資源簡介

4.4 冪函數（教學設計）
教材分析
冪函數是在繼一次函數、反比例函數、二次函數之后，又學習了單調性、最值、奇偶性的基礎上，借助實例，總結出冪函數的概念，再借助圖像研究冪函數的性質.
教學目標與核心素養
課程目標
1、理解冪函數的概念，會畫冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的圖象；
2、結合這幾個冪函數的圖象，理解冪函數圖象的變化情況和性質；
3、通過觀察、總結冪函數的性質，培養學生概括抽象和識圖能力．
數學學科素養
1.數學抽象：用數學語言表示函數冪函數；
2.邏輯推理：常見冪函數的性質；
3.數學運算：利用冪函數的概念求參數；
4.數據分析：比較冪函數大小；
5.數學建模：在具體問題情境中，運用數形結合思想，利用冪函數性質、圖像特點解決實際問題。
教學重難點
重點：常見冪函數的概念、圖象和性質；
難點：冪函數的單調性及比較兩個冪值的大小．
課前準備
教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。
教學工具：多媒體。
教學過程
情景導入
我們已經知道，在關系式＝ 中，當底數a為大于０且不等于１的常數時：
如果把b作為自變量、N 作為因變量，則N 就是b的指數函數；如果把N 作為自變
量、b作為因變量，則b就是N 的對數函數 （即b=logaN）．那么，當b為常數時，
能否將底數a作為自變量、N 作為因變量來構造函數關系呢？
要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.
預習課本，引入新課
閱讀課本34-36頁，思考并完成以下問題
1. 冪函數是如何定義的？ 2. 冪函數的解析式具有什么特點？
3. 常見冪函數的圖象是什么？它具有哪些性質？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。
新知探究
1．冪函數
一般地,函數y=xα叫做冪函數,其中x是自變量,α是常數.
冪函數的性質
冪函數 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定義域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞)
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非 偶函數 奇函數
單調性 在R上是增函數 在[0,+∞)上是增函數,在(-∞,0]上是減函數 在R上是增函數 在[0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數,在(-∞,0)上是減函數
公共點 (1,1)
四、典例分析、舉一反三
題型一 冪函數的概念
例1 函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,試確定m的值.
【答案】m=3
【解析】根據冪函數的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.
當m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數;
當m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數,不符合要求.故m=3.
解題技巧：（判斷一個函數是否為冪函數）
判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形 式,即:(1)系數為1;(2)指數為常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪 函數,則該函數必具有這種形式.
跟蹤訓練一
1.如果冪函數y=(m2-3m+3)的圖象不過原點,求實數m的取值.
【答案】m=1或m=2.
【解析】　由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;
當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.
綜上所述,m=1或m=2.
題型二 冪函數的圖象與性質
例2　已知函數y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,
則a,b,c的大小關系為 (　　)
A.c【答案】A
【解析】由冪函數的圖象特征,知c<0,a>1,0解題技巧：(冪函數圖像與性質)
1.本題也可采用特殊值法,如取x=2,結合圖象可知2a>2b>2c,又函數y=2x在R上是增函數,于是a>b>c.
2.對于函數y=xα(α為常數)而言,其圖象有以下特點:
(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.
(2)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).
(3)由冪函數的圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y= y=x,y=x3)來判斷.
(4)當α>0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都是增函數;當α<0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都是減函數.
跟蹤訓練二
1.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論正確的是(　　)
A.nm>0 D.m>n>0
【答案】 A
【解析】畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關系可知,n題型三 利用冪函數的單調性比較大小
例3 比較下列各組中兩個數的大小:
;
.
【答案】見解析
【解析】
(2)∵冪函數y=在[0,+∞)上是增函數,又,∴.
(3)∵函數y1=在定義域內為減函數,且,∴.
又函數y2=在[0,+∞)上是增函數,且,∴.∴.
解題技巧：（比較冪函數大小）
1.比較冪大小的三種常用方法
2.利用冪函數單調性比較大小時要注意的問題
比較大小的兩個實數必須在同一函數的同一個單調區間內,否則無法比較大小.
跟蹤訓練三
1. 已知a=,b=,c=2,則(　　)
A.b【答案】A
【解析】　∵a==1,b==1,c=2, ∴a>b,a五、課堂小結
讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧
六、板書設計
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3
.3冪函數
冪函數概念
例1
例2
例3
冪函數的圖像性質
)
七、作業
課本37頁習題4-4A組1,2,4 B組 1
教學反思
本節主要學習了一類新的函數：冪函數。主要就冪函數的形式定義、圖像性質、比較大小三方面學習冪函數.尤其比較大小與前面函數單調性密切相關，因此本節課需要學生熟記定義及圖像特征.
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1
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