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第十講 ：分數與小數
知識精講
分數化成小數.
同學們在計算分數的時候一定碰到過除不盡的情況。比如計算,我們會發現商在0和小數點之后一直出現3,怎么也計算不完；再比如在計算的時候，我們會發現商在0和小數點之后不停的出現428571.
像這樣，從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字依次不斷重復出現的小數，叫做循環小數.例如0.333…,0.428571428571…和1.2357357357…都是循環小數.
通常我們把0.333…簡寫成,把0.428571428571…簡寫成,
把1.2357357357…簡寫成.
一個循環小數的小數部分里，依次不斷重復出現的一段數字，叫做這個循環小數的循環節.上面三個循環小數的循環節分別為3，428571和357.循環節從小數點后第一位開始的循環小數，叫做純循環小數，例如和.不是從第一位開始的循環小數，叫做混循環小數，例如.
下面我們來學習一下分數與小數之間的互化.把分數化為小數非常簡單，直接用分子除以分母即可.例如，.
小數化成分數
對于任意一個分數，我們一定可以把它化成有限小數或循環小數.反過來，我們怎么把一個小數化成分數呢 有限小數化分數很簡單，例如，，每個有限小數都可以化成分母是10,100,1000…的分數.那么循環小數呢 循環小數化分數有以下的規律.
純循環小數化成分數：我們從分子和分母兩方面來考慮.
分子是由循環節所組成的多位數；而分母則由若干個9組成，且9的個數恰好等于循環節的位數.比如，，.
混循環小數化成分數：我們同樣從分子與分母兩方面來考慮.
分子是兩數相減所得的差，其中被減數是從小數點后第一位到第一個循環節末位所組成的多位數，而減數則是小數點后不循環的數字組成的多位數；分母由若干個9和若干個0組成，9的個數等于循環節的位數，0的個數等于小數點后不循環部分的位數比如，，.
請同學們務必牢記以上方法，熟練使用.
循環小數周期性.
由于循環節的存在，循環小數小數點后數字排列具有周期性.比如的循環節有兩位，小數部分以4，8為一個周期.利用周期性，我們就可以知道小數點后若干位的數字是多少.以分母為7的循環小數為例：
題型匯總
題型一：分數化小數
1．下面的分數中能化成有限小數的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判斷一個分數能否化成有限小數，首先要看這個分數是不是最簡分數，如果不是最簡分數，要先約分，再根據一個最簡分數，如果分母中只含有質因數2或5，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2或5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。
【詳解】A．8＝2×2×2，只含有質因數2，可以化成有限小數；
B．分母是11，不能化成有限小數；
C．分母是13，不能化成有限小數；
D．12＝2×2×3，除了含有質因數2以外，還含有3，不能化成有限小數；
故答案為：A
2．下面4個真分數，（ ）一定能化成有限小數。
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】一個最簡分數，如果分母中只含有2或5的質因數，不含有其他質因數，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2或5以外的質因數，這個分數就不能化成小數，據此逐項分析解答。
【詳解】A．
21＝3×7，分母含有質因數3和7，不能化成有限小數；
B．
31＝1×31，分母含有質因數31，不能化成有限小數；
C．
32＝2×2×2×2×2，分母含有質因數2，能化成有限小數；
D．
30＝2×3×5，分母含有質因數2、3、5，不能化成有限小數。
一定能化成有限小數。
故答案為：C
題型二：小數化分數
1．甲、乙、丙三人參加100米跑步比賽，甲用了20秒，乙用了分，丙用了0.25分，跑步速度最快的是（ ）。
A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定
【答案】C
【分析】1分＝60秒，用20除以60，再根據除法與分數的關系，把20秒化成分，最后約分化成最簡分數分；0.25分等于分，再約分化成最簡分數分；然后再通過通分比較三個分數的大小，據此即可解答。
【詳解】20秒＝分
0.25分＝分
＝
＝
＝
所以＞＞
20秒＞秒＞0.25秒
所以跑的速度最快的是丙。
故答案為：C
【點睛】掌握小數與分數互化的方法、比較分數大小的方法是解題關鍵。
2．如果，□里可以填( )；如果，□里最小填( )。
【答案】 7 6
【分析】第一個空，將分數化成小數，分數化小數，直接用分子÷分母，再確定□里可以填的數；
第二個空，將小數化成分數，再通分，即0.5＝，＝，確定□×2最小是幾，再根據積÷因數＝另一個因數，求出□最小是幾即可。
【詳解】＝5÷8＝0.625，如果，□里可以填7或8或9；
0.5＝＝，＝＝，□×2＞11，□×2最小是12，12÷2＝6，如果，□里最小填6。
題型三：循環小數與分數
1．一個分數的分子與分母之和為25，將它化為小數后形如，則這個分數的分母是( )。
【答案】18
【分析】根據題意，將這個分數化為小數是，這個數小于0.5的真分數，即這個分數就小于，那么在分子分母之和是25的分數里小于的分數有：，，，，，，，，根據分數與除法之間的關系，依次將分數轉化為小數。得出這個分數后，找到分母。
【詳解】小于，在分子分母之和是25的分數里小于的分數有：，，，，，，，。
經過計算可知：，
這個分數是，則這個分數的分母是18。
2．將循環小數0.化成最簡分數后，分子與分母的和為134，則原循環小數為 。
【答案】
【分析】純循環小數指從小數第一位開始循環的小數，例如：0.777……。純循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是一個循環節表示的數，分母各位上的數都是9；9的個數與循環節的位數相同。能約分的要約分。即，因為是將分數化成最簡分數，則999＝3×3×3×37，約分后分子與分母的和為134，那么分母肯定比999小。可以分類討論。
【詳解】①分子和分母同時除以3時，分子是333，不符和；
②分子和分母同時除以9時，分母是111，分子＝134－111＝23，這個分子數約分后的分子，即原分子是207。這個分數是，約分成最簡分數是，符合。＝
則這個循環小數為。
題型四：循環小數周期問題
1．真分數化成循環小數之后，從小數點后第1位起若干位數字之和是，則是多少？
【答案】
【詳解】我們知道形如的真分數轉化成循環小數后，循環節都是由1、2、4、5、7、8這6個數字組成，只是各個數字的位置不同而已，那么就應該由若干個完整的和一個不完整組成． ，而，所以最后一個循環節中所缺的數字之和為6，經檢驗只有最后兩位為4，2時才符合要求，顯然，這種情況下完整的循環節為“”，因此這個分數應該為，所以．
2．真分數化為小數后，如果從小數點后第一位的數字開始連續若干個數字之和是1992，那么是多少
【答案】
【詳解】， ，，，， ．因此，真分數化為小數后，從小數點第一位開始每連續六個數字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因為1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即．
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一、選擇題
1．下面的分數中，能化成有限小數的是（ ）。
A． B． C． D．
2．小明、小林和小軍三人讀同一篇文章，小明用了小時，小林用了小時，小軍用了0.3小時，（ ）。
A．小明速度快 B．小林速度快 C．小軍速度快 D．他們速度一樣快
3．一位小數“0.”比大，比小。這個小數中被擋住的數字是（ ）。
A．4 B．5 C．6 D．7
4．圖中括號里填上適當的分數，應填（ ）。
A． B． C． D．
二、填空題
5．（ ）＝（ ）（填小數）。
6．分數單位是的最大真分數是( )，這個真分數用循環小數的簡便記法表示是( )。
7．，這個算式的整數部分是( )。
8．兩堆沙子原來相差10噸，如果從多的一堆中運走噸，從少的一堆中運走0.4噸，這時兩堆沙子相差( )噸。
9．閱讀與解答。
無限循環小數可以轉化為分數。像和這樣從小數部分第一位開始循環的小數叫做純循環小數，像和這樣不是從小數部分第一位開始循環的小數叫做混循環小數。
（1）將純循環小數和轉化為分數。（在橫線上填上合適的數）
將上兩式相減，得 將上兩式相減，得 ______ ______
（2）將混循環小數和轉化為分數。（將計算過程補充完整）
____________ 將上兩式相減，得 將上兩式相減，得 ____________ ____________
三、解答題
10．把分數化成小數后，從小數點第一位起連續1000位數字的和是多少？
11．一盒牛奶，萍萍早上喝了升，晚上喝的比早上多0.2升，加起來正好喝了這盒牛奶的一半。這盒牛奶原來一共有多少升？
12．閱讀與理解：用下面的方法可以把循環小數化成分數：設0.6666…＝x，10x＝6.6666…，可得方程：10x－x＝6，解得x＝，即＝。參考以上方法，解決下面的問題。
（1）把化成分數。
（2）把化成分數。
（3）把化成分數。
（4）通過閱讀，解題，你有什么發現與收獲嗎？
13．一個分數化成小數后是0.125，如果這個分數的分子擴大到原來的3倍，分母縮小到原來的，那么變化后的分數化成小數是多少？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．B
【分析】判斷一個分數能否化成有限小數，首先要看這個分數是不是最簡分數，如果不是最簡分數，要先約分，再根據一個最簡分數，如果分母中只含有質因數2或5，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2或5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。
【詳解】A．分母是3，不能化成有限小數；
B．＝，4＝2×2，可以化成有限小數；
C．分母是13，不能化成有限小數；
D．12＝2×2×3，質因數有3，不能化成有限小數。
故答案為：B
2．B
【分析】三人讀同一篇文章，用時越少的，讀的速度就越快。即比較、、0.3的大小，可以把分數化成小數，用分子除以分母即可，再根據小數大小的比較方法進行比較，得出結論。
【詳解】＝1÷5＝0.2
＝1÷6≈0.167
0.167＜0.2＜0.3
＜＜0.3
小林用時最少，所以小林速度快。
故答案為：B
3．C
【分析】分數轉化為小數用分數的分子除以分數的分母。現將兩個分數轉化為小數，再選擇。
【詳解】
則這個1位小數比0.5大，比0.666…小，則這個1位小數是0.6。
故答案為：C
4．A
【分析】從數軸圖上發現是將0.8與0.9之間平均分成5份，也就是將0.1平均分成5份，每一份是0.02。括號對應的是2個0.02，也就是0.04，對應的小數是0.84。再將其化成分數，即小數化分數：一位小數、兩位小數、三位小數 化為分數后，分數的分母為10、100、1000 把原來的小數去掉小數點作分子；化成分數后，能約分的要約分，化成最簡分數。
【詳解】
故答案為：A
5．5；9；45；0.6
【分析】依據分數與除法之間的關系，分數的分子相當于被除數，分母相當于除數，將分數轉換成除法；依據分數的基本性質，分數的分子分母同時乘9，分數的大小不變；依據分數的基本性質，分數的分子分母同時乘3將分數轉換成分母是15的分數，分數的分子除以分母可以將分數轉換成小數。
【詳解】
所以＝0.6
【點睛】
6．
【分析】真分數是比1小的分數，據此找出化簡后分母為11的最大真分數即可；用分子除以分母，計算結果根據循環小數的簡記方法表示：重復出現的一個或幾個數字，叫做“循環節”。記數時，在第一個循環節的第一個數字和最末一個數字上分別記上一個圓點（循環節只有一個數字的只記一個圓點）“· ”，表示這個循環小數的這幾個（或一個）數字重復出現。
【詳解】分數單位是的最大真分數是；
10÷11＝0.9090…＝
這個真分數用循環小數的簡便記法表示是。
7．6
【分析】分數化成小數：用分子除以分母，按照除數是整數的小數除法進行計算；根據式子中每個分數的特點，先把每個分數寫成小數的形式，再利用湊整法將算式變為，最后的結果即可輕松得出答案。
【詳解】
這個算式的整數部分是6。
【點睛】本題考查了高斯取整的有關計算，解答此題的關鍵是運用湊整法即可。
8．10.2
【分析】這時兩堆沙子相差的質量＝從少的一堆中運走的質量－從多的一堆中運走的質量＋兩堆沙子原來相差的質量。
【詳解】0.4－＋10
＝0.2＋10
＝10.2（噸）
這時兩堆沙子相差10.2噸。
9．（1）（2）見詳解
【分析】（1）純循環小數化成分數：根據左邊算式可知，右邊循環小數的循環節是三位，用×1000，求出積是，再用×1；求出積是，把兩個算式左邊和左邊相減，右邊和右邊相減，化為×1000－×1＝－，再根據乘法分配律逆運算，化為×（1000－1），＝382；再化為×999＝382，由此可知，＝382÷999，即＝。
（2）混循環小數化成分數：根據左邊算式可知，右邊循環小數的循環節是三位，用×1000＝；再用×10＝，再把兩個算式左邊和左邊相減，右邊和右邊相減，×1000－×10＝－，再根據乘法分配律的逆運算，化為：×（1000－10）＝135，據此解答。
【詳解】（1）
×1000＝
×1＝
×（1000－1）＝－
×999＝382
＝
將純循環小數和轉化為分數。
（2）
×1000＝
×10＝
×1000－×10＝－
×（1000－10）＝135
×990＝135
＝
＝
將混循環小數和轉化為分數。
10．4499
【分析】先把化成小數說明每6個數字一個循環，再求出小數點后面1000位里面有多少個6，就有多少個（5＋7＋1＋4＋2＋8），再根據余數，進一步確定余數是下一個循環的前幾個，進而解決問題。
【詳解】＝
5＋7＋1＋4＋2＋8
＝12＋1＋4＋2＋8
＝17＋2＋8
＝19＋8
＝27
1000÷6＝166……4
27×166＋（5＋7＋1＋4）
＝4482＋17
＝4499
答：從小數點第一位起連續1000位數字的和是4499。
【點睛】此題屬于周期問題，最后的余數是解決問題的關鍵，最后的余數是下一個周期的前幾個，先探索周期的變化規律，再根據規律和余數解答，求出問題。
11．2升
【分析】根據題意，萍萍早上喝了升（升），晚上喝的比早上多0.2升，那么晚上喝了升，早上和晚上共喝了升，加起來正好喝了這盒牛奶的一半，所以原來這盒牛奶的總量＝喝了的量×2，據此解答。
【詳解】（升）
（升）
（升）
答：這盒牛奶原來一共有2升。
12．（1）
（2）
（3）
（4）見詳解
【分析】（1）把循環小數化成一般寫法，然后設循環小數0.3…＝x，根據等式的性質，在等式兩邊同時乘10變為第二個算式，再根據等式的性質，在方程兩邊同時減去x，然后解方程即可；
（2）把循環小數化成一般寫法，然后設循環小數0.4343…＝x，根據等式的性質，在等式兩邊同時乘100變為第二個算式，再根據等式的性質，在方程兩邊同時減去x，然后解方程即可；
（3）把循環小數化成一般寫法，然后設循環小數5.24343…＝x，根據等式的性質，在等式兩邊同時乘10變為第二個算式，再根據等式的性質，在方程兩邊同時減去x，然后解方程即可；
（4）根據題意和解題過程說出自己的發現即可。
【詳解】（1）設0.3…＝x
10x＝3.33…
10x－x＝3
9x＝3
9x÷9＝3÷9
x＝
（2）設＝x
＝100x
100x－x＝43
99x＝43
99x÷99＝43÷99
x＝
（3）設＝x
＝10x
＝1000x
1000x－10x＝5191
990x＝5191
990x÷990＝5191÷990
x＝
（2）我發現純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，最后能約分的再約分。
【點睛】本題考查等式的性質，熟練運用等式的性質是解題的關鍵。
13．0.75
【分析】根據小數化分數的方法將0.125化為分數，再將分數的分子擴大到原來的3倍，分母縮小到原來的，最后將所得分數化為小數即可。
【詳解】0.125＝
1×3＝3
8×＝4
變化后的分數是，＝3÷4＝0.75。
答：變化后的分數化成小數是0.75。
【點睛】本題主要考查小數與分數的互化，解題的關鍵是將0.125化為最簡分數。
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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