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中小學教育資源及組卷應用平臺
2024-2025學年浙教版八年級（下）數學期末模擬試題3
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題
1．把的根號外的適當變形后移入根號內，得（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知方程 有兩個實數根，且這兩根之比為 ，則 的值為（ ）
A． B． C．4 D．6
4．在一次主題為“暢想未來”的比賽中，某班5名參賽成員的成績（單位：分）分別為92，87，94，87，90．關于這組數據，下列說法錯誤的是（　　）
A．平均數是89 B．中位數是90 C．眾數是87 D．方差是
5．已知點，點，點，以三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．數學學習需要仔細判斷，嚴謹思考．下列說法正確的是（ ）
A．若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是且
B．甲數據方差，乙數據方差，則乙數據比甲數據更穩定
C．在平面四邊形中，若且，則四邊形為平行四邊形
D．將代數式化簡可得
7．如圖，矩形被分割成4個直角三角形和1個小矩形后仍是中心對稱圖形．設上下兩個直角三角形的面積都為，左右兩個直角三角形的面積都為，中間小矩形的面積為，若對角線，則矩形的面積一定可以表示為（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，三點反比例函數的圖象上，則下列判斷正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
9．如圖，線段，點P在線段上，且，分別以點A和點B為圓心，的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和點D，連接，則點C到邊的距離是（ ）
A． B． C．4 D．3
10．如圖，正方形在平面直角坐標系中的點和點的坐標為、，點在雙曲線上.若正方形沿軸負方向平移個單位長度后，點恰好落在該雙曲線上，則的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
11．計算： ．
12．已知是關于的一元二次方程（其中為實數）的一個非零實數根，若記為，則與的關系是 ．
13．一組數據的方差，根據算式信息，該組數據的平均數是 ．
14．你留意過嗎？如圖1，硬幣上出現的這個多邊形是正九邊形．現請你仔細分析正九邊形的相關特征，完成下面的問題：
如圖2．正九邊形中，邊，的延長線交于點B．
（1）則 度；
（2）若，，，則a，b，c滿足怎樣的數量關系？答： ．
15．如圖，正方形由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形組成，連結．若，則 ．
16．在平面直角坐標系xOy中，對于任意的實數，直線都經過平面內一個定點．反比例函數的圖象與直線交于點和另外一點．當時，的取值范圍為 ．
三、解答題
17．（1）已知，則.
（2）已知，試求代數式的值.
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．在一次學校演講比賽中，評分辦法采用10位評委現場打分，現10位評委給甲、乙兩位選手打分記錄如下：
甲：8 8 7 8 7 9 9 8 8 8
乙：9 9 7 10 8 7 8 10 1 9
(1)根據以上打分記錄數據計算得乙的平均分7.8（分），請求出甲的平均分；
(2)有人提出乙中第九個打分記錄“1”分不夠客觀，從而影響評審結果的公平、公正，為了消除這種現象，請你提出合適的統計計分方案，并根據你提出的方案通過計算比較判斷誰獲勝；
(3)經過調查后發現，第九個打分記錄“1”確實記錄有誤，得知對評委打分有一個要求：即同一個評委對兩名選手的打分差距不得超過2分，所以學校認定乙獲勝，你覺得這樣做是否有誤，請說明理由．
20．“巫山紅葉醉人心，三峽龍脊徒步尋．” 今年巫山紅葉節又推出一張旅游名片三峽龍脊，吸引了無數徒步愛好者前來探尋．某旅游品商店抓住商機，以每件20元的批發價進了一批旅游紀念品在紅葉節期間銷售，商店銷售時發現：每件定價30元，每天能賣出500件，若每件定價每上漲1元，其銷售量將減少10件
(1)若每件紀念品售價為35元，求商店每天銷售這種旅游紀念品的利潤為多少元．
(2)若商店為了實現每日8000元的銷售利潤，并使消費者得到實惠，每件紀念品的售價應定為多少元．
21．如圖，在中，對角線，交于點，，，垂足分別為E，F．
(1)求證：；
(2)若，求的長；
(3)若，，當時，求的面積．
22．數學課上，潘老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的高線等于這條邊的一半，那么稱這個三角形為“垂美三角形”，這條邊稱為這個三角形的“垂美邊”.
概念理解:
(1)如圖①，已知∠A＝90°，AB＝AC，請證明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”.
探索運用:
(2)已知等腰△ABC是“垂美三角形”，請求出頂角的度數.
能力提升：
(3)如圖②，在直角坐標系中，點A為x軸正半軸上動點，在反比例函數的圖象上是否存在點B，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”，若存在，請求出點B的坐標.
23．如圖1，兩個全等的直角三角形和的斜邊和在同一直線上，，并連接，．
【操作思考】
（1）在沿直線平移過程中，求證：；
【拓展探究】
（2）如圖2，若四邊形為菱形，，，求的長．
24．如圖，正方形的邊，在坐標軸上，點B的坐標為，點從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿軸向點運動；點從點同時出發，以相同的速度沿軸的正方向運動，規定點到達點時，點也停止運動．連結，過點作的垂線，與過點平行于軸的直線相交于點D．與軸交于點，連結．設點P運動的時間為．
(1)的度數為__________，點的坐標為__________（用t表示）；
(2)當t為何值時，是以為頂點的等腰三角形．
(3)探索周長是否隨時間t的變化而變化，若變化，說明理由，若不變，試求這個定值．
參考答案
1．【考點】二次根式有意義的條件、利用二次根式的性質化簡
【分析】本題主要考查二次根式的性質．由題意易得，然后根據二次根式的性質可進行求解．
解：由題意得：，
解得：，
∴；
故選：D．
2．【考點】解一元二次方程——配方法
【分析】此題考查了解一元二次方程 配方法，利用此方法解方程時，首先將方程常數項移到右邊，未知移到左邊，二次項系數化為1，然后方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個非負常數，開方即可求出解．
解：，即，
方程兩邊同時加1，可得，即，
故選：B．
3．【考點】一元二次方程的根與系數的關系
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，
先將原方程整理成一元二次方程的一般形式，設兩個根是，再根據兩根之和求出a，然后根據兩根之積求出答案．
解：由題意，得，
設兩個根是，
則，
解得，
∴這兩個根是，
∴，
解得．
故選：C．
4．【考點】求一組數據的平均數、求方差、求中位數、求眾數
【分析】根據平均數，中位數，眾數及方差的計算方法計算即可判斷答案．
解：A、這組數據的平均數是（分），所以選項A錯誤，符合題意；
B、將這組數據從小到大排列為87，87，90，92， 94．則中位數是90分，所以選項B正確，不符合題意；
C、組數據的眾數是87，選項C正確，不符合題意；
D、這組數據的方差是（分），所以選項D正確，不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了平均數，中位數，眾數及方差的計算，熟練掌握平均數，中位數，眾數及方差的計算是解題的關鍵．
5．【考點】利用平行四邊形的性質求解、判斷點所在的象限
【分析】已知A、B、C三點坐標，在直角坐標系標注出來，根據平行四邊形的性質，可畫出草圖，即可求解．
解：根據平行四邊形的性質可知，對邊相等，可得另一個頂點D坐標如圖，可在第一象限、第三象限和第四象限，不可能在第二象限．
故選：B
【點評】本題結合平面直角坐標系，考查了平行四邊形的性質，根據題意畫出草圖，注重數形結合是解題的關鍵．
6．【考點】判斷能否構成平行四邊形、根據方差判斷穩定性、同分母分式加減法、二次根式有意義的條件
【分析】本題考查方差，分式和二次根式有意義的條件，平行四邊形的判定，關鍵是熟練掌握相關考點．根據方差，分式和二次根式有意義的條件，平行四邊形的判定判斷即可．
解：A、使代數式有意義的的取值范圍是且，原說法錯誤，不符合題意；
B、甲數據方差，乙數據方差，則甲數據比乙數據更穩定，原說法錯誤，不符合題意；
C、在平面四邊形中，若且，則四邊形為不一定是平行
D、，原說法正確，符合題意．
故選：D
7．【考點】根據三角形中線求面積、利用矩形的性質證明、利用平行四邊形的判定與性質求解
【分析】本題考查中心對稱，矩形的性質，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質等知識．如圖，延長交于點，連接．證明四邊形是平行四邊形，推出，推出，可得，即可解決問題．
解：如圖，延長交于點，連接．
由題意，，
，
∵，，
∴，
∵，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
故選：A．
8．【考點】判斷反比例函數的增減性、比較反比例函數值或自變量的大小
【分析】本題考查了反比例函數圖象的性質，掌握反比例函數圖象經過的象限，增減性是解題的關鍵．根據反比例函數的解析式得到反比例函數經過第二、四象限，每個象限隨的增大而增大，由此即可求解．
解：反比例函數，
∴圖象經過第二、四象限，每個象限隨的增大而增大，
當時，即時，，故A選項錯誤，不符合題意；
當，即時，，故B選項正確，符合題意；
當，即時，，故C選項錯誤，不符合題意；
當時，即時，，故D選項錯誤，不符合題意．
故選：B ．
9．【考點】用勾股定理解三角形、利用菱形的性質求線段長、線段垂直平分線的性質
【分析】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了線段垂直平分線的性質、菱形的判定與性質．連接交于E點，先利用基本作圖得到垂直平分，則可判斷四邊形為菱形，所以，，再利用勾股定理計算出得到，設點C到邊的距離為h，然后利用菱形的面積公式得到，從而求出h即可．
解：連接交于E點，如圖，
由作圖可得垂直平分，
∴四邊形為菱形，
∴，
在中，，
∴，
設點C到邊的距離為h，
∴，
∴．
故選：B．
10．【考點】利用平移的性質求解、圖形的平移、全等三角形的性質、實際問題與反比例函數
【分析】過點作軸的垂線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交于，根據全等三角形的判定和性質，可得到點坐標和點坐標，從而求得雙曲線函數未知數和平移距離.
過點作軸的垂線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交于.
，，，.
又，，，點坐標為
將點坐標為代入，可得=4.
與同理，可得到，，點坐標為，正方形沿軸負方向平移個單位長度后，點坐標為
將點坐標為代入，可得=2. 故選B.
【點評】本題綜合考查反比例函數中未知數的求解、全等三角形的性質與判定、圖形平移等知識.涉及圖形與坐標系結合的問題，要學會通過輔助線進行求解.
11．【考點】二次根式的乘法
【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運算，熟悉掌握二次根式的乘法法則是解題關鍵．
利用二次根式的乘法法則計算，再化簡即可．
解：．
故答案為：．
12．【考點】由一元二次方程的解求參數
【分析】此題重點考查學生對一元二次方程的根的應用，把握非零實數根與題意是解題的關鍵．把k代入方程，然后把方程兩邊同時除以k得出，最后整體代入即可得出與的關系．
解：∵是關于的一元二次方程（其中為實數）的一個非零實數根，
則，
把方程兩邊同時除以k，得：，
整理得：，
∴，
故答案為：．
13．【考點】求方差
【分析】此題主要考查了方差公式，一般地設n個數據，的平均數為，則方差．
根據方差公式可直接得出答案．
解：∵方差計算公式為，
∴這組數據的平均數是3，
故答案為：3．
14．【考點】三角形的外角的定義及性質、三角形內角和定理的應用、正多邊形的內角問題、等邊三角形的性質
【分析】本題考查了正多邊形的性質，多邊形的內角和定理，三角形外角的性質，等邊三角形的判定與性質．熟練掌握以上考點是解題的關鍵．
（1）分別計算出正九邊形的外角和內角度數，進而求得和的度數，即可判斷出，根據三角形的內角和為可得的度數；
（2）連接，易得，證明是等邊三角形，可判斷，整理后即可得到a，b，c滿足的數量關系．
解：（1）正九邊形每個外角的度數為：，
正九邊形每個內角的度數為：，
即：，，
多邊形是正九邊形，
，
，
，
．
故答案為：60；
（2）連接，由圖形可知：，
由（1）得：，，
為等邊三角形，
，
多邊形是正九邊形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，，
．
故答案為：．
15．【考點】全等三角形的性質、根據正方形的性質求線段長、用勾股定理解三角形
【分析】本題考查全等三角形的性質、正方形的性質、勾股定理等知識，由全等三角形的性質得，，則，而，所以，于是得到問題的答案．
解：∵，
∴，
∴，
∵四邊形形是正方形，
∴，
∴，
故答案為：．
16．【考點】已知反比例函數的增減性求參數、一次函數與反比例函數的交點問題、判斷一次函數的圖象
【分析】本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，一次函數的性質以及反比例函數的性質，分類討論是解題的關鍵．
根據反比例函數的性質即可判定點在第一象限或第三象限兩種情況，分別討論即可．
解： ，
當時，，
直線經過平面內一個定點，
反比例函數的圖象經過點，
；
即，
若點在第一象限，當時，，
若點在第三象限，當時，，
綜上，當時，或，
:故答案為故答案為：或．
17．【考點】已知字母的值，化簡求值
【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式進而代入計算得出答案；
（2）先把原式化為（x-2）2-10的形式，再把x的值代入進行計算即可．
解：（1）x2+2xy+y2
=（x+y）2
=[（）+（）]2
=（2）2
=12；
（2）
當時，
原式
【點評】此題主要考查了代數式求值，正確應用乘法公式是解題關鍵．
18．【考點】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵；
（1）先把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方進行配方即可得到答案；
（2）把右邊的式子移到左邊，再因式分解即可得解．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
19．【考點】求一組數據的平均數
【分析】本題考查游戲公平性，（1）根據平均數的定義求解即可；
（2）為了消除極值對平均數的影響，可以去掉最高分和最低分后，將剩下的數求平均數即可；
（3）因為同一個評委對兩名選手的打分差距不得超過2分，所以乙選手的第九個記錄可能為或，計算兩種情況下乙的平均數即可求解．
（1）解：甲的平均分為（分）；
（2）解：評分辦法：10位評委現場打分，每位選手的最后得分為去掉一個最高分和最低分后的平均數，
甲的平均分為（分），乙的平均分為（分），
∵，
∴乙獲勝；
（3）解：這樣做無誤，理由如下：
根據評委打分要求，乙選手的第九個記錄可能為或，
∴乙的平均分為（分），
或乙的平均分為（分），
∵，，
∴乙選手的第九個記錄無論是10還是6，都是乙獲勝．
20．【考點】有理數四則混合運算的實際應用、營銷問題(一元二次方程的應用)
【分析】本題考查了一元二次方程的應用．
（1）根據總利潤單件利潤銷售數量，即可求出結果；
（2）設售價上漲x元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，再根據總利潤=每件的銷售利潤×日銷售量，可列出關于x的一元二次方程，即可求解．
（1）解：
（元），
答：銷售這種紀念品的利潤為元；
（2）解：設售價上漲x元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，
依題意得：，
解得：，，
又∵要使消費者得到實惠，
∴，
∴定價為：元，
答：售價應定為40元．
21．【考點】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質求解、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）
【分析】此題考查了平行四邊形的性質，三角形全等和勾股定理的運用，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質，三角形全等和勾股定理．
（1）由平行四邊形的性質得到，由，，可得，，證明，根據全等三角形的性質即可解答；
（2）根據求出的長度，然后根據勾股定理求出的長度，即可根據平行四邊形對角線互相平分求出的長度；
（3）根據題意可求出，根據平行四邊形的性質可求出、，然后根據勾股定理求出，最后根據平行四邊形的面積公式即可求解．
（1）證明 ：四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四邊形是平行四邊形，
；
（3）解：，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
∵，
，
．
22．【考點】三線合一、反比例函數與幾何綜合
【分析】過點A作AH⊥BC于H，根據等腰三角形的三線合一即可求證；
分三種情況求∠BAC的度數：①若AB＝AC，BC是“垂美邊”； ②若BA＝BC，BC是“垂美邊”； ③若CA＝CB，BC是“垂美邊”
(3) 當△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”，設△ABC的邊OA、OB上的高分別記為ha、hb，則由“垂美三角形”的定義可知，ha=OA， hb=OB.根據面積相等，得出OA=OB, ∠AOB的度數為30°或150°. 設B（m，）即可得出B點坐標
(1)證明：如圖，過點A作AH⊥BC于H.
∵AB＝AC，
∴H是BC中點，
∵∠BAC＝90°，
∴AH＝BC，
∴等腰Rt△ABC是“垂美三角形”.
(2)①如圖，若AB＝AC，BC是“垂美邊”，過點A做AH⊥BC于H.
則AH＝BH＝CH，且AH⊥BC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°；
②如圖，若BA＝BC，BC是“垂美邊”，過點A做AH⊥BC于H，
則BC＝2AH＝AB，且AH⊥BC，
∴∠B＝30°；
③如圖，若CA＝CB，BC是“垂美邊”，過點A做AH⊥BC交BC的延長線于H，
則BC＝2AH＝AC，且AH⊥BC，
∴∠ACD＝30°，從而∠ACB＝150°.
綜上所述，頂角為30°，90°或150°.
(3)當△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”，設△ABC的邊OA、OB上的高分別記為ha、hb，則由“垂美三角形”的定義可知，ha=OA， hb=OB.
而S△ABC=OA ha=OA hb，
∴OA=OB.
由(2)可知，∠AOB的度數為30°或150°.
設B（m，）則由“垂美三角形”的定義有：=OA，從而OA2=.
又OB2=m2+，則有OA=OB可得： ，解得m=.
故存在點B1(，1)、B2(-，-1)，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.
23．【考點】證明四邊形是平行四邊形、利用菱形的性質求線段長、全等三角形的性質、用勾股定理解三角形
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定與性質，平移的性質，菱形的性質，全等三角形的性質，勾股定理，平行線的判定與性質等知識，熟練掌握菱形判定與性質是解題的關鍵．
（1）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可解決問題；
（2）設，根據勾股定理，建立方程求解即可．
（1）證明：，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
；
（2）解：，，，
，
如圖2，連接交于點，
△平移的過程中，四邊形能成為菱形，
四邊形能成為菱形，
，，，
，
，
，
設，
，
，
，
，
，
整理得，
解得：或（舍去），
．
當時，四邊形能成為菱形．
24．【考點】坐標與圖形綜合、用勾股定理解三角形、根據正方形的性質求線段長、全等三角形綜合問題
【分析】（1）先將兩動點的路程表示出來：，，證明，得等腰直角，得出，及點D的坐標；
（2）分三種情況討論：①若，得，則Q與O重合，不成立；②若，則，得，則點E與點C重合，點P與點O重合，則可求解；③若，延長到F，使得，連接，如圖2，證明和，用t表示的長，然后列方程求出t的值；
（3）把轉化為和的和，則的周長就變成了正方形兩邊的和，即可求解．
（1）解：由題意得：，，
∴，即,
∵四邊形是正方形，點B的坐標為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，；
故答案為，；
（2）解：分三種情況：
①若，則，
∴，
∵，
∴，
∴點E與點D重合，
∵交y軸于E點，
∴點Q與點O重合，
與條件“軸”矛盾，
∴這種情況不成立；
②若，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點E與點C重合，
∴點P與點O重合，
∵，
∴，
此時；
③如圖2，若，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
延長到F，使得，連接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
綜上所述：當或4時，是以B為頂點的等腰三角形；
（3）解：的周長是定值，該定值是8；理由如下：
由（2）可知：，
∴的周長
；
∴的周長是定值，該定值是8．
【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了動點問題，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形，三角形周長等考點；解題關鍵是深刻理解動點的路程、時間，理解兩動點的完整運動過程；同時，采用了分類討論一個三角形是等腰三角形的三種情況．
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