資源簡介

第六講 ：長方體和正方體（三）
知識精講
長方體與正方體的體積公式的實際應用
長方體和正方體的體積.
長方體或正方體的底面的面積叫做底面積.在求長方體或者正方體的體積的時候，也可以用底面積乘高來計算.可以寫成.其中的S表示長方體或者正方體的底面積.
等體積問題.
利用長方體和正方體的體積公式，可以解決一些實際問題，例如：熔鑄問題，將正方體鐵塊熔鑄成長方體鐵塊，如果不考慮損耗，鐵塊的體積是不變的.再如：將小水杯中的水，倒入大水杯中，水的體積也是不變的.
水中浸物
前面已經學習過正方體和長方體的體積公式，但是有一些物體既不是正方體也不是長方體，它們的體積該如何進行計算呢
可以用排水法計算不規則物體的體積，例如稱量一個鐵球的體積，具體操作步驟如下：在一個容器內先裝一定量的水，容器中的水要足夠多，能夠完全浸沒被測物體，容器保證足夠大，能夠放下被測物體，并且浸沒時水不會溢出.
首先先確定容器內水的體積，例如圖1中燒杯內水的體積是300毫升，接下來將要稱量的鐵球浸沒在水中，觀察浸沒后圖2的水面高度對應的體積是500毫升，那么這個鐵球的體積是(毫升).
求不規則物體的體積可以用排水法，物體的體積等于浸沒在水中時水面上升的那部分的體積，即容器的底面積乘水面上升的高度.
題型匯總
題型一：長方體、正方體體積的實際應用
1．光明學校游泳池長40米，寬25米，深2米，要把游泳池四周及底面貼上瓷磚。
（1）一共需要貼多少平方米的瓷磚？
（2）為了學生的安全，游泳池的水位設定為1.2米，需要向水池注入多少立方米的水？
【答案】（1）1260平方米
（2）1200立方米
【分析】（1）貼瓷磚的面積＝長×寬＋長×高×2＋寬×高×2，據此列式解答；
（2）水位相當于長方體的高，根據長方體體積＝長×寬×高，求出注入的水的體積。
【詳解】（1）40×25＋40×2×2＋25×2×2
＝1000＋160＋100
＝1260（平方米）
答：一共需要貼1260平方米的瓷磚。
（2）40×25×1.2＝1200（立方米）
答：需要向水池注入1200立方米的水。
2．下圖是一塊長方體木料。從這塊木料上鋸下一個最大的正方體。
（1）正方體木料的體積是多少立方厘米？
（2）剩余部分的體積是多少立方厘米？
【答案】（1）1728立方厘米
（2）1152立方厘米
【分析】（1）長方體木料鋸下最大的正方體，正方體的棱長＝長方體最短的棱，根據正方體體積＝棱長×棱長×棱長，列式解答即可；
（2）長方體體積＝長×寬×高，長方體體積－正方體體積＝剩余部分的體積，據此列式解答。
【詳解】（1）12×12×12＝1728（立方厘米）
答：正方體木料的體積是1728立方厘米。
（2）20×12×12－1728
＝2880－1728
＝1152（立方厘米）
答：剩余部分的體積是1152立方厘米。
題型二：等體積問題-熔鑄
1．把一個棱長為0.8米的正方體實心鐵塊，煅鑄成一塊寬為0.8米，高為0.4米的長方體實心零件（不計損耗）。
（1）長方體零件的長應是多少米？
（2）這個長方體零件的表面積是多少？
【答案】（1）1.6米
（2）4.48平方米
【分析】（1）根據正方體的體積公式：V＝，代入數據求出正方體鐵塊的體積，熔鑄后，體積不變，再根據長方體的體積公式：V＝abh，代入數據即可求出這個長方體鐵塊的長。
（2）根據長方體的表面積＝（長×寬＋寬×高＋長×高）×2，代入數據解答即可。
【詳解】（1）0.8×0.8×0.8＝0.512（立方米）
0.512÷0.8÷0.4
＝0.64÷0.4
＝1.6（米）
答：長方體零件的長應是1.6米。
（2）（1.6×0.8＋0.8×0.4＋1.6×0.4）×2
＝（1.28＋0.32＋0.64）×2
＝（1.6＋0.64）×2
＝2.24×2
＝4.48（平方米）
答：這個長方體零件的表面積是4.48平方米。
2．把一塊長是3分米、寬是6厘米、高是9厘米的長方體鐵塊，鍛造成邊長是3厘米的小正方體鐵塊，能鍛造成多少塊？
【答案】60塊
【分析】根據題意，3分米＝30厘米，結合長方體的體積公式：長×高×寬，先求出長方體鐵塊的體積，再根據正方體的體積公式：邊長×邊長×邊長，用長方體的體積除以正方體的體積，即可求出答案。
【詳解】3分米＝30厘米
30×6×9
＝180×9
＝1620（立方厘米）
3×3×3
＝9×3
＝27（立方厘米）
1620÷27＝60（塊）
答：能鍛造成60塊。
題型三：等體積問題-側面豎起
1．有一個長方體容器（圖1），長30厘米，寬20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。為了節約占地面積，把這個容器蓋緊，再朝左豎起來（圖2），里面的水深應該是多少？
【答案】18厘米
【分析】首先要明確無論容器怎么放，里面的水的體積不變，先根據“長方體的體積＝長×寬×高”求出容器中水的體積。把容器朝左豎起來時，左側面成為長方體的底面，根據“長方體的體積＝底面積×高”，用水的體積除以左側面面積（寬×高）即可求出這時的水深，如果讓長10厘米、寬20厘米的面朝下，則這個面成為底面，同樣用水的體積除以這個面的面積，即可求出這時水的深度。
【詳解】30×20×6
＝600×6
＝3600（立方厘米）
3600÷（10×20）
＝3600÷200
＝18（厘米）
答：里面的水深應該是18厘米。
2．在一個封閉的水箱內裝入水，從里面量，水箱的長、寬、高如下左圖所示。水深24厘米，如果把這個水箱立起來放（如下右圖），這時水深有多少厘米？
【答案】72厘米
【分析】根據長方體體積公式：體積＝長×寬×高，代入數據，求出左圖形里水深24厘米的水的體積，由于體積不變，再用水的體積÷（右圖的長×寬），即可求出這時水深，據此解答。
【詳解】90×60×24÷（60×30）
＝90×60×24÷1800
＝5400×24÷1800
＝129600÷1800
＝72（厘米）
答：這時水深72厘米。
題型四：水中浸物
1．在一個長80厘米、寬50厘米、高40厘米的長方體水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一個棱長為20厘米的正方體鐵塊，這時水箱中水深多少厘米？
【答案】32厘米
【分析】將水中沉入一個棱長為20厘米的正方體鐵塊，則水面上升的體積就是正方體的體積，根據，得出水上升的體積，長方體的體積＝底面積×高，長方體的底面積＝長×寬，那么用水上升的體積除以長方體的底面積，就是水面上升的高度，最后再加上原來水箱中水的高度就是現在水的深度。
【詳解】20×20×20＝8000（立方厘米）
8000÷（80×50）
＝8000÷4000
＝2（厘米）
30＋2＝32（厘米）
答：這時水箱中水深32厘米。
2．數學實踐活動課上，王老師帶來了甲、乙兩個容器（已知兩個容器中裝有同樣多的水，甲容器里面長30厘米，寬20厘米；乙容器內水高21厘米），并布置了一項實驗活動。
實驗內容：利用提供的輔助工具測量甲、乙容器中水的體積。
輔助工具：一塊小石頭、一把斷尺、一支筆。
小明思考片刻后做起了實驗，并很快計算出了兩個容器中水的體積。下面是小明的實驗過程和實驗數據：
同學們，你知道小明是怎樣求出乙容器中水的體積的嗎？請在答題卡上寫出計算過程。
【答案】見詳解
【分析】兩個容器中，水面上升的體積就是小石頭的體積，根據長方體體積＝長×寬×高，甲容器的長×寬×水面上升的高度＝小石頭的體積，即乙容器水面上升的體積，乙容器水面上升的體積÷乙容器水面上升的高度＝乙容器的底面積，再用乙容器的底面積×原來的高，即可求出水的體積。
【詳解】30×20×2÷3＝400（平方厘米）
400×21＝8400（立方厘米）
答：乙容器中水的體積是8400立方厘米。
跟蹤訓練
一、選擇題
1．如圖，在一個長方體玻璃容器里擺了若干個棱長為1厘米的小正方體，這個玻璃容器的容積是（ ）立方厘米。
A．72 B．75 C．90 D．108
2．一個長方體水箱，從里面量長5分米，寬4分米，高3分米，箱中水面高2分米，把一個棱長2分米的正方體鐵塊放入水箱，水面會上升多少分米？（ ）
A．0.4分米 B．0.8分米 C．1.2分米 D．1.4分米
3．長方體的長，寬，高都擴大到原來的3倍，那么它的體積會擴大到原來的（ ）倍。
A．6 B．9 C．27 D．3
4．把64升水倒入一個長4分米，寬2.5分米，高8分米的長方體水箱中，這時水面距箱口多少分米？（ ）
A．6.4 B．3.2 C．0.6 D．1.6
5．把一個棱長是8厘米的正方體鋼錠，熔鑄成一個長方體鋼錠，已知長方體的長是5厘米，寬是8厘米，它的高是（ ）厘米。
A．12.6 B．12 C．9.6 D．12.8
二、填空題
6．一個長方體，長、寬、高分別為5m、1m和2m，如果把這個長方體平放在地面上，占地面積最大是( )m2，最小是( )m2，這個長方體的體積是( )m3。
7．要在平地上挖一個長20米、寬8米、深50厘米的長方體土坑，一共要挖出( )方的土，土坑占地面積是( )平方厘米。
8．一個棱長5厘米的正方體玻璃水箱，里面裝有3厘米深的水，當把一塊不規則的石頭完全浸入水中后，水面上升到4厘米，這塊石頭的體積是( )立方厘米。
9．將一個棱長總和是60厘米的正方體實心鐵塊鍛造成一個長是10厘米，寬是2厘米的長方體實心鐵塊，這個長方體鐵塊的高是( )厘米。
10．小麗有一個封閉的長方體容器（如下圖），長4分米，寬1分米，高2分米，里面水深16厘米?，F在她把這個容器的左側面平放于桌面上。這時水深( )分米。
三、解答題
11．一根方鋼的長是3米，它的橫斷面是一個邊長為2分米的正方形。已知1立方分米的鋼重7.8千克，這根方鋼重多少千克？
12．一個正方體鐵塊，棱長是4分米。把它鍛造成長和寬分別是5分米、4分米的長方體，鍛造成的長方體鐵塊的高是多少分米？（消耗的部分忽略不計）
13．一個長方體的體積是125立方厘米，底面積是25平方厘米。這個長方體的高是多少厘米？
14．如圖。如果長方體水箱的底面積是16平方分米，那么石塊的體積是多少立方分米？
15．在學過排水法測量體積之后，紅紅想測量家中一個土豆的體積。她拿出一個可封閉的長方體玻璃缸，并注入水，如下左圖所示?？蛇@時水面高度只有3厘米，放入土豆后無法淹沒土豆。紅紅靈機一動，扣好蓋子把玻璃缸立了起來，如下右圖。請求出這個土豆的體積。

16．有甲、乙兩個長方體容器，從甲容器內部量得長、寬、高分別為40厘米、10厘米、10厘米。將甲容器的右面作為底面，直立起來就是乙容器，已知甲容器中裝有水，將其傾斜，水面剛好如下圖所示。乙容器是空的。
（1）甲容器中水的體積是多少？
（2）現在把甲、乙兩個容器放在同一桌面上，將甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一樣高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？
試卷第1頁，共3頁
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參考答案
1．C
【分析】通過平移圖形可知，這個長方體容器的里面的長是6厘米，寬是5厘米，高是3厘米，根據長方體的容積公式：，把數據代入公式解答。
【詳解】
（立方厘米）
所以，這個玻璃容器的容積是90立方厘米。
故答案為：C
2．A
【分析】水箱中的水面高度＝正方體鐵塊棱長，將正方體鐵塊放入水箱，鐵塊完全浸入水中，水面上升的體積就是鐵塊的體積，根據正方體棱長＝棱長×棱長×棱長，求出水面上升的體積，再根據長方體的高＝體積÷底面積，即可求出水面上升的高度。
【詳解】2×2×2÷（5×4）
＝8÷20
＝0.4（分米）
水面會上升0.4分米。
故答案為：A
3．C
【分析】根據長方體的體積＝長×寬×高，原來長方體的體積＝長×寬×高，擴大后的長方體的體積＝長×3×寬×3×高×3，因此現在的體積會擴大到原來（3×3×3）倍，據此解答。
【詳解】3×3×3＝27
因此它的體積會擴大到原來的27倍。
故答案為：C
4．D
【分析】水倒入長方體后，體積不變，變成一個長4分米，寬2.5分米的長方體，先求出64升水在長4分米，寬2.5分米，高8分米的長方體水箱中的高度，該高度＝水的體積÷長方體水箱的底面積，再用水箱的高度減去水的高度即可。
【詳解】64升＝64立方分米
64÷（4×2.5）
＝64÷10
＝6.4（分米）
8－6.4＝1.6（分米）
這時水面距箱口1.6分米。
故答案為：D
5．D
【分析】根據題意，正方體的鋼錠的體積等于長方體鋼錠的體積，根據得出正方體的體積是512立方厘米，即長方體的體積也是512立方厘米，根據，得出長方體的高＝體積÷長÷寬。
【詳解】8×8×8＝512（平方厘米）
512÷5÷8＝12.8（厘米）
它的高是12.8厘米。
故答案為：D
6． 10 2 10
【分析】根據題意可知：這個長方體的最大面的面積＝長×高，最小面的面積＝寬×高，據此求出占地面積最大和最小的情況；長方體的體積＝長×寬×高，把數據代入公式解答即可。
【詳解】5×2＝10（m2）
1×2＝2（m2）
5×1×2
＝5×2
＝10（m3）
一個長方體，長、寬、高分別為5m、1m和2m，如果把這個長方體平放在地面上，占地面積最大是10m2，最小是2m2，這個長方體的體積是10m3。
7． 80 1600000
【分析】第一問就是要求長方體的體積，根據1方＝1立方米，先把50厘米轉化為0.5米，再根據，代入數據計算后把單位轉化為方即可。
第二問就是要求長方體的底面積，土坑占地面積是一個長是20米，寬是8米的長方形，根據長方形的面積＝長×寬，代入數據計算，再根據1平方米＝10000平方厘米，把單位轉化為平方厘米即可。
【詳解】50厘米＝0.5米
（立方米）＝80（方）
（平方米）＝1600000（平方厘米）
要在平地上挖一個長20米、寬8米、深50厘米的長方體土坑，一共要挖出80方的土，土坑占地面積是1600000平方厘米。
8．25
【分析】這塊石頭的體積＝上升的水的體積。根據題意，上升的水的形狀是長5厘米，寬5厘米，高（4－3）厘米的長方體，根據長方體的體積＝長×寬×高，代入數據計算即可求出這塊石頭的體積。
【詳解】5×5×（4－3）
＝5×5×1
＝25（立方厘米）
則這塊石頭的體積是25立方厘米。
9．6.25
【分析】已知正方體實心鐵塊的棱長總和是60厘米，根據正方體的棱長＝棱長總和÷12，求出正方體鐵塊的棱長；再根據正方體的體積公式V＝a3，求出鐵塊的體積。
已知把這塊正方體實心鐵塊鍛造成一個長方體實心鐵塊，鐵塊的體積不變；根據長方體的高＝體積÷長÷寬，求出長方體鐵塊的高。
【詳解】60÷12＝5（厘米）
5×5×5＝125（立方厘米）
125÷10÷2
＝12.5÷2
＝6.25（厘米）
這個長方體鐵塊的高是6.25厘米。
10．3.2
【分析】長方體容器中水的形狀是長4分米，寬1分米，深16厘米（即1.6分米）的長方體，根據長方體的體積＝長×寬×高，代入數據計算，可以求出容器中水的體積。把這個容器的左側面平放于桌面上，水的體積不變，這時長是2分米，寬是1分米，用求得的水的體積連續除以2和1，即可求出水深的高度。
【詳解】16厘米＝1.6分米
4×1×1.6÷2÷1
＝6.4÷2÷1
＝3.2（分米）
則這時水深3.2分米。
11．936千克
【分析】根據長方體體積公式：體積＝長×寬×高，根據題意可知，方鋼的長是2分米，寬是2分米，高是3米，根據1米＝10分米，將單位統一，再代入數據，求出方鋼的體積，再用方鋼的體積乘7.8，即可求出方鋼的重量。
【詳解】3米＝30分米
2×2×30×7.8
＝120×7.8
＝936（千克）
答：這根方鋼重936千克。
12．3.2分米
【分析】由題意得，正方體變成長方體體積不變，可用正方體棱長求出正方體體積，正方體體積即是長方體體積。再用長乘寬求出長方體底面積，最后用體積除以底面積即可求出高。據此解答。
【詳解】43÷（5×4）
＝64÷（5×4）
＝64÷20
＝3.2（分米）
答：鍛造成的長方體鐵塊的高是3.2分米。
13．5厘米
【分析】根據長方體的高＝體積÷底面積，列式解答即可。
【詳解】125÷25＝5（厘米）
答：這個長方體的高是5厘米。
14．11.2立方分米
【分析】據題意可知，石塊的體積等于上升的水的體積，用水箱的底面積乘上升的水的高度，即可得解。
【詳解】
（立方分米）
答：石塊的體積是11.2立方分米。
15．600立方厘米
【分析】先分析左圖情況：左圖中玻璃缸長30厘米，寬10厘米，水面高度3厘米。根據長方體體積公式：長方體體積＝長×寬×高，此時水的體積為30×10×3＝900（立方厘米）；
再分析右圖情況：右圖中玻璃缸長10厘米，寬10厘米，水面高度15厘米。此時水和土豆的總體積為10×10×15＝1500（立方厘米）；
最后求土豆體積：用右圖中水和土豆的總體積減去左圖中水的體積，即土豆的體積為1500－900＝600（立方厘米）
【詳解】計算左圖水的體積：
V1＝30×10×3
＝300×3
＝900（立方厘米）
計算右圖水和土豆總體積：
V2＝10×10×15
＝100×15
＝1500（立方厘米）
土豆體積：V＝V1－V2＝1500－900＝600（立方厘米）
這個土豆的體積為600立方厘米。
16．（1）2000立方厘米
（2）400毫升
【分析】（1）從圖中可以看出，甲容器裝水的體積等于甲容器體積的一半，根據長方體的體積公式V＝abh，代入數據計算求解。
（2）從圖中可知，甲容器的底面積是（40×10）平方厘米；將甲容器的右面作為底面，直立起來就是乙容器，則乙容器的底面積是（10×10）平方厘米；
將甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一樣高，則水的體積不變，水的高度一樣，那么可以把甲、乙兩個容器看作一個底面積為甲、乙兩個底面積之和的容器；
根據長方體的高h＝V÷S，代入數據計算求出容器中水的高度；再根據長方體的體積公式V＝abh，求出乙容器中水的體積。注意單位的換算：1立方厘米＝1毫升。
【詳解】（1）40×10×10÷2
＝400×10÷2
＝4000÷2
＝2000（立方厘米）
答：甲容器中水的體積是2000立方厘米。
（2）2000÷（40×10＋10×10）
＝2000÷（400＋100）
＝2000÷500
＝4（厘米）
10×10×4
＝100×4
＝400（立方厘米）
400立方厘米＝400毫升
答：乙容器中需要倒入400毫升水。
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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