩個外項的積等于兩個內項的積)時,容易混淆比例的外項和內項,導致計算錯誤。
解析:比例的外項是比例式兩端的數,內項是比例式中間的數。在應用比例的基本性質時,必須確保外項和內項對應正確。
易錯點2:忽視比例的基本性質在解題中的應用
問題描述:學生在解題時,可能忽視比例的基本性質,導致無法正確求解。
解析:比例的基本性質是解決比例問題的關鍵,必須熟練掌握并靈活應用。
易錯點3:混淆正比例和反比例的概念
問題描述:學生可能無法準確區(qū)分正比例和反比例,導致在判斷兩個量之間的關系時出現錯誤。
解析:正比例是指兩個量之間的比值恒定,而反比例是指兩個量之間的乘積恒定。必須明確這兩個概念的區(qū)別。
易錯點4:忽視正比例和反比例的應用條件
問題描述:學生在應用正比例和反比例時,可能忽視其應用條件,導致解題錯誤。
解析:正比例和反比例的應用條件是兩個量之間存在確定的數學關系,且這種關系在特定條件下保持不變。必須明確這些條件并靈活應用。
易錯點5:忽視比例尺的單位
問題描述:學生在使用比例尺時,可能忽視單位換算,導致計算結果不準確。
解析:比例尺通常用于表示地圖上的距離與實際距離的比例關系。在使用時,必須注意單位換算,確保計算結果的準確性。
易錯點6:混淆比例尺的數值和線段表示
問題描述:學生可能無法準確區(qū)分比例尺的數值表示和線段表示,導致在解題時出現錯誤。
解析:比例尺可以用數值表示,也可以用線段表示。必須明確這兩種表示方式的區(qū)別,并靈活應用。
易錯點7:忽視解比例的基本步驟
問題描述:學生在解比例時,可能忽視基本步驟,如設未知數、列方程、解方程等,導致解題錯誤。
解析:解比例的基本步驟包括設未知數、根據比例關系列方程、解方程等。必須熟練掌握這些步驟并靈活應用。
易錯點8:混淆比例和方程的概念
問題描述:學生可能將比例和方程混淆,導致在解題時出現錯誤。
解析:比例和方程是兩個不同的數學概念。比例表示兩個數之間的比值關系,而方程表示未知數之間的數學關系。必須明確這兩個概念的區(qū)別,并靈活應用。
【考點精講一】(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)在比例尺是的地圖上,量得南京到北京的距離是18厘米,一列火車以每小時90千米的速度從南京到北京,需要多少小時?
【答案】8小時
【分析】根據題意,圖上1厘米代表實際距離40千米,先求出圖中的比例尺,結合比例尺=圖上距離÷實際距離可知,先算出南京到北京的實際距離,再根據時間=路程÷速度求出答案。
【詳解】40千米=4000000厘米
比例尺為1∶4000000;
18÷
=18×4000000
=72000000(厘米)
72000000厘米=720千米
720÷90=8(小時)
答:需要8小時。
【考點精講二】(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)在比例尺是1∶30000000的地圖上,量得AB兩地相距4.5厘米。甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。經過7.5小時相遇。甲車每小時行的路程是乙車的。則甲、乙兩車每小時各行多少千米?
【答案】甲車速度為80千米每小時,乙車速度為100千米每小時。
【分析】根據題意,結合實際距離=圖上距離÷比例尺,先算出AB兩地的實際距離,再換算成用千米作單位的數,再根據速度和=路程÷相遇時間,計算出兩車的速度和,然后把乙車速度看作單位“1”,甲、乙車的速度和為乙車速度的(1+),根據分數除法的意義,兩車的速度和除以(1+),即可計算出乙車速度,用乙車速度乘,即可算出甲車速度。
【詳解】4.5÷
=4.5×30000000
=135000000(厘米)
135000000厘米=1350千米
乙車速度:1350÷7.5÷(1+)
=180÷
=180×
=100(千米/時)
甲車速度:100×=80(千米/時)
答:甲車速度為80千米每小時,乙車速度為100千米每小時。
【考點精講三】(22-23六年級下·江蘇南京·期中)小明認為:32∶24和8∶6能組成比例,你覺得呢?請寫出理由。
理由1:
理由2:
【答案】可以組成比例;理由見詳解
【分析】根據比例的意義和比例的基本性質進行判斷即可。
【詳解】因為32∶24=,8∶6=,=,所以32∶24和8∶6能組成比例
理由1:根據比例的意義,若兩組比的比值相等,則這兩組比可以組成比例;
因為32×6=192,24×8=192,所以32∶24和8∶6能組成比例
理由2:若兩組比中外項積等于內項積,則這兩組比可以組成比例。
【點睛】本題考查比例,明確比例的意義是解題的關鍵。
【考點精講四】(22-23六年級下·江蘇常州·期中)曉東下午某一時刻在一棟樓前測得自己的身高和影子的長度比是2:3,此時這棟樓的影子長16.5米,這棟樓的實際高度是多少米?
【答案】11米
【分析】設這棟樓的實際高度是x米,在同一時間和同一地點,樓的實際高度與樓影子長度和曉東的身高與影長的比值是相等的,據此列比例:2∶3=x∶16.5,解比例,即可解答。
【詳解】解:設這棟樓的實際高度是x米。
2∶3=x∶16.5
3x=16.5×2
3x=33
x=33÷3
x=11
答:這棟樓的實際高度是11米。
【點睛】本題考查比例應用題,只要比例的兩邊統(tǒng)一即可,即都是實際∶影子,也可以都是影子∶實際。
【考點精講五】(2024·山西大同·小升初真題)為了滿足消費者對產品科學性和美觀性的要求,目前市面上大多數高清電視機屏幕長與寬的比都是16∶9,這樣的比例更符合人的視覺體驗,也有利于視頻畫面的呈現。瑤瑤的媽媽給新家買了一臺65英寸的電視機,量得寬81厘米,瑤瑤家的電視柜長2.5米,能不能放得下這臺電視機?
【答案】能
【分析】根據題意可知,電視機屏幕長∶寬=16∶9,據此列出比例方程,求出65英寸電視機的長,與電視柜的長度進行比較,得出結論。注意單位的換算:1米=100厘米。
【詳解】解:設電視機的長是x厘米。
16∶9=x∶81
9x=16×81
9x=1296
x=144
144厘米=1.44米
1.44<2.5,所以能放得下這臺電視機。
答:能放得下這臺電視機。
【考點精講六】(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)小偉調制兩杯糖水,第一杯中放了18克糖和300克水,第二杯中有水500克。如果按第一杯中糖和水的比調制,應在第二杯中加入糖多少克?(用比例解答)
【答案】30克
【分析】根據“按第一杯中糖和水的比調制”,即第二杯中糖的質量∶第二杯中水的質量=第一杯中糖的質量∶第一杯中水的質量,據此列出比例方程,并求解。
【詳解】解:設應在第二杯中加入糖克。
∶500=18∶300
300=500×18
300=9000
=9000÷300
=30
答:應在第二杯中加入糖30克。
【考點精講七】(23-24六年級下·江蘇淮安·期中)(1)按1∶2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形。
(2)以點O為圓心,按3∶1的比畫出圓放大后的圖形。放大前與放大后兩個圓的面積比是( ),它們所組成的圓環(huán)的面積是( )平方厘米。
【答案】(1)(2)圖見詳解
(2)1∶9;25.12
【分析】(1)根據畫放大或縮小后圖形的方法來畫圖即可,把圖形按照1∶2縮小,就是將圖形的每一條邊縮小到原來的,縮小后圖形與原圖形對應邊長的比是1∶2,數出原來平行四邊形每條邊占了幾個格子,然后新圖形的格子是原來圖形格子的一半,保持原圖形形狀不變即可;
(2)以點O為圓心,圓的半徑是1cm,按3∶1的比例放大,那么大圓的半徑是1×3=3cm,將數據代入圓的面積公式:,求出兩圓的面積,寫出比并化簡即可;他們所組成的圓環(huán)的形面積=外圓面積-內圓面積,列式算出答案即可。
【詳解】(1)(2)作圖如下:
π×32=9π
π×12=π
π∶9π
=1∶9
3.14×32-3.14×12
=3.14×9-3.14
=28.26-3.14
=25.12(平方厘米)
以點O為圓心,按3∶1的比畫出圓放大后的圖形。放大前與放大后兩個圓的面積比是1∶9,它們所組成的圓環(huán)的面積是25.12平方厘米。
【考點精講八】(22-23六年級下·安徽合肥·期中)有一塊長120米,寬90米的長方形草地,請你選擇合適的比例尺在下面的空白處畫出草地的平面圖。(先選擇合適的比例尺,求出圖上的長和寬,再畫圖)

(1)選擇( )比例尺
A.1∶3000 B.1∶40000 C.1∶600
(2)計算。
(3)畫圖。
【答案】(1)A;
(2)長4厘米,寬3厘米;
(3)圖見詳解
【分析】(1)先把長方形草地的長和寬的單位換算成厘米作單位的數,再利用實際距離乘比例尺看看圖上距離是多少,圖上距離與紙張大小合適就可以選擇,過小,過大都不行;
(2)根據(1)題比例尺,用實際距離乘比例尺即可計算出圖上距離。
(3)根據(2)題計算出來的長和寬畫長方形即可。
【詳解】(1)120米=12000厘米
90米=9000厘米
A.12000×=4(厘米)
9000×=3(厘米)
這個數值適合畫圖,這個比例尺合適;
B.12000×=0.3(厘米)
9000×=0.225(厘米)
圖上距離太小,畫圖太小,因此B的比例尺不合適;
C.12000×=20(厘米)
9000×=15(厘米)
這個比例尺太大,不適合畫圖。
因此選擇A比例尺合適;
故答案為:A
(2)12000×=4(厘米)
9000×=3(厘米)
長方形草地的圖上距離,長為4厘米,寬為3厘米。
(3)如圖:
【點睛】本題考查了比例尺在生活中的應用。
【考點精講九】(23-24六年級下·江蘇·期中)先按4∶1的比將下面的圓放大,畫出放大后的圖形,再分別算出兩個圓的半徑比和面積比。你有什么發(fā)現?
【答案】圖見詳解;4∶1;16∶1;放大后的圖形與原圖形的面積比等于半徑的平方比
【分析】按4∶1放大就是把圓的半徑擴大到原來的4倍,測量可知,原來圓的半徑為1厘米,放大后圓的半徑為1×4=4厘米,根據“”表示出原來和放大后圓的面積,最后求出它們的面積比,據此解答。
【詳解】作圖如下:
分析可知,放大后的圖形與原圖形的半徑比是4∶1。
1×4=4(厘米)
(×42)∶(×12)
=42∶12
=16∶1
所以,放大后的圖形與原圖形的面積比是16∶1。
由上可知,放大后的圖形與原圖形的面積比等于半徑的平方比。
一、解答題
1.(22-23六年級下·廣西防城港·期中)填一填,畫一畫。

(1)圖中( )號圖是①號長方形縮小后的圖形,它是按( )∶( )的比縮小的。
(2)按1∶3的比畫出圖形④縮小后的圖形。
(3)按2∶1的比畫出平行四邊形放大后的圖形。
【答案】(1)③;1;2;(2)見詳解;(3)見詳解
【分析】(1)圖形的縮小就是將原來的圖形按一定的比例縮小,形狀不變,圖形變小;要找?guī)滋枅D形是①號圖形縮小后的圖形,先找出比①號長方形小的圖形,看看長和寬縮小的比例是否一樣,據此即可確定出要找的圖形;
(2)圖形④按1∶3縮小,也就是將長和寬縮小到原來的,原來的長有6格,寬有3格,分別用6÷3、3÷3即可求出縮小后的長和寬,據此畫圖;
(3)平行四邊形按2∶1放大,也就是將底和高擴大到原來的2倍,已知原來的底有3格,高有2格,分別用3×2、2×2即可求出擴大后的底和高,據此畫圖。
【詳解】(1)比①號圖形小的長方形有2個,②和③,②的寬沒有發(fā)生變化,不符合,所以③號符合,③號的寬有1格,①號的寬有2格,所以圖中③號圖是①號長方形縮小后的圖形,它是按1∶2的比縮小的。
(2)原來的長有6格,寬有3格,
6÷3=2(格)
3÷3=1(格)
(3)已知原來的底有3格,高有2格,
3×2=6(格)
2×2=4(格)
如圖:

【點睛】本題考查了圖形的放大和縮小的方法,同時要注意圖形的放大或縮小形狀不變。
2.(22-23六年級下·江蘇南通·期中)
(1)小長方形是由大長方形按( )的比縮小后得到的。
(2)按2∶1的比畫出平行四邊形變化后的圖形。
(3)平行四邊形變化后與變化前面積的比是( )。
【答案】(1)1∶3;(2)見詳解;(3)4∶1
【分析】(1)圖形的縮小就是將原來的圖形按一定的比例縮小,形狀不變,圖形變小;已知小長方形的寬有2格,大長方形的寬有6格,用2∶6即可求出縮小的比例,然后化簡;
(2)平行四邊形按2∶1擴大,也就是把平行四邊形的底和高都擴大到原來的2倍,已知原來的底有3格,高有2格,分別用3×2和2×2求出擴大后的底和高,據此畫圖;
(3)根據平行四邊形的面積公式,求出變化前后的面積,進而求出它們的比即可。
【詳解】(1)已知小長方形的寬有2格,大長方形的寬有6格,
2∶6
=(2÷2)∶(6÷2)
=1∶3
小長方形是由大長方形按1∶3的比縮小后得到的。
(2)已知平行四邊形原來的底有3格,高有2格,
3×2=6(格)
2×2=4(格)
如圖:
(3)3×2=6
6×4=24
24∶6
=(24÷6)∶(6÷6)
=4∶1
平行四邊形變化后與變化前面積的比是4∶1。
【點睛】本題主要考查了圖形的放大和縮小的認識以及應用。
3.(22-23六年級下·江蘇南通·期中)按3∶1的比畫出平行四邊形各邊長放大后的圖形,再按1∶2的比畫出三角形各邊長縮小后的圖形。畫出的三角形與原三角形的面積比是( )。
【答案】作圖見詳解;1∶4
【分析】把圖形按照n∶1放大,就是將圖形的每一條邊放大到原來的n倍,放大后圖形與原圖形對應邊長的比是n∶1;
把圖形按照1∶n縮小,就是將圖形的每一條邊縮小到原來的,縮小后圖形與原圖形對應邊長的比是1∶n。
據此畫出放大和縮小后的圖形,根據三角形面積=底×高÷2,分別計算出縮小前后三角形的面積,寫出縮小后三角形與原三角形的面積比,化簡即可。
【詳解】
(3×2÷2)∶(6×4÷2)=3∶12=(3÷3)∶(12÷3)=1∶4
畫出的三角形與原三角形的面積比是1∶4。
4.(22-23六年級下·江蘇揚州·期中)揚州到北京的實際距離大約是1200千米,在一幅地圖上量得兩地距離是24厘米。求這幅地圖的比例尺。
【答案】1∶5000000
【分析】根據比例尺=圖上距離∶實際距離,代入數據,即可解答。注意單位名數的統(tǒng)一。
【詳解】1200千米=120000000厘米
24∶120000000
=(24÷24)∶(120000000÷24)
=1∶5000000
答:這幅地圖的比例尺是1∶5000000。
5.(22-23六年級下·山西大同·期中)在比例尺是1∶100的平面圖上,量得一個平行四邊形花壇的底是9厘米,高是8厘米,這個花壇的實際占地面積是多少平方米?
【答案】72平方米
【分析】圖上距離和比例尺已知,根據實際距離=圖上距離÷比例尺,求得平行四邊行的底和高的實際長度。再根據平行四邊形面積=底×高,求得實際占地面積。
【詳解】底:9÷==900(厘米)=9米
高:8÷==800(厘米)=8米
實際占地面積:9×8=72(平方米)
答:這個花壇的實際占地面積是72平方米。
6.(23-24六年級下·海南海口·期末)在比例尺是1∶5000000的地圖上,量得甲乙兩城市之間的距離是6.3厘米,如果一輛汽車的速度是90千米/時,那么從甲城到乙城用幾小時?
【答案】3.5小時
【分析】根據實際距離=圖上距離÷比例尺,代入數據,求出甲城到乙城的實際距離,再根據時間=路程÷時間,用甲城到乙城的距離÷汽車的速度,即可解答,注意單位名數的換算。
【詳解】6.3÷
=6.3×5000000
=31500000(厘米)
31500000厘米=315千米
315÷90=3.5(小時)
答:從甲城到乙城用3.5小時。
7.(23-24六年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末)下圖三角形與梯形面積的比是1∶5,求三角形的一個底邊的長x。
【答案】2米
【分析】根據題意可知,因為三角形的一個底邊的長x,則梯形的上底為(6-x),結合三角形的面積公式:底×高÷2,梯形的面積公式:(上底+下底)×高÷2,已知三角形與梯形面積的比是1∶5,代入數據,列出比例式為:,求出x即可。
【詳解】解:設三角形的一個底邊的長為x,則梯形的上底為(6-x)。
答:三角形的底邊長為2米。
8.(23-24六年級下·安徽蚌埠·期末)把一個物體分成兩部分,當較長的部分與整體的比是0.618∶1時,給人的感覺是最美的。這個神奇的比被稱為“黃金比”。“黃金比”還應用于長方形,當寬與長的比值約是0.618時,能給人更美的視覺感受,我們稱這樣的長方形為“最美長方形”。如果一個長方形長或寬的長度為4厘米,你能根據“黃金比”,畫一個“最美長方形”嗎?(結果保留一位小數,在圖上標出長或寬的長度)
【答案】見詳解
【分析】先確定一個長方形的長為4厘米,長方形的寬∶長方形的長=0.618∶1,即長方形的寬∶4=0.618∶1;則寬=4厘米×0.618,求出寬(保留一位小數),再畫出長方形即可(答案不唯一)。
【詳解】4×0.618=2.472(厘米)
2.472≈2.5
如圖:
9.(22-23六年級下·安徽合肥·期中)在比例尺是1∶7500000的地圖上,量得南京到北京的距離是12厘米,一列火車以每小時250千米的速度從南京去北京要多少小時?
【答案】3.6小時
【分析】根據實際距離=圖上距離÷比例尺,代入數據,求出南京到北京的實際距離,再根據:時間=路程÷速度,代入數據,即可解答。
【詳解】12÷
=12×7500000
=90000000(厘米)
90000000厘米=900千米
900÷250=3.6(小時)
答:一列火車以每小時250千米的速度從南京去北京要3.6小時。
【點睛】熟練掌握圖上距離和實際距離的換算,以及速度、時間和路程三者的關系是解答本題的關鍵,注意單位名數的換算。
10.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)在一幅比例尺是1∶6000000的地圖上,量得AB兩地間的距離是8厘米,一列火車以每小時100千米的速度從A地去B地需要多少小時?
【答案】4.8小時
【分析】根據實際距離=圖上距離÷比例尺,先求出AB兩地實際距離,再根據時間=路程÷速度,列式解答即可。
【詳解】8÷=8×6000000=48000000(厘米)=480(千米)
480÷100=4.8(小時)
答:一列火車以每小時100千米的速度從A地去B地需要4.8小時。
11.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)實踐活動課上,小剛在學校旗桿旁立一根1米長的木條,量得木條的影長是4分米,同時量得旗桿的影長為2米,學校旗桿高度是多少米?(用解比例方法)
【答案】5米
【分析】根據在同一時間、同一地點,物體的影長與物體的實際長度的比值一定,由此列出比例解決問題。
【詳解】解:設學校旗桿高度是x米。
4分米=0.4米
1∶0.4=x∶2
0.4x=1×2
0.4x=2
0.4x÷0.4=2÷0.4
x=5
答:學校旗桿高度是5米。
12.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)在一幅比例尺為1∶400的圖形上量得一間長方形的階梯教室的周長是14厘米,寬是長的,這間階梯教室的實際面積是多少平方米?
【答案】192平方米
【分析】根據實際距離=圖上距離÷比例尺,先求出實際周長,長方形周長÷2=長寬和,將長看作單位“1”,長寬和是長的(1+),長寬和÷對應分率=長,長寬和-長=寬,根據長方形面積=長×寬,列式解答即可。
【詳解】14÷=14×400=5600(厘米)=56(米)
56÷2=28(米)
28÷(1+)
=28÷
=28×
=16(米)
28-16=12(米)
16×12=192(平方米)
答:這間階梯教室的實際面積是192平方米。
13.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)甲、乙兩城相距120千米,在一幅地圖上量得甲、乙兩城之間的距離是4厘米,同時在這幅地圖上量得乙、丙兩城之間的距離是6厘米。乙、丙兩城之間的實際距離是多少千米?
【答案】180千米
【分析】先用“120÷4”求出圖上1厘米代表實際距離多少千米,進而根據求幾個相同加數的和是多少,用乘法解答即可。
【詳解】120÷4×6
=30×6
=180(千米)
答:乙、丙兩城之間的實際距離是180千米。
14.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)學校需要配制兩杯含鹽率相同的鹽水,第一杯中放了18克鹽和200克水,第二杯中有水500克,需要加鹽多少克?
【答案】45克
【分析】第二杯加入的鹽為x克,根據兩杯含鹽率相同,水中鹽和水的比是一定的,據此列比例解答即可。
【詳解】解:設應在第二杯中加入鹽x克
18∶200=x∶500
200x=18×500
200x=9000
200x÷200=9000÷200
x=9000÷200
x=45
答:第二杯中需要加鹽45克。
15.(22-23六年級下·河南平頂山·期中)房產博覽會上,某樓盤的模型是按照1∶500的比例尺制作的,該樓盤1號樓模型高7厘米,它的實際高度是多少?
【答案】35米
【分析】根據實際距離=圖上距離÷比例尺,代入數據列式解答即可。
【詳解】7
=7×500
=3500(厘米)
3500厘米=35米
答:它的實際高度是35米。
16.(22-23六年級下·安徽蚌埠·期中)在比例尺是1∶6000000的地圖上,量得兩地間的距離為20厘米。甲、乙兩列火車分別從兩地同時出發(fā),相向而行,6小時后相遇。已知甲、乙兩列火車的速度比是9∶11。甲火車的速度是多少?
【答案】90千米/時
【分析】首先根據實際距離=圖上距離÷比例尺,求出兩地之間的實際路程是多少千米,再根據速度和=路程÷相遇時間,求出甲乙兩列火車每小時的速度和,已知甲、乙兩列火車的速度比為11∶9,因為時間相同,所以甲、乙所行路程的比等于速度的比,利用按比例分配的方法,求出相遇時甲的速度。
【詳解】20÷
=20×6000000
=120000000(厘米)
120000000厘米=1200千米
11+9=20
1200÷6×
=200×
=90(千米/時)
答:兩車相遇時甲的速度是90千米/時。
17.(22-23六年級下·江蘇南京·期中)媽媽調制一杯蜂蜜水,400克水中放了20克蜂蜜。濤濤和妹妹想配制同樣口味的蜂蜜水,如果有600克水,那么需要放多少克蜂蜜?(列比例解決問題)
【答案】30克
【分析】要配制同樣口味的蜂蜜水,則蜂蜜和水的質量比的比值一定。設需要放x克蜂蜜,根據題意可得:x∶600=20∶400,再根據比例的基本性質解出比例即可解答。
【詳解】解:設需要放x克蜂蜜。
x∶600=20∶400
400x=600×20
400x=12000
x=12000÷400
x=30
答:需要放30克蜂蜜。
18.(22-23六年級下·江蘇南京·期中)在一幅比例尺為1∶20000的地圖上,量得學校到游樂場的距離是15厘米。在另一幅比例尺為的地圖上,學校到游樂場的距離是多少厘米?
【答案】4厘米
【分析】圖上距離∶實際距離=比例尺,則圖上距離÷比例尺=實際距離,實際距離×比例尺=圖上距離。那么用15除以即可求出學校到游樂場的實際距離,再乘即可求出另一幅地圖上學校到游樂場的圖上距離。
【詳解】15÷×
=15×20000×

=4(厘米)
答:學校到游樂場的距離是4厘米。
19.(22-23六年級下·江蘇南通·期中)在一幅比例尺是1∶5000000的地圖上,量得南京到北京的距離是18厘米,一列火車每小時行駛120千米,這列火車從南京到北京需要多少小時?
【答案】7.5小時
【分析】已知比例尺和圖上距離求實際距離,依據“實際距離=圖上距離÷比例尺”即可求出實際距離,再根據路程÷速度=時間,列式解答。
【詳解】18÷
=18×5000000
=90000000(厘米)
=900(千米)
900÷120=7.5(小時)
答:這列火車從南京到北京需要7.5小時。
20.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)在我們校園內,某天上午量得一根直立的竹竿高2米,其影長為1.5米,這時一幢教學樓的影長為13.5米,這幢教學樓高多少米?
【答案】18米
【分析】同一時刻,在同一地點的物高與其影長正比例,假設這幢教學樓高x米,據此列比例式解答。
【詳解】解:設這幢教學樓高x米。
2∶1.5=x∶13.5
1.5x=2×13.5
1.5x=27
1.5x÷1.5=27÷1.5
x=18
答:這幢教學樓高18米。
21.(22-23六年級下·江蘇徐州·期中)在比例尺為1∶5000000的地圖上,量得A、B兩地的距離是5厘米。甲、乙兩車同時從兩地開出,相向而行,5小時后相遇。已知甲、乙兩車的速度比是2∶3,則甲、乙兩車每小時分別行駛多少千米?
【答案】20千米;30千米
【分析】圖上距離和比例尺已知,依據“圖上距離÷比例尺=實際距離”即可求出兩地的實際距離。再根據“速度和=路程÷相遇時間”即可求出兩車的速度和,兩車的速度比已知,利用按比例分配的方法就能求出兩車的速度各是多少。
【詳解】5÷
=5×5000000
=25000000(厘米)
25000000厘米=250千米
250÷5=50(千米)
50÷(2+3)
=50÷5
=10(千米)
10×2=20(千米/時)
10×3=30(千米/時)
答:甲車每小時行駛20千米,乙車每小時行駛30千米。
22.(22-23六年級下·江蘇蘇州·期中)出租車收費標準如下:
里程 收費
3千米以下(含3千米) 10.00元
3千米以上每增加1千米 (不足1千米按1千米算) 2.00元
在比例尺是1∶350000的地圖上,量得小明家與少年宮兩地之間的距離是2.4厘米。小明乘出租車從家去少年宮要付多少元車費?
【答案】22元
【分析】圖上距離和比例尺已知,依據“圖上距離÷比例尺=實際距離”,代入數據即可求得小明家與少年宮兩地之間的實際距離,求出實際距離是8.4千米,可看作9千米,先求出超出距離為(9-3)千米,利用(9-3)×2元+3千米收費的10元即可解答。
【詳解】2.4÷
=2.4×350000
=840000(厘米)
840000厘米=8.4千米
8.4千米按9千米計算
(9-3)×2+10
=6×2+10
=12+10
=22(元)
答:小明乘出租車從家去少年宮要付22元車費。
23.(22-23六年級下·江蘇淮安·期中)在一幅比例尺是千米的地圖上,量得A、B兩地間的距離是5厘米,甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行,甲、乙兩車的速度比是2∶3,相遇時甲車行駛了多少千米?
【答案】120千米
【分析】先根據比例尺,用圖上距離乘60求得實際距離,因為是相遇問題,速度的比即路程的比;即相遇時,甲車行了全程的,由此根據一個數乘分數的意義,用乘法求出甲車的路程。
【詳解】5×60=300(千米)
300×
=300×
=120(千米)
答:相遇時甲車行駛了120千米。
24.(22-23六年級下·江蘇宿遷·期中)從鹽城到南京的距離為300千米,在一幅地圖上量得它們之間的距離為5厘米。在這幅地圖上量得南京到上海的距離為8厘米,那么南京到上海的實際距離是多少千米?
【答案】480千米
【分析】根據圖上距離∶實際距離=比例尺,確定這幅圖的比例尺,再根據實際距離=圖上距離÷比例尺,進行換算即可。
【詳解】5厘米∶300千米=5厘米∶30000000厘米=(5÷5)∶(30000000÷5)=1∶6000000
8÷=8×6000000=48000000(厘米)=480(千米)
答:南京到上海的實際距離是480千米。
25.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)小明想知道操場旁邊的一棵樹有多高,他在某天下午2:00測量了大樹旁邊的旗桿和這棵大樹的影長,如圖所示。已知旗桿高15米,這棵大樹的高是多少米?(用方程解)
【答案】10米
【分析】用比例解決問題只要比例兩邊的比統(tǒng)一即可。設這棵大樹的高是x米,根據大樹的高∶大樹的影長=旗桿的高∶旗桿的影長,列出比例解答即可。
【詳解】解:設這棵大樹的高是x米。
x∶4=15∶6
6x=4×15
6x=60
6x÷6=60÷6
x=10
答:這棵大樹的高是10米。
26.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)在比例尺是1∶40000000的地圖上,量得AB兩地的距離是8厘米,一架飛機下午1:00從A地飛往B地,下午5:00到達。這架飛機平均每小時飛行多少千米?
【答案】800千米
【分析】根據實際距離=圖上距離÷比例尺,終點時間-起點時間=經過時間,先求出AB兩地的實際距離和飛行時間,根據路程÷時間=速度,列式解答即可。
【詳解】8÷=8×40000000=320000000(厘米)=3200(千米)
下午5:00-下午1:00=4(小時)
3200÷4=800(千米)
答:這架飛機平均每小時飛行800千米。
27.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)一個曬鹽場用600千克海水曬出18千克鹽。如果一塊鹽田一次放入485000千克海水,可以曬出多少千克鹽?
【答案】14550千克
【分析】用比例解決問題只要比例兩邊的比統(tǒng)一即可。設可以曬出x千克鹽,根據放入的海水質量∶曬出的鹽的質量=600∶18,列出比例解答即可。
【詳解】解:設可以曬出x千克鹽。
485000∶x=600∶18
600x=485000×18
600x÷600=8730000÷600
x=14550
答:可以曬出14550千克鹽。
28.(23-24六年級下·江蘇南通·期中)下面是一幅比例尺為1∶5000的平面圖(局部),小楓從A地出發(fā)經B地前往公交站臺C,小楓步行的速度是70米/分。公交車還有4分鐘就到達,量一量,算一算,小楓能趕上這趟公交車嗎?
【答案】能
【分析】先測量出A地到B地的圖上距離,B地到公交站點C的圖上距離,再根據實際距離=圖上距離÷比例尺,分別求出A地到B地的實際距離;B地到公交站點C的實際距離,再把它們的實際距離相加,求出A地到公交占點C的實際距離;再根據路程=速度×時間,用70×4,求出小楓4分鐘走的路程,如果小楓走的路程小于A地到公交占點C的實際距離,就能趕上,如果小楓走的路程大于A地到公交占點C的實際距離,就不能趕上,據此解答。
【詳解】測得A地到B地的圖上距離是1厘米;B地到公交占地C的圖上距離是4厘米。

=1×5000
=5000(厘米)
5000厘米=50米

=4×5000
=20000(厘米)
20000厘米=200米
50+200=250(米)
70×4=280(米)
280>250,小楓能趕上這趟公交車。
答:小楓能趕上這趟公交車。
29.(23-24六年級下·安徽合肥·期中)用1∶300的比例尺畫出的教學樓的占地平面圖的長是12厘米,寬是4厘米,那么這幢教學樓的實際占地面積是多少平方米?
【答案】432平方米
【分析】這幢教學樓的實際占地面積=實際的長×實際的寬;根據實際距離=圖上距離÷比例尺,分別用12÷和4÷求出實際的長和寬,再把單位換算成米,進而求出實際占地面積。
【詳解】12÷
=12×300
=3600(厘米)
3600厘米=36米

=4×300
=1200(厘米)
1200厘米=12米
36×12=432(平方米)
答:這幢教學樓的實際占地面積是432平方米。
30.(23-24六年級下·江蘇南京·期中)長征二號F遙十三運載火箭整流罩底面直徑為3.2米,科技館存放著一個按一定比例制作的長征二號F遙十三運載火箭整流罩模型(如圖)。
(1)制作整流罩模型的比例尺是多少?
(2)該整流罩模型的體積是多少?
(3)如果用一個長方體玻璃盒來存放這個模型,制作這個玻璃盒至少要用多少平方分米的玻璃?
【答案】(1)1∶8
(2)150.72立方分米
(3)288平方分米
【分析】(1)比例尺=圖上距離∶實際距離,將圖上底面直徑和實際底面直徑做比,求出制作整流罩模型的比例尺;
(2)圓柱體積=底面積×高,圓錐體積=×底面積×高,由此求出圓柱和圓錐的體積,再相加即可得出該整流罩模型的體積;
(3)這個長方體容器的長和寬至少和模型的底面直徑相等,高和模型的高度相等。根據長方體表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2,求出制作這個玻璃盒至少要用多少平方分米的玻璃。
【詳解】(1)3.2米=32分米
4∶32
=(4÷4)∶(32÷4)
=1∶8
答:制作整流罩模型的比例尺是1∶8。
(2)4÷2=2(分米)
3.14×22×10+×3.14×22×(16-10)
=3.14×4×10+×3.14×4×6
=125.6+25.12
=150.72(立方分米)
答:該整流罩模型的體積是150.72立方分米。
(3)(4×4+4×16+4×16)×2
=(16+64+64)×2
=144×2
=288(平方分米)
答:制作這個玻璃盒至少要用288平方分米的玻璃。
31.(23-24六年級下·海南海口·期中)一種洗衣液的使用方法是:清洗千克的衣物要放入洗衣液3毫升。如果媽媽要清洗3千克的衣物,應放入洗衣液多少毫升?
【答案】36毫升
【分析】用比例解決問題只要比例兩邊的比統(tǒng)一即可。設應放入洗衣液x毫升,根據衣物質量∶洗衣液體積=∶3,列出比例解答即可。
【詳解】解:設應放入洗衣液x毫升。
3∶x=∶3
x=3×3
x÷=9÷
x=9×4
x=36
答:應放入洗衣液36毫升。
32.(23-24六年級下·海南海口·期中)東莞是廣東省中南部的一個城市,地處珠江口東岸,全市陸地面積約2465平方千米,其中東西兩端相距大約70千米。把它畫在一幅地圖上,這時量得東西兩端距離是5厘米。這幅地圖的比例尺是多少?
【答案】1∶1400000
【分析】根據圖上距離∶實際距離=比例尺,寫出圖上距離與實際距離的比,化簡即可。
【詳解】5厘米∶70千米=5厘米∶7000000厘米=(5÷5)∶(7000000÷5)=1∶1400000
答:這幅地圖的比例尺是1∶1400000。
33.(23-24六年級下·海南海口·期中)有一塊邊長為60米的正方形草坪,在一幅比例尺是1∶2000的平面圖上。這塊草坪的圖上面積是多少?
【答案】9平方厘米
【分析】先統(tǒng)一單位,再根據圖上距離=實際距離×比例尺,求出邊長的圖上距離,再根據正方形的面積=邊長×邊長,求出草坪的面積。
【詳解】60米=6000厘米
6000×=3(厘米)
3×3=9(平方厘米)
答:這塊草坪的圖上面積是9平方厘米。
34.(22-23六年級下·江蘇鹽城·期中)在一幅比例尺是1∶3000000的地圖上,量得甲、乙兩地距離是10厘米。一輛客車和一輛貨車同時從甲乙兩地相對開出。已知客車和貨車速度比是3∶2,相遇時客車和貨車各行駛了多少千米?
【答案】客車180千米;貨車120千米
【分析】已知一幅地圖的比例尺和甲、乙兩地的圖上距離,根據“實際距離=圖上距離÷比例尺”,以及進率“1千米=100000厘米”,求出甲、乙兩地的實際距離。
已知客車和貨車速度比是3∶2,相遇時,兩車行駛的時間一定,那么路程比等于速度比,所以客車和貨車行駛的路程比也是3∶2,即客車、貨車行駛的路程分別占全程的、,根據求一個數的幾分之幾是多少,用乘法計算,即可求出相遇時兩車各自行駛的路程。
【詳解】全程:
10÷
=10×3000000
=30000000(厘米)
30000000厘米=300千米
相遇時客車行了:
300×
=300×
=180(千米)
相遇時貨車行了:
300×
=300×
=120(千米)
答:相遇時客車行駛了180千米,貨車行駛了120千米。
35.(23-24六年級下·江蘇淮安·期中)一塊三角形零件片的底長8毫米,這條底上的高是4.8毫米。現要把這塊零件片畫在比例尺為25∶1的圖紙上,畫出的三角形面積是多少?
【答案】120平方厘米
【分析】已知實際距離和比例尺,要求圖上距離,根據圖上距離=實際距離×比例尺,代入數據列式計算;再根據三角形的面積=底×高÷2,求出三角形的面積即可。
【詳解】8毫米=0.8厘米
4.8毫米=0.48厘米
0.8×25=20(厘米)
0.48×25=12(厘米)
20×12÷2
=240÷2
=120(平方厘米)
答:畫出的三角形面積是120平方厘米。
36.(23-24六年級下·江蘇淮安·期中)甲、乙兩桶油共重95千克,從甲桶中取出它的,從乙桶中取出它的后,兩桶油剩下的一樣重。原來兩桶油各重多少千克?(油桶的質量忽略不計)
【答案】甲桶油重45千克,乙桶油重50千克
【分析】從甲桶中取出它的,還剩下它的1-=;從乙桶中取出它的后,還剩下它的1-=。兩桶油剩下的一樣重,則甲桶油質量×=乙桶油質量×,根據比例的基本性質可得:甲桶油的質量∶乙桶油的質量=∶=9∶10,那么甲桶油的質量占兩桶油總質量的,乙桶油的質量占兩桶油總質量的。已知兩桶油共重95千克,根據乘法的意義,用95分別乘這兩個分數,即可求出原來兩桶油各重多少千克。
【詳解】1-=
1-=
甲桶油質量×=乙桶油質量×,則甲桶油的質量∶乙桶油的質量=∶=9∶10。
甲桶:95×
=95×
=45(千克)
乙桶:95×
=95×
=50(千克)
答:原來甲桶油重45千克,乙桶油重50千克。
【點睛】根據比例的基本性質,得出兩桶油的質量比是解題的關鍵。
37.(23-24六年級下·江蘇鹽城·期中)有三堆圍棋子,每堆圍棋子都相等,其中第一堆的白子與第二堆的黑子同樣多。第三堆白子與黑子的數量比是5∶2,已知三堆圍棋子中黑子有72枚,三堆圍棋子共有多少枚?
【答案】168枚
【分析】根據題意,第一堆的白子與第二堆的黑子同樣多,說明第一堆的白子加上第二堆的白子=第一堆的黑子+第二堆的黑子,也可以說是第一堆全是白子,第二堆全是黑子;每堆圍棋子都相等,即每堆圍棋子占三堆圍棋子的;設三堆圍棋子共有x枚,則每堆圍棋子有x枚;用(72-x),求出第三堆圍棋子中黑子的數量;第三堆圍棋子中白子有(x-72-x)枚;根據第三堆白子與黑子的數量比是5∶2,列比例:(x-72-x)∶(72-x)=5∶2,解比例,即可解答。
【詳解】解:設三堆圍棋子共有x枚,則每堆有圍棋子x枚。
(x-72-x)∶(72-x)=5∶2
2×(x-72-x)=5×(72-x)
2×(x-72)=5×72-x
2×x-72×2=360-x
x+-144=360
x=360+144
3x=504
x=504÷3
x=168
答:三堆圍棋子共有168枚。
【點睛】明確第一堆和第二堆白子與黑子的關系,是解答本題的關鍵。
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