資源簡介

第九講 ：分數大小比較與分數推斷
知識精講
通分子、通分母.
我們知道分數的意義是：把“1”平均分成若干份，這樣的一份或幾份可以用分數來表示.由此易知：
如果兩個分數分母相同，分子越大分數越大.
如果兩個分數分子相同，分母越大分數越小.
如果兩個分數分子和分母都不同，我們應該怎么比較它們的大小呢 最常用的方法是利用分數的基本性質把它們化成分母相同或分子相同的分數.
交叉相乘法.
比較和的大小，可以先把它們通分，變成分母相同的分數：和
然后再比較分子的大小：,所以
因為最后比較的是兩個乘積，因此這個方法也被稱為“交叉相乘法”.要比較兩個分數，只需要將這兩個分數的分子分別與另一個分數的分母相乘，比較兩個乘積的大小.分子所在的乘積大，則分數就大.例如比較和的大小，因為,的分子所在的乘積大，所以.
簡單推斷分數.
分數的基本性質：分數的分子和分母都乘或除以相同的數(0除外),分數的大小不變.利用這個性質，我們可以把一個分數化成和它相等，但分子、分母都更小的分數.這個過程叫約分.例如.也可以把一個分數化成和它相等，但分子、分母都更大的分數.這個過程叫擴分.例如.
復雜推斷分數 .
一個分數的分子、分母若同時加上(或減去)同一個數時，分子與分母的差不變；一個分數的分子若加上(或減去)某個數，同時分母減去(或加上)這個數時，分子與分母的和不變.利用“差不變”與“和不變”這一特性可以解決很多分數變化的問題.
題型匯總
題型一：分數大小比較
1．比較和的大小，下列方法不正確的是（ ）。
A．，，
B．，，
C．從特例開始尋找規律：
D．，，，
【答案】B
【分析】分數大小的比較方法有通分、作差、找規律等方法，逐項分析選項解答即可。
【詳解】A．采用通分的方法，根據分數的基本性質將和的分母統一成12×13，然后比較分子，分母相同分子小的那個分數小，因此＜，此方法正確。
B．，，等式的變形錯誤，此方法錯誤。
C．利用找規律的方法，當分子比分母小1時，分子分母越大，這個分數就越大，因此＜，此方法正確。
D．與1進行比較，比1小，比1小，，即與1更接近，因此，此方法正確。
故答案為：B
2．和是兩個不等于0的自然數，而且。對于〇，〇中應填（ ）。
A． B． C．無法比較
【答案】A
【分析】可以先將和進行計算，發現結果的分子都是7。比較兩個分數的大小時，如果分子相同，則分母大的那個分數反而小。
【詳解】，
，分子相同，分母大的那個分數反而小
因此
所以＞
故答案為：A
題型二：復雜分數大小比較
1．比較大小。
( )。
【答案】＞
【分析】先將化成，將化成，只需要比較兩個算式中減數的大小（減數大的，差反而小，減數小的差反而大）。
由于兩個數的分母比大，通分會導致計算量大，可以將分子變得相同，即根據分數的基本性質，將分子乘1.5，則分母也要乘1.5，最后只需要比較分母，分母大的反而小。反小的反而大。
【詳解】
由于88888889×1.5＞99999994，則
所以＞。
【點睛】當兩個分數的分子和分母數量比較大的時候，可以將分數轉化為減法算式，這樣比較大小比較容易。
2．比較、、、的大小，你能發現什么？根據你發現的規律猜一下與哪個更大。
【答案】
【分析】觀察這幾個分數是真分數，且他們分子和分母，都相差1，且分數值與1接近，則都與1作差，即、、、，然后比較、、、的大小，同分子分數，分母越大分數反而越小，最后找出規律即可。
【詳解】
因為
所以
規律：分子分母相差1的真分數，分母越大，分數值越大；
因為121＜345，則，即更大。
題型三：簡單分數推斷
1．一個分數的分子擴大到原來的3倍，分母乘2，分數值是，原來這個分數是( )。
【答案】
【分析】根據題意可知，是原來分數的分子乘3、分母乘2后得到的，先把化成假分數，運用倒推法，的分子除以3、分母除以2，即可求出原來的分數。
【詳解】＝
＝
原來這個分數是。
2．把的分子擴大到原來的4倍，要使分數的大小不變，則分母要加上( )。
【答案】15
【分析】分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數大小不變；根據分數的基本性質，把的分子擴大到原來的4倍，要使分數的大小不變，則分母也要擴大到原來的4倍，也就是將分母乘5，結果分母變為20，分母比原來增加了（20－5）。
【詳解】5×4－5
＝20－5
＝15
把的分子擴大到原來的4倍，要使分數的大小不變，則分母要加上15。
題型四：復雜分數推斷
1．一個分數，分母比分子大15，它的分數值是，這個分數是多少？
【答案】
【分析】本題考查的知識點是用“抓不變量”的方法，利用份數知識解答分數問題。先求出分子和分母的份數差8-3=5，然后用數量差15除以份數差15÷（8-3）=3就是一份量；接著用還原法或逆推法計算出原來分數的值：==
【詳解】15÷（8-3）=3 ==
答：這個分數是。
2．一個分數的分子和分母相加的和是49，如果把分母、分子都減去2，得到的分數可以約成，原來的這個分數是( )。
【答案】
【分析】根據題意，把分母、分子都減去2，則分數的分子與分母的和變成49－2－2＝45；得到的分數可以約成，1＋4＝5，因為45÷5＝9，即分數的分子和分母同時除以9后得到的最簡分數是；運用倒推法，的分子、分母先同時乘9，再同時加上2，即是原來的分數。
【詳解】49－2－2＝45
45÷（1＋4）
＝45÷5
＝9
＝
＝
原來的這個分數是。
跟蹤訓練
一、選擇題
1．把的分子加上14，要使分數的大小不變，分母應該（ ）。
A．加上14 B．乘3 C．加上24 D．乘4
2．如果，那么（ ）里可填的自然數有（ ）個。
A．4 B．5 C．無數
3．把的分子乘4，要使分數的大小不變，分母應（ ）。
A．乘6 B．加6 C．乘4
4．下面每組數中，不相等的兩個分數是（ ）。
A．和 B．和 C．和 D．和
5．下面是甲、乙、丙、丁四位同學在比較和的大小時不同的思考過程，其中錯誤的是（ ）。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空題
6．在，，，，中最小的數是 。
7．一個最簡分數，如果分子加9，分數就等于2，如果分母減2，分數就等于1，原分數是( )。
8．在 里填上自然數( )，能使式子成立。
9．一個最簡分數，如果分母減1，化簡后得，如果分子加4，化簡后得，這個最簡分數是( )。
10．有一個分數，約分后等于；若分子、分母加上同一個數后，再約分成為；若分子、分母各減去比前面加數大1的數后，約分成為。這個原分數約分前是 。
三、解答題
11．在0＜＜0.5中，□中最小能填幾？最大呢？（填入的數字為自然數）
12．一個分數，分子與分母的和是23，如果分子加上7，整個分數就等于1。這個分數原來是多少？
13．一個分數的分子與分母之和是26，分母增加4后得到一個新分數，把這個分數化為最簡分數是，求原來的分數。
14．的分子和分母同時減去一個數，約分后得，同時減去的這個數是多少？
15．一個分數的分母比它的分子大11，如果它的分母是它分子的3.75倍，那么這個分數等于多少？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．B
【分析】根據分數的基本性質可知，分數的分子和分母同時乘或除以一個相同的數（（0除外），分數的大小不變。的分子加上14，變成了21，相當于乘（21÷7＝3），所以分母也要乘3，據此解答。
【詳解】由分析可得，分母應該乘3，即變成8×3＝24。
A．分母加上14，變成8＋14＝22，不符合題意；
B．分母乘3，變成8×3＝24，符合題意；
C．分母加上24，變成8＋24＝32，不符合題意；
D．分母乘4，變成8×4＝32，不符合題意。
故答案為：B
2．A
【分析】同分子分數比較大小，分母越大分數越小；想讓中間的分數小于大于，則括號內填寫的自然數必須在2到7之間。
【詳解】2到7之間的自然數有3、4、5、6，共4個數字。
故答案為：A
3．C
【分析】分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
【詳解】3×4－3
＝12－3
＝9
把的分子乘4，要使分數的大小不變，分母應乘4或加9。
故答案為：C
4．C
【分析】運用分數的基本性質，把各選項中的兩個分數化成同分母或同分子的分數進行比較，找出不相等的兩個分數即可。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
【詳解】A．＝＝，＝，所以＝，不符合題意；
B．＝＝，＝＝，＝，所以＝，不符合題意；
C．＝＝，≠，所以≠，符合題意；
D．＝＝，所以＝，不符合題意。
故答案為：C
5．C
【分析】甲：根據異分母分數比較大小的方法，先通分成分母相同的分數，之后再根據同分母分數比較大小的方法，分母相同，分子越大，分數越大，甲的思考過程正確；
乙：把兩個同樣的直條按照分數的意義平均分成不同的份數，平均分成3份，取1份，平均分成5份取2份，之后看取的份數越大，則表示分數越大，乙的思考過程正確；
丙：其中的1份是相同的，由于兩個直條的整體長度不相同，所以沒辦法比較，這種方法錯誤；
丁：丁也是把一個整體按照分數的意義平均分成若干份，之后看取的份數大小，和乙的思路一樣，所以丁的思考過程正確。據此即可選擇。
【詳解】由分析可知：
丙的思考過程錯誤。
故答案為：C
6．
【分析】本題分母比較復雜，可利用分數的基本性質，將分數轉化為分子相同的分數，再比較大小；分子相同，分母較大的分數比較小，分母較小的分數比較大；據此解答。
【詳解】＝
＝
＝
＝
＞＞＞＞
＞＞＞＞
所以最小的數為。
【點睛】本題考查了分數比較大小的方法，此題將分數轉化為分子相同的分數比較大小更簡便。
7．
【分析】設原分數的分子為x，如果分母減2，分數就等于1，根據分子÷分母＝分數值，可知分母＝分子＋2，即分母用表示；此時再根據分子加9，分數就等于2，知分子＋9＝分母×2，據此列出方程，求出x的值，最后求出這個原分數即可。
【詳解】解：設原分數的分子為x，則分母為。
分母：
所以這個最簡分數是。
【點睛】本題考查列方程解決問題、分數與除法的關系，解答本題的關鍵是找到分子與分母的數量關系。
8．9或10或11
【分析】根據分數大小比較的方法可知，分子相同的分數要看分母，分母小時這個分數比較大；先把和化成分子相同的分數，再根據這兩個分數大小關系確定□的取值范圍；
同樣的方法，把和也化成分子相同的分數，根據兩個分數的大小關系可以進一步確定□的取值范圍，并得到最后答案。
【詳解】，，要使，35＞□×3，□中為小于12大于0的自然數；
，，要使，□×5＞42，□中為大于8的自然數；
□取值是9，10，11
9．
【分析】從“如果分母減1，化簡后得”可知：分母比分子的3倍還多1。設這個最簡分數的分子是，則分母是3＋1；從“如果分子加4，化簡后得”可得等式：分母＝（分子＋4）×2，根據等式列方程，求出的值，即這個最簡分數的分子，再用分子×3＋1就求出分母。據此解答。
【詳解】解：設這個最簡分數的分子是，則分母是3＋1。
3＋1＝（＋4）×2
3＋1＝2＋4×2
3＋1＝2＋8
3＋1－1＝2＋8－1
3＝2＋7
3－2＝2＋7－2
＝7
7×3＋1
＝21＋1
＝22
這個最簡分數是。
【點睛】將最簡分數轉化成分子分母的倍數關系，利用這個關系列方程是解此題的關鍵。
10．
【分析】根據分數的意義，可知分數的兩次變化，分子和分母的差不變，據此可知，這個差是（11－8）、（9－5）的最小公倍數，也就是3和4的最小公倍數，即12，所以差（3－2）份就是12，也就是1份是12，據此可知2份是24，3份是36，這個原分數是。
【詳解】11－8＝3
9－5＝4
3×4＝12
＝
這個原分數約分前是。
【點睛】本題考查了約分的靈活應用，明確分子和分母的差不變是解答本題的關鍵。
11．1 7
【詳解】把0＜＜0.5變形成0＜＜去思考．
12．
【分析】根據題意，如果分子加上7，整個分數就等于1，說明分子加上7后與分母相等，即原來分數的分子比分母少7；又已知原來分數的分子與分母的和是23；
根據和差問題的公式：（和＋差）÷2＝較大數，由此求出分母；再用分母減去7，求出分子，據此得出這個分數。
【詳解】分母：
（23＋7）÷2
＝30÷2
＝15
分子：15－7＝8
分數：
答：這個分數原來是。
【點睛】由“如果分子加上7，整個分數就等于1”得出“原來分數的分子比分母少7”是解題的關鍵，再利用和差問題的解題方法解答。
13．
【分析】一個分數的分子與分母之和是26，分母增加4后得到一個新分數，新分數的分子與分母的和是（26＋4），最簡分數是，說明分母是分子的5倍，分子與分母的和÷（倍數＋1）＝一份數，即新分數的分子，新分數的分子×5＝新分數的分母，新分數的分母－4＝原分數的分母，據此確定原來的分數。
【詳解】（26＋4）÷（5＋1）
＝30÷6
＝5
5×5＝25
25－4＝21
答：原來的分數是。
【點睛】關鍵是理解分數的意義，掌握和倍問題的解題方法。
14．2
【分析】的分子和分母同時減去一個數，新的分數約分后是，根據分數的性質，把的分子分母同時擴大相同的倍數，且分子分母的值不超過23和30，則有下面幾種：、、 、 、，可以發現原來的分數分子分母同時減去2符合題意。
【詳解】根據分數的基本性質：
======
可以發現23-2=21；30-28=2
答：同時減去的這個數是2。
【點睛】解答本題的關鍵是利用分數的基本性質找出所有數，然后進行觀察比較才能得出答案。
15．
【分析】根據差倍問題的解題思路，分母是它分子的3.75倍，分母比分子多3.75－1倍，多了11，用11÷對應倍數，求出一份數，是分子，分子＋11是分母，據此分析。
【詳解】11÷（3.75－1）
＝11÷2.75
＝4
4＋11＝15
答：這個分數等于。
【點睛】關鍵是找到分子與分母差的對應倍數，先求出一份數。
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑