資源簡介

教學設計
題目 空間向量與立體幾何單元小結 學時 1 第 1課時
一、 內容和內容解析 內容 通過兩個具體實例，讓學生在解決問題的過程中梳理向量學習的一般路徑與基本方法，熟練空間向量的運算，從而能利用空間向量解決簡單的立體幾何問題，構建空間向量的知識框架。
內容解析 在利用向量法、綜合法、坐標法從不同角度解決同一問題的過程中，讓學生體會向量法的優(yōu)勢，感悟向量及其運算在解決立體幾何問題中的作用，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。
二、學情分析 通過必修中“立體幾何初步”的學習，學生對于距離和夾角有了一定的認識，但缺乏整體性、系統(tǒng)性；通過本章三個單元的學習，學生已經(jīng)可以利用空間向量解決一些簡單的立體幾何問題，但學生對空間向量的學習路徑與研究方法不夠清晰，基本知識的框架結構不夠完善，還不能熟練地運用空間向量解決立體幾何中的綜合問題。通過本節(jié)的學習幫助學生形成空間向量知識的基本框架，提升學生解決實際問題的能力。
三、 目標和目標解析 目標 梳理向量學習的一般路徑與基本方法，能夠熟練應用向量法解決立體幾何問題，體會向量法在解決立體幾何問題中的優(yōu)勢，構建空間向量的知識框架。
目標解析 通過不同數(shù)學問題的解決，在教師的引導下，學生歸納出向量學習的一般路徑：概念→運算→基本定理→應用，再現(xiàn)用空間向量解決空間幾何的“三步曲”；通過向量法、綜合法、坐標法從不同角度解決立體幾何問題，體會向量法的優(yōu)勢，感悟向量及其運算在解決立體幾何問題中的作用，形成空間向量知識的基本框架。
教學重點 通過向量法、綜合法、坐標法從不同角度解決立體幾何問題，體會向量法的優(yōu)勢，感悟向量及其運算在解決立體幾何問題中的作用，形成空間向量知識的基本框架。
教學難點 熟練運用空間向量解決立體幾何中的綜合問題。
四、教學方法分析 借助具體的實例，在逐步解決問題的過程中，不斷地思考與總結，進而形成空間向量的基本知識體系，完善對知識的認知，提高學生運用空間向量解決實際問題的能力。
五、 教學過程設計 教師活動與數(shù)學問題 問題或任務與學生學習活動 設計意圖或評價目標
環(huán) 節(jié) 一 內容1： 在正四棱臺中，，，， 如何表示向量 ？ 求向量 的模長。 教學情境1： 在教師的引導下，學生提出解決問題的方法，概括所需的知識并解決問題。 解決問題（1）： 解：在正四棱臺中，因為，，， ，，， 所以，， ，，，， 因此， 解決問題（2）： ． 學習任務1： 如何表示向量 ？ 學生活動1： 問題呈現(xiàn)后，讓學生在思考后敘述利用空間向量基本定理來表示任一向量的具體做法，并完成任務。 學習任務2： 借助空間向量的基本運算求解向量 的模長。 追問1：解決上一個問題時我們用到了哪些知識點？ 學生作答： 設計意圖1: 借助對問題的思考讓學生回顧空間向量的基本概念及空間向量基本定理的核心思想； 評價目標1： 學生能否熟練運用空間向量基本定理表示空間中的任一向量； 設計意圖2: 在完成任務1的基礎上讓學生繼續(xù)思考，可以繼續(xù)利用空間向量的數(shù)量積等基本運算得到。 評價目標2： 學生能否熟練掌握并應用空間向量的基本運算。
環(huán) 節(jié) 二 內容2： 直三棱柱中，，，，為中點，為中點，為中點． 求證：平面； 求直線與平面的正弦值； 求平面與平面夾角的余弦值． 教學情境2. 在教師的引導下，由學生自主分析解決問題，并總結利用空間向量解決實際問題的思路和具體做法。 解決問題2： 解：證明：取的中點，連接，，又為中點，為中點，為中點， ，， 又平面，平面， 平面， 同理可得，平面， 又， 平面平面， 平面， 在直三棱柱中，，則可建立如圖所示的空間直角坐標系， 又，為中點，為中點，為中點． 故B，，，，， 則，，， 設是平面的法向量，則有：，，即，令，則，， 所以， 設直線與平面的夾角為，則， ， 則， 設平面的法向量為，則有，， 即，令，則，，故， 設平面與平面的夾角為， 所以． 學習任務1： 求證：平面； 學生活動1： 學生指出利用空間向量確定線面關系的基本方法與路徑，從而實現(xiàn)問題（1）的解決； 追問2：解決上一個問題的過程中我們運用了哪些知識？ 學生作答： 學習任務2： 求直線與平面的正弦值； 學習任務3： 求平面與平面夾角的余弦值. 追問3：解決上一個問題的過程中我們運用了所學的哪些知識并形成框架？ 學生作答： 設計意圖1: 借助問題的提出讓學生復習利用空間向量表示和描述空間中點、線、面的位置關系的基本方法； 評價目標1： 關注學生能否熟練地運用空間向量描述空間中點、線、面的位置關系 設計意圖2： 通過問題的解決讓學生能熟練應用空間向量這一有利工具，經(jīng)過計算解決空間中的線面角、二面角的大小等實際問題。 評價目標2： 關注學生能否熟練地應用空間向量的運算，并將計算結果翻譯成正確的空間幾何關系。
小結： 通過以上的課堂實踐讓學生形成向量知識基本框架。
環(huán) 節(jié) 三 內容3：形成空間向量知識的基本框架 學生作答： 設計意圖： 讓學生通過本小節(jié)的學習形成向量知識的基本框架，從而提升學生解決實際問題的能力。 評價目標： 學生能否自主的構建出正確的知識框架圖。
課堂小結 通過以上實踐活動引導學生形成利用向量解決一類問題的一般思路，構建向量知識基本框架，提升學生利用空間向量解決實際問題的能力。
六、目標檢測與作業(yè)設計 目標檢測1： 如圖，在平行六面體中，為的中點，，則 若該六面體的棱長都為，，則 解：在平行六面體中，為的中點， 則 ，所以 該六面體的棱長都為，， 則， 所以． 目標檢測2： 如圖，在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點． 求證：平面； 求直線與平面所成角的正弦值； 求二面角的正弦值． 解： （1）證明：以點為坐標原點，建立空間直角坐系如圖所示，則，，， 故設平面的法向量為， 則， 即， 令，則，，故， 又，，所以， 則，又平面，故平面； 解： 由可知，， 則， 故直線與平面所成角的正弦值為； 解： 由可知，， 設平面的法向量為， 則， 即， 令，則， 故， 所以， 故二面角的正弦值為． 目標檢測1設計意圖： 檢測學生能否熟練地運用空間向量的基本定理及空間向量的基本運算解決簡單的立體幾何問題。 目標檢測2設計意圖： 檢測學生能否熟練地運用空間向量這一有利工具研究并解決立體幾何中出現(xiàn)的角度、距離等實際問題，體現(xiàn)學生綜合能力的提升。
七、 板書設計 內容1： 在正四棱臺中，，，， 如何表示向量 ？ （2）求向量 的模長。 內容2：直三棱柱中，，，，為中點，為中點，為中點． 求證：平面； 求直線與平面的正弦值； 求平面與平面夾角的余弦值． 課堂小結： 通過以上實踐活動引導學生形成利用向量解決一類問題的一般思路，構建向量知識基本框架，提升學生利用空間向量解決實際問題的能力。
八、 反思 結合目標檢測效果指導下一步的教學實踐。

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