資源簡介

3．萬有引力理論的成就
[學習任務]　1．了解萬有引力定律在天文學上的應用，掌握解決天體運動問題的基本思路。
2．會用萬有引力定律計算天體的質量和密度。
3．掌握綜合運用萬有引力定律和圓周運動知識分析具體問題的方法。
[問題初探]　問題1．如何利用重力加速度“稱量”地球的質量？
問題2．如何利用行星的公轉周期“稱量”太陽的質量？
[自我感知]　經過你認真的預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系。
　“稱量”地球的質量　計算天體的質量
1．“稱量”地球的質量
(1)合理假設：不考慮地球自轉的影響。
(2) “稱量”依據：地面上質量為m的物體所受的重力mg等于地球對物體的引力，即mg＝G ，由此可解得m地＝。
(3)結論：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的質量。
2．計算天體的質量
(1)計算太陽的質量：行星做勻速圓周運動的向心力由太陽與行星間的萬有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝。
(2)結論：只要知道行星的公轉周期T和它與太陽的距離r，就可以計算出太陽的質量。
(3)計算行星的質量：與計算太陽的質量一樣，若已知衛星繞行星運動的周期T和軌道半徑r，就可以計算出行星的質量m行＝。
1969年7月，美國航天員阿姆斯特朗在月球上烙下了人類第一只腳印，邁出了人類征服宇宙的一大步。
【問題】
(1)若已知月球繞地球轉動的周期T和半徑r，由此可以求出地球的質量嗎？依據是什么？
(2)若已知月球繞地球轉動的周期T和半徑r，能否求出月球的質量呢？為什么？
(3)若月球半徑R已知，航天員能觀察到近月衛星的運動，試想一下：航天員若想測出月球的質量，可采用什么方法？
提示：(1)能求出地球的質量。利用G ＝mr，求出的質量M＝為中心天體即地球的質量。
(2)不能。由G ＝mr可知，做圓周運動的月球的質量m在等式中已消掉，所以根據月球的公轉周期T、公轉半徑r無法計算月球的質量。
(3)用停表測出航天員駕駛指令艙繞月球表面飛行一周的時間T，由萬有引力提供向心力，可知G ＝mR，故M＝。
1．天體質量的計算
(1)重力加速度法
若已知天體(如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，根據在天體表面上物體的重力近似等于天體對物體的引力，得mg＝G ，解得天體的質量為M＝，g、R是天體自身的參量，所以該方法俗稱“自力更生法”。
(2)環繞法
借助環繞中心天體做圓周運動的行星(或衛星)計算中心天體的質量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：
萬有引力提供向心力 中心天體的質量 說明
G＝m M＝ r為行星(或衛星)的軌道半徑，v、ω、T為行星(或衛星)的線速度、角速度和運行周期
G＝mrω2 M＝
G ＝mr M＝
【微提醒】　只能求出中心天體的質量M，不能求出環繞天體的質量m。
2．天體密度的計算
(1)若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝，將M＝代入上式可得ρ＝。
(2)當衛星環繞天體表面運動時，衛星的軌道半徑r可認為等于天體半徑R，則ρ＝。
【典例1】　航天員在半徑為R的某星球表面將一小鋼球以v0的初速度豎直向上拋出，測得小鋼球上升的最大高度為h。不計空氣阻力，忽略該星球的自轉，R遠大于h，該星球為密度均勻的球體，引力常量為G。求：
(1)該星球表面的重力加速度g的大小；
(2)該星球的質量M。
[解析]　(1)根據題意和速度位移關系公式，有
＝2gh
解得該星球表面的重力加速度大小
g＝。
(2)靜止在該星球表面的物體，根據重力等于萬有引力，有
G＝mg
解得星球的質量
M＝。
[答案]　
【典例2】　(選自人教版教材·利用環繞法計算天體質量)某人造地球衛星沿圓軌道運行，軌道半徑是6.8×103 km，周期是5.6×103 s，引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，試從這些數據估算地球的質量(結果保留一位有效數字)(　　)
A．6×1020 kg　　　 B．6×1022 kg
C．6×1024 kg D．6×1026 kg
C　[設地球的質量為M，人造地球衛星的質量為m，根據萬有引力提供向心力可得G ＝mr，可得M＝，代入數據解得M≈6×1024 kg，故選C。]
【典例3】　(利用環繞法計算天體質量)中國空間站是我國自主建成的太空實驗室。已知空間站繞地球做勻速圓周運動，經過時間t，運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為θ(弧度)，引力常量為G，求：
(1)空間站的環繞周期T；
(2)地球的質量M。
[解析]　(1)空間站做勻速圓周運動的角速度
ω＝
空間站的環繞周期
T＝
所以T＝。
(2)空間站的軌道半徑
r＝
空間站做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力
G ＝mω2r
所以地球質量M＝。
[答案]　(1)　(2)
【典例4】　(計算天體的密度)我國嫦娥二號可視為在月球表面附近做圓周運動。已知引力常量為G，要測定月球的密度，僅僅需要(　　)
A．測定飛船的運行周期
B．測定飛船的環繞半徑
C．測定月球的體積
D．測定飛船的運行速度
A　[當測定飛船在月球表面附近的運行周期為T時，設月球半徑為R，飛船受到月球的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得G ＝mR，可得月球的質量M＝，則月球的密度ρ＝，可見月球的密度可以測定，故A正確；測定飛船的環繞半徑，即已知月球的半徑，但月球的質量未知，故無法求出月球的密度，故B錯誤；測定月球的體積，但月球的質量未知，故無法求出月球的密度，故C錯誤；測定飛船的速度，由飛船受到月球的萬有引力提供向心力，有G ＝m，可得月球的質量M＝，月球的密度為ρ＝，由于月球的半徑未知，故無法求出月球的密度，故D錯誤。]
【典例5】　(重力加速度與天體的密度的計算)2023年9月17日12時13分，我國在西昌衛星發射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將遙感三十九號衛星發射升空，假設該衛星繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R，引力常量為G ，忽略地球的自轉。
(1)若衛星到地心的距離為3R，求該衛星所在處的重力加速度大小。(已知地球表面處的重力加速度大小為g)
(2)若衛星環繞地球的軌道半徑為r，在該軌道上環繞周期為T，地球可視為質量分布均勻的球體，求地球的密度。
[解析]　(1) 在地球表面處物體受到的重力等于萬有引力
＝mg
在衛星所在處物體受到的重力等于萬有引力
＝mg′
解得衛星所在處的重力加速度大小為g′＝g。
(2)根據萬有引力提供向心力
＝mr
地球的密度為
ρ＝
解得ρ＝。
[答案]　(1)g　(2)
　求解天體質量和密度時的兩種常見誤區
(1)根據軌道半徑r和運行周期T，求得M＝是中心天體的質量，而不是圍繞中心天體運動的行星(或衛星)的質量。
(2)易出現混淆或亂用天體半徑與軌道半徑的錯誤，為了正確并清楚地運用，應一開始就養成良好的習慣，比如通常情況下天體半徑用R表示，軌道半徑用r表示，這樣就可以避免如對ρ＝進行錯誤約分；只有衛星在天體表面做勻速圓周運動時，如近地衛星，軌道半徑r才可以認為等于天體半徑R。
【教用·備選例題】　中國首位航天載荷專家桂海潮在中國空間站觀測地球，若他觀測得地球的最大張角為θ，觀測到相鄰兩次“日落”的時間為t，簡化模型如圖所示，引力常量為G ，由此可估算出地球的(　　)
A．質量　　　　 B．半徑
C．平均密度 D．自轉周期
C　[根據張角可以求出空間站的軌道半徑r＝，根據觀測到相鄰兩次“日落”的時間可以求出空間站的公轉周期，不能求地球自轉周期，且地球半徑未知，故無法求出地球質量，故A、B、D錯誤；根據觀測到相鄰兩次“日落”的時間可知空間站的公轉周期為t，根據，M＝ρV，V＝πR3，聯立可求出地球的平均密度ρ＝，故C正確。]
　發現未知天體　預言哈雷彗星回歸
1．海王星的發現
英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶根據天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846年9月23日晚，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星——海王星。
2．其他天體的發現
近100年來，人們在海王星的軌道之外又發現了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。
3．預言哈雷彗星回歸
英國天文學家哈雷依據萬有引力定律，計算了三顆彗星的軌道，并大膽預言這三次出現的彗星是同一顆星，周期約為76年。
已知地球、火星都繞太陽轉動，火星的公轉半徑是地球公轉半徑的1.5倍，根據以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么樣的動力學規律？
(2)地球、火星繞太陽運動時的線速度、角速度、周期和向心加速度與自身質量有關嗎？為什么？
(3)如何比較火星與地球的線速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
提示：(1)地球、火星等行星繞太陽的運動可看作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力。
(2)無關。因為在等式G ＝man＝m＝mω2r＝mr 各項中都含有m，可以消掉。
(3)由G ＝man＝m＝mω2r＝mr表達式可知，線速度、角速度、周期及向心加速度等各量都與軌道半徑有關系。
1．基本思路：一般行星或衛星的運動可看作勻速圓周運動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。
2．常用關系
(1)G ＝man＝m＝mω2r＝mr。
(2)忽略自轉時，mg＝G (物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得gR2＝G M，該公式通常被稱為“黃金代換式”。
3．四個重要結論：設質量為m的天體繞另一質量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動。
(1)由G ＝m得v＝，r越大，v越小。
(2)由G ＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。
(3)由G ＝m()2r得T＝2π ，r越大，T越大。
(4)由G ＝man得an＝，r越大，an越小。
【微提醒】　衛星運動情況(a、v 、ω 、T )是由r唯一決定，高軌低速長周期。
【典例6】　(不同軌道上的衛星各物理量的比較)(多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運動的三顆衛星，a和b質量相等，且小于c的質量，則(　　)
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同，且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度
ABD　[因衛星運動的向心力是由它們所受的萬有引力提供的，而b所受的萬有引力最小，故A正確；由＝man得，an＝，即衛星的向心加速度與軌道半徑的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，C錯誤；由得，T＝2π，即衛星運動的周期與其軌道半徑三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等，且大于a的周期，B正確；由G ＝m得，v＝，即衛星的線速度與其軌道半徑的平方根成反比，所以b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度，D正確。]
【典例7】　(行星公轉參量和行星表面重力加速度的比較)2022年9月27日，木星、地球和太陽排在同一直線上，地球位于太陽與木星之間，出現了“木星沖日”現象。地球和木星繞太陽公轉的方向相同，軌跡都可近似為圓，木星的質量約為地球質量的318倍，木星的半徑約為地球半徑的11倍，木星繞太陽運動的周期約為地球繞太陽運動周期的12倍。下列說法正確的是(　　)
A．木星公轉的軌道半徑比地球公轉的軌道半徑小
B．木星公轉的線速度比地球公轉的線速度大
C．木星表面的重力加速度約為地球表面重力加速度的2.6倍
D．下一次出現“木星沖日”現象可能在2024年11月
C　[由開普勒第三定律＝k得，因為T木＞T地，所以r木＞r地，即木星公轉的軌道半徑比地球公轉的軌道半徑大，A錯誤；由萬有引力定律提供向心力有G ＝m，可得v＝，因為r木＞r地，所以v木＜v地，即木星公轉的線速度比地球公轉的線速度小，B錯誤；在天體表面有G ＝mg，可得木星表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為≈2.6，所以木星表面的重力加速度約為地球表面重力加速度的2.6倍，C正確；由運動學關系·Δt＝2π，其中T火＝12T地，聯立可得Δt＝T地≈1.1年，所以下一次出現“木星沖日”現象可能在2023年11月，D錯誤。]
　解決天體運動問題的關鍵
(1)建立物理模型——繞中心天體做勻速圓周運動。
(2)應用物理規律——萬有引力定律和圓周運動規律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代換“GM”，簡化解題方式。
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．海王星是人們依據萬有引力定律計算出其運行軌道而發現的
B．天王星是人們依據萬有引力定律計算出其運行軌道而發現的
C．天王星的運行軌道偏離根據萬有引力定律計算出來的軌道，其原因是天王星受到軌道外面其他行星的引力作用
D．哈雷依據萬有引力定律預言了哈雷彗星的回歸
ACD　[海王星是人們根據萬有引力定律計算出其軌道，然后由天文工作者在預言的位置附近觀察到的，天王星是人們通過望遠鏡觀察發現的，由于天王星的運行軌道偏離根據萬有引力定律計算出來的軌道，引起了人們的思考，推測天王星軌道外面存在未知行星，進而發現了海王星，故A、C正確，B錯誤；哈雷依據萬有引力定律預言了哈雷彗星的回歸，故D正確。]
2．近年來，人類發射的火星探測器已經在火星上著陸，正在進行著激動人心的科學探索(如發現了冰)，為我們將來登上火星、開發和利用火星奠定了堅實的基礎。如果火星探測器環繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得它運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達式為(k為某個常量)(　　)
A．ρ＝kT　　　　 B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
D　[根據萬有引力定律得G ＝mR，可得火星質量M＝，又火星的體積V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝，D正確。]
3．土星周圍有美麗壯觀的“光環”，組成環的顆粒是大小不等、線度從1 μm到10 m的巖石、塵埃，類似于衛星，它們與土星中心的距離從7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知環的外緣顆粒繞土星做圓周運動的周期約為14 h，引力常量為6.67×10-11 N·m2/kg2，則土星的質量約為(估算時不考慮環中顆粒間的相互作用)(　　)
A．9×1016 kg B．6×1017 kg
C．9×1025 kg D．6×1026 kg
D　[土星“光環”的外緣顆粒繞土星做圓周運動，根據萬有引力提供向心力有G ＝mr，解得M＝，其中r為外緣顆粒的軌道半徑，大小為1.4×105 km，T為外緣顆粒繞土星運動的周期，約為14 h，代入數據得M≈6×1026 kg，D正確。]
4．金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
A　[金星、地球和火星繞太陽公轉時萬有引力提供向心力，則有G ＝man，解得an＝G ，結合題中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，A正確，B錯誤；同理，有G ＝m，解得v＝，再結合題中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，C、D錯誤。]
5．(選自粵教版教材)月球的半徑為r。登上月球的航天員想用一個彈簧測力計和一個質量為m的砝碼估測月球的質量，這種做法可行嗎？如果可行，請寫出測量原理和實施方案。
[解析]　這種方法可行。
原理：在月球表面，砝碼所受的重力F近似等于其所受月球的萬有引力，即
G ＝F
解得月球的質量為M＝
上式中m和r為已知量，引力常量G 也可以查得，所以再通過彈簧測力計測得砝碼的重力F，即可估測月球的質量。
實施方案：在月球表面將質量為m的砝碼掛在彈簧測力計掛鉤下，待砝碼穩定后讀出彈簧測力計的示數，即為砝碼所受的重力F，最后將m、r、F、G 代入M的表達式即可得到月球的質量。
[答案]　可行，原理及實施方案見解析
回歸本節知識，完成以下問題：
1．計算天體質量有哪幾種方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝ M＝。
方法2：環繞法，即＝m M＝。
2．為什么說海王星是筆尖下發現的行星？
提示：因為其軌道是根據天王星的觀測資料計算出來的。
3．天體運行的速度、周期、角速度和軌道半徑有什么關系？
提示：軌道半徑越大，速度越小，周期越長，角速度越小。
課時分層作業(十)
?題組一　天體質量和密度的計算
1．天文學家發現某恒星周圍有一顆行星在圓形軌道上繞其運動，并測出了行星的軌道半徑和運行周期。引力常量為G ，由此可推算出(　　)
A．行星的質量　　　 B．行星的半徑
C．恒星的質量 D．恒星的半徑
C　[設行星軌道半徑為r，周期為T，恒星的質量為M，行星的質量為m，則由G ＝mr得，M＝，故C正確。]
2．某星球的自轉周期為T，一個物體在該星球赤道處的重力是F1，在極地處的重力是F2，已知引力常量G ，則星球的平均密度可以表示為(　　)
A． B．
C． D．
B　[設星球質量為M，半徑為R，物體的質量為m，由于兩極處物體的重力等于星球對物體的萬有引力，所以 F2＝，在赤道上，萬有引力可分解為重力和隨星球自轉的向心力，則有＝F1＋mR，聯立解得M＝，星球的平均密度ρ＝，故B正確，A、C、D錯誤。]
3．(2021·廣東卷)2021年4月，我國自主研發的空間站天和核心艙成功發射并入軌運行。若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是(　　)
A．核心艙的質量和繞地半徑
B．核心艙的質量和繞地周期
C．核心艙的繞地角速度和繞地周期
D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
D　[根據萬有引力提供核心艙繞地球做勻速圓周運動的向心力得＝m，解得M＝，D正確；由于核心艙的質量在運算中可以被約掉，僅知繞地半徑r或繞地周期T都無法計算出地球質量，A、B錯誤；已知核心艙的繞地角速度，由＝mω2r得M＝，故還需要知道核心艙的繞地半徑，才能求得地球質量，C錯誤。]
4．若地球繞太陽公轉周期及公轉軌道半徑分別為T和R，月球繞地球公轉周期和公轉軌道半徑分別為t和r，則太陽質量與地球質量之比為(　　)
A． B．
C． D．
B　[地球繞太陽公轉，由太陽的萬有引力提供地球的向心力，則得G ＝mR，解得太陽的質量M＝；月球繞地球公轉，由地球的萬有引力提供月球的向心力，則得G ＝m′r，解得地球的質量m＝，所以太陽質量與地球質量之比，故B正確。]
?題組二　天體運動的分析與計算
5．(多選)土星外層有一個環，為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛星群，可以測量環中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關系，則下列判斷正確的是(　　)
A．若v2∝R，則外層的環是土星的衛星群
B．若v∝R，則外層的環是土星的一部分
C．若v∝，則外層的環是土星的一部分
D．若v2∝，則外層的環是土星的衛星群
BD　[若外層的環為土星的一部分，則它們各層轉動的角速度ω相等，由v＝ωR知，v∝R，故B正確，C錯誤；若外層的環是土星的衛星群，土星對環的萬有引力提供其向心力，則由G ＝m，得v2∝，故A錯誤，D正確。]
6．(多選)把太陽系各行星的運動近似地看作勻速圓周運動，則離太陽越遠的行星(　　)
A．周期越小　　　 B．線速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
BCD　[行星繞太陽做勻速圓周運動所需的向心力由太陽對行星的萬有引力提供，則有G ＝m＝mr＝mω2r＝man，得v＝，ω＝，T＝2π，an＝，r越大，線速度越小，B正確；r越大，角速度越小，C正確；ω越小，則周期T越大，A錯誤；r越大，則an越小，D正確。]
7．(多選)一行星繞恒星做圓周運動。由天文觀測可得，其運行周期為T，速度為v，引力常量為G ，則(　　)
A．恒星的質量為
B．行星的質量為
C．行星運動的軌道半徑為
D．行星運動的加速度為
ACD　[行星繞恒星轉動一圈時，運行的距離等于周長，即v·T＝2πr，得r＝，C正確；由萬有引力公式及牛頓第二定律知，＝mr，得M＝，A正確；由an＝，D正確；行星繞恒星的運動與其自身質量無關，行星的質量由已知條件無法求出，故B錯誤。]
8．2023年10月26日，我國神舟十七號載人飛船入軌后，按照預定程序，與在同一軌道上運行的天和核心艙交會對接，航天員進駐天和核心艙。交會對接后神舟十七號飛船與天和核心艙的組合體軌道不變，將對接前飛船與對接后的組合體對比，下面說法正確的是(　　)
A．組合體的環繞速度大于神舟十七號飛船的環繞速度
B．組合體的環繞周期大于神舟十七號飛船的環繞周期
C．組合體的向心加速度大于神舟十七號飛船的向心加速度
D．組合體所受的向心力大于神舟十七號飛船所受的向心力
D　[由G ＝m＝mr可得，v＝，T＝2π，可見v、T與質量m無關，周期與環繞速度不變，故A、B錯誤；由＝man可得an＝，可知向心加速度與質量m無關，故C錯誤；向心力為F＝，組合體的質量大于神舟十七號飛船的質量，軌道半徑不變，則組合體所受的向心力大于神舟十七號飛船所受的向心力，故D正確。]
9．地球資源衛星“04星”繞地球做勻速圓周運動的角速度為ω，地球相對“04星”的張角為θ，如圖所示。引力常量為G ，則地球的密度為(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[“04星”繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有G ＝mω2r，設地球半徑為R，則由題圖知R＝r sin，又M＝ρ·，聯立解得ρ＝，故選A。]
10．人造衛星繞地球的運動可視為勻速圓周運動，衛星的軌道半徑的三次方與繞行周期的二次方的關系如圖中甲所示；火星作為航空航天探索的熱門研究對象，火星的周圍有兩個天然衛星和數個人造衛星，它們的運動也可視為繞火星做勻速圓周運動，它們的軌道半徑的三次方與繞行周期的二次方的關系如圖中乙所示。圖中m、n、p、q已知，則地球和火星的質量之比為(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
C　[衛星繞地球、火星做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，有＝mr，解得M＝，所以地球和火星的質量之比為，C正確。]
11．“天問一號”是執行中國首次火星探測任務的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學真理征途漫漫，追求科技創新永無止境。已經測出火星上的氣體非常稀薄，相對于地球上的氣體可以忽略不計，若在距火星表面高h處以初速度v0水平拋出一個物體，落到火星表面時落地點與拋出點間的水平距離為L，已知引力常量為G ，火星的半徑為R，h R。
(1)火星的質量是多少？
(2)火星的平均密度是多少？
[解析]　(1)已知火星上的氣體可以忽略不計，距火星表面h(h R)處水平拋出一個物體，物體做平拋運動，豎直方向上做自由落體運動，設火星表面的重力加速度為g，則有h＝gt2
水平方向上做勻速直線運動，有
L＝v0t
設火星的質量是M，則有
G ＝mg
聯立解得M＝。
(2)設火星的平均密度是ρ，則
M＝ρ×πR3
聯立得ρ＝。
[答案]　
12．我國自行研制的天問一號火星探測器于2021年5月15日成功著陸火星。設著陸前后探測器對火星完成了“繞、著、巡”三項目標考查。如圖所示，探測器經過一系列的制動減速進入火星近地圓軌道繞火星做勻速圓周運動，之后再經過制動在火星表面著陸。著陸后，探測器上的科研裝置，將一個小球從離地面h的高度由靜止釋放，做自由落體運動，測得小球經過時間t落地。已知引力常量為G ，火星的半徑為R，求：
(1)火星表面重力加速度；
(2)火星的質量及平均密度；
(3)探測器在火星近地圓軌道速度的大小。
[解析]　(1)由自由落體運動得
h＝gt2
解得g＝。
(2)設火星表面有一質量為m的物體，則
G ＝mg
解得M＝
密度為ρ＝
解得ρ＝。
(3)探測器在火星近地圓軌道做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律得
mg＝m
解得v＝。
[答案]　(1)　(2)　(3)
13．太陽系中各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。“行星沖日”是指某行星、地球和太陽幾乎排成一條直線的狀態，地球位于太陽與該行星之間。已知相鄰兩次“沖日”的時間間隔火星約為800天，土星約為378天，則(　　)
A．火星公轉周期約為1.8年
B．火星的公轉周期比土星的公轉周期大
C．火星的公轉軌道半徑比土星的公轉軌道半徑大
D．火星和土星的公轉軌道半徑之比為
A　[根據開普勒第三定律，其軌道半徑的三次方與周期T的平方的比值相等，由于地球的軌道半徑比火星的軌道半徑小，故可知地球的周期比火星的小，設火星相鄰兩次沖日的時間間隔為t，則在時間t內地球比火星繞太陽多轉一周，即＝1，解得T1＝≈671天≈1.8年，A正確；同理土星的周期為T2＝≈10 613天≈29年，故火星的公轉周期比土星的公轉周期小，B錯誤；根據開普勒第三定律，其軌道半徑的三次方與周期T的平方的比值相等，可知火星的公轉軌道半徑比土星的公轉軌道半徑小，C錯誤；火星和土星的公轉軌道半徑之比為，D錯誤。](共77張PPT)
3．萬有引力理論的成就
第七章　
萬有引力與宇宙航行
整體感知·自我新知初探
[學習任務]　1．了解萬有引力定律在天文學上的應用，掌握解決天體運動問題的基本思路。
2．會用萬有引力定律計算天體的質量和密度。
3．掌握綜合運用萬有引力定律和圓周運動知識分析具體問題的方法。
[問題初探]　問題1．如何利用重力加速度“稱量”地球的質量？
問題2．如何利用行星的公轉周期“稱量”太陽的質量？
[自我感知]　經過你認真的預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系。
探究重構·關鍵能力達成
知識點一　“稱量”地球的質量　計算天體的質量



1969年7月，美國航天員阿姆斯特朗在月球上烙下了人類第一只腳印，邁出了人類征服宇宙的一大步。
【問題】
(1)若已知月球繞地球轉動的周期T和半徑r，由此可以求出地球的質量嗎？依據是什么？
(2)若已知月球繞地球轉動的周期T和半徑r，能否求出月球的質量呢？為什么？
(3)若月球半徑R已知，航天員能觀察到近月衛星的運動，試想一下：航天員若想測出月球的質量，可采用什么方法？
(2)環繞法
借助環繞中心天體做圓周運動的行星(或衛星)計算中心天體的質量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：
萬有引力提供向心力 中心天體的質量 說明
r為行星(或衛星)的軌道半徑，v、ω、T為行星(或衛星)的線速度、角速度和運行周期
【微提醒】　只能求出中心天體的質量M，不能求出環繞天體的質量m。
【典例1】　航天員在半徑為R的某星球表面將一小鋼球以v0的初速度豎直向上拋出，測得小鋼球上升的最大高度為h。不計空氣阻力，忽略該星球的自轉，R遠大于h，該星球為密度均勻的球體，引力常量為G。求：
(1)該星球表面的重力加速度g的大小；
(2)該星球的質量M。
【典例2】　(選自人教版教材·利用環繞法計算天體質量)某人造地球衛星沿圓軌道運行，軌道半徑是6.8×103 km，周期是5.6×103 s，引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，試從這些數據估算地球的質量(結果保留一位有效數字)(　　)
A．6×1020 kg　　　 B．6×1022 kg
C．6×1024 kg D．6×1026 kg
√
【典例3】　(利用環繞法計算天體質量)中國空間站是我國自主建成的太空實驗室。已知空間站繞地球做勻速圓周運動，經過時間t，運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為θ(弧度)，引力常量為G，求：
(1)空間站的環繞周期T；
(2)地球的質量M。
【典例4】　(計算天體的密度)我國嫦娥二號可視為在月球表面附近做圓周運動。已知引力常量為G，要測定月球的密度，僅僅需要
(　　)
A．測定飛船的運行周期
B．測定飛船的環繞半徑
C．測定月球的體積
D．測定飛船的運行速度
√
【典例5】　(重力加速度與天體的密度的計算)2023年9月17日12時13分，我國在西昌衛星發射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將遙感三十九號衛星發射升空，假設該衛星繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R，引力常量為G ，忽略地球的自轉。
(1)若衛星到地心的距離為3R，求該衛星所在處的重力加速度大小。(已知地球表面處的重力加速度大小為g)
(2)若衛星環繞地球的軌道半徑為r，在該軌道上環繞周期為T，地球可視為質量分布均勻的球體，求地球的密度。
【教用·備選例題】　中國首位航天載荷專家桂海潮在中國空間站觀測地球，若他觀測得地球的最大張角為θ，觀測到相鄰兩次“日落”的時間為t，簡化模型如圖所示，引力常量為G ，由此可估算出地球的(　　)
A．質量　　　　
B．半徑
C．平均密度
D．自轉周期
√
1．海王星的發現
英國劍橋大學的學生________和法國年輕的天文學家________根據天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846年9月23日晚，德國的______在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星——海王星。
知識點二　發現未知天體　預言哈雷彗星回歸
亞當斯
勒維耶
伽勒
2．其他天體的發現
近100年來，人們在海王星的軌道之外又發現了________、鬩神星等幾個較大的天體。
3．預言哈雷彗星回歸
英國天文學家哈雷依據______________，計算了三顆彗星的軌道，并大膽預言這三次出現的彗星是同一顆星，周期約為____年。
冥王星
萬有引力定律
76
已知地球、火星都繞太陽轉動，火星的公轉半徑是地球公轉半徑的1.5倍，根據以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么樣的動力學規律？
(2)地球、火星繞太陽運動時的線速度、角速度、周期和向心加速度與自身質量有關嗎？為什么？
(3)如何比較火星與地球的線速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
【微提醒】　衛星運動情況(a、v 、ω 、T )是由r唯一決定，高軌低速長周期。
【典例6】　(不同軌道上的衛星各物理量的比較)(多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運動的三顆衛星，a和b質量相等，且小于c的質量，則(　　)
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同，且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度
√
√
√
【典例7】　(行星公轉參量和行星表面重力加速度的比較)2022年9月27日，木星、地球和太陽排在同一直線上，地球位于太陽與木星之間，出現了“木星沖日”現象。地球和木星繞太陽公轉的方向相同，軌跡都可近似為圓，木星的質量約為地球質量的318倍，木星的半徑約為地球半徑的11倍，木星繞太陽運動的周期約為地球繞太陽運動周期的12倍。下列說法正確的是(　　)
A．木星公轉的軌道半徑比地球公轉的軌道半徑小
B．木星公轉的線速度比地球公轉的線速度大
C．木星表面的重力加速度約為地球表面重力加速度的2.6倍
D．下一次出現“木星沖日”現象可能在2024年11月
√
規律方法　解決天體運動問題的關鍵
(1)建立物理模型——繞中心天體做勻速圓周運動。
(2)應用物理規律——萬有引力定律和圓周運動規律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代換“GM”，簡化解題方式。
應用遷移·隨堂評估自測
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．海王星是人們依據萬有引力定律計算出其運行軌道而發現的
B．天王星是人們依據萬有引力定律計算出其運行軌道而發現的
C．天王星的運行軌道偏離根據萬有引力定律計算出來的軌道，其原因是天王星受到軌道外面其他行星的引力作用
D．哈雷依據萬有引力定律預言了哈雷彗星的回歸
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ACD　[海王星是人們根據萬有引力定律計算出其軌道，然后由天文工作者在預言的位置附近觀察到的，天王星是人們通過望遠鏡觀察發現的，由于天王星的運行軌道偏離根據萬有引力定律計算出來的軌道，引起了人們的思考，推測天王星軌道外面存在未知行星，進而發現了海王星，故A、C正確，B錯誤；哈雷依據萬有引力定律預言了哈雷彗星的回歸，故D正確。]
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3．土星周圍有美麗壯觀的“光環”，組成環的顆粒是大小不等、線度從1 μm到10 m的巖石、塵埃，類似于衛星，它們與土星中心的距離從7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知環的外緣顆粒繞土星做圓周運動的周期約為14 h，引力常量為6.67×10-11 N·m2/kg2，則土星的質量約為(估算時不考慮環中顆粒間的相互作用)(　　)
A．9×1016 kg B．6×1017 kg
C．9×1025 kg D．6×1026 kg
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4．金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
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5．(選自粵教版教材)月球的半徑為r。登上月球的航天員想用一個彈簧測力計和一個質量為m的砝碼估測月球的質量，這種做法可行嗎？如果可行，請寫出測量原理和實施方案。
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上式中m和r為已知量，引力常量G 也可以查得，所以再通過彈簧測力計測得砝碼的重力F，即可估測月球的質量。
實施方案：在月球表面將質量為m的砝碼掛在彈簧測力計掛鉤下，待砝碼穩定后讀出彈簧測力計的示數，即為砝碼所受的重力F，最后將m、r、F、G 代入M的表達式即可得到月球的質量。
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[答案]　可行，原理及實施方案見解析
回歸本節知識，完成以下問題：
1．計算天體質量有哪幾種方法？
2．為什么說海王星是筆尖下發現的行星？
提示：因為其軌道是根據天王星的觀測資料計算出來的。
3．天體運行的速度、周期、角速度和軌道半徑有什么關系？
提示：軌道半徑越大，速度越小，周期越長，角速度越小。
課時分層作業（十）
?題組一　天體質量和密度的計算
1．天文學家發現某恒星周圍有一顆行星在圓形軌道上繞其運動，并測出了行星的軌道半徑和運行周期。引力常量為G ，由此可推算出(　　)
A．行星的質量　　　 B．行星的半徑
C．恒星的質量 D．恒星的半徑
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3．(2021·廣東卷)2021年4月，我國自主研發的空間站天和核心艙成功發射并入軌運行。若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是(　　)
A．核心艙的質量和繞地半徑
B．核心艙的質量和繞地周期
C．核心艙的繞地角速度和繞地周期
D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
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6．(多選)把太陽系各行星的運動近似地看作勻速圓周運動，則離太陽越遠的行星(　　)
A．周期越小　　　 B．線速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
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8．2023年10月26日，我國神舟十七號載人飛船入軌后，按照預定程序，與在同一軌道上運行的天和核心艙交會對接，航天員進駐天和核心艙。交會對接后神舟十七號飛船與天和核心艙的組合體軌道不變，將對接前飛船與對接后的組合體對比，下面說法正確的是(　　)
A．組合體的環繞速度大于神舟十七號飛船的環繞速度
B．組合體的環繞周期大于神舟十七號飛船的環繞周期
C．組合體的向心加速度大于神舟十七號飛船的向心加速度
D．組合體所受的向心力大于神舟十七號飛船所受的向心力
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11．“天問一號”是執行中國首次火星探測任務的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學真理征途漫漫，追求科技創新永無止境。已經測出火星上的氣體非常稀薄，相對于地球上的氣體可以忽略不計，若在距火星表面高h處以初速度v0水平拋出一個物體，落到火星表面時落地點與拋出點間的水平距離為L，已知引力常量為G ，火星的半徑為R，h R。
(1)火星的質量是多少？
(2)火星的平均密度是多少？
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12．我國自行研制的天問一號火星探測器于2021年5月15日成功著陸火星。設著陸前后探測器對火星完成了“繞、著、巡”三項目標考查。如圖所示，探測器經過一系列的制動減速進入火星近地圓軌道繞火星做勻速圓周運動，之后再經過制動在火星表面著陸。著陸后，探測器上的科研裝置，將一個小球從離地面h的高度由靜
止釋放，做自由落體運動，測得小球經
過時間t落地。已知引力常量為G ，火星
的半徑為R，求：
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(1)火星表面重力加速度；
(2)火星的質量及平均密度；
(3)探測器在火星近地圓軌道速度的大小。
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