資源簡介

第七講 ：位值原理
知識精講
位值原理的概念
在十進(jìn)制中，每個(gè)數(shù)都是由0~9這十個(gè)數(shù)字中的若干個(gè)組成的，而每個(gè)數(shù)字在數(shù)中都占一個(gè)數(shù)位，數(shù)的大小是由數(shù)字和數(shù)字所處的數(shù)位兩方面共同決定的.比如一個(gè)數(shù)由1,2,3三個(gè)數(shù)字組成，我們并不能確定這個(gè)數(shù)是多少，因?yàn)?,2,3能組成很多數(shù)，例如213,321,123…但如果說1在百位，2在十位，3在個(gè)位這樣去組成一個(gè)數(shù)，就能很清楚地知道這個(gè)數(shù)應(yīng)該是123.
從這個(gè)例子可以看出，一個(gè)數(shù)的大小由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)字共同決定，一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位上表示不同的大小：個(gè)位上的數(shù)字代表幾個(gè)1；十位上的數(shù)字代表幾個(gè)10；百位上的數(shù)字代表幾個(gè)100；.
那么可以利用這種辦法將一個(gè)多位數(shù)拆開，這就是位值原理.
例如：,,這種叫做“完全拆分”;
有的時(shí)候，為了分析問題方便，我們并不將多位數(shù)逐位展開，而是采用整體展開的辦法，叫做“不完全拆分”，
例如：,.
通常我們在使用位值原理的過程中，要利用字母來表示數(shù)，所以同學(xué)們一定要熟練掌握這種表示方法，并能利用位值原理將字母表示的數(shù)展開，找到等量關(guān)系，從而解決問題.
題型匯總
題型一：完全拆分
1．四位數(shù)滿足，則 。
【答案】1814
【分析】根據(jù)位值原則，，，，將這四個(gè)數(shù)按照位值原則加起來得出的和是2014，根據(jù)加法的算法，可以得出a只能是1；，則b只能是8；，c只能是1；最后的d是4。
【詳解】
＝
＝
＝2014
1111＋888＋11＋4＝2014
則
【點(diǎn)睛】同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個(gè)數(shù)字除了本身的值以外，還有一個(gè)“位置值”。例如“5”，寫在個(gè)位上，就表示5個(gè)一；寫在十位上，就表示5個(gè)十；寫在百位上，就表示5個(gè)百等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原則。用阿拉伯?dāng)?shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如，537表示5個(gè)百，3個(gè)十，7個(gè)一，即537＝5×100＋3×10＋7。
2．，各表示一個(gè)兩位數(shù)，若＋＝139，則x＋y＋z＋w＝( )。
【答案】
【分析】和的個(gè)位為9，不會發(fā)生進(jìn)位，y＋w＝9，十位明顯進(jìn)位x＋z＝13，所以x＋y＋z＋w＝22
【詳解】由“＋＝139”可得：y＋w＝9、x＋z＝13；
x＋y＋z＋w
＝13＋9
＝22
所以，，各表示一個(gè)兩位數(shù)，若＋＝139，則x＋y＋z＋w＝22。
【點(diǎn)睛】要明確，和的個(gè)數(shù)是9，不可能發(fā)生進(jìn)位，得出“y＋w＝9”，是解答此題的關(guān)鍵。
題型二：在兩位數(shù)中加入一個(gè)數(shù)的問題
1．如果在一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之間添寫一個(gè)零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的9倍，問這個(gè)兩位數(shù)是 ．
【答案】45
【詳解】解：設(shè)原來數(shù)為，這樣后來的數(shù)為，根據(jù)題意可得：
100a+b=9×（10a+b）
化簡得，5a=4b
所以a=4，b=5，
因此原來的兩位數(shù)為45．
故答案為45．
【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是利用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法把數(shù)字展開，進(jìn)一步根據(jù)數(shù)字特點(diǎn)分析解答．
2．有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加寫在它的前面，那么可以得到一個(gè)三位數(shù)，如果把1寫在它的后面，那么也可以得到一個(gè)三位數(shù)，而且這兩個(gè)三位數(shù)相差414，求原來的兩位數(shù)。
【答案】
【分析】根據(jù)“有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加寫在它的前面，那么可以得到一個(gè)三位數(shù)，如果把1寫在它的后面，那么也可以得到一個(gè)三位數(shù)，而且這兩個(gè)三位數(shù)相差414”這一等量關(guān)系，列方程并解方程即可。
【詳解】設(shè)兩位數(shù)為x，則有：
（10x＋1）－（100＋x）＝414
9x－99＝414
9x＝513
x＝57
答：原來的兩位數(shù)是57。
【點(diǎn)睛】根據(jù)位值原理，找出本題中的等量關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵。
題型三：交換數(shù)位上的數(shù)
1．一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位和百位數(shù)字交換后還是一個(gè)三位數(shù)，它與原三位數(shù)的差的個(gè)位數(shù)字是7，試求它們的差。
【答案】297
【分析】個(gè)位是7，明顯a大于c，所以10＋c－a＝7，a－c＝3，據(jù)此列方程并解方程可得：他們的差為297。
【詳解】設(shè)原三位數(shù)是100a十10b＋ c，則新三位數(shù)則是100c＋ 106＋ a；
則：100c＋ 10b＋a－（100a＋ 10b＋c）＝100（c－a）－（c－a）＝ 99（c－a）；
新三位數(shù)與原三位數(shù)的差的個(gè)位數(shù)字是7，
c－ a＝ 3，
差為：99×3 ＝ 297；
答：它們的差是297。
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)的十進(jìn)制的應(yīng)用問題.此題難度較大，注意掌握三位數(shù)的表示方法是解此題的關(guān)鍵。首先設(shè)原三位數(shù)是100a＋ 10b＋c ，新三位數(shù)則是100c ＋ 106 ＋ a ，把他們相減，化簡后再根據(jù)個(gè)位數(shù)的值求解即可。
2．一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大3．把百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置后得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)的和為787，原數(shù)是多少？
【答案】245
【詳解】令原數(shù)為，新數(shù)為，列式：+=787．因?yàn)閏-a=3，而c最大是9，
a最大是6，由于c+a不會是17，只能是c+a=7，可見c=5，a=2．又已知c-b=1，所以b=4，原數(shù)是245．
題型四：多位數(shù)問題
1．一個(gè)六位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是2，如果把2移到最高位，那么原數(shù)就是新數(shù)的3倍．求原來的六位數(shù)．
【答案】857142
【詳解】解：設(shè)原來的六位數(shù)的前5個(gè)數(shù)為X，
則原數(shù)為:X×10+2=10X+2
新數(shù)為:2×100000+X=200000+X
可得方程：10X+2=(200000+X)×3
10X+2=600000+3X
7X=599998
X=85714
則原數(shù)=10X+2=10×85714+2=857142
答:原來的六位數(shù)為857142．
2．有一個(gè)六位數(shù)乘3后變成，求這個(gè)六位數(shù)．
【答案】142857
【詳解】解：設(shè)，則有六位數(shù)和，有，解得，所以原六位數(shù)是142857．本題的巧妙之處在于始終沒有分開，所以我們把它看作一個(gè)整體．
跟蹤訓(xùn)練
一、填空題
1．一個(gè)兩位數(shù)，已知，且是質(zhì)數(shù)，則 。
2．已知是一個(gè)三位數(shù)，改變其數(shù)位的順序后又可得到五個(gè)新的三位數(shù)、、、、，這五個(gè)新的三位數(shù)的和為3194，則表示的三位數(shù)是 。
3．一個(gè)兩位數(shù)的中間加上一個(gè)0，得到的三位數(shù)比原來兩位數(shù)的8倍小1，原來的兩位數(shù)是 。
4．在下面的等式中，相同的字母表示同一數(shù)字， 若，那么中應(yīng)填 。
5．一個(gè)三位數(shù)abc與它的反序數(shù)的和等于888，這樣的三位數(shù)有 個(gè)。
6．三位數(shù)比三位數(shù)小99，若彼此不同，則最大是 。
二、解答題
7．如果，那么等于幾？
8．試說明一個(gè)兩位數(shù)，如果將個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，則新數(shù)與原數(shù)的差一定能被9整除。
9．如果把數(shù)碼3加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加了，這里A表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和A。
10．有一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼6加寫在它的前面，則可得到一個(gè)四位數(shù)，如果把6加寫在它的后面，則也可以得到一個(gè)四位數(shù)，且這兩個(gè)四位數(shù)之和是9999，求原來的三位數(shù)。
11．一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字是5，如果把個(gè)位上的數(shù)字移到百位上，原百位上的數(shù)字移到十位上，原十位上的數(shù)字移到個(gè)位上，那么所成的新數(shù)比原數(shù)小108，原數(shù)是多少？
12．一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，汽車勻速行駛，一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個(gè)數(shù)字中間多一個(gè)0的三位數(shù)，請問：再行多少小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換所得的三位數(shù)。
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．47
【分析】根據(jù)位值定理，，，則＝27，化簡后得出b－a＝3，找出符合條件的數(shù)質(zhì)數(shù)即可。
【詳解】
即
即b－a＝3
b＝9時(shí)，a＝6，（合數(shù)）
b＝8時(shí)，a＝5，（合數(shù)）
b＝7時(shí)，a＝4，（質(zhì)數(shù)）
b＝6時(shí)，a＝3，（合數(shù)）
b＝5時(shí)，a＝2，（合數(shù)）
b＝4時(shí)，a＝1，（合數(shù)）
則
2．358
【分析】根據(jù)位置原理，，，……即a在百位上出現(xiàn)兩次，為200個(gè)a，在十位上出現(xiàn)2次，為2個(gè)十，在個(gè)位上也出現(xiàn)了2次，為2個(gè)一，相加得出有222個(gè)a；同理有222個(gè)b，222個(gè)c，再根據(jù)乘法的分配律提出222。即這六個(gè)數(shù)的和為222（a＋b＋c），也就是5個(gè)新數(shù)的和＋。222×（a＋b＋c）＝3194＋，因?yàn)?194÷222＝14……86，222×（a＋b＋c）要比3194大，則a＋b＋c的和要比14大，所以a＋b＋c的和至少是15，分情況討論得出這三位數(shù)是多少，再將三位數(shù)的數(shù)字相加和是否與假設(shè)符合，符合則是這個(gè)三位數(shù)，不符合則不是。
【詳解】222×（a＋b＋c）＝3194＋
3194÷222＝14……86
a＋b＋c的和至少是15，
①當(dāng)a＋b＋c＝15時(shí)，
222×15＝3194＋
1＋3＋6＝10，與條件矛盾，不符合；
②當(dāng)a＋b＋c＝16時(shí)，
3＋5＋8＝16，與條件符合；
③當(dāng)a＋b＋c＝17時(shí)，
5＋8＋0＝13，與條件矛盾，不符合；
④當(dāng)a＋b＋c＝18時(shí)，
8＋0＋2＝10，與條件矛盾，不符合；
⑤當(dāng)a＋b＋c＝19時(shí)，
222×19－3194
＝4218－3194
＝1024
當(dāng)a＋b＋c大于或等于19時(shí)，
＞1000
與條件矛盾，不符合；
所以表示的三位數(shù)是358。
【點(diǎn)睛】本題可根據(jù)位值原理進(jìn)行分析，再通過估算大概判斷三個(gè)數(shù)字之和，然后進(jìn)行嘗試，分情況討論解答即可。
3．
【分析】根據(jù)“一個(gè)兩位數(shù)的中間加上一個(gè)0，得到的三位數(shù)比原來兩位數(shù)的8倍小1，”這一等量關(guān)系列方程，并解方程即可。
【詳解】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)是，則100a＋b＝8（10a＋b）－1，化為20a＋1＝7b，方程的數(shù)字解只有a＝1，b＝3，原來的兩位數(shù)是13。
【點(diǎn)睛】注意a是1至9之間的自然數(shù)，b是0至9之間的自然數(shù)。
4．2
【分析】根據(jù)題意，，可得：a≥d，由差的個(gè)位為7可知，被減數(shù)個(gè)位上的d要向十位上的c借一位，則10＋d－a＝7，即a－d＝3，又因?yàn)椴畹氖患鞍傥痪鶠?，由分析可知b＝c，故被減數(shù)的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即，因此內(nèi)應(yīng)填入2。
【詳解】由題意知，a≥d，由差的個(gè)位為7可知，被減數(shù)個(gè)位上的d要向十位上的c借一位，則10＋d－a＝7，即a－d＝3，又因?yàn)椴畹氖患鞍傥痪鶠?，由分析可知b＝c，故被減數(shù)的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即，因此內(nèi)應(yīng)填入2。
【點(diǎn)睛】是根據(jù)位值原理，熟練掌握整數(shù)的減法計(jì)算方法，是解答此題的關(guān)鍵。
5．
【分析】根據(jù)題意，顯然、都沒有發(fā)生進(jìn)位，所以、，則，、的情況有1＋7、2＋6、3＋5、4＋4、5＋3、6＋2、7＋1這7種。所以這樣的三位數(shù)有7種。
【詳解】由題意， c ＋ a不可能出現(xiàn)進(jìn)位的情況，所以c＋a＝8 ，那么c＝ 1，a＝ 7；c＝2，a＝6；c＝3， a＝ 5；c＝4，a＝ 4；c＝ 5，a＝ 3；c＝6， a＝2；c＝ 7，a＝ 1；共7種情況。
【點(diǎn)睛】因?yàn)槿粩?shù)abc與它的反序數(shù)的和等于888，由題意可知c ＋ a不可能出現(xiàn)進(jìn)位的情況，c＋a＝ 8，分別討論即可。
6．879
【分析】由題意，，有，要最大，如果，那么，與為三位數(shù)矛盾；如果，那么，剩下最大取7，所以最大是879
【詳解】，數(shù)與數(shù)的十位同為b，所以沒有進(jìn)位，即a＝c＋9；如要最大，百位數(shù)要為9，則c＝0，與為三位數(shù)矛盾；如果a＝8，那么c＝9，剩下b最大取7，所以最大是879。
【點(diǎn)睛】完成此類題目要根據(jù)題意對可能的情況進(jìn)行逐個(gè)驗(yàn)證進(jìn)行篩選以得出正確答案。
7．
【分析】根據(jù)“”，展開整理得：；再根據(jù)由于位值的性質(zhì)，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)值在0 ～9之間，得出，。
【詳解】由“”可得：
得：，；
所以，等于15；
答：等于15。
【點(diǎn)睛】由于位值的性質(zhì)，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)值在0 ～9之間，是解答此題的關(guān)鍵。
8．見詳解
【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)是（），交換位置后是，根據(jù)位值原理將展開，然后進(jìn)行判斷。
【詳解】
一定能被9整除。
【點(diǎn)睛】本題考查的是位值原理，0~9這10個(gè)數(shù)字所處的數(shù)位不同，其所表示的含義也不同。
9．13717；6
【分析】根據(jù)題意，設(shè)這個(gè)數(shù)碼為x，則有：（10x＋3）－x＝123450＋A，解得，9x＝123447＋A，右邊是9的倍數(shù)，根據(jù)被9整除的數(shù)字的特點(diǎn)知道，A＝6，故：x＝13717。
【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)是x；
則把這個(gè)數(shù)碼3加在自然數(shù)的右端就變成了10x＋3；
12345A＝123450＋A；
所以： 10x＋3－x＝123450＋A
得： 9x＝123447＋A
因?yàn)锳＝0，1，2，3，4， 5，6，7，8，9中的一個(gè)且x是自然數(shù)。
為了使123447＋ A能被9整除
得A＝6，即x＝13717；
答：這個(gè)數(shù)是13717； A的數(shù)值為6。
【點(diǎn)睛】熟練掌握9個(gè)倍數(shù)特征，是解答此題的關(guān)鍵。
10．
【分析】根據(jù)“有一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼6加寫在它的前面，則可得到一個(gè)四位數(shù)，如果把6加寫在它的后面，則也可以得到一個(gè)四位數(shù)，且這兩個(gè)四位數(shù)之和是9999”，設(shè)未知數(shù)，列方程并解方程，即可解題。
【詳解】設(shè)三位數(shù)為x，則有：
（6000＋x）＋（10x＋6）＝9999
11x＝9999－6006
11x＝3993
x＝363
答：原來的三位數(shù)是363。
【點(diǎn)睛】正確理解題意，找出等量關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵。
11．675
【分析】這題是數(shù)字問題，根據(jù)“新數(shù)比原數(shù)小108”可以列出等量關(guān)系式：“原數(shù)＝新數(shù)＋108”，設(shè)原三位數(shù)中的百位數(shù)字與十位數(shù)字組成的二位數(shù)為x，則原三位數(shù)可表示為（10x＋5），新三位數(shù)可表示為（5×100＋x）．
【詳解】解：設(shè)原三位數(shù)中的百位數(shù)字與十位數(shù)字組成的二位數(shù)為x．
10x＋5＝5×100＋x＋108
10x－x＝500＋108－5
9x＝603
x＝67
10×67＋5＝675
答：原三位數(shù)是675．
12．11
【分析】本題考查位值原則，把題目所涉及的數(shù)字均用代數(shù)式表示出來，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式求解。
【詳解】設(shè)第一個(gè)兩位數(shù)為10a＋b；第二個(gè)為10b＋a；第三個(gè)為100a＋b；
由題意：（100a＋b）－（10b＋a）＝（ 10b＋a）－（10a＋b）；
化簡可以推得b＝6a，
又0≤a，b≤9，得a＝1，b＝6；
即每小時(shí)走61－16＝45（公里）；
（601－106）÷45＝11（小時(shí)）；
答：再行11小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換所得的三位數(shù)。
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于列出數(shù)量關(guān)系式后，通過解不定方程，確定長題目的數(shù)據(jù)，再進(jìn)行求解。
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑