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第2課時　功率
[學習任務]　1．理解功率的概念，能運用功率的定義式P＝進行有關的計算。
2．理解公式P＝Fv的意義，并用來分析牽引力與速度的關系。
3．會利用P＝Fv結合動力學知識分析機車啟動問題。
[問題初探]　問題1．什么是功率？
問題2．功率的物理意義是什么？
問題3．怎樣計算平均功率和瞬時功率？
[自我感知]　經過你認真的預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系。
　功率
1．定義：力對物體所做的功W與完成這些功所用時間t的比值。
2．定義式：P＝。
3．單位：在國際單位制中，功率的單位是瓦特，簡稱瓦，用符號W表示。
4．意義：功率是標量，它是表示物體做功快慢的物理量。
5．輸入功率與輸出功率
(1)輸入功率：機器工作時，外界對機器做功的功率。
(2)輸出功率：機器對外界做功的功率。
(3)機械效率：η＝。
6．額定功率與實際功率
(1)額定功率：機器長時間正常工作允許的最大輸出功率。
(2)實際功率：機器實際工作時的輸出功率。
(3)關系：實際功率往往小于額定功率。
7．功率與速度
(1)關系：當一個力與物體運動方向在同一直線上時，這個力對物體做功的功率等于這個力與物體速度的乘積。
(2)關系式：P＝Fv。
①若v是物體的平均速度，則P＝Fv為對應時間t內的平均功率。
②若v是瞬時速度，則P表示該時刻的瞬時功率。
(3)應用：從P＝Fv可以看出，汽車、火車等交通工具，當發動機的輸出功率P一定時，牽引力F與速度v成反比，要增大牽引力，就要減小速度。
如圖所示是解放軍正用吊車將一輛坦克車從碼頭上吊起裝上艦船，將質量為m的坦克車勻速吊起，坦克車在t時間內勻速上升h高度(重力加速度為g)。
【問題】
(1)怎樣計算吊車t時間內的平均功率？
(2)若坦克車在相同的時間t內，從靜止開始以加速度a勻加速上升高度h時，該過程中吊車的平均功率是多少？
(3)若坦克車在相同的時間t內，從靜止開始以加速度a勻加速上升，則t時刻瞬時功率是多少？
提示：(1)坦克車勻速上升，根據平衡條件有吊車對坦克車的拉力F＝mg，則吊車對坦克車做的功W＝Fh＝mgh。功率P＝。
(2)由牛頓第二定律可得F′－mg＝ma，該過程中吊車的平均功率為。
(3)瞬時功率為P瞬＝F′v＝m(g＋a)at。
1．平均功率的計算
(1)利用 。
(2)利用 ＝Fcos α，其中F為恒力， 為物體運動的平均速度。
2．瞬時功率的計算
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v為瞬時速度。
(2)若vF為物體的速度在力F方向上的分速度，則P＝FvF。
(3)若Fv為物體所受外力在速度v方向上的分力，則P＝Fvv。
3．平均功率與瞬時功率的區別與聯系
平均功率表示物體在某段時間內做功的平均快慢，瞬時功率表示力在某時刻做功的快慢。所以平均功率大，物體的瞬時功率不一定大。
【典例1】　(對平均功率與瞬時功率的理解)(多選)如圖所示，定點投籃訓練時，籃球兩次從出手到進筐在空中的運動軌跡對應a、b兩段曲線，不計空氣阻力，比較這兩次投籃，籃球沿a曲線(　　)
A．進筐時重力的瞬時功率較小
B．進筐時重力的瞬時功率較大
C．克服重力做功的平均功率較小
D．克服重力做功的平均功率較大
BC　[由題圖可知，籃球沿a曲線運動時，最大高度較大，拋出時的豎直速度較大。落到籃筐中的豎直速度也較大，根據PG＝G vy可知，籃球沿a曲線進筐時重力的瞬時功率較大，故A錯誤，B正確；因籃球沿a曲線運動拋出時的豎直速度較大，根據t＝可知，在空中運動的時間較長，而兩次籃球的初、末位置都相同，則克服重力做功相同，根據P＝可知，籃球沿a曲線運動時克服重力做功的平均功率較小，故C正確，D錯誤。]
【典例2】　(平均功率與瞬時功率的計算)質量為m＝0.5 kg 的物體自由下落，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：(物體未落地)
(1)從物體開始下落，前3 s內重力對物體做功的平均功率P；
(2)第3 s末重力對物體做功的瞬時功率P′。
[解析]　(1)由h＝gt2可得
h＝×10×32 m＝45 m
重力所做的功為W＝mgh＝225 J
前3 s內重力做功的平均功率為
P＝ W＝75 W。
(2)第3 s末物體的速度為
v＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
重力在第3 s末對物體做功的瞬時功率為
P′＝mgv＝150 W。
[答案]　(1)75 W　(2)150 W
【典例3】　(選自魯科版教材·平均功率與瞬時功率的計算)跳繩是一種健身運動。一位同學在原地跳繩過程中，離開地面后豎直方向的速率—時間圖像如圖所示。若已知t0和跳繩者的質量m，重力加速度為g，不計阻力，請估算：
(1)跳繩者重心上升的最大高度；
(2)t0時間內，跳繩者克服重力做功的平均功率。
[解析]　(1)根據題意，上升的時間為
t1＝t0＝t0
所以上升的最大高度
h ＝＝。
(2)t0時間內克服重力做的功為
W＝mgh
功率為P＝mg2t0。
[答案]　　(2)mg2t0
　計算功率應該注意的問題
(1)明確所求的功率是平均功率還是瞬時功率。
(2)求平均功率時，應明確是哪一段時間內的平均功率；求瞬時功率時，應明確是哪一時刻的瞬時功率。
(3)應該明確是哪一個力對物體做功的功率，是動力還是阻力，是恒力還是變力等。
　機車啟動的兩種方式
1．兩種啟動過程對比
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P-t圖像和 v-t圖像
牽引力的 變化圖像
OA 段 過程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不變 F不變 P＝Fv↑直到P額＝Fv1
運動 性質 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間t0＝
AB 段 過程 分析 F＝Ff a＝0 Ff＝ v↑ F＝↓ a＝↓
運動 性質 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段 — F＝Ff a＝0 Ff＝，以vm做勻速直線運動
2．幾個重要關系式
(1)機車的最大速度vmax的求法：達到最大速度時，a＝0，即牽引力F等于阻力F阻，故vmax＝。
(2)勻加速啟動最長時間的求法：牽引力F＝ma＋F阻，勻加速的最后速度vmax′＝，時間t＝。
(3)瞬時加速度的求法：據F＝求出對應瞬時速度v的牽引力，則加速度a＝。
【微提醒】　P＝Fv中F為機車的牽引力而不是合力，無論哪種運行過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vmax＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力F阻)。
【典例4】　(以恒定功率啟動)某汽車公司展示了最新研發的、具有百分百自主知識產權的無人駕駛技術。在一次性能測試中，汽車發動機的額定功率為40 kW，質量為1 000 kg，當汽車在水平路面上行駛時受到阻力為自重的0.2，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)汽車在路面上能達到的最大速度大小；
(2)若汽車以額定功率啟動，當汽車速度為8 m/s時的加速度大小。
[解析]　(1)當牽引力等于阻力時，汽車速度達到最大，則有
P＝Fvm＝fvm
可得最大速度大小為
vm＝ m/s＝20 m/s。
(2)當速度v＝8 m/s時，牽引力大小為
F1＝ N＝5×103 N
根據牛頓第二定律得
F1－f＝ma
可得加速度大小為
a＝ m/s2＝3 m/s2。
[答案]　(1)20 m/s　(2)3 m/s2
【典例5】　(以恒定加速度啟動)(多選)一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動，在前5 s內做勻加速直線運動，5 s末達到額定功率，之后保持額定功率運動，其v-t圖像如圖所示，已知汽車的質量m＝2×103 kg，汽車受到地面的阻力為車重的0.1，取重力加速度g＝10 m/s2，則(　　)
A．汽車在前5 s內的牽引力為6×103 N
B．汽車的額定功率為120 kW
C．汽車的最大速度為vm＝30 m/s
D．當汽車速度為20 m/s時，汽車加速度大小為2 m/s2
BD　[汽車在前5 s內做勻加速直線運動，由題圖可知加速度a＝3 m/s2，由牛頓第二定律F－f＝ma，得F＝f＋ma＝(0.1×2×103×10＋2×103×3)N＝8×103 N，A錯誤；汽車在5 s末功率達到額定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正確；當牽引力等于阻力時，汽車達最大速度，則最大速度vm＝ m/s＝60 m/s，C錯誤；當汽車速度為20 m/s時，則F1＝ N＝6×103 N，F1－f＝ma1，得a1＝2 m/s2，D正確。]
【典例6】　(選自粵教版教材·以恒定加速度啟動)如圖所示是修建高層建筑常用的塔式起重機，在起重機將質量m＝5×103 kg的重物沿豎直方向吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度a＝0.2 m/s2，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做vmax＝1.2 m/s的勻速運動，不計額外功，求：(取重力加速度g＝10 m/s2)
(1)重物做勻速運動時，起重機的輸出功率；
(2)重物做勻加速直線運動時的最大速度大小(結果保留三位有效數字)。
[解析]　(1)設起重機允許輸出的最大功率為Pm，重物達到最大速度時，此時重物做勻速直線運動，所受拉力F大小等于重力。由
Pm＝Fvmax
F＝mg
可得起重機的最大輸出功率為
Pm＝mgvmax＝6.0×104 W。
(2)勻加速運動結束時，起重機達到允許輸出的最大功率，設此時重物受到的拉力為F1，速度為v′m，由
F1－mg＝ma
Pm＝F1v′m
可解得v′m≈1.18 m/s。
[答案]　(1)6.0×104 W　(2)1.18 m/s
【典例7】　(兩種啟動方式綜合運用)在平直路面上運動的汽車的額定功率為60 kW，若其總質量為5 t，在水平路面上所受的阻力為5×103 N。
(1)求汽車所能達到的最大速度大小。
(2)若汽車以0.5 m/s2的加速度由靜止開始做勻加速運動，則這一過程能維持多長時間？
(3)若汽車以額定功率啟動，則汽車車速v′＝2 m/s時其加速度為多大？
[解析]　(1)當汽車速度達到最大時，牽引力F＝Ff，
則由P＝Fv得汽車所能達到的最大速度
vmax＝ m/s＝12 m/s。
(2)設汽車以恒定的加速度a做勻加速運動，能夠達到的最大速度為v，則有
－Ff＝ma
得v＝ m/s＝8 m/s，
由v＝at得這一過程維持的時間
t＝ s＝16 s。
(3)當汽車以額定功率啟動達到2 m/s的速度時，牽引力F′＝ N＝3×104 N
由牛頓第二定律得汽車的加速度
a′＝ m/s2＝5 m/s2。
[答案]　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2
　用公式P＝Fv處理機車啟動問題時應注意的問題
(1)公式P＝Fv中的F指的是機車的牽引力，而不是合力。
(2)只有機車勻速運動時，牽引力F才等于它受到的阻力Ff大小。
(3)機車以恒定加速度啟動時，勻加速結束時的速度并沒有達到最終勻速運動的速度vm。
【教用·備選例題】　某同學對一輛自制小遙控車的性能進行測試，讓小車在水平地面上由靜止開始運動。小車上的傳感器將小車運動的全過程記錄下來，通過數據處理得到如圖所示的v-t圖像。已知小車在0～2 s內做勻加速直線運動，2～10 s內小車牽引力的功率保持不變，在10 s末停止遙控，關閉電動機。小車的總質量m＝1 kg，整個過程中小車受到的阻力保持不變。求：
(1)小車關閉電動機后加速度a1的大小及阻力的大?。?br/>(2)小車的額定功率；
(3)小車勻加速啟動時加速度a2的大小及牽引力的大?。?br/>(4)小車3 s時速度為5 m/s，此時小車加速度a3的大??；
(5)0～8 s內電動機對小車做的功。
[解析]　(1)對小車分析，關閉電動機后在10～14 s內由
a＝
解得加速度大小
a1＝ m/s2＝2 m/s2
根據牛頓第二定律有
f＝ma1
解得阻力的大小
f＝2 N。
(2)小車在2～10 s內功率不變，設為P，在8～10 s內，由小車做勻速運動，根據平衡條件可得
F2＝f
根據功率
P＝F2vm
解得P＝16 W。
(3)在0～2 s內，由
a＝
解得a2＝＝2 m/s2
根據牛頓第二定律有
F1－f＝ma2
解得F1＝4 N。
(4)小車3 s時速度為5 m/s，此時牽引力大小
F3＝＝3.2 N
根據牛頓第二定律
F3－f＝ma3
解得a3＝1.2 m/s2。
(5)0～2 s的位移
x1＝×4×2 m＝4 m
0～8 s時電動機對小車做的功
W＝F1x1＋Pt2
代入數據可得
W＝4×4 J＋16×6 J＝112 J。
[答案]　(1)2 m/s2　2 N　(2)16 W　(3)2 m/s2　4 N　(4)1.2 m/s2　(5)112 J
1．(選自魯科版教材)某同學的質量為50 kg，所騎自行車的質量為15 kg，設該同學在平直路面上正常騎行時自行車的功率為40 W，若人與車受到的阻力是其重力的0.02倍，重力加速度g取10 m/s2，則勻速騎行自行車時的速度大小約為(　　)
A．3 m/s B．6 m/s　　
C．13 m/s　　 D．30 m/s
A　[根據P＝Fv，勻速運動時F＝f＝0.02×65×10 N＝13 N，則v＝ m/s≈3 m/s，故選A。]
2．一位質量為60 kg的同學從一樓走到五樓的時間為一分鐘，已知每層樓的高度約為3 m，重力加速度g取10 m/s2。則該同學上樓過程克服重力做功的平均功率約為(　　)
A．12 W B．15 W
C．120 W D．150 W
C　[根據功率的定義 P＝，其中t＝60 s，h＝12 m，代入數據解得平均功率P＝120 W，故選C。]
3．機車以下列兩種方式啟動，且沿直線運動(設阻力不變)。方式①：機車以不變的額定功率啟動；方式②：機車的啟動功率先隨速度均勻增加，后保持額定功率不變。如圖所示給出的四個圖像中，能夠正確反映機車的速度v隨時間t變化的是(　　)
A．甲對應方式①，乙對應方式②
B．乙對應方式①，丙對應方式②
C．甲對應方式①，丙對應方式②
D．丙對應方式①，丁對應方式②
B　[機車以不變的額定功率啟動時，由公式得P＝Fv，時間增大，速度v增大，P恒定時，F減小，對機車受力分析得F－f＝ma，F減小，則a減小，當F＝f時，速度不再變化，則題圖乙為機車以不變的額定功率啟動的速度時間圖像。機車以恒定牽引力啟動時，對機車受力分析得F－f＝ma，則加速度a不變，機車做勻加速直線運動，當增大到額定功率時，隨著速度的繼續增加，牽引力變小，加速度變小，做加速度減小的加速運動，當牽引力減小到和阻力相等后，機車做勻速直線運動，則題圖丙是機車的啟動功率先隨速度均勻增加，后保持額定功率不變的啟動的速度時間圖像。故選B。]
4．質量為50 kg的某同學在做引體向上，從雙臂伸直到肩部與單杠同高度算1次，若他在1分鐘內完成了12次，每次肩部上升的距離均為0.5 m，重力加速度大小g＝10 m/s2，則他在1分鐘內克服重力所做的功及相應的功率約為(　　)
A．250 J，5 W B．3 000 J，250 W
C．3 000 J，50 W D．6 000 J，100 W
C　[1分鐘內完成了12次引體向上，克服重力所做的功W＝12mgh＝3 000 J，平均功率P＝ W＝50 W，故選C。]
5．如圖所示，質量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的固定斜面上由靜止開始下滑，木塊與斜面間的動摩擦因數μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s內重力做的功；
(2)前2 s內重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬時功率。
[解析]　(1)木塊所受的合力
F合＝mg sin θ－μmg cos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木塊的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s內木塊的位移
s＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s內做的功為
W＝mgs sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J。
(2)前2 s內重力的平均功率為
W＝24 W。
(3)木塊在2 s末的速度
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬時功率
P＝mgv sin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。
[答案]　(1)48 J　(2)24 W　(3)48 W
回歸本節知識，完成以下問題：
1．功率的計算有哪幾種方式？
提示：平均功率P＝，瞬時功率P＝Fv cos α。
2．平均功率與瞬時功率的區別？
提示：平均功率表示物體在某段時間內做功的平均快慢，瞬時功率表示力在某時刻做功的快慢。所以平均功率大，物體的瞬時功率不一定大。
3．兩種啟動方式中如何求最大速度？
提示：達到最大速度時，牽引力與阻力相等，vmax＝。
課時分層作業(十四)
?題組一　功率的分析與計算
1．下列關于功率的計算式P＝和P＝Fv說法正確的是(　　)
A．據P＝可知，機器做功越多，其功率就越大
B．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率
C．由P＝Fv只能求某一時刻的瞬時功率
D．由P＝Fv知，當汽車發動機功率一定時，牽引力與速度成反比
D　[公式P＝中，做功W越大，但是時間t不知道，所以功率并不一定大，A錯誤；公式P＝是求一段時間的平均功率，B錯誤；P＝Fv中，當速度是瞬時速度時，求的是瞬時功率，當速度為平均速度時，求的就是平均功率，C錯誤；由P＝Fv可知，當P一定時，F與v成反比，D正確。故選D。]
2．某力做的功隨時間變化的關系如圖所示，該力做功的功率為(　　)
A．10 W　　　 B．20 W
C．30 W D．40 W
B　[由功率的計算公式P＝，可得W＝Pt，由題圖可知，W與t的數值關系式為W＝20t J，即P＝20 W，故選項B正確。]
3．如圖所示是小孩滑滑梯的情境，假設滑梯是固定光滑斜面，傾角為30°，小孩質量為m，由靜止開始沿滑梯下滑，重力加速度為g，在滑梯上滑行距離為s時，重力的瞬時功率為(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
B　[小孩的加速度a＝g，由v2＝2as得，小孩滑行距離為s時的速率v＝，故此時重力的瞬時功率P＝mgv sin 30°＝mg，B正確。]
4．質量為50 kg的同學做仰臥起坐運動。若該同學上半身的質量約為全身質量的，她在1 min內做了50個仰臥起坐，每次上半身重心上升的距離均為0.3 m，g取10 m/s2，則她1 min內克服重力做的功W和相應的功率P約為(　　)
A．W＝4 500 J，P＝75 W
B．W＝4 500 J，P＝7.5 W
C．W＝3 600 J，P＝60 W
D．W＝3 600 J，P＝6 W
A　[每次上半身重心上升的距離均為0.3 m，則她每一次克服重力做的功W0＝mgh＝×50×10×0.3 J＝90 J，1 min內克服重力所做的功W＝50W0＝50×90 J＝4 500 J，相應的功率約為P＝ W＝75 W，故A正確，B、C、D錯誤。]
?題組二　機車啟動的兩種方式
5．汽車由靜止開始運動，若要使汽車在開始運動的一小段時間內保持勻加速直線運動，則(　　)
A．不斷增大牽引力和牽引力的功率
B．不斷減小牽引力和牽引力的功率
C．保持牽引力不變，不斷增大牽引力功率
D．不能判斷牽引力功率怎樣變化
C　[汽車保持勻加速直線運動，所受合力不變，其中牽引力也不變，但速度增大，牽引力的功率增大，C正確，A、B、D錯誤。]
6．某探測器在月面點火，順利攜帶月壤送入預定環月軌道。已知1 000牛約等于1.36馬力，1馬力約等于735瓦特。該探測器以3 000 牛的恒定功率上升，發動機工作6分鐘做的功約為(　　)
A．1×104 J　　　　　 B．1×105 J
C．1×106 J D．1×107 J
C　[功率恒定，加速上升，因此牽引力減小，為變力做功，根據題干信息得W＝Pt＝×1.36×735×6×60 J≈1×106 J，故選項C正確。]
7．(多選)質量為m的汽車由靜止開始以加速度a做勻加速運動，經過時間t，汽車達到額定功率，則下列說法正確的是(　　)
A．at是汽車額定功率下的速度最大值
B．at不是汽車額定功率下的速度最大值
C．汽車的額定功率是ma2t
D．題中所給條件求不出汽車的額定功率
BD　[汽車在額定功率下的最大速度是a＝0時，vm＝，故A項錯誤，B項正確；汽車的功率是牽引力的功率，不是合力的功率，故C項錯誤；由F－Ff＝ma可知，F＝Ff＋ma，因Ff未知，則求不出F，故求不出汽車的額定功率，故D項正確。]
8．一輛汽車以功率P1在平直公路上勻速行駛，駕駛員突然減小油門，使汽車的功率減小為P2并繼續行駛。若整個過程中阻力恒定不變，汽車發動機的牽引力將(　　)
A．保持不變
B．不斷減小
C．突然減小，再增大，后保持不變
D．突然增大，再減小，后保持不變
C　[由P1＝Fv知，當汽車以功率P1勻速行駛時，F＝Ff，加速度a＝0，若突然減小油門，汽車的功率由P1減小到P2，則F突然減小，整個過程中阻力Ff恒定不變，即減小油門后F＜Ff，所以汽車將減速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不變繼續行駛，v減小，F增大，當F＝Ff時，汽車不再減速，而以一較小速度勻速行駛，牽引力不再增大。故選項C正確。]
9．汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發動機功率為P，快進入鬧市區時，司機減小了油門，使汽車的功率立即減小一半并保持該功率繼續行駛。下面四個圖像中，哪個圖像正確表示了從司機減小油門開始，汽車的速度與時間的關系(　　)
A 　　　　　　B
C 　　　　　D
C　[汽車在勻速行駛時牽引力等于阻力，而當功率減半時速度不變，由此可知牽引力減半，故阻力大于牽引力，車將減速，因功率恒定，而牽引力變大，由a＝知加速度逐漸減小，故做變減速運動。當牽引力等于阻力后，汽車將做勻速運動。由以上分析可知C項正確。]
10．放在粗糙水平地面上的物體受到水平拉力的作用，在0～6 s內其速度與時間關系圖像和水平拉力的功率與時間關系圖像如圖甲、乙所示。下列說法正確的是(　　)
A．0～6 s內物體的位移大小為20 m
B．0～6 s內拉力做功為100 J
C．滑動摩擦力的大小為5 N
D．0～6 s內滑動摩擦力做功為－50 J
D　[由題圖甲可知，在0～6 s內物體的位移大小為x＝×(4＋6)×6 m＝30 m，故A錯誤；由題圖乙可知，P-t圖線與時間軸圍成的面積表示拉力做功的大小，則0～6 s內拉力做功為WF＝×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B錯誤；在2～6 s內，v＝6 m/s，P＝10 W，物體做勻速運動，摩擦力Ff＝F＝ N，故C錯誤；在0～6 s內物體的位移大小為 30 m，滑動摩擦力做負功，即WFf＝－×30 J＝－50 J，故D正確。]
11．若汽車的質量為2×103 kg(可視為質點)，正以10 m/s的速度向右勻速運動，如圖甲所示，汽車前方的水平路段BC較粗糙，汽車通過整個ABC路段的v -t圖像如圖乙所示(在t＝15 s處水平虛線與曲線相切)，運動過程中汽車發動機的輸出功率保持20 kW不變，假設汽車在兩個路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空氣阻力等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽車在AB路段上運動時所受阻力Ff1的大??；
(2)汽車剛好開過B點時加速度a的大小。
[解析]　(1)汽車在AB路段做勻速直線運動，根據平衡條件，有F1＝Ff1
P＝F1v1
解得Ff1＝ N＝2 000 N。
(2)t＝15 s時汽車處于平衡狀態，有
F2＝Ff2，P＝F2v2
解得Ff2＝ N＝4 000 N
剛好開過B點時汽車的牽引力仍為F1，根據牛頓第二定律，有Ff2－F1＝ma
解得加速度的大小a＝1 m/s2。
[答案]　(1)2 000 N　(2)1 m/s2
12．汽車發動機的額定功率為60 kW，汽車的質量為4 t，當它行駛在坡度為0.02(sin α＝0.02)的長直公路上時，如圖所示，所受摩擦阻力為車重的0.1(g＝10 m/s2)。
(1)求汽車所能達到的最大速度vm。
(2)若汽車從靜止開始以0.6 m/s2的加速度做勻加速直線運動，則此過程能維持多長時間(結果保留三位有效數字)
[解析]　(1)汽車在坡路上向上行駛，所受阻力由兩部分構成，即f＝0.1mg＋mg sin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因為F＝f時，額定功率P＝fvm
所以vm＝ m/s＝12.5 m/s。
(2)汽車從靜止開始，以a＝0.6 m/s2的加速度勻加速行駛，由牛頓第二定律，有
F′－f＝ma
解得F′＝ma＋f＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持這一牽引力，汽車可達到勻加速行駛的最大速度設為vm′，有
vm′＝ m/s＝ m/s
由運動學規律可以求出勻加速行駛的時間
t＝≈13.9 s。
[答案]　(1)12.5 m/s　(2)13.9 s
13．(多選)如圖所示為汽車的加速度a和車速的倒數的關系圖像，若汽車質量為2.5×103 kg，它由靜止開始沿平直公路行駛，且行駛中阻力恒定，最大車速為30 m/s，則(　　)
A．汽車的最大功率為6.5×104 W
B．汽車勻加速所需時間為4 s
C．汽車所受阻力為2.5×103 N
D．汽車在車速為5 m/s時，功率為3.75×104 W
CD　[根據牛頓第二定律可得F－f＝ma，汽車的功率為P＝Fv，解得a＝，汽車由恒定的加速度a＝2 m/s2啟動，先做勻加速直線運動，當v1＝10 m/s時，功率達到額定功率Pm，此后保持額定功率不變做加速度減小的變加速直線運動，當加速度等于零時，速度為vm＝30 m/s，此后做勻速直線運動，結合題圖可得2 m/s2＝，0＝，代入數據解得Pm＝7.5×104 W，f＝2.5×103 N，故A錯誤，C正確；勻加速運動的時間為t1＝＝5 s，故B錯誤；汽車勻加速直線運動的牽引力為F1＝f＋ma＝7.5×103 N，汽車在車速為5 m/s時正處于勻加速直線運動的階段，汽車的瞬時功率為P＝F1v＝3.75×104 W，故D正確。](共79張PPT)
第2課時　功率
第八章　機械能守恒定律
1．功與功率
整體感知·自我新知初探
[自我感知]　經過你認真的預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系。
探究重構·關鍵能力達成
1．定義：力對物體所做的_____與完成這些功所用_______的比值。
2．定義式：P＝__________。
3．單位：在國際單位制中，功率的單位是______，簡稱瓦，用符號W表示。
知識點一　功率
功W
時間t

瓦特
4．意義：功率是標量，它是表示物體做功______的物理量。
5．輸入功率與輸出功率
(1)輸入功率：機器工作時，______對機器做功的功率。
(2)輸出功率：機器對______做功的功率。
(3)機械效率：η＝______。
6．額定功率與實際功率
(1)額定功率：機器________________允許的最大輸出功率。
(2)實際功率：機器__________時的輸出功率。
(3)關系：實際功率往往______額定功率。
快慢
外界
外界

長時間正常工作
實際工作
小于
7．功率與速度
(1)關系：當一個力與物體運動方向在同一直線上時，這個力對物體做功的功率等于這個力與__________的乘積。
(2)關系式：P＝Fv。
①若v是物體的平均速度，則P＝Fv為對應時間t內的平均功率。
②若v是瞬時速度，則P表示該時刻的瞬時功率。
(3)應用：從P＝Fv可以看出，汽車、火車等交通工具，當發動機的輸出功率P一定時，牽引力F與速度v成______，要增大牽引力，就要減小速度。
物體速度
反比
如圖所示是解放軍正用吊車將一輛坦克車從碼頭上吊起裝上艦船，將質量為m的坦克車勻速吊起，坦克車在t時間內勻速上升h高度(重力加速度為g)。
【問題】
(1)怎樣計算吊車t時間內的平均功率？
(2)若坦克車在相同的時間t內，從靜止開始以加速度a勻加速上升高度h時，該過程中吊車的平均功率是多少？
(3)若坦克車在相同的時間t內，從靜止開始以加速度a勻加速上升，則t時刻瞬時功率是多少？
3．平均功率與瞬時功率的區別與聯系
平均功率表示物體在某段時間內做功的平均快慢，瞬時功率表示力在某時刻做功的快慢。所以平均功率大，物體的瞬時功率不一定大。
【典例1】　(對平均功率與瞬時功率的理解)(多選)如圖所示，定點投籃訓練時，籃球兩次從出手到進筐在空中的運動軌跡對應a、b兩段曲線，不計空氣阻力，比較這兩次投籃，籃球沿a曲線(　　)
A．進筐時重力的瞬時功率較小
B．進筐時重力的瞬時功率較大
C．克服重力做功的平均功率較小
D．克服重力做功的平均功率較大
√
√
【典例2】　(平均功率與瞬時功率的計算)質量為m＝0.5 kg 的物體自由下落，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：(物體未落地)
(1)從物體開始下落，前3 s內重力對物體做功的平均功率P；
(2)第3 s末重力對物體做功的瞬時功率P′。
[答案]　(1)75 W　(2)150 W
【典例3】　(選自魯科版教材·平均功率與瞬時功率的計算)跳繩是一種健身運動。一位同學在原地跳繩過程中，離開地面后豎直方向的速率—時間圖像如圖所示。若已知t0和跳繩者的質量m，重力加速度為g，不計阻力，請估算：
(1)跳繩者重心上升的最大高度；
(2)t0時間內，跳繩者克服重力做功的平均功率。
規律方法　計算功率應該注意的問題
(1)明確所求的功率是平均功率還是瞬時功率。
(2)求平均功率時，應明確是哪一段時間內的平均功率；求瞬時功率時，應明確是哪一時刻的瞬時功率。
(3)應該明確是哪一個力對物體做功的功率，是動力還是阻力，是恒力還是變力等。
1．兩種啟動過程對比
知識點二　機車啟動的兩種方式
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P-t圖像和
v-t圖像
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
牽引力的
變化圖像
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
OA
段 過程
分析
運動
性質 加速度減小的加速直線運動
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
AB
段 過程
分析
運動
性質 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段 —
【典例4】　(以恒定功率啟動)某汽車公司展示了最新研發的、具有百分百自主知識產權的無人駕駛技術。在一次性能測試中，汽車發動機的額定功率為40 kW，質量為1 000 kg，當汽車在水平路面上行駛時受到阻力為自重的0.2，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)汽車在路面上能達到的最大速度大?。?br/>(2)若汽車以額定功率啟動，當汽車速度為8 m/s時的加速度大小。
[答案]　(1)20 m/s　(2)3 m/s2
【典例5】　(以恒定加速度啟動)(多選)一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動，在前5 s內做勻加速直線運動，5 s末達到額定功率，之后保持額定功率運動，其v-t圖像如圖所示，已知汽車的質量m＝2×103 kg，汽車受到地面的阻力為車重的0.1，取重力加速度g＝
10 m/s2，則(　　)
A．汽車在前5 s內的牽引力為6×103 N
B．汽車的額定功率為120 kW
C．汽車的最大速度為vm＝30 m/s
D．當汽車速度為20 m/s時，汽車加速度大小為2 m/s2
√
√
【典例6】　(選自粵教版教材·以恒定加速度啟動)如圖所示是修建高層建筑常用的塔式起重機，在起重機將質量m＝5×103 kg的重物沿豎直方向吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度a＝0.2 m/s2，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做vmax＝1.2 m/s的勻速運動，不計額外功，求：(取重力加速度g＝10 m/s2)
(1)重物做勻速運動時，起重機的輸出功率；
(2)重物做勻加速直線運動時的最大速度大小(結果保留三位有效數字)。
[解析]　(1)設起重機允許輸出的最大功率為Pm，重物達到最大速度時，此時重物做勻速直線運動，所受拉力F大小等于重力。由
Pm＝Fvmax
F＝mg
可得起重機的最大輸出功率為Pm＝mgvmax＝6.0×104 W。
(2)勻加速運動結束時，起重機達到允許輸出的最大功率，設此時重物受到的拉力為F1，速度為v′m，由F1－mg＝ma
Pm＝F1v′m
可解得v′m≈1.18 m/s。
[答案]　(1)6.0×104 W　(2)1.18 m/s
【典例7】　(兩種啟動方式綜合運用)在平直路面上運動的汽車的額定功率為60 kW，若其總質量為5 t，在水平路面上所受的阻力為5×103 N。
(1)求汽車所能達到的最大速度大小。
(2)若汽車以0.5 m/s2的加速度由靜止開始做勻加速運動，則這一過程能維持多長時間？
(3)若汽車以額定功率啟動，則汽車車速v′＝2 m/s時其加速度為多大？
[答案]　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2
易錯警示　用公式P＝Fv處理機車啟動問題時應注意的問題
(1)公式P＝Fv中的F指的是機車的牽引力，而不是合力。
(2)只有機車勻速運動時，牽引力F才等于它受到的阻力Ff大小。
(3)機車以恒定加速度啟動時，勻加速結束時的速度并沒有達到最終勻速運動的速度vm。
【教用·備選例題】　某同學對一輛自制小遙控車的性能進行測試，讓小車在水平地面上由靜止開始運動。小車上的傳感器將小車運動的全過程記錄下來，通過數據處理得到如圖所示的v-t圖像。已知小車在0～2 s內做勻加速直線運動，2～10 s內
小車牽引力的功率保持不變，在10 s末停止
遙控，關閉電動機。小車的總質量m＝1 kg，
整個過程中小車受到的阻力保持不變。求：
(1)小車關閉電動機后加速度a1的大小及阻力的大?。?br/>(2)小車的額定功率；
(3)小車勻加速啟動時加速度a2的大小及牽引力的大小；
(4)小車3 s時速度為5 m/s，此時小車加速度a3的大?。?br/>(5)0～8 s內電動機對小車做的功。
(2)小車在2～10 s內功率不變，設為P，在8～10 s內，由小車做勻速運動，根據平衡條件可得
F2＝f
根據功率
P＝F2vm
解得P＝16 W。
[答案]　(1)2 m/s2　2 N　(2)16 W　(3)2 m/s2　4 N　(4)1.2 m/s2　(5)112 J
應用遷移·隨堂評估自測
1．(選自魯科版教材)某同學的質量為50 kg，所騎自行車的質量為
15 kg，設該同學在平直路面上正常騎行時自行車的功率為40 W，若人與車受到的阻力是其重力的0.02倍，重力加速度g取10 m/s2，則勻速騎行自行車時的速度大小約為(　　)
A．3 m/s B．6 m/s　　
C．13 m/s　　 D．30 m/s
√
2
4
3
題號
1
5
2．一位質量為60 kg的同學從一樓走到五樓的時間為一分鐘，已知每層樓的高度約為3 m，重力加速度g取10 m/s2。則該同學上樓過程克服重力做功的平均功率約為(　　)
A．12 W B．15 W
C．120 W D．150 W
√
2
4
3
題號
1
5
3．機車以下列兩種方式啟動，且沿直線運動(設阻力不變)。方式①：機車以不變的額定功率啟動；方式②：機車的啟動功率先隨速度均勻增加，后保持額定功率不變。如圖所示給出的四個圖像中，能夠正確反映機車的速度v隨時間t變化的是(　　)
2
4
3
題號
1
5
A．甲對應方式①，乙對應方式②
B．乙對應方式①，丙對應方式②
C．甲對應方式①，丙對應方式②
D．丙對應方式①，丁對應方式②
√
2
4
3
題號
1
5
2
4
3
題號
1
5
B　[機車以不變的額定功率啟動時，由公式得P＝Fv，時間增大，速度v增大，P恒定時，F減小，對機車受力分析得F－f＝ma，F減小，則a減小，當F＝f時，速度不再變化，則題圖乙為機車以不變的額定功率啟動的速度時間圖像。機車以恒定牽引力啟動時，對機車受力分析得F－f＝ma，則加速度a不變，機車做勻加速直線運動，當增大到額定功率時，隨著速度的繼續增加，牽引力變小，加速度變小，做加速度減小的加速運動，當牽引力減小到和阻力相等后，機車做勻速直線運動，則題圖丙是機車的啟動功率先隨速度均勻增加，后保持額定功率不變的啟動的速度時間圖像。故選B。]
4．質量為50 kg的某同學在做引體向上，從雙臂伸直到肩部與單杠同高度算1次，若他在1分鐘內完成了12次，每次肩部上升的距離均為0.5 m，重力加速度大小g＝10 m/s2，則他在1分鐘內克服重力所做的功及相應的功率約為(　　)
A．250 J，5 W B．3 000 J，250 W
C．3 000 J，50 W D．6 000 J，100 W
2
4
3
題號
1
5
√
5．如圖所示，質量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的固定斜面上由靜止開始下滑，木塊與斜面間的動摩擦因數μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s內重力做的功；
(2)前2 s內重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬時功率。
2
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題號
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題號
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題號
1
5
[答案]　(1)48 J　(2)24 W　(3)48 W
回歸本節知識，完成以下問題：
1．功率的計算有哪幾種方式？
2．平均功率與瞬時功率的區別？
提示：平均功率表示物體在某段時間內做功的平均快慢，瞬時功率表示力在某時刻做功的快慢。所以平均功率大，物體的瞬時功率不一定大。
3．兩種啟動方式中如何求最大速度？
課時分層作業（十四）
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2．某力做的功隨時間變化的關系如圖所示，該力做功的功率為
(　　)
A．10 W　　　 B．20 W
C．30 W D．40 W
√
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?題組二　機車啟動的兩種方式
5．汽車由靜止開始運動，若要使汽車在開始運動的一小段時間內保持勻加速直線運動，則(　　)
A．不斷增大牽引力和牽引力的功率
B．不斷減小牽引力和牽引力的功率
C．保持牽引力不變，不斷增大牽引力功率
D．不能判斷牽引力功率怎樣變化
√
題號
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1
C　[汽車保持勻加速直線運動，所受合力不變，其中牽引力也不變，但速度增大，牽引力的功率增大，C正確，A、B、D錯誤。]
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6．某探測器在月面點火，順利攜帶月壤送入預定環月軌道。已知
1 000牛約等于1.36馬力，1馬力約等于735瓦特。該探測器以3 000 牛的恒定功率上升，發動機工作6分鐘做的功約為(　　)
A．1×104 J　　　　　 B．1×105 J
C．1×106 J D．1×107 J
√
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1
7．(多選)質量為m的汽車由靜止開始以加速度a做勻加速運動，經過時間t，汽車達到額定功率，則下列說法正確的是(　　)
A．at是汽車額定功率下的速度最大值
B．at不是汽車額定功率下的速度最大值
C．汽車的額定功率是ma2t
D．題中所給條件求不出汽車的額定功率
√
題號
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8．一輛汽車以功率P1在平直公路上勻速行駛，駕駛員突然減小油門，使汽車的功率減小為P2并繼續行駛。若整個過程中阻力恒定不變，汽車發動機的牽引力將(　　)
A．保持不變
B．不斷減小
C．突然減小，再增大，后保持不變
D．突然增大，再減小，后保持不變
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C　[由P1＝Fv知，當汽車以功率P1勻速行駛時，F＝Ff，加速度a＝0，若突然減小油門，汽車的功率由P1減小到P2，則F突然減小，整個過程中阻力Ff恒定不變，即減小油門后F＜Ff，所以汽車將減速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不變繼續行駛，v減小，F增大，當F＝Ff時，汽車不再減速，而以一較小速度勻速行駛，牽引力不再增大。故選項C正確。]
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9．汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發動機功率為P，快進入鬧市區時，司機減小了油門，使汽車的功率立即減小一半并保持該功率繼續行駛。下面四個圖像中，哪個圖像正確表示了從司機減小油門開始，汽車的速度與時間的關系(　　)
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A 　　　　　　B
C 　　　　　D
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10．放在粗糙水平地面上的物體受到水平拉力的作用，在0～6 s內其速度與時間關系圖像和水平拉力的功率與時間關系圖像如圖甲、乙所示。下列說法正確的是(　　)
A．0～6 s內物體的位移大小為20 m
B．0～6 s內拉力做功為100 J
C．滑動摩擦力的大小為5 N
D．0～6 s內滑動摩擦力做功為－50 J
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11．若汽車的質量為2×103 kg(可視為質點)，正以10 m/s的速度向右勻速運動，如圖甲所示，汽車前方的水平路段BC較粗糙，汽車通過整個ABC路段的v -t圖像如圖乙所示(在t＝15 s處水平虛線與曲線相切)，運動過程中汽車發動機的輸出功率保持20 kW不變，假設汽車在兩個路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空氣阻力等)各自有恒定的大小。求：
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(1)汽車在AB路段上運動時所受阻力Ff1的大??；
(2)汽車剛好開過B點時加速度a的大小。
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[答案]　(1)2 000 N　(2)1 m/s2
12．汽車發動機的額定功率為60 kW，汽車的質量為4 t，當它行駛在坡度為0.02(sin α＝0.02)的長直公路上時，如圖所示，所受摩擦阻力為車重的0.1(g＝10 m/s2)。
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(1)求汽車所能達到的最大速度vm。
(2)若汽車從靜止開始以0.6 m/s2的加速度做勻加速直線運動，則此過程能維持多長時間(結果保留三位有效數字)
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[答案]　(1)12.5 m/s　(2)13.9 s
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