資源簡介

2025年廣東省初中學業水平考試摸底考
九年級數 學
本試卷共6頁，23小題，滿分120分．考試用時120分鐘．
注意事項：1.答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應位置填涂自己的考場號和座位號．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．2 025的倒數是(　　)
A．2 025 B．－2 025 C． D．－
2．宋元時期，中國數學家創立了“天元術”，用“天元”表示未知數．首先要“立天元一”，相當于“設未知數x”，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式，進而得到一個等式．“天元術”指的是我們所學的(　　)
A．函數 B．有理數 C．代數式 D．方程
3．腰鼓是中國傳統民族樂器，歷史悠久．如題3圖是一個腰鼓的示意圖，則下列視圖正確的是(　　)　　　
題3圖
4．如果a－3b＝3，那么代數式2a－6b的值是(　　)
A．1.5 B．3 C．6 D．7
5．生物興趣小組在溫箱里培育一種菌種，如果該菌種生長的最高溫度為35 ℃，最低溫度為25 ℃.那么溫箱里應設置的溫度T ℃的范圍是(　　)
A．T≤25 B．T≥35
C．25≤T≤35 D．25＜T＜35
6．羅浮山、丹霞山、西樵山、鼎湖山是廣東四大名山．暑期來臨之際，李強計劃從這四座名山中任意選擇一個去游玩，則他恰好選中羅浮山的概率為(　　)
A． B． C． D．
7．連接通風口的管道經常會用到彎管，如題7 1圖是一段彎管，彎管的部分外輪廓可抽象成如題7 2圖所示的，若所在圓的圓心為點O，半徑OA＝30 cm，∠AOB＝90°，則的長為(　　)
A．15π cm B．20π cm C．30π cm D．100π cm　 題7 -1圖 題7- 2圖
8．如題8圖為某公園中的牡丹園、芍藥園和月季園的位置示意圖．將其放在適當的平面直角坐標系中，若芍藥園的坐標為 (－1，0)，月季園的坐標為 (1，－2)，則牡丹園的坐標為(　　)
A．(－3，2)
B．(2，2)
C．(－1，1)
D．(－2，2)
9．如題9圖，已知l1∥l2，點A，C分別在l1，l2上，若∠2－∠1＝85°，則∠B的度數為(　　)
A．80°
B．85°
C．90°
D．95°
10．如題10圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的頂點A的坐標為(－4，－2)，邊AB經過原點O，AC∥x軸，若反比例函數y＝ 的圖象經過點A和邊AB的中點P，則BC的長為(　　)
A．12
B．9
C．8
D．2
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．因式分解：a2b－4ab＝__________．
12．計算：－＝__________．
13．如題13圖，若點A，B，D，E在同一條直線上，△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝8，則BD的長是__________.　　
14．若二次函數y＝x2－4x＋m的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是__________．
15．座椅是我們日常生活中不可或缺的物品．如題15圖，在調節椅背的過程中，椅面AB始終保持水平狀態，支撐架AC，BD與水平地面的夾角也始終保持不變．已知椅背AE的長度為60 cm，當椅背AE與椅面AB的夾角從150°調整到120°時，椅背上人的頭部支撐點E向上抬高了約__________cm.(結果精確至0.1 cm.參考數據：≈1.73)
三、解答題(一)：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．先化簡·，再從－1，0，1，2中選擇一個恰當的數代入求值．
17．某餐廳為了提高服務質量，開展了顧客滿意度問卷調查，滿意度共分為5檔，從低到高為1分，2分，3分，4分，5分．工作人員隨機抽取了20名顧客進行調查，并制作了如下統計表．
分數/分 1 2 3 4 5
份數/份 2 3 5 8 2
根據以上信息，解答下列問題：
(1)若抽取的顧客中超過一半的評分均不高于3分，則需要對餐廳進行整改，請通過計算說明該餐廳是否需要整改；
(2)若抽取的顧客所評分數的平均數或中位數低于3分，則需要對餐廳進行整改，請通過計算說明該餐廳是否需要整改．
18．如題18圖，在△ABC中，AB＝AC，AG為△ABC的外角∠BAE的平分線，BF⊥AG，垂足為F，點D為BC上一點，連接AD，DF，AB與DF交于點O.
(1)在不添加任何輔助線的前提下，請增加一個條件：__________，使得四邊形AFBD為矩形，并說明理由；
(2)若四邊形AFBD為矩形，請用尺規作圖的方法以AD為對角線作一個菱形．(保留作圖痕跡，不寫作法)

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．隨著科技的飛速發展，新能源汽車將我們帶入一個更加環保的出行新時代．某新能源汽車生產車間現有A，B兩個工種的工人，其中A工種有300人，B工種有200人，且同個工種的工人月工資相同．已知6個A工種工人的月工資與5個B工種工人的月工資相同，該生產車間每月共付工資總額為540萬元．
(1)求A，B兩個工種工人的個人月工資．
(2)由于市場部訂單數量增多，該生產車間計劃再招聘A，B兩個工種工人共60人．要使車間所有A工種工人的數量與車間所有B工種工人的數量之差不高于80人，那么該如何招聘使得該車間每月應支付給這60個工人的工資總額最少，最少為多少？
20．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2－2x＋a2－1(a≠0，且a為常數).
(1)當坐標原點O在拋物線上時，求a的值．
(2)當拋物線的對稱軸與直線x＝2之間的部分的函數值y隨x增大而減小時(直線x＝2與對稱軸不重合)，求a的取值范圍．
21．綜合與實踐
【主題】將一張特殊的平行四邊形硬紙片剪拼成一個有蓋四棱柱形盒子．
【素材】正方形硬紙片、菱形硬紙片、剪刀等．
【操作探究】
探究一：如題21 -1圖，在正方形硬紙片ABCD中，點O為對角線AC，BD的交點，以點O為坐標原點，對角線AC，BD所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，此時點C的坐標為(2，0)；再以點O為位似中心，畫一個正方形A′B′C′D′，使它與正方形ABCD位似，且相似比為1∶2，則點C′的坐標為__________；然后按題21 -2圖所示的方式將正方形紙片ABCD沿虛線剪開，可拼接成如題21 -3圖所示的有蓋四棱柱形盒子，此時盒子的高h為__________．
題21-1圖 題21-2圖 題21-3圖 題21-4圖
探究二：如題21 -4圖，若小組成員按探究一中的方式對菱形硬紙片進行裁剪，則他們能無損耗無重疊地制成一個有蓋四棱柱形盒子嗎？請說明理由．
五、解答題(三)：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．把矩形ABCD繞點A逆時針旋轉得到矩形AB′C′D′，點B，C，D的對應點分別為B′，C′，D′.
題22-1圖 題22-2圖 題22-3圖
【知識技能】(1)如題22 -1圖，當點B′落在AD上時，連接AC，AC′，CC′.判斷△ACC′的形狀并證明．
【數學理解】(2)如題22- 2圖，當點C′落在AD的延長線上時，連接BD，延長C′B′交BC于點E，求證：BE＝C′D.
【拓展探索】(3)如題22 -3圖，當點B′落在BD上時，連接DD′，DD′交B′C′于點F.若CD＝3，AD＝4，請求出DF的長．
23．【問題背景】已知AB是半圓O的直徑，且AB＝4，C是上的一動點．
【構建聯系】(1)如題23- 1圖，連接AC，BC，求圖中陰影部分面積之和的最小值S.
【深入探究】(2)如題23 2圖，將沿BC折疊，折疊后的弧與直徑AB交于點D(點D不與點A，B重合)，連接AC，DC.
①若∠ABC＝25°，求∠BCD的度數；
②設AC＝x，DO＝y，請求出y關于x的函數表達式及自變量x的取值范圍．一、選擇題
1-5 CDDCC
6-10 BADDC
二、填空題
11. ab(a 4)
12. －2
13. 2
14. m≤4
15. 21.9
三、解答題 (一)
16. 解：原式＝·
＝·
＝.……………………………………………3分
∵x＋1≠0，x－1≠0，2x≠0，
∴x≠±1，x≠0.
∴x取2.5分
當x＝2時，原式＝＝.……………………………………7分
17. （1）
解：(1)該餐廳不需要整改．理由如下：…………………………1分
×100%＝50%.
∴該餐廳不需要整改．……………………………………………3分
（2）
解：該餐廳不需要整改．理由如下：……………………………4分
該餐廳服務質量的平均數為
＝3.25(分).
中位數為 ＝3.5(分). ………………………………………6分
∵3.25＞3，3.5＞3，∴該餐廳不需要整改．……………………7分
18.
(1)
AD⊥BC
解：AD⊥BC.(答案不唯一) …………1分
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD為∠BAC的平分線．∴∠BAD＝∠BAC.
∵AG是∠BAE的平分線，∴∠BAF＝∠BAE.
∴∠DAF＝∠BAD＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAE)＝×180°＝90°.
又∠ADB＝∠BFA＝90°，∴四邊形AFBD是矩形．……………4分
(2)解：如題18答圖，菱形AODP即為所求．(答案不唯一) …………7分
19.
(1)解：(1)設A工種工人的個人月工資為a萬元，B工種工人的個人月工資為b萬元．
根據題意，得…………………………………2分
解得…………………………………………………………3分
答：A工種工人的個人月工資為1萬元，B工種工人的個人月工資為1.2萬元． …………………………………………………………………4分
(2)
解：設再招聘A工種工人x人，則再招聘B工種工人(60－x)人．
根據題意，得300＋x－(200＋60－x)≤80. ………………………5分
解得x≤20.6分
設車間每月支付給這60個工人的工資總額為W元，
則W＝x＋1.2(60－x)＝－0.2x＋72. ………………………………7分
∵－0.2＜0，∴W隨x的增大而減?。?br/>∴當x＝20時，W的值最小，W最?。剑?.2×20＋72＝68.8分
60－20＝40(人).
∴再招聘A工種工人20人，B工種工人40人可使該車間每月應支付給這60個工人的工資總額最少，最少為68萬元．……………………9分
20.
(1)
解：∵坐標原點O在拋物線上，
∴將(0，0)代入拋物線y＝x2－2x＋a2－1，得a2－1＝0. ………2分
解得a1＝1，a2＝－1.
∴a的值為±1. ………………………………………………………3分
(2)解：拋物線y＝x2－2x＋a2－1的對稱軸是直線x＝a. …………4分
當a＞0時，拋物線開口向上．
∵直線x＝a與直線x＝2之間的部分的函數值y隨x增大而減小，
∴∴a＞2. ……………………………………………………6分
當a＜0時，拋物線開口向下．
∵直線x＝a與直線x＝2之間的部分的函數值y隨x增大而減小，
∴∴a＜0. ……………………………………………………8分
綜上，a的取值范圍是a＞2或a＜0. ………………………………9分
21.(1，0)
解：探究二：能．理由如下：………………4分
由題意可得，A′，B′分別是OA，OB的中點．
∴A′B′∥AB，AA′＝OA′，BB′＝OB′.
如題21答圖，過點O作OM⊥AB于點M，交A′B′于點N.
∴N為OM的中點，OM∥A′E∥B′F. ………………………………6分
又A′，B′分別是OA，OB的中點，
∴A′E，B′F分別是△AOM，△BOM的中位線．
∴A′E＝B′F＝OM＝ON.
∴Rt△AA′E≌Rt△A′ON(HL).
同理可證Rt△BB′F≌Rt△B′ON. …………………………………8分
∴用△AA′E和△BB′F恰可以拼成與△A′B′O全等的圖形．
由菱形的對稱性可得，圖中陰影部分恰可以剪拼成和底面菱形A′B′C′D′全等的圖形．
∴他們能無損耗無重疊地制成一個有蓋四棱柱形盒子．………9分
五、解答題(三)：22．(1)解：△ACC′是等腰直角三角形．證明如下：………1分
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.
∴當點B′落在AD上時，旋轉角為90°.
由旋轉的性質，得AC′＝AC，∠CAC′＝90°.
∴△ACC′是等腰直角三角形．………………………3分
(2)證明：如題22答圖1，連接AC，交BD于點O.
在矩形ABCD中，AD∥BC，AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC.
∴∠ADB＝∠CBD，OB＝OC.
∴∠CBD＝∠ACB.∴∠ADB＝∠ACB.
由旋轉的性質，得∠ACB＝∠AC′B′.
∴∠ADB＝∠AC′B′.∴BD∥C′E.5分
又BE∥DC′，∴四邊形BDC′E為平行四邊形．…6分
∴BE＝C′D. ………………………………………7分
(3)解：如題22答圖2，過點A作AG⊥BD于點G. ……………………8分
由旋轉的性質，得∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB，AD′＝AD.
又S△ABD＝BD·AG＝AD·AB，
∴AG＝＝＝.
∴GB′＝＝＝.
∵AB′＝AB，AG⊥BD，∴BB′＝2GB′＝.
∴B′D＝BD－BB′＝5－＝.…………………………………11分
∵∠AB′C′＝∠AGB′＝90°，
∴∠DB′F＋∠AB′G＝∠GAB′＋∠AB′G＝90°.
∴∠DB′F＝∠GAB′.
又∠B′DF＝∠AGB′＝90°，∴△DB′F∽△GAB′.
∴＝，即 ＝.
解得DF＝.………………………………………………………13分
23.
(1)解：∵AB為半圓O的直徑，AB＝4.
∴半圓O的半徑為 ＝2. ……………………………1分
∴S陰影＝S半圓O－S△ABC＝π·22－S△ABC＝2π－S△ABC，即S△ABC最大時，S陰影最?。?br/>由題意，得當點C在的中點時，△ABC的邊AB上的高最大，此時S△ABC最大，為 ×4×2＝4.
∴圖中陰影部分面積之和的最小值S＝2π－4. ……………………3分
(2)
①解：①∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°.
又∠ABC＝25°，∴∠BAC＝65°. ……4分
由題意，得折疊前后的弧所在的圓為等圓．
∵∠ABC＝∠DBC，∴AC＝DC.
∴∠ADC＝∠BAC＝65°. ………………6分
∴∠BCD＝∠ADC－∠ABC＝40°. ……7分
②如題23答圖1，記的中點為E，連接OE.
∵點E是的中點，AB為半圓O的直徑，∴∠AOE＝90°.
又OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO＝45°.∴AE＝OA＝2.
由題意，得當點C在上時，折疊后的弧和直徑AB有交點，
∴0＜x<2.…………………………………………………………8分
由①，得AC＝DC.
如題23答圖2，當點D與點O重合時，設D在
上的對應點為D′，連接DD′與BC交于點M.
由折疊的性質，得DM⊥BC，DM＝D′M＝DD′＝1.
在Rt△BOM中，cos ∠BOM＝＝，∴∠BOM＝60°.
∵OC＝OB，OM⊥BC，∴∠BOC＝2∠BOM＝120°.
∴∠AOC＝180°－∠BOC＝60°.
∴△AOC是等邊三角形．∴AC＝AO＝2. ………………………10分
如題23答圖3，當點D在點O左側時，0＜x＜2，過點C作CF⊥AB于點F.
∴AF＝DF＝AD，∠AFC＝90°.
在Rt△ACF中，cos ∠FAC＝＝＝.
在Rt△ACB中，cos ∠BAC＝＝.
∴＝.∴AD＝.
∴DO＝OA－AD＝2－.…………………………………………12分
如題23答圖4，當點D在點O右側時，2＜x<2，過點C作CG⊥AB于點G.
同理易證AD＝.
∴DO＝AD－OA＝－2.
綜上所述，y＝………………………………14分

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