資源簡介

第五章 三角函數
一、單元內容與內容解析
本單元內容結構圖如下：
內容：
本單元是教材中已經劃分好的“教學單位”，是以核心數學知識為主線的主題類單元。現實世界中存在著大量周期現象，任意角的三角函數就是刻畫這種現象的基本而有效的數學模型.
為了建立三角函數概念，本單元我們先把角的范圍推廣到任意角，并引進弧度制；然后借助單位圓建立了一般三角函數的概念。接著，利用單位圓的性質(主要是對稱性)，用幾何直觀和代數運算的方法研究了三角函數的周期性、對稱性、單調性和最大(小)值等性質，和(差)角公式、倍角公式等反映了三角函數之間的內在聯系，也是圓的幾何性質的代數表示，我們借助單位圓，通過代數運算對這些關系進行了研究.最后，利用三角函數的概念和性質，建立了具有廣泛應用價值的函數，并用它解決了許多實際問題。
2、本單元主要教學內容及課時分配如下：
（1）任意角和弧度制 約2課時
（2）三角函數的概念 約2課時
（3）誘導公式 約1課時
（4）三角函數的圖象與性質 約3課時
（5）三角恒等變換 約4課時
（6）函數 約2課時
（7）三角函數的應用 約1課時
3、內容解析
內容的本質：弧度制的本質是用長度單位來度量角的大小，統一了三角函數自變量和函數值的單位，從而使三角函數成為從實數集到實數集之間的對應。如果只用角度制，那么將導致自變量是60進位的角度、函數值是10進位的實數，例如60°+sin 60°之類的運算將失去意義。所以，弧度制的引入對建立任意角的三角函數概念是至關重要的。在本單元中，三角函數可以刻畫振動、波動等大量周期現象，它們的自變量不是角度，而是時間、距離等其他量，這也說明了引入弧度制的必要性。在今后的學習中，我們還會不斷體驗到引入弧度制對拓展三角函數應用范圍的必要性.
將角放在直角坐標系中討論不但使角的表示有了統一的方法，而且使我們夠借助直角坐標系中的單位圓，建立角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關系，從用建立正弦函數、余弦函數。因此，正弦函數、余弦函數的性質與圓的幾何性質（主要是對稱性）之間存在著非常緊密的聯系。例如，和單位圓相關的“勾股定理”與同角三角函數的基本關系有內在的一致性；單位圓周長為與正弦函數、余弦函數的周期為是一致的；圓的各種對稱性與三角函數的奇偶性、誘導公式等也是一致的。因此，在研究三角函數時，單位圓的作用非常重要。
周期性是三角函數最重要的性質，利用周期性，我們只要研究清楚三角函數在一個最小正周期內的性質即可；除了奇偶性外，三角函數還有非常豐富的對稱性，誘導公式就是三角函數對稱性的體現。利用周期性、奇偶性和誘導公式等可以發現，軸上的點都是正弦函數的對稱中心，而直線則都是正弦函數的對稱軸。對于余弦函數、正切函數可以得到類似的結論。內容包括：角與弧度、三角函數概念和性質、同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、三角函數應用。
蘊含的數學思想和方法：三角函數中利用單位圓中的三角函數線、三角函數圖象求三角函數定義域、解三角不等式、求單調區間、討論方程實根的個數、比較大小等蘊含著數形結合思想。三角函數本身就是一種特殊的函數，解決三角函數問題自然離不開函數與方程的思想，體現在某些三角函數問題可用函數的思想求解參數的值（范圍）問題；有些三角函數問題可以直接轉化為一元二次方程求解，還有一些三角問題，依據題設條件和求角結構，適當選取三角公式聯立組成方程組，以達到消元求值的目的，這是方程的思想在三角求值、證明等問題中的最佳表現。化歸思想在三角函數中應用非常普遍，主要體現在：①化多角的形式為單角的形式；②化多種函數名稱為一種函數名稱；③化未知角為已知角；④化高次為低次；⑤化特殊為一般。轉化時要特別注意問題的等價性。函數建模思想三角函數是中學數學的重要內容之，三角函數與我們的日常生活和生產實踐密切相關，如物理學中單擺無能運動、波的傳播、交流電、海水的潮汐變化等方面都可以用三角函數來分析和理解，而解決這部分問題，關鍵是建立數學模型。
知識的上下位關系：本單元出現了大量三角公式，這些公式具有緊密的聯系，其中，和(差)角公式具有一般意義，誘導公式、倍角公式等都可以看作它的特例。學習時要充分利用這種聯系性，避免對公式的死記硬背。三角函數是一類特殊的周期函數，在研究三角函數時，既可以聯系物理、生物、自然界中的周期現象(運動)，也可以從已學過的指數函數、對數函數、冪函數等得到啟發，還要注意與銳角三角函數建立聯系。
育人價值：在建構本單元教材時，以“研究一個數學對象的基本套路”為指導，根據三角函數的內容特點，以圓周運動為主要背景，借助單位圓這一強有力的“腳手架”，建立三角函數的概念；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性、單調性和最大(小)值等性質；以“三角函數的性質是圓的幾何性質(主要是對稱性)的直接反映”為指導，利用圓的幾何性質得出三角函數之間的各種恒等關系；利用三角函數刻畫一般周期性現象的規律，構建數學模型解決實際問題。這樣的內容處理體現了數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統性，實現了一以貫之的教材編寫思想：構建系列化數學活動，引導學生通過對現實問題的數學抽象獲得數學研究對象，構建研究數學對象的基本路徑，發現值得研究的數學問題，探尋解決問題的數學方法，獲得有價值的數學結論，建立數學模型解決現實問題；充分發揮“一般觀念”對數學創新活動的引導作用，使學生掌握抽象數學對象、發現和提出數學問題的方法，以實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把數學基本思想、基本活動經驗落實在基礎知識、基本技能的教學過程中，使數學學科核心素養真正落地。
教學重點：角與弧度、三角函數概念和性質、同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、三角函數應用。
單元目標和目標解析
目標：
三角函數是一類最典型的周期函數。本單元的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性(對稱性)、單調性和最大(小)值等性質；探索和研究三角函數之間的一些恒等關系；利用三角函數構建數學模型，解決實際問題。根據教學內容又確定了12個分目標：
（1）了解任意角以及象限角的概念，會判斷一個任意角是第幾象限角，發展數學抽象素養.
（2）初步體會弧度制引入的背景及必要性，明白同一個量可以用不同的單位制來度量。在半徑不同但圓心角相同的的扇形中，利用初中所學的扇形的弧長公式能夠發現弧長與半徑之比不變，從而體會用該比值作為弧度制定義的合理性，加深弧度制概念的理解，在此過程中，學生可以感悟數學抽象的層次性及邏輯推理的嚴謹性。
（3）經歷三角函數概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，發展數學抽象素養；借助單位圓理解三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數的圖象，了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值。借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式（的正弦、余弦、正切）。
（4）理解同角三角函數的基本關系式：。
體會三角函數的內在聯系性，通過運用基本關系式進行三角恒等變換，發展數學運算素養。
（5）經歷誘導公式的探究過程，積累應用類比、轉化、數形結合等方法研究三角函數性質的經驗，提升直觀想象核心素養。
（6）經歷繪制正弦函數圖象的過程，掌握描點法，掌握繪制正弦函數圖象的“五點法”。經歷繪制余弦函數圖象的過程，理解其中運用的圖象變換的思想。
（7）經歷利用函數圖象研究函數性質的過程，掌握正弦函數、余弦函數的性質。
（8）理解并掌握正切函數的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調性。并能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題。通過正切函數圖像與性質的探究，培養學生數形結合和類比的思想方法。
（9）掌握由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式.熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法. 能夠推導出兩倍角的正弦、余弦、正切公式。
（10）能用二倍角公式導出半角公式，體會其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進行簡單的應用.體會知識之間的內在聯系，培養學生的思考歸納能力，提高其思維靈活性。
（11）了解函數的現實背景，經歷勻速圓周運動的數學建模過程，進一步體會三角函數與現實世界的密切聯系，發展數學建模索養。掌握參數對函數圖象的影響，理解參數在圓周運動中的實際意義，發展數學抽象、邏輯推理與直觀想象的素養。會運用函數的圖象與性質解決簡單的數學問題和實際問題。
（12）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，并會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題。
2.目標分析
達成上述目標的標志是：
（1）學生能簡單說出本章所學的內容、結構、研究過程與方法，知道三角函數就是刻畫一類周期變化規律的數學模型，并能舉出現實世界中這類周期現象的例子。學生能說出集合中角的準確含義，知道終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無限多個，它們相差360°的整數倍，體會數形結合思想及特殊到一般的歸納思想。
（2）在探求如何科學合理地定義弧度制這一新概念的過程中，學生經歷從特殊到一般的探求過程，首先從不同半徑的圓周中提煉出不變的量是周角的大小和周長與半徑的比值，進一步推廣到更為一般的圓心角為所對的弧長與半徑的比值不變，通過認識、理解、把握弧度制的本質，學生經歷概念形成的全過程，能描述1弧度角的概念，達成理解弧度制這一目標．這一過程不僅有利于學生逐漸養成一般性思考問題的習慣和在學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題，而且可以逐步培養培養學生直觀想象和數學抽象的核心素養。
（3）學生在經歷“周期現象—圓周運動—單位圓上點的旋轉運動”的抽象活動中，明確研究的問題（單位圓⊙O上的點P以A為起點作旋轉運動，建立一個數學模型，刻畫點P的位置變化情況），使研究對象簡單化、本質化；學生能分析單位圓上點的旋轉中涉及的量及其相互關系，獲得對應關系并抽象出三角函數概念；能根據定義求給定角的三角函數值。
（4）學生能利用定義以及單位圓上點的橫、縱坐標之間的關系，發現并提出“同角三角函數的基本關系”，并能用于三角恒等變換。
（5）學生能利用誘導公式進行化簡、計算和證明.特別是在遇到比較復雜的問題時，能根據運算對象的特點，選擇依據的公式，確定合適的求解方案，并能正確求解．在解題的基礎上，能概括出利用誘導公式求解的一般程序。
（6）學生能先根據正弦函數的定義繪制一個點，再繪制正弦函數在一個周期內的圖象，最后通過平移得到正弦函數的圖象；能說出正弦函數圖象的特點，并能用五點法繪制正弦函數的圖象。
（7）學生能利用正弦函數和余弦函數的圖象，得到其周期性、奇偶性、單調性、最值等性質，并給予代數證明；能利用正弦函數和余弦函數的性質解決有關的問題。
（8）能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題；會利用奇偶性和周期性畫出正切曲線。
（9）理解兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之間的內在聯系；能夠熟練應用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法。
（10）了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對三角函數式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應用。
（11）借助信息技術呈現質點的勻速圓周運動變化過程以及質點運動規律的函數表示，能結合實驗操作說明參數對函數圖象的影響，并能從圖象上任意一點的坐標變化判斷函數圖象的變換過程；能準確解釋函數解析式的變化與相應函數圖象的變換之間的內在聯系；能根據函數在一個周期內的零點、最小值點和最大值點畫出函數的簡圖。
（12）會將實際問題抽象為三角函數模型，將實際問題轉化為數學問題進行解答。
三、單元教學問題診斷分析：
1.學習本單元學生已具備的學習基礎：
通過初中的學習，學生對角的認知基礎是：角的范圍在0°～360°，高中階段首先將推廣到了任意角。三角函數概念的學習，其認知基礎是函數的一般觀念以及對冪函數、指數函數和對數函數的研究經驗，另外還有圓的有關知識。這些認知準備對于分析“周而復始”變化現象中涉及的量及其關系、認識其中的對應關系并給出定義等都能起到思路引領作用。學生之前擁有豐富的繪制函數圖象的經驗，但是利用定義的幾何意義繪制函數圖象是第一次，因此在思維習慣上存在障礙。教學時要給予充分的引導，特別強調要準確地繪制出函數的圖象這一要求，讓學生感受到這種做法的困難，然后從三角函數的定義上分析點的坐標的幾何意義，讓學生真正理解。 簡單的三角恒等變換位于三角函數與數學變換的結合點上，能較好反應三角函數及變換之間的內在聯系和相互轉換，本節課內容的地位體現在它的基礎性上，作用體現在它的工具性上。學生通過學習已經掌握了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通過這些公式進行求值、化簡、證明，雖然學生已經具備了一定的推理、運算能力，但在數學的應用意識與應用能力方面尚需進一步培養，故在研究參數對函數圖象的影響時，學生需利用已有的數學經驗遵循從特殊到一般、具體到抽象的過程，同時借助信息技術快速準確地畫圖，直觀呈現各要素運動變化之間的關聯性，突破教學難點。
2.從已有基礎到目標學生可能遇到的障礙：
學生的第一個學習難點應該是對角的概念的推廣，就象數系的擴充與推廣一樣，從自然數到整數，整數到有理數，有理數到實數，實數到復數，等等，每一次擴充與推廣都與學生以前的認知產生矛盾，原本對前面知識的認識與接受可能就經歷了不平凡的過程，這就使得打破學生認知的定勢難上加難。第二個學習難點是對“0°～90°的角”“第一象限角”“銳角”“小于90°的角”這些概念之間關系的認識。生硬地記憶弧度制的概念及形式化地運用公式進行計算是容易的，但真正理解為什么引入弧度制，如何定義1弧度有一定難度的。前面學習的基本初等函數，涉及的量（常量與變量）較少，解析式都有明確的運算含義，而三角函數中，影響單位圓上點的坐標變化的因素較多，對應關系不以“代數運算”為媒介，是“與直接對應”學生在理解誘導公式時，總是有思維定勢，以為是銳角，于是導致解題時，通過角所在象限判斷誘導公式的符號出錯。 在研究正弦函數、余弦函數的性質時，利用圖象獲得性質容易，但是進行代數論證比較困難，為此，首先要培養學生的代數說理習慣，其次要給予完整的代數論證過程，還要采取具體化的方法進行說明，即選擇圖象上一個點，通過這個點的變化說明圖象的變換，并滲透換元轉化的思想方法.簡車運動模型的背景比較復雜，綜合性強，需要有較強的數學建模能力，這是學生所欠缺的。
3.教學難點
將0°到360°范圍的角擴充到任意角，終邊相同的角；在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能進行角度制與弧度制的互化；三角函數的定義，誘導公式的有效識記和應用；掌握準確繪制函數圖象一個點的方法，并由此繪制出正弦函數的圖象；對三角函數性質的理解；畫出正切曲線、能夠應用正切曲線和性質解決相關問題；求值過程中角的范圍分析及角的變換；發現兩角和（差）的三角函數與圓的旋轉對稱性間的聯系；認識三角恒等變換的特點，并能解決一些三角恒等變換的問題；參數對函數圖象的影響；從正弦曲線經過圖象變換得到函數的圖象；用三角函數模型解決一些具有周期變化規律的實際問題。
四、單元教學支持條件分析：
我們可以借助信息技術工具（如GeoGebra）動態地展示這些終邊相同角之間的聯系與區別，讓學生們從形上對這些角有一個很好的直觀感受。借助信息技術，讓學生觀察任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點坐標是否唯一，從而為理解三角函數的對應關系奠定基礎。利用幾何畫板，動態分析，可以很容易地建立單位圓上點的橫坐標、縱坐標、角、弧之間的聯系，并且可以在角的變化過程中進行觀察，發現其中的規律性，所以，信息技術可以幫助學生更好地理解三角函數的本質。繪制正弦函數圖象的關鍵是準確地繪制圖象上的一個點，為此可讓學生用“手工細線纏繞”法，使用自制教具完成、也可以利用信息技術完成。后續讓學生描出其他的點，并連線描出正弦函數在一個周期內的圖象時。以教師授與學生互動為主采用實例歸納、自主探究、合作交流等方法。教學中通過列舉例子，引導學生進行討論和交流，并通過創設情境，讓學生自主探索三角函數的圖像與性質。還可以利用網絡平臺讓學生交流閱讀，培養學生主動學習的習慣，提高閱讀與理解，合作與交流的能力。
課時教學設計：
本單元教學共需13課時，各課時安排如下：
第1課時：任意角（落實目標（1））；
第2課時：弧度制（落實目標（2））；
第3課時：三角函數的概念（落實目標（3））；
第4課時：同角三角函數的基本關系（落實目標（4））；
第5課時：誘導公式（落實目標（5））；
第6課時：正弦函數、余弦函數的圖象（落實目標（6））；
第7課時：正弦函數、余弦函數的性質（落實目標（7））；
第8課時：正切函數的性質與圖像（落實目標（8））
第9課時：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（落實目標（9））；
第10課時：簡單的三角恒等變換（落實目標（10））；
第11課時：函數（落實目標（11））；
第12課時：三角函數的應用（落實目標（12））；
第13課時：本章復習（落實目標（1-12）。
5.1.1任意角 教學設計（人教A版）
學生在初中學習了～，但是現實生活中隨處可見超出～范圍的角.例如體操中有“前空翻轉體”，且主動輪和被動輪的旋轉方向不一致.因此為了準確描述這些現象，本節課主要就旋轉度數和旋轉方向對角的概念進行推廣.
課程目標
1.了解任意角的概念.
2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義．
3.掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．
數學學科素養
1.數學抽象：理解任意角的概念，能區分各類角；
2.邏輯推理：求區域角；
3.數學運算：會判斷象限角及終邊相同的角.
重點：理解象限角的概念及終邊相同的角的含義；
難點：掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．
教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。
教學工具：多媒體。
情景導入
初中對角的定義是：射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉一周回到起始位置，在這個過程中可以得到～范圍內的角.但是現實生活中隨處可見超出～范圍的角.例如體操中有“前空翻轉體”，且主動輪和被動輪的旋轉方向不一致.請學生思考，如何定義角才能解決這些問題呢？
要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.
二、預習課本，引入新課
閱讀課本168-170頁，思考并完成以下問題
1．角的概念推廣后，分類的標準是什么？
2．如何判斷角所在的象限？
3．終邊相同的角一定相等嗎？如何表示終邊相同的角？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。
三、新知探究
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面內一條 射線 繞著端點從一個位置 旋轉 到另一個位置所成的 圖形 ．
(2)角的表示
如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．
(3)角的分類
按旋轉方向，角可以分為三類：
名稱 定義 圖示
正角 按 逆時針 方向旋轉形成的角
負角 按 順時針 方向旋轉形成的角
零角 一條射線沒有作任何旋轉形成的角
2．象限角
在平面直角坐標系中，若角的頂點與 原點 重合，角的始邊與 x軸的非負半軸重合，那么，角的 終邊 在第幾象限，就說這個角是第幾 象限角 ；如果角的終邊 在坐標軸 上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
3．終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與 整數個周角 的和．
四、典例分析、舉一反三
題型一 任意角和象限角的概念
例1 　(1)給出下列說法：
①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說法的序號為________(把正確說法的序號都寫上)．
(2)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．
①420°，②855°，③－510°.
【答案】（1）① （2）圖略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．
【解析】(1)①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；
②－350°角是第一象限角，但它是負角，所以②錯誤；
③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯誤；
④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯誤．
(2)　作出各角的終邊，如圖所示：
由圖可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
解題技巧：（任意角和象限角的表示）
1．判斷角的概念問題的關鍵與技巧．
(1)關鍵：正確的理解角的有關概念，如銳角、平角等；
(2)技巧：注意“旋轉方向決定角的正負，旋轉幅度決定角的絕對值大小．
2．象限角的判定方法．
(1)圖示法：在坐標系中畫出相應的角，觀察終邊的位置，確定象限．
(2)利用終邊相同的角：第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；
第二步，判斷β的終邊所在的象限；
第三步，根據β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．
跟蹤訓練一
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關系正確的是(　　)
A．A＝B＝C　 B．A C
C．A∩C＝B D．B∪C C
【答案】D
【解析】由已知得B C，所以B∪C C，故D正確．
2．給出下列四個命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以這四個命題都是正確的．
題型二 終邊相同的角的表示及應用
例2　(1)將－885°化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)寫出與α＝－910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°＜β＜360°的元素β寫出來．
【答案】（1）(－3)×360°＋195°， （2）終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，適合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.
【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.
(2)與α＝－910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，
∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，
∴k取1，2，3.
當k＝1時，β＝360°－910°＝－550°；
當k＝2時，β＝2×360°－910°＝－190°；
當k＝3時，β＝3×360°－910°＝170°.
解題技巧：(終邊相同的角的表示)
1．在0°到360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法
(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．
(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續加360°的方式；當所給角是正角時，采用連續減360°的方式，直到所得結果達到所求為止．
2．運用終邊相同的角的注意點
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運用時需注意以下四點：
(1)k是整數，這個條件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍．
跟蹤訓練二
1.下面與－850°12′終邊相同的角是(　　)
A．230°12′　　 B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
【答案】B
【解析】與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當k＝3時，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
2．寫出角α的終邊落在第二、四象限角平分線上的角的集合為________．
【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
【解析】落在第二象限時，表示為k·360°＋135°.落在第四象限時，表示為k·360°＋180°＋135°，故可合并為{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
題型三 任意角終邊位置的確定和表示
例3 (1)若α是第一象限角，則是(　　)
A．第一象限角 B．第一、三象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
(2)已知，如圖所示．
①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；
②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．
【答案】(1)B (2) ①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②故該區域可表示為{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
【解析】(1)　因為α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，當k為偶數時，為第一象限角；當k為奇數時，為第三象限角．所以是第一、三象限角．
(2)　①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區域可表示
為{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
解題技巧：（任意角終邊位置的確定和表示）
1．表示區間角的三個步驟：
第一步：先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界；
第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區間角集合．
提醒：表示區間角時要注意實線邊界與虛線邊界的差異．
2．或所在象限的判斷方法：
(1)用不等式表示出角或的范圍；
(2)用旋轉的觀點確定角或所在象限．
跟蹤訓練三
1．如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分的角的集合如何表示？
【答案】角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β【解析】在0°～360°范圍內，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝
{β|n·180°＋60°≤β故角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β五、課堂小結
讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧
六、板書設計
七、作業
課本171頁練習及175頁習題5.1 1、2、7題.
5.1.2弧度制 教學設計（人教A版）
前一節已經學習了任意角的概念，而本節課主要依托圓心角這個情境學習一種用長度度量角的方法—弧度制，從而將角與實數建立一一對應關系，為學習本章的核心內容—三角函數掃平障礙，打下基礎.
課程目標
1.了解弧度制,明確1弧度的含義.
2.能進行弧度與角度的互化.
3.掌握用弧度制表示扇形的弧長公式和面積公式.
數學學科素養
1.數學抽象：理解弧度制的概念；
2.邏輯推理：用弧度制表示角的集合；
3.直觀想象：區域角的表示；
4.數學運算：運用已知條件處理扇形有關問題.
重點：弧度制的概念與弧度制與角度制的轉化；
難點：弧度制概念的理解．
教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。
教學工具：多媒體。
情景導入
度量單位可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質量可以用千克、磅等不同的單位制，不同的單位制能給解決問題帶來方便.角的度量是否也可以用不同的單位制呢？能否像度量長度那樣，用十進制的實數來度量角的大小呢？
要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.
二、預習課本，引入新課
閱讀課本172-174頁，思考并完成以下問題
1． 1弧度的含義是？
2．角度值與弧度制如何互化？
3．扇形的弧長公式與面積公式是？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。
三、新知探究
1．度量角的兩種單位制
(1)角度制
①定義：用 度 作為單位來度量角的單位制．
②1度的角：周角的．
(2)弧度制
①定義：以 弧度 作為單位來度量角的單位制．
②1弧度的角：長度等于 半徑長 的弧所對的圓心角．
2．弧度數的計算
3.角度制與弧度制的轉算
4．一些特殊角與弧度數的對應關系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度 0 π 2π
5．扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則：
(1)弧長公式：l＝ ．
(2)扇形面積公式：S＝ ＝ ．
四、典例分析、舉一反三
題型一 角度制與弧度制的互化
例1 　把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.
【答案】（1）－ rad；(2) 18°；(3) －240°；(4) rad.
【解析】(1)－450°＝－450× rad＝－ rad；
(2) rad＝×°＝18°；
(3)－ rad＝－×°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.
解題技巧：（角度制與弧度制轉化的要點）
跟蹤訓練一
1．將下列角度與弧度進行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
【答案】（1） rad；（2）－ rad；（3）105°；（4）－396°.
【解析】(1)20°＝ rad＝ rad.
(2)－15°＝－ rad＝－ rad.
(3) rad＝×180°＝105°.
(4)－ rad＝－×180°＝－396°.
題型二 用弧度制表示角的集合
例2　用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界，如圖所示)．
【答案】（1）；
（2）；（3）.
【解析】用弧度制先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區域角，
(1).
(2).
(3).
解題技巧：(表示角的集合注意事項)
1．弧度制下與角α終邊相同的角的表示．
在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數倍．
2．根據已知圖形寫出區域角的集合的步驟．
(1)仔細觀察圖形．
(2)寫出區域邊界作為終邊時角的表示．
(3)用不等式表示區域范圍內的角．
提醒：角度制與弧度制不能混用.
跟蹤訓練二
1．如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界)．
①　　　　 　②
【答案】(1).
(2).
【解析】(1)如題圖①，以OA為終邊的角為＋2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為－＋2kπ(k∈Z)，
所以陰影部分內的角的集合為
.
(2)如題圖②，以OA為終邊的角為＋2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為＋2kπ(k∈Z)．
不妨設右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，
則M1＝，M2＝.
所以陰影部分內的角的集合為
M1∪M2＝.
題型三 扇形的弧長與面積問題
例3一個扇形的周長為20，則扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形面積最大？
【答案】當扇形半徑r＝5，圓心角為2 rad時，扇形面積最大．
【解析】設扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l，則l＝αr，
依題意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝.
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r
＝－(r－5)2＋25(0∴當r＝5時，扇形面積最大為S＝25.此時l＝10，α＝2，
故當扇形半徑r＝5，圓心角為2 rad時，扇形面積最大．
解題技巧：（弧度制下解決扇形相關問題的步驟）
(1)明確弧長公式和扇形的面積公式：l＝|α|r，S＝|α|r2和S＝lr.(這里α必須是弧度制下的角)
(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式．
(3)根據條件列方程(組)或建立目標函數求解．
跟蹤訓練三
1、已知某扇形的圓心角為80°,半徑為6 cm,則該圓心角對應的弧長為(　　)
A.480 cm B.240 cm C
【答案】C
【解析】:80°=×80=,
又r=6 cm,故弧長l=αr=×6=(cm).
2、如圖,已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長為6,求弓形ACB的面積.
【答案】12π-9
【解析】S扇形AOB=×62=12π,
S△AOB=×6×6×sin 60°=9,
故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9.
五、課堂小結
讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧
六、板書設計
七、作業
課本175頁練習及175頁習題5.1.
本節課主要采用講練結合與分組探究的教學方法，讓學生通過角度制與弧度制的轉化將角與實數建立一一對應關系，切記：角度和弧度不可同時出現.
5.2 三角函數的概念教學設計
　一、內容和內容解析
　　1.內容
　　三角函數的概念；三角函數的基本性質：三角函數值的符號、誘導公式一、同角三角函數的基本關系．
　　本單元的知識結構：
　　本單元建議用3課時：第一課時，三角函數的概念；第二課時，三角函數的基本性質；第三課時，概念和性質的簡單應用．
　　2.內容解析
　　三角函數是一類最典型的周期函數，是解決實際問題的重要工具，是學習數學和物理、天文等其他學科的重要基礎．
　　傳統上，人們習慣把三角函數看成是銳角三角函數的推廣，利用象限角終邊上點的坐標比定義三角函數．由于這一定義方法出自歐拉，因此更顯出它的權威性．然而，銳角三角函數的研究對象是三角形，是三角形中邊與角的定量關系（三角比）的反映；而任意角三角函數的現實背景是周期變化現象，是“周而復始”變化規律的數學刻畫．如果以銳角三角函數為基礎進行推廣，那么三角函數概念發生發展過程的完整性將受到破壞．因此，整體上，任意角三角函數知識體系的建立，應與其他基本初等函數類似，強調以周期變化現象為背景，構建從抽象研究對象（即定義三角函數概念）到研究它的圖象、性質再到實際應用的過程，與銳角三角函數的聯系可以在給出任意角三角函數定義后再進行考察．
　　一般地，概念的形成應按“事實—概念”的路徑，即學生要經歷“背景—研究對象—對應關系的本質—定義”的過程．本單元的學習中，學生在經歷這個過程而形成三角函數概念的同時，“順便”就可得到值域、函數值的符號、誘導公式一及同角三角函數的基本關系等性質．
　　根據上述分析，確定本單元的教學重點是：正弦函數、余弦函數、正切函數的定義，誘導公式一，同角三角函數的基本關系．其中，正弦函數、余弦函數的定義是重中之重．
　　二、目標和目標解析
　　1.目標
　　（1）了解三角函數的背景，體會三角函數與現實世界的密切聯系；
　　（2）經歷三角函數概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，發展數學抽象素養；
　　（3）掌握三角函數值的符號；
　　（4）掌握誘導公式一，初步體會三角函數的周期性；
　　（5）理解同角三角函數的基本關系式：，體會三角函數的內在聯系性，通過運用基本關系式進行三角恒等變換，發展數學運算素養．
　　2.目標解析
　　達成上述目標的標志是：
　　（1）學生能像了解線性函數、反比例函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數的現實背景那樣，知道三角函數是刻畫現實世界中“周而復始”變化規律的數學工具，能體會到勻速圓周運動在“周而復始”變化現象中的代表性．
　　（2）學生在經歷“周期現象—圓周運動—單位圓上點的旋轉運動”的抽象活動中，明確研究的問題（單位圓⊙O上的點P以A為起點作旋轉運動，建立一個數學模型，刻畫點P的位置變化情況），使研究對象簡單化、本質化；學生能分析單位圓上點的旋轉中涉及的量及其相互關系，獲得對應關系并抽象出三角函數概念；能根據定義求給定角的三角函數值．
　　（3）學生能根據定義得出三角函數在各象限取值的符號規律．
　　（4）學生能根據定義，結合終邊相同的角的表示，得出誘導公式一，并能據此描述三角函數周而復始的取值規律，求某些角（特殊角）的三角函數值．
　　（5）學生能利用定義以及單位圓上點的橫、縱坐標之間的關系，發現并提出“同角三角函數的基本關系”，并能用于三角恒等變換．
　　三、教學問題診斷分析
　　三角函數概念的學習，其認知基礎是函數的一般觀念以及對冪函數、指數函數和對數函數的研究經驗，另外還有圓的有關知識．這些認知準備對于分析“周而復始”變化現象中涉及的量及其關系、認識其中的對應關系并給出定義等都能起到思路引領作用．然而，前面學習的基本初等函數，涉及的量（常量與變量）較少，解析式都有明確的運算含義，而三角函數中，影響單位圓上點的坐標變化的因素較多，對應關系不以“代數運算”為媒介，是“α與x，y直接對應”，無須計算．雖然α，x，y都是實數，但實際上是“幾何元素間的對應”．所以，三角函數中的對應關系，與學生的已有經驗距離較大，由此產生第一個學習難點：理解三角函數的對應關系，包括影響單位圓上點的坐標變化的因素分析，以及三角函數的定義方式的理解．
　　為了破除學生在“對應關系”認識上的定勢，幫助他們搞清三角函數的“三要素”，應該根據一般函數概念引導下的“下位學習”的特點，先讓學生明確“給定一個角，如何得到對應的函數值”的操作過程，然后再下定義，這樣不僅使三角函數定義的引入更自然，而且由三角函數對應關系的獨特性，可以使學生再一次認識函數的本質．具體的，可讓學生先完成“給定一個特殊角，求它的終邊與單位圓交點坐標”的任務．例如“當時，找出相應點P的坐標”并讓學生明確點P的坐標的唯一確定性，再借助信息技術，讓學生觀察任意給定一個角α∈R，它的終邊與單位圓的交點坐標是否唯一，從而為理解三角函數的對應關系奠定基礎．利用信息技術，可以很容易地建立單位圓上點的橫坐標、縱坐標、角、弧之間的聯系，并且可以在角的變化過程中進行觀察，發現其中的規律性．所以，信息技術可以幫助學生更好地理解三角函數的本質．
　　對于定義“設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做α的正弦函數，記作sinα，即y= sinα；x叫做α的余弦函數，記作cosα，即x= cosα”，可以通過如下幾點幫助學生理解：
　　第一，α是一個任意角，同時也是一個實數（弧度數），所以“設α是一個任意角”的意義實際上是“對于R中的任意一個數”；
　　第二，“它的終邊與單位圓交于點P(x，y)”，實際上給出了兩個對應關系，即
　　（1）實數α（弧度）對應于點P的縱坐標y，
　　（2）實數α（弧度）對應于點P的橫坐標x，
　　其中y，x∈[－1，1]．因為對于R中的任意一個數α，它的終邊唯一確定，所以交點P(x，y)也唯一確定，也就是縱坐標y和橫坐標x都由α唯一確定，所以對應關系（1）（2）分別確定了一個函數，這是理解三角函數定義的關鍵．
　　第三，引進符號sinα，cosα分別表示“α的終邊與單位圓交點的縱坐標”、“α的終邊與單位圓交點的橫坐標”，于是：對于任意一個實數α，按對應關系（1），在集合B={z|－1≤z≤1}中都有唯一確定的數sinα與之對應；按對應關系（2），在集合B中都有唯一確定的數cosα與之對應．所以，sinα，cosα都是一個由α所唯一確定的實數．
　　這里，對符號sinα，cosα和tanα的認識是第二個難點．可以通過類比引進符號logab表示ax=b中的x，說明引進這些符號的意義．
　　本單元的第三個學習難點是對三角函數內在聯系性的認識．出現這個難點的主要原因在于三角函數聯系方式的特殊性，學生在已有的基本初等函數學習中沒有這種經驗，以及學生從聯系的觀點看問題的經驗不足，對“如何發現函數的性質”的認識不充分等而導致的發現和提出性質的能力不強．為此，教學中應在思想方法上加強引導。例如，可以通過問題：“對于給定的角α，點P（cosα，sinα）是α的終邊與單位圓的交點，而tan α則是點P的縱坐標與橫坐標之比，因此這三個函數之間一定有內在聯系．你能從定義出發，研究一下它們有怎樣的聯系嗎？”引導學生探究同角三角函數基本關系。
　　四、教學支持條件分析
　　為了加強學生對單位圓上點的坐標隨角（圓心角）的變化而變化的直觀感受，需要利用信息技術工具建立任意角、角的終邊與單位圓的交點、角的旋轉量、交點坐標等之間的關聯．教學中，可以動態改變角α的終邊OP(P為終邊與單位圓的交點)的位置，引導學生觀察OP位置的變化所引起的點P坐標的變化規律，感受三角函數的本質，同時感受終邊相同的角具有相同的三角函數值，以及各三角函數在各象限中符號的變化情況．
　　五、教學過程設計
　　第一課時　5.2.1 三角函數的概念
　　（一）課時教學內容
　　三角函數的概念．
　　（二）課時教學目標
　　經歷三角函數概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，發展數學抽象素養．
　　（三）教學重點與難點
　　重點：三角函數的定義．
　　難點：對三角函數概念的抽象過程及定義的理解．
　　（四）教學過程設計
　　說明：三角函數概念的學習，應在一般函數概念的指導下，按“概念形成”的方式展開，即要安排“情境—共性歸納—定義—辨析—簡單應用”的過程．由于周期現象的復雜性，還需要通過適當的引導，把問題進行簡化進而歸結到對單位圓上點的運動規律的研究．
　　1．創設情境，明確背景
　　引導語：我們知道，現實世界中存在著各種各樣的“周而復始”變化現象，圓周運動是這類現象的代表．如圖5.2-1，⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉．在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角α的大小變化刻畫點P的位置變化．又由于根據弧度制的定義，角α的大小與⊙O的半徑無關，因此，不失一般性，我們可以先研究單位圓上點的運動．現在的任務是：
　　如圖5.2-1，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個函數模型，刻畫點P的位置變化情況．
　　
　　
　　問題1：根據已有的研究函數的經驗，你認為我們可以按怎樣的路徑研究上述問題？
　　師生活動：學生在獨立思考的基礎上進行交流，通過討論后得出研究路徑是
　　明確研究背景—對應關系的特點分析—下定義—研究性質．
　　設計意圖：明確研究的內容、過程和基本方法，為具體研究指明方向．
　　2．分析具體事例，歸納共同特征
　　引導語：下面我們利用直角坐標系來研究上述問題．如圖5.2-2，以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為(1，0)，點P的坐標為(x，y)．射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉角α，終止位置為OP．
　　
　　
　　問題2：當時，點P的坐標是什么？點P的坐標又是什么？它們是唯一確定的嗎？
　　一般地，任意給定一個角α，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標能唯一確定嗎？
　　
　　
　　（4）利用信息技術，任意畫一個角α，觀察它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，你有什么發現？你能用函數的語言刻畫這種對應關系嗎？（對于R中的任意一個角α，它的終邊OP與單位圓交點為P(x，y)，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的．這里有兩個對應關系：
　　f：實數α（弧度）對應于點P的縱坐標y，
　　g：實數α（弧度）對應于點P的橫坐標x．
　　根據上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是從集合R到集合[－1，1]的函數．）
　　設計意圖：以函數的對應關系為定向，從特殊到一般，使學生確認相應的對應關系滿足函數的定義，角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是圓心角α（弧度）的函數，為給出三角函數的定義做好準備．
　　3．任意角三角函數的定義與辨析
　　問題3：請同學們先閱讀教科書第178~179頁，再回答如下問題：
　　（1）正弦函數、余弦函數和正切函數的對應關系各是什么？
　　（2）符號sinα，cosα和tanα分別表示什么？在你以往的學習中有類似的引入特定符號表示一種量的經歷嗎？
　　（3）為什么說當時，tanα的值是唯一確定的？
　　（4）為什么說正弦函數、余弦函數的定義域是R？而正切函數的定義域是？
　　師生活動：學生獨立閱讀課文，再舉手回答上述問題．
　　設計意圖：在問題引導下，通過閱讀教科書、辨析關鍵詞等，使學生明確三角函數的“三要素”；引導學生類比已有知識（引入符號表示中的x），理解三角函數符號的意義．
　　4．任意角三角函數與銳角三角函數的聯系
　　問題5 ：在初中我們學了銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數．設，把按銳角三角函數定義求得的銳角x的正弦記為y1，并把按本節三角函數定義求得的x的正弦記為z1．y1與z1相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結論嗎？
　　師生活動：教師引導學生作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再將它放入直角坐標系中，使點A與原點重合，AC在x軸的正半軸上，得出y1=z1的結論．
　　設計意圖：建立銳角三角函數與任意角三角函數的聯系，使學生體會兩個定義的和諧性．
　　5．任意角三角函數概念的理解
　　例1利用三角函數的定義求的正弦、余弦和正切值．
　　師生活動：先由學生發言，再總結出從定義出發求三角函數值的基本步驟，并得出答案．
　　設計意圖：通過概念的簡單應用，明確用定義求三角函數值的基本步驟，進一步理解定義的內涵．
　　練習：在例1之后進行課堂練習：
　　（1）利用三角函數定義，求π，的三個三角函數值．
　　（2）說出幾個使cosα＝1的α的值．
　　師生活動：由學生逐題給出答案，并要求學生說出解答步驟，最后可以總結為“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數）”．
　　設計意圖：檢驗學生對定義的理解情況．
　　例2　如圖5.2-4，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為(x，y)，點P與原點的距離為r．求證：
　　師生活動：給出問題后，教師可以引導學生思考如下問題，再讓學生給出證明：
　　（1）你能根據三角函數的定義作圖表示出sinα，cosα嗎？圖5.2-4
　　（2）在你所作出的圖形中，各表示什么，你能找到它們與任意角α的三角函數的關系嗎？
　　
　　
　　設計意圖：通過問題引導，使學生找到△OMP，△OM0P0，并利用它們的相似關系，根據三角函數的定義得到證明．
　　追問：例2實際上給出了任意角三角函數的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價的．你能用嚴格的數學語言敘述一下這種定義嗎？
　　師生活動：可以由幾個學生分別給出定義的表述，在交流的基礎上得出準確的定義．
　　設計意圖：加深學生對三角函數定義的理解．
　　練習：在例2之后進行課堂練習：
　　（3）已知點P在半徑為2的圓上按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為1rad/s．求2 s時點P所在的位置．
　　師生活動：由學生獨立完成后，讓學生代表展示作業．
　　設計意圖：三角函數是刻畫勻速圓周運動的數學模型，通過練習使學生從另一個角度理解三角函數的定義．
　　6．目標檢測設計（一）
　　（1）利用三角函數定義，求的三個三角函數值．
　　（2）已知角θ的終邊過點P(－12，5)，求角θ的三個三角函數值．
　　設計意圖：考查學生對三角函數定義的理解情況．
　　第二課時　5.2.2 同角三角函數的基本關系
　　（一）課時教學內容
　　三角函數值的符號；誘導公式一；同角基本關系式．
　　（二）課時教學目標
　　（1）掌握三角函數值的符號；
　　（2）掌握誘導公式一，初步體會三角函數的周期性；
　　（3）理解同角三角函數的基本關系式：sin2x + cos2x = 1，，體會三角函數的內在聯系性．
　　（三）教學重點與難點
　　重點：誘導公式一和同角基本關系式．
　　難點：通過誘導公式一和同角基本關系式，體會三角函數的周期性與三角函數的內在聯系性．
　　（四）教學過程設計
　　引導語：前面學習了三角函數的定義，根據已有的學習函數的經驗，你認為接下來應研究三角函數的哪些問題？
　　師生活動：先由學生發言．一般而言，學生會直接把問題指向“圖象與性質”．教師可以在肯定學生想法的基礎上，指出三角函數的特殊性：
　　因為單位圓上點的坐標或坐標比值就是三角函數，而單位圓具有對稱性，這種對稱性反映到三角函數的取值規律上，就會呈現出比冪函數、指數函數和對數函數等更豐富的性質．例如，我們可以從定義出發，結合單位圓的性質直接得到一些三角函數的性質．
　　設計意圖：明確研究的問題和思考方向．一般地，學生不習慣于借助單位圓的性質研究三角函數的性質，所以需要教師的講解和引導．
　　問題1：由三角函數的定義以及任意角α的終邊與單位圓交點所在的象限，你能發現正弦函數、余弦函數和正切函數的值的符號有什么規律嗎？如何用集合語言表示這種規律？
　　師生活動：由學生獨立完成．用集合語言表示的結果是：
　　當α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}時，sinα＞0；當α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}時，sinα＜0；當α∈{β|β=kπ，k∈Z}時，sinα=0．其他兩個函數也有類似結果．
　　設計意圖：在直角坐標系中標出三角函數值的符號規律不難，可由學生獨立完成．用集合語言表示，可以復習象限角、終邊相同的角的集合表示等．
　　例3求證：角θ為第三象限角的充要條件是
　　
　　
　　師生活動：先引導學生明確問題的條件和結論，再由學生獨立完成證明．
　　設計意圖：通過聯系相關知識，培養學生的推理論證能力．
　　問題2 ：聯系三角函數的定義、象限角以及終邊相同的角的表示，你有發現什么？
　　師生活動：學生在問題引導下自主探究，發現誘導公式一．
　　追問：（1）觀察誘導公式一，對三角函數的取值規律你有什么進一步的發現？它反映了圓的什么特性？
　　（2）你認為誘導公式一有什么作用？
　　設計意圖：引導學生通過建立相關知識的聯系發現誘導公式一及其體現的三角函數周期性取值的規律，這是“單位圓上的點繞圓周旋轉整數周仍然回到原來位置”的特征的反映．利用公式一可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0~2π角的三角函數值．同時，由公式一可以發現，只要討論清楚三角函數在區間[0，2π]上的性質，那么三角函數在整個定義域上的性質就清楚了．在此過程中，可以培養學生用聯系的觀點看待問題，發展直觀想象等素養．
　　問題3：誘導公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數的值相等．因為三個三角函數的值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標所唯一確定的，所以它們之間一定有內在聯系．那么，終邊相同的角的三個三角函數之間有什么關系呢？
　　師生活動：教師引導學生討論，利用公式一，可以把問題轉化為“同一個角的三個三角函數之間的關系”．然后讓學生自主探究，得出“同角三角函數的基本關系”．
　　設計意圖：“終邊相同的角的三個三角函數的值都由單位圓上同一點的坐標所唯一確定，它們之間一定有內在聯系”是發現問題的關鍵思想；由“終邊相同的角的同一三角函數的值相等”引出“終邊相同的角的不同三角函數之間有什么關系”的問題，再轉化為“同一個角的三個三角函數之間關系”的研究，可以培養學生發現和提出問題的能力．借助單位圓上點的坐標的意義，由三角函數定義可以直接得出“同角三角函數的基本關系”．
　　問題4：總結上述研究過程，你能說說我們是從哪些角度入手發現三角函數性質的？你認為還可以從哪些方面入手研究三角函數的性質？
　　師生活動：先由學生獨立思考、交流討論，再由教師幫助學生總結．
　　設計意圖：引導學生歸納三角函數性質的表現方式，培養學生的“數學的眼光”．借助單位圓，從三角函數的定義出發，我們從三角函數值的符號規律、終邊相同的角的三角函數的關系入手發現了誘導公式一和同角三角函數的基本關系．自然而然地，我們還可以研究“終邊不同的角的三角函數有什么關系”，結合圓的對稱性，容易把研究方向指向“終邊具有軸對稱關系”“終邊具有中心對稱關系”或“終邊具有某種特殊對稱關系（如關于直線y=x對稱）”的角的三角函數的關系，這就是下一單元要研究的誘導公式二~五．這是三角函數“與眾不同”的性質．
　　第三課時　5.2.3三角函數概念和基本性質的簡單應用
　　（一）課時教學內容
　　三角函數概念和基本性質的簡單應用．
　　（二）課時教學目標
　　通過對三角函數概念和基本性質的實際應用，加強對三角函數概念和基本性質的理解，發展數學運算素養．
　　（三）教學重點與難點
　　重點：運用基本關系式進行三角恒等變換．
　　難點：靈活運用三角函數的基本性質進行三角恒等變換．
　　（四）教學過程設計
　　引導語：前面學習了三角函數的定義，由定義，結合單位圓的性質，我們發現了三角函數的一些“與眾不同”的性質．下面我們利用這些知識解決一些問題．
　　1．例題
　　例4確定下列三角函數值的符號，然后用計算器驗證：
　　
　　例5求下列三角函數值：
　　
　　例6
　　例7求證：
　　師生活動：以上都是教科書中的例題，難度不大，可以由學生獨立完成，并作課堂展示．教師可以鼓勵學生采用不同的變形方法得出答案．在用計算器驗證時，提醒學生注意角度制的設置．
　　對于例6，在學生給出答案后，應該要求學生總結解題步驟，明確這類題目應該先根據條件判斷角所在的象限，確定各三角函數值的符號，再利用基本關系求解．在此基礎上，可以讓學生歸納用同角三角函數的基本關系求值的問題類型．
　　例7實際上是sin2x+cos2x=1的變形，采用分析法、綜合法都可以證明，還可以從不同方向進行推導．可以要求學生至少給出兩種證明方法．
　　設計意圖：提高對三角函數基本性質的理解水平，通過靈活運用性質的訓練，提升數學運算素養．
　　2．課堂練習
　　（1）教科書第183頁練習第1，2題；
　　（2）教科書第185頁練習第1，2，4（1）（2）題．
　　師生活動：上述題目都比較簡單，學生解答完成后，公布答案自我檢查即可．
　　設計意圖：檢驗學生對定義的理解情況，通過應用三角函數的基本性質解決一些簡單問題，進一步理解這些性質．
　　3．布置作業
　　教科書習題5.2第1，2，4，7，8，13，14，18題．
　　4．目標檢測設計（二）
　　（1）已知，求α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并求tanα的值．
　　設計意圖：考查三角函數的定義．
　　（2）求下列三角函數的值：
　　設計意圖：考查誘導公式一，特殊角的三角函數值．
　　（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是，說出幾個滿足條件的角α．
　　設計意圖：考查正弦函數的定義，誘導公式一．
　　（4）點P（3a，4a）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？
　　設計意圖：考查三角函數的定義，數學推理的嚴密性．
　　（5）對于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0與⑥tan θ＜0，選擇恰當的關系式序號填空：
　　角θ為第二象限角的充要條件是；
　　角θ為第三象限角的充要條件是．
　　設計意圖：考查三角函數值的符號規律．
　　（6）
　　設計意圖：考查同角三角函數的基本關系．
　　（7）求證：tan2α－sin2α=tan2αsin2α．
　　設計意圖：考查同角三角函數的基本關系，代數變形能力．
　　六、單元小結
　　教師引導學生回顧本單元學習內容，并回答下面問題：
　　（1）概述本單元知識發生發展過程的基本脈絡．
　　（2）任意角三角函數的現實背景是什么？
　　（3）敘述任意角三角函數的定義過程，說明任意角三角函數與銳角三角函數區別與聯系．
　　（4）我們是如何發現誘導公式一和同角三角函數的基本關系的？在發現這些性質的過程中，有哪些值得總結的思想方法或有益經驗？
　　師生活動：提出問題后，先讓學生思考并作適當交流，再讓學生發言，教師幫助完善．
　　設計意圖：（1）基本脈絡是“現實背景—獲得研究對象—分析對應關系的本質—下定義—研究性質”，通過不斷重復這一過程，使學生逐步掌握研究一個數學對象的基本套路．
　　（2）明確三角函數的現實背景，可以使學生明白這類函數區別于其他基本初等函數的主要特征，為三角函數的應用奠定基礎．
　　（3）定義過程包括背景的簡化、本質化，借助單位圓進行對應關系的分析，確認弧度制下角的集合R到區間[-1，1]（角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標的取值范圍）的對應關系是函數關系，引進符號sinα，cosα表示函數值，進而引進函數tanα，完善函數的定義域等等．
　　強調任意角三角函數與銳角三角函數的區別，主要是它們的研究背景（要解決的現實問題）不同，是兩類完全不同的函數；建立它們的聯系，可以把銳角三角函數納入到任意角三角函數的系統中（對角的取值范圍作出限制即可），從而形成清晰的、可辨別的三角函數認知結構，有利于三角函數的應用．
　　（4）對“如何發現性質”的反思，可以培養數學基本思想，積累基本活動經驗，發展發現和提出問題的能力，這是落實數學學科核心素養的重要環節．要關注如下幾點：
　　①從定義出發；
　　②發揮單位圓的作用，從中體會“三角函數的性質是圓的幾何性質的解析表示”的觀點；
　　③三角函數與其他基本初等函數的最大不同點是它的周期性，由此并結合定義可以得到誘導公式一；三角函數是“一個背景定義三個函數”，因此可以預見它們一定有內在聯系，而且可以相互轉化，這是發現同角三角函數基本關系的指路明燈，其中蘊含的思想具有可遷移性，有利于提升核心素養．
5.3 誘導公式教學設計
一、單元教學內容與內容解析
　　1.內容
　　“誘導公式”包括5組公式，即誘導公式二至六．本單元的知識結構如下圖所示：
　　
　　建議分兩課時完成．第一課時，形成研究的思路，圍繞圓的對稱性提出可以研究的相關問題，并探究出公式二到四．第二課時完成公式五與六的探究，并進行公式的初步應用．
　　2.內容解析
　　我們知道，任意角的三角函數的定義是借助于單位圓得出的，之后又借助于圓的幾何性質得出了三角函數的部分性質，即同角三角函數關系．圓有豐富的對稱性，對稱性是圓的重要性質，如果用三角函數表示單位圓上點的坐標，就可將這些對稱性表示為三角函數之間的關系，從而得到三角函數的其他性質．
　　角的基本構成元素就是頂點、始邊、終邊，在三角函數這一章的研究中，為了方便，使角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，因此變化的只有角的終邊．首先從形的角度，研究圓的對稱性：假設任意角α的終邊與單位圓的交點為P1，點P1關于圓心或特殊直線的對稱點為Q，根據單位圓上這兩個點的對稱性，可以寫出以OQ為終邊的角與角α的關系．接下來從數的角度，利用三角函數的定義，建立對稱點坐標之間的關系，即誘導公式．
　　由此可見誘導公式的本質就是圓的對稱性的代數表示．
　　對于π＋α，＋α，還可以從旋轉對稱的角度認知它們，與從軸對稱認知的本質一致，而這樣認知與誘導公式一，及后續的兩角差的余弦公式的研究就一致了．因此這種變式為后續利用旋轉對稱性探究兩角差的余弦作了鋪墊．
　　可見，本單元是培養學生發現和提出問題、分析和解決問題，發展學生直觀想象核心素養的很好的載體．
　　在數學史上，求三角函數值曾經是一個重要而困難的問題．數學家制作了銳角三角函數值表，并通過公式，將任意角轉化為銳角進行計算．現在，我們可以利用計算工具方便地求任意角的三角函數值，所以這些公式的“求值”作用已經不重要了，但它們所體現三角函數的對稱性，在解決三角函數的各種問題中卻依然有重要作用．在本單元中，利用誘導公式解決問題，重要的是觀察計算對象的特征，選擇合適的誘導公式，確定恰當的求解路線，并實施計算求解問題．因此本單元還是培養學生數學運算核心素養的很好的載體．
　　因此本單元的教學重點是：利用圓的對稱性探究誘導公式，運用誘導公式進行簡單三角函數式的求值、化簡與恒等式的證明．
　　此外，為了使學生盡快熟悉并形成使用弧度制的習慣，在誘導公式中全部采用了弧度制．
　　二、單元教學目標與目標解析
　　1.目標：
　　（1）經歷誘導公式的探究過程，積累應用類比、轉化、數形結合等方法研究三角函數性質的經驗，提升直觀想象核心素養；
　　（2）初步應用誘導公式解決問題，積累解題經驗，提升數學運算核心素養．
　　2.目標解析
　　（1）在平面直角坐標系中，給出任意角α的終邊與單位的交點P，結合單位圓的特殊對稱性——關于原點對稱和特殊直線對稱，學生能分別畫出相應的對稱點Q，利用三角函數的定義給出相應的坐標，并能求出以OQ為終邊的角與角α的坐標之間的關系，從而建立三角函數之間的關系，即誘導公式．
　　（2）學生能利用誘導公式進行化簡、計算和證明.特別是在遇到比較復雜的問題時，能根據運算對象的特點，選擇依據的公式，確定合適的求解方案，并能正確求解．在解題的基礎上，能概括出利用誘導公式求解的一般程序．
　　三、單元教學問題診斷分析
　　本單元就單個知識點而言，比較好理解．但是公式比較多，當學生應用和記憶時會出現困難或者混淆．
　　因此本節課的教學難點之一是：誘導公式的有效識記和應用．
　　為破解這一難點，本節課的教學過程中要充分發揮單位圓的直觀作用，提高學生的直觀想象核心素養，理解誘導公式的本質：圓的對稱性的代數化，三角函數的性質．學生能主動地依托單位圓，想象著它的對稱性，就可以準確的記憶誘導公式．對于公式的應用，要提高學生分析問題的能力，即要形成一定的求解程序，提升學生的數學運算素養．
　　學生在理解誘導公式時，總是有思維定勢，以為α是銳角，于是導致解題時，通過角所在象限判斷誘導公式的符號出錯．
　　所以本單元的第二個難點是：誘導公式中角α可以是任意角的理解．
　　為破解這一難點，在推導誘導公式時要充分地應用變式．比如在推導公式二時，點P1的位置一般選在第一象限，獲得公式后，可以變化點P1的位置，讓學生觀察：點P1的位置變化時，點P2與點P1的坐標之間的關系．并抽象概括出這兩點的坐標之間的關系與點P1的位置無關．因此公式中的角α可以是任意角．在此基礎上，配以具體題目，讓學生感受這種概括的正確性．
　　四、教學支持條件
　　本單位要利用GeoGebra軟件，畫圖呈現如上所述的對稱性，并動態演示當點P1的位置變化時，對稱點的坐標與它的坐標之間的關系不變．
　　五、教學過程設計
　　第一課時
　　（一）課時教學內容
　　形成研究的思路，利用圓的對稱性提出可以研究的相關問題，并探究出公式二到四．
　　（二）課時教學目標
　　1．經歷提出問題，并探究誘導公式二至四過程，積累應用類比、轉化、數形結合等方法研究三角函數性質的經驗，提升直觀想象核心素養；
　　2．初步應用誘導公式二至四解決問題，積累解題經驗，提升數學運算核心素養．
　　（三）教學重點與難點
　　重點：利用圓的對稱性探究誘導公式二至四．
　　難點：誘導公式中角α可以是任意角的理解．．
　　
　　（四）教學過程設計
　　1．創設情境，引出問題
　　引導語 前面我們學習了三角函數，是借助于單位圓給出的，并根據定義得出了誘導公式一，刻畫“周而復始”這種變化規律及其幾何意義．之后借助于單位圓的幾何特征，獲得了三角函數同一個角的三個三角函數之間的關系．我們知道，圓的最重要的性質是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數的重要性質．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數的對稱性．
　　問題1 如圖1，在直角坐標系內，設任意角α的終邊與單位圓交于點P1，作P1關于原點的對稱點P2．
　　（1）以OP2為終邊的角β與角α有什么關系？
　　（2）角β，α的三角函數值之間有什么關系？
　　師生活動：先由學生獨立完成問題1，然后展示，師生幫助一起完善和條理思路．
　　如圖2，以OP2為終邊的角β都是與角π＋α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．因此，只要探究角π＋α與α的三角函數值之間的關系即可．
　　設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因為P2是點P1關于原點的對稱點，所以
　　x2 ＝－x1，y2 ＝－y1．　根據三角函數的定義，得
從而得 公式二
　　
設計意圖：初步感受如何將圓的一個特殊的對稱性：在坐標系中關于原點對稱，代數化，并得到誘導公式二．并以此問題作為研究方法的示范，為進一步提出、分析、解決問題做好奠基工作．
　　追問1：如果點P1在第二象限，那么點P2的坐標與點P1的坐標之間有什么關系？如果點P1在y軸負半軸上呢？在其他位置呢？據此，公式二中的角α的大小是多少？
　　答案：不論點P1在哪里，點P2的坐標與點P1的坐標之間的關系都不變，即公式二對任意角α都成立．
　　追問2：探究公式二的過程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊含的數學思想是什么？
　　答案：第一步，根據圓的對稱性，建立角之間的聯系．從形的角度研究．
　　第二步，建立坐標之間的關系．將形的關系代數化，并從不同的角度進行表示．體現了數形結合的思想方法．
　　第三步，根據等量代換，得到三角函數之間的關系，即公式二．體現了聯系性．
　　追問3：角π＋α還可以看作是角α的終邊經過怎樣的變換得到的？
　　答案：按逆時針方向旋轉角π得到的．
　　設計意圖：追問1旨在幫助學生理解角α的任意性，追問2旨在提煉方法，追問3則滲透圓的旋轉對稱性，為后面幾個公式的探索在方法上做好鋪墊．
　　2.類比探索，整體認知
　　問題2 借助于平面直角坐標系，類比問題1，你能說出單位圓上點P1的哪些特殊對稱點？并按照如上問題1總結得到的求解步驟，嘗試求出相應的關系式．
　　師生活動：
　　首先先由學生獨立思考，盡量多地寫出點P1的對稱點，然后展示交流，之后再將之代數化，最后得到相應的誘導公式．學生的回答可能會超越教科書中的研究內容，如果是學生自己想到的，可以順其自然保留，但是不作進一步的要求．如果學生沒有想到，教師不需要增加．學生首先想到的應該是點P1關于坐標軸的對稱點；之后關于特殊直線的對稱點，比如y=x；教師啟發之后會想到經過兩次對稱得到的對稱點．
　　學生可能的答案有：單位圓上點P1的特殊對稱點：第一類，點P1關于x軸、y軸的對稱點；第二類，點P1關于特殊直線的對稱點，如y＝x，y＝－x；第三類，點P1關于x軸的對稱點，再關于特殊直線的對稱點，或者點P1關于特殊直線的對稱點，再關于坐標軸的對稱點；等等．
　　接下來，針對如上結論，從第一類到第三類依次解決．第一課時可以先解決第一類．
　　1.如圖3，作P1關于x軸的對稱點P3：
　　以OP3為終邊的角β都是與角－α終邊相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探究角－α與α的三角函數值之間的關系即可．
　　設P3(x3，y3)．因為P3是點P1關于x軸的對稱點，所以
　　x3＝x1，y3＝－y1．
　　根據三角函數的定義，得
　　
　　從而得：公式三
　　
　　
　　
追問4 公式三和公式四中的角α是多大的角？
　　預設的答案：角α是任意角．
　　設計意圖：類比問題1，進一步探索發現．這是一個開放式的問題設計，給了學生自主的時空，鼓勵他們多角度觀察思考，提出問題，并類比問題1進行分析，解決問題．強化將單位圓的對稱性代數化這種研究思路．
　　3.初步應用，建立程序
　　例1 利用公式求下列三角函數值：
　　
　　追問5 題目中的角與哪個特殊角接近？拆分之后應該選擇哪個誘導公式？
　　師生活動：學生獨立完成之后展示交流，注重展示其思考過程，教師幫助規范求解過程．
　　解：略．
　　設計意圖：引導學生有序地思考問題，有理地解決問題．
　　問題3 由例1，你對公式一～四的作用有什么進一步的認識？你能自己歸納一下把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟嗎？
　　師生活動：學生獨立思考總結，之后展示交流．
　　利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，一般可按如圖5步驟進行：
　　
　　設計意圖：引導學生梳理求解過程，提煉解題經驗，明確從負角轉化為銳角的程序，提高自覺地、理性地選擇運算公式的能力，提升數學運算素養．
　　例2 化簡：
　　追問6 本題與例1的異同是什么？由例1總結出的求解程序在此如何應用？
　　師生活動：學生獨立完成，之后展示交流，注重展示其思考過程，教師幫助規范求解過程．
　　解：略．
　　設計意圖：鞏固習題的知識和方法，提高學生分析能力和轉化能力．
　　4．梳理小結，深化理解
　　問題4 誘導公式與三角函數和圓之間有怎樣的關系？你學到了哪些基本知識，獲得了怎樣的研究問題的經驗？
　　師生活動：學生自主總結，展示交流．
　　（1）誘導公式是圓的對稱性的代數化，是三角函數的性質．
　　（2）學到了三組誘導公式．研究方法是數形結合，注重聯系．
　　設計意圖：幫助學生梳理基本知識，總結研究方法，為進一步的研究鋪路奠基．
　　5．布置作業，深入研究
　　（1）類比第一類問題的解決，即誘導公式二、三和四的探索發現過程，完成第二類和第三類問題．寫出你的研究小報告，報告中先寫出問題，再寫出答案．并在下節課展示交流．
　　（2）完成P191練習，注重應用總結出來的程序．
　　（五）目標檢測設計
　　計算：　　
　　設計意圖：檢測學生對基本知識和基本及基本技能的掌握情況．
　　第二課時
　　（一）課時教學內容
　　完成公式五與六的探究，并進行公式的初步應用．
　　（二）課時教學目標
　　1．經歷探究誘導公式五與六過程，積累應用類比、轉化、數形結合等方法研究三角函數性質的經驗，進一步提升直觀想象核心素養；
　　2．初步應用誘導公式解決問題，積累解題經驗，進一步提升數學運算核心素養．
　　（三）教學重點與難點
　　重點：利用圓的對稱性探究誘導公式五與六．
　　難點：誘導公式的有效識記和應用．
　　（四）教學過程設計
　　1.復習引入，繼續研究
　　引導語：通過上一節課的研究，我們知道了將圓的對稱性代數化就得到了誘導公式，這些都是三角函數的對稱性．本節課沿著上一節課的思路繼續進行，首先一起完成上節課布置的第一個作業．
　　問題5 針對第二類、第三類對稱點，你能類比問題1寫出相應的問題并解決嗎？試一試．
師生活動：學生課前已經解決了第二、第三類問題，教師了解了其完成情況．課上教師根據學生完成情況，挑選如下內容進行展示．其他拓展內容視情況而定，可以展示，也可以由學生課下交流．根據上節課的作業要求，展示時，要有問題和解答．　
　　　　
　　追問7：除問題7與8中用到的對稱關系，角＋α的終邊與角α的終邊還具有怎樣的對稱性？據此你將如何證明公式六？
　　師生活動：如果有學生提前想到了就延續前面的展示活動，如果學生沒有想到，則由教師提出這個追問，促進學生思考．答案：角α的終邊旋轉角，就得到角＋α的終邊．
　　解：略．
　　設計意圖：展示對公式五與六的探究，進一步強化將單位圓的對稱性代數化這種研究思路．
　　問題6 回顧利用公式一～公式四，把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，并且建立了圖5所示的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪個環節用到這兩組公式？
　　師生活動：在學生思考展示的基礎上互相交流，并完善．
教師講解：利用公式五或公式六，可以實現正弦函數與余弦函數的相互轉化．如圖9所示可以在變成銳角的過程中發生作用．公式一～六都叫做誘導公式(induction formula)．
　
　
　設計意圖：基于前述的求解程序，進行理性思考，完善求解程序，幫助學生提升運算素養．
　　8.初步應用，發展和完善程序　　
　　追問8 觀察題目中的角，對比誘導公式，根據圖9，應該怎樣化簡轉化為公式的形式？
　　師生活動：學生更具問題的引導，獨立思考，并求解．學生展示時緊扣圖9進行．
　　求解過程略．
　　設計意圖：引導學生理性思考，有序解題，完善求解程序，提升數學運算素養．　　
　　追問9 觀察題目中的角，它們有怎樣的關系？和哪個誘導公式接近？由此你確定的求解思路是怎樣的？
　　師生活動：
　　注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果設β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ= 90°，由此可利用誘導公式和已知條件解決問題．
　　解：略．
　　設計意圖：引導學生學會觀察分析，進行理性思考，學會有序求解，提升數學運算素養．
　　9.單元小結，深化理解
　　問題7 回顧這兩節課的學習，你學到了哪些基本知識，它們的作用是什么？能解決什么問題？求解的程序是什么？我們已經知道誘導公式是三角函數的性質，是圓的對稱性的代數化，據此，你覺得怎樣記憶到目前為止學過的這6組誘導公式？此外，僅僅觀察6組誘導公式的形式特征，你還能怎樣記憶這些公式．
　　師生活動：以學生的獨立思考，展示交流，互相補充為主．教師予以及時的點撥．
　　（1）求解程序略．基本的思想是：負角變正角，大角變小角．（2）只要了解了誘導公式是通過哪個對稱變化得到的，這種變化中點的坐標的關系是怎樣的，就可以記住公式，而且還可以進一步推廣公式．（3）通過觀察發現，如果是一個角加的奇數倍，那么變換后會改變三角函數的名字；如果是一個角加的偶數倍，那么變換后會不改變三角函數的名字．
　　設計意圖：梳理小結，一方面幫助學生進一步明確求解的程序．另一方面，通過幫助學生梳理借助于單位圓記憶公式的過程，進一步認識誘導公式的本質．第三，通過觀察形式，分析特點，總結記憶方法，從另一個角度認知誘導公式，進行抽象概括．
　　10.布置作業
　　（1）梳理本單元的學習內容，根據問題11進一步梳理總結．
　　（2）完成習題5.3.
　　設計意圖：應用鞏固，深化理解．
　　（五）目標檢測設計
　　計算或化簡：　　
　　設計意圖：檢測學生對基本知識和技能的掌握情況．
5.4.1 三角函數的圖像和性質（第一課時）學歷案
【主題與課時】正弦函數， 余弦函數的圖像(1課時)
【課標要求 】
由于三角函數是刻畫周期變化現象的數學模型，這也是三角函數不同于其他類型函數的最重要的地方，而且對于周期函數，我們只要認識清楚它在一個周期的區間上的性質，那么它的性質也就完全清楚了，因此本節課利用單位圓中的三角函數的定義、三角函數值之間的內在聯系性等來作圖，從畫出的圖形中觀察得出五個關鍵點，得到“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖.需掌握“五點法”畫正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法，能用“五點法”作出簡單的正弦、余弦曲線。理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯系。
【學習目標】
1.通過正弦函數的定義繪制一個點，再繪制正弦函數在一個周期內的圖象，最后通過平移得到正弦函數的圖象；能說出正弦函數圖象的特點，并能用五點法繪制正弦函數的圖象.發展數學運算，直觀想象核心素養。
2.通過圖象變換的方法，由正弦函數的圖象繪制余弦函數的圖象，理解其中運用的圖象變換的思想.能用“五點法”繪制余弦函數的圖象。發展數學抽象，邏輯推理核心素養。
【評價任務】
1.通過完成問題1，追問1-2，問題2-3，追問3，問題5，例1（1）檢測目標1；
2.通過完成問題4，追問4-6，例1（2），檢測目標2；
【學習過程】
1.資源與建議
（1）三角函數是一類最典型的周期函數，本節課的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，能畫出正弦余弦函數的圖像。
（2）將正弦函數在單位園中的縱坐標“量”通過平移轉化為正弦函數圖象上的點；正弦函數與余弦函數圖象間的關系是本節課的難點。
2.預備知識：
直角三角形中三角函數的概念，引入弧度制，三角函數誘導公式，描點法畫圖像，圖像變換規律。
3.課中學習
【教學活動1】（畫函數y=sinx,的圖象）
問題1:三角函數是我們學習的一類新的基本初等函數，按照函數研究的方法，學習了三角函數的定義之后，接下來應該研究什么問題？怎樣研究？
追問1研究指數函數、對數函數圖象與性質的思路是怎樣的？
追問2繪制一個新函數圖象的基本方法是什么？
設計意圖：規劃研究方案，構建本單元的研究路徑，以便從整體上掌握整個單元的學習進程，形成整體觀念。
【教學活動2】（畫正弦函數y=sinx,的圖像）
問題2:根據函數y=sinx,的圖象，你能想象正弦函數y=sinx,的圖象嗎？依據是什么？畫出該函數的圖象.

【教學活動3】(歸納五點畫圖法)
問題3:如何畫出函數y=sinx,圖象的簡圖？
追問3：在確定正弦函數的圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？

【教學活動4】（畫余弦函數圖像）
問題4 :如何畫出余弦函數y=cosx的圖象？

追問4:由三角函數的定義可知，正弦函數、余弦函數是一對密切相關的函數.誘導公式表明，余弦函數和正弦函數可以互化。相應地，能否通過對正弦函數圖象進行變換得到余弦函數的圖象？
追問5:你能在兩個函數圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？
設計意圖：利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數的圖象獲得余弦函數圖象；增強對兩個函數圖象之間的聯系性的認識.

問題5:類似于用“五點法”作正弦函數圖象，如何作出余弦函數的簡圖？
追問6：余弦函數在區間上相應的五個關鍵點是哪些？請將它們的坐標填入下表，然后作出y=cosx,的簡圖。
設計意圖：觀察余弦函數圖象，掌握其特征，獲得“五點法”
【教學活動5】(知識應用)
例1用“五點法”畫出下列函數的圖象
追問：分別說明如何經過圖像變換得到以上函數圖像？
設計意圖：鞏固學生對正弦函數、余弦函數圖象特征的掌握，熟練“五點法”畫圖，掌握畫圖的基本技能，通過分析圖象變換，深化對函數圖象關系的理解，并為后續的學習作好鋪墊。
【教學活動6】（課堂小結）
問題6.本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
【教學活動7】（達標檢測）
【學后反思】
研究正余弦函數的圖像是從哪幾個方面進行的？整體看用到了什么思維方法？
5.4.2“正弦函數，余弦函數的性質” 學歷案
【主題與課時】正弦函數，余弦函數的性質
【學習目標】
通過了解周期函數和最小正周期的意義，能利用周期性定義和誘導公式求簡單三角函數的周期，發展數學抽象核心素養.
通過了解奇偶性的意義，能利用奇偶性的定義和誘導公式判斷簡單三角函數的奇偶性，發展數學運算和直觀想象核心素養.
通過借助圖像直觀理解正余弦函數在一個周期內的單調性，最值，圖像與X軸的交點的性質，會求簡單三角函數的最值問題，不求最值比較大小問題，求三角函數的單調區間，發展數學運算和邏輯推理核心素養.
【評價任務】
1.完成問題1，追問1-4，例2，檢測目標任務1。
2.完成問題2，追問5-6，檢測目標任務2。
3.完成問題3，例3-5，檢測目標任務3。
【學習過程】
1.資源與建議
（1）前面已經學習了正余弦函數的圖像，我們已經看到三角函數具有“周而復始”的變化規律，所以我們通過觀察一個周期內的圖像性質，來判斷簡單三角函數的性質。
（2）正余弦函數是簡單三角函數的重要代表，是一類特殊的函數，通過正弦曲線，余弦曲線來探究正弦函數，余弦函數的性質是本節課的重點，應用正、余弦函數的性質來求含有cosx,sinx的函數的單調性、最值、值域及對稱性是本節課的
難點。
（3）正弦函數，余弦函數的性質這一節的學習，讓學生借助數形結合的思想，通過圖像探究正、余弦函數的性質，為后續的學習奠定基礎，提升核心素養。
2.預備知識：正弦函數，余弦函數的圖像；誘導公式；圖像的對稱性；
3.課中學習
【教學活動1】（概括正弦函數的周期）
問題1你知道正弦函數的周期是什么嗎 周期又是怎么定義的呢？
追問1
...,
那么，是正弦函數y=sinx的一個周期嗎？為什么？這種情況與說是正弦函數的周期有什么不同？
追問2
在正弦函數的所有正周期中，是否存在一個最小的正數？

設計意圖：直觀理解正弦函數的周期性，了解最小正周期。
追問3請你閱讀教科書5.4.2節“1.周期性”中的內容，回答下列問題：什么叫周期函數？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一個函數是周期函數，那么它滿足的代數關系是什么？圖象特征是什么？
追問4
知道了一個函數的周期，對研究它的圖象與性質有什么幫助？
設計意圖：了解一般周期函數及相關概念，為下面的研究作鋪墊。
【教學活動2】（歸納正余弦函數的其他性質）
問題2:對于一般的函數，我們通常要研究哪些性質？觀察正弦函數、余弦函數的圖象，完成下面的表格.
追問5 如何理解點也是正弦函數y=sinx的對稱中心？如何理解直線是正弦函數y=sinx的對稱軸？
追問6 逐一列舉正弦函數y=sinx的單調遞增區間，它們與區間之間有怎樣的關系？

設計意圖：按照已有的研究方案，落實函數研究的方法和程序；培養學生運用類比、對比的方法研究對象的意識和能力
問題3:
閱讀教科書5.4.2節“2.奇偶性”“3.單調性”“4.最大值與最小值”的內容，
回答下列問題：

(1)如何證明正弦函數、余弦函數的奇偶性？知道一個函數的奇偶性，對研究它的圖象與性質有什么幫助？

(2)分別選擇了哪個區間研究正弦函數、余弦函數的單調性？為什么？

設計意圖：引導學生重視教科書的閱讀，在直觀感知的基礎上系統、規范地認識函數的性質，并獲得精準規范的表達，培養思維的嚴謹性。例5 求函數
【教學活動4】（課堂小結）
本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
【教學活動5】（達標檢測）
【學后反思】研究冪函數是從哪幾個方面進行的？整體看用到了什么思維方法？
5.4.3 “正切函數的性質與圖像” 學歷案
【主題與課時】正切函數的性質與圖像 1課時
【學習目標】
1.通過從正切函數的定義出發研究正切函數的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調性，從而研究正切函數的圖像，并能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題，發展數學抽象，邏輯推理，直觀想象核心素養。
2.利用奇偶性和周期性能畫出正切曲線，通過正切函數圖像與性質的探究，培養學生數形結合和類比的思想方法，發展直觀想，象邏輯推理核心素養。
【評價任務】
1.通過完成問題1，問題2，例6檢測目標1；
2.通過完成練習1，練習2，檢測目標2
【學習過程】
1.資源與建議
（1）前面已經學習了正弦函數、余弦函數的圖像及其性質，這節課的學習要利用類比的方法學習正切函數；
（2）正切函數是一類特殊的函數，在日常生活中有著廣泛的應用，正切函數的定義是解決有關問題的最根本依據，正切函數的圖象和性質是解決冪函數問題的重要工具，因此是本節課學習的重點，通過正切函數圖像與性質的探究，培養學生數形結合和類比的思想方法，這是本節課的難點；
（3）正切函數這一節的學習，不僅要關注知識，還要關注研究方

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