資源簡介

第二講 ：因數與倍數上
知識精講
因數與倍數的定義.
因數和倍數的定義：對整數a和,如果a|b,我們就稱a是b的因數，b是a的倍數.
在算式中，24是4和6的倍數，4和6是24的因數。根據定義，我們很容易找到一個數的所有因數，例如12:因為,可知12可以被12,3,4,6,12整除，那么它的因數有1,2,3,4,6,12,共6個.
找一個數的因數的方法，可以列乘法算式，從1開始一對一對地找。一個數的因數個數是有限的，最小的因數是1,最大的因數是這個數本身.
找一個數的倍數的方法，用這個數和任意一個自然數(不為0)相乘，所得的乘積就是這個數的倍數。一個數的倍數個數是無限的，最小的倍數就是這個數本身.
從上面“12”的分拆可以看出，因數具有“成對出現”的特征，也就是：最大因數對應最小因數，第二大因數對應第二小因數等。所以在寫一個數的所有因數時，可以逐對寫出.另外如果計算較大因數不太方便，可以轉而計算與其成對的較小因數.
質數與合數的定義.
什么是質數 什么是合數
找出1~20各數的因數并觀察它們因數個數的規律，我們會發現有些數只有1和它本身兩個因數，比如,,…像這樣的只有1和它本身兩個因數的數，叫做質數(素數).
還有一些數，除了1和它本身還有其他因數，比如,還有…像這樣的除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數.注意：1既不是質數也不是合數，最小的質數是2，最小的合數是4.
題型匯總
題型一：因數與倍數的認識
1．甲數3＝乙數（甲、乙數為非零自然數），乙數是甲數的（ ）。
A．倍數 B．因數
C．既是倍數，也是因數 D．無法確定
【答案】A
【分析】一個整數能被另一個整數整除，則這個數就是另一個數的倍數，另一個數就是這個數的因數。據此可得出答案。
【詳解】甲數3＝乙數（甲、乙數為非零自然數），則乙數÷甲數＝3，即乙數能被甲數整除，乙數是甲數的倍數。
故答案為：A
【點睛】本題主要考查的是因數、倍數的判定，解題的關鍵是熟練運用因數、倍數的概念，進而得出答案。
2．根據m×6＝n（m、n均為非0自然數），下面說法正確的是（ ）。
A．m是6的因數 B．m是n的倍數 C．n是m的倍數 D．n是6的因數
【答案】C
【分析】如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然數），那么b，c就是a的因數，a就是b，c的倍數。因為m×6＝n（m、n均為非0自然數），所以n是m的倍數，n是6的倍數，m是n的因數，6是n的因數。
【詳解】A．由m×6＝n（m、n均為非0自然數），不能說明m是6的因數，A選項錯誤。
B．由m×6＝n（m、n均為非0自然數）可知，m是n的因數，B選項錯誤。
C．由m×6＝n（m、n均為非0自然數）可知，n是m的倍數，C選項正確。
D．由m×6＝n（m、n均為非0自然數）可知，n是6的倍數，D選項錯誤。
故答案為：C
【點睛】本題主要考查因數與倍數的意義，注意因數與倍數是相互依存的。
題型二：質數與合數的認識
1．若=2（為大于0的整數），那么一定是（ ）。
A．質數 B．合數 C．奇數 D．偶數
【答案】D
【解析】根據題意可知=2（為大于0的整數），則是2的倍數，那么能整除2，和偶數的概念相符，根據此可以得出答案。
【詳解】已知=2（為大于0的整數），所以是偶數，故答案為：D
【點睛】本題考查質數、合數、奇數、偶數的概念，再根據他們的特征進行判斷。
2．如果a、b均為質數，且3a＋7b＝41，則a＋b＝（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】因為41是奇數，只有奇數加偶數和才為奇數，且3、7、a，b均為質數，所以a，b中必有一個是2。假設a＝2，把a＝2代入3a＋7b＝41中求出b＝5，所以a＋b＝7。
【詳解】假設a＝2，把a＝2代入3a＋7b＝41中，
3×2＋7b＝41
6＋7b＝41
7b＝35
b＝5
a＋b＝7
故答案為：C。
【點睛】完成本題首先要明白偶數＋奇數＝奇數。
題型三：因數與倍數的應用
1．黑板上貼著7張數字卡片，細心的妙想發現：這7個數字正好是某個自然數的所有因數，這個自然數是 。
【答案】64
【分析】根據因數和倍數的意義，a、b、c是不為0的自然數，當a×b＝c時，a和b是c的因數，c是a和b的倍數。如8＝1×8＝2×4，8的因數就有1、8、2、4，共4個。一個數的因數總是成對出現的，因數的個數一般是偶數個；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因數有1、16、2、8、4共5個，因為16＝4×4＝42，16因數的個數是奇數個。當一個數能表示成某個整數的平方的形式時，它的因數的個數是奇數個。據此解答即可。
【詳解】16是這個數的因數，16的因數也一定是這個數的因數。16的因數有1、2、4、8、16共5個。16是這個數的因數，這個數就是16的倍數。當16的倍數中，16×4＝64＝82，64的因數有1、2、4、8、16、32、64，共7個因數。因此這個自然數是64。
【點睛】本題考查的是因數和倍數的意義，明確這個數是某個整數的平方是解題的關鍵。
2．144個橘子平均分成若干份，使每份橘子的個數在10~100的范圍內，有 種分法。
【答案】7
【分析】根據題意可知，橘子的總數＝份數×每份的數量，因為份數和每份的數量都是整數，所以將144拆分為2個整數相乘，據此列舉出所有可能，再找到符合10~100的范圍內的數。
【詳解】144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12
符合題意的有：72、48、36、24、18、16、12，共7種分法。
【點睛】解答本題的關鍵是每份橘子的個數是整數，然后一一列舉出所有可能。
題型四：質數與合數的應用
1．有兩個質數，它們的和是小于40的奇數，且是5的倍數。這兩個質數的積可能是多少？
【答案】6、26或46
【分析】5的倍數特征：個位上的數字是0或5的數是5的倍數。
整數中，是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數。
除了1和它本身以外不再有其他因數，這樣的數叫質數。
【詳解】2＋3＝5
2＋13＝15
2＋23＝25
2×3＝6
2×13＝26
2×23＝46
答：這兩個質數的積可能是6、26或46。
【點睛】關鍵是通過奇數和5的倍數確定這兩個質數的和，再確定這兩個質數。
2．如果，且a、b、c是不同的質數（b＜c），那么a、b、c各代表多少？寫出分析過程。
【答案】a是17；b是2；c是11
【分析】221是a與（b＋c）的積，先將221寫成兩個數相乘的形式，即221＝13×17，因為b與c的和為奇數，所以b和c一個為奇數一個為偶數，a、b、c是不同的質數，且2是唯一的偶質數，則b和c中有一個數為2，據此求出a、b、c的值。
【詳解】分析可知，221＝13×17，b和c中有一個數為2。
當a＝13時，17－2＝15，15不是質數，所以不符合題意；
當a＝17時，13－2＝11，11是質數且b＜c，所以a為17，b為2，c為11。
答：a代表17，b代表2，c代表11。
【點睛】把221分解為兩個數相乘的積，再根據b、c之間的關系求出a、b、c的值是解答題目的關鍵。
跟蹤訓練
一、選擇題
1．小明有張數相同的5元和1元的紙幣若干，他可能有（ ）元。
A．38元 B．25元 C．100元 D．36元
2．一個非0自然數的最大因數和最小倍數的和是20，這個數是（ ）。
A．18 B．19 C．20 D．10
3．古希臘學者認為：如果一個數恰好等于它的所有因數（本身除外）相加之和，那么這個數就是“完全數”。例如6有4個因數1，2，3，6，除本身6以外，還有1，2，3三個因數。，所以6是“完全數”。下面的數中是“完全數”的是（ ）。
A．10 B．12 C．16 D．28
4．已知都是大于0的自然數），那么下面各種說法，正確的是（ ）。
A．a是倍數 B．b是因數 C．c是因數 D．b，c都是a的因數
5．任意給出三個不同的自然數，其中一定有2個數的和是（ ）。
A．奇數 B．偶數 C．質數 D．合數
6．小明把6個數分別寫在三張卡片的正面和反面，每個面上寫一個數，每張卡片上的2個數的和相等，然后他將卡片放在桌子上，發現正面上寫著28、40、49，反面上的數都只能被1和它自己整除．那么，反面上的三個數的平均數是（　　）
A．40 B．39 C．16 D．12
二、填空題
7．一個自然數有四個因數，分別是A、3、5、B，這個自然數是( )。
8．某排戰士發裝備，一共有30套軍裝，71個水壺和79雙軍鞋，每個戰士拿的一樣多，最后一共剩下19件物品沒有發出去。那么一共有( )名戰士。
9．一個正整數n，若它的所有因數中最小的兩個因數的和是4，最大的兩個因數的和是100，則n的值為( )。
10．“三八”女神節那天，爸爸給媽媽買了一束鮮花，共花93元，其中康乃馨3元/枝，玫瑰5元/枝，狐尾百合10元/枝。這束花中玫瑰的枝數是最大的一位數，狐尾百合的枝數為奇數，康乃馨應為( )枝。
11．一塊長方形菜地的長和寬都是以米為單位的質數，周長是36米，這塊長方形菜地的面積是( )平方米。
12．有兩個質數，它們的和是合數，差是質數，并且和是差的6倍，這兩個質數是( )和( )。
13．一個運算程序，運算規則如圖，如果輸入23，那么結果是( )；如果輸入了一個數，結果是66，那么這個數是( )。
三、解答題
14．一個長方形的周長是36米，它的長和寬是兩個不同的質數，這個長方形的面積可能是多少？
15．一個三位質數，各位數字也是質數且互不相同，個位數字等于前兩位數字的和，這個質數是多少？
16．一個質數的6倍與另一個質數的6倍的和是180，這兩個質數分別是多少？
17．三個不同的質數之和是50，寫出這三個質數。
試卷第1頁，共3頁
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參考答案
1．D
【分析】如果小明只有1張5元和1張1元的紙幣，那么小明一共有（5＋1）元，現在小明有張數相同的5元和1元的紙幣若干，說明小明的總錢數是6的倍數，只要找到是6的倍數的數即可。
【詳解】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍數，不符合題意；
B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍數，不符合題意；
C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍數，不符合題意；
D．36÷6＝6，所以36是6的倍數，符合題意。
因此小明有張數相同的5元和1元的紙幣若干，他可能有36元。
故答案為：D
【點睛】此題考查了倍數的應用，明確總錢數是6的倍數是解決本題的關鍵。
2．D
【分析】任何一個非0自然數的最大因數和最小倍數都是它本身，因此20應該是這個數的2倍，據此解答。
【詳解】任何一個非0自然數的最大因數和最小倍數都是它本身。
20÷2＝10
這個數是10。
故答案為：D
【點睛】考查一個數因數和倍數的特征。一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身，一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
3．D
【分析】根據題意可知，把每個選項的因數都寫出來，再相加，看看是否符合“完全數”的規律。
【詳解】A．10的因數有：1、10、2、5。
1＋2＋5＝8
10不是“完全數”。
B．12的因數有：1、12、2、6、3、4
1＋2＋3＋4＋6＝16
12不是“完全數”。
C．16的因數有：1、16、2、8、4
1＋2＋4＋8＝15
16不是“完全數”。
D．28的因數有：1、28、2、14、4、7
1＋2＋4＋7＋14＝28
28是“完全數”。
故答案為：D
【點睛】熟練掌握“完全數”的概念特征，是解決本題的關鍵。
4．D
【分析】在整數除法中，商是整數且沒有余數，我們就說被除數是除數和商的倍數，除數和商是被除數的因數，因數和倍數是相互依存的，我們只能說誰是誰的因數，誰是誰的倍數，據此解答即可。
【詳解】由分析可知：
b，c都是a的因數，a是b，c的倍數。
故答案為：D
【點睛】本題考查因數和倍數，明確因數和倍數的定義是解題的關鍵。
5．B
【分析】（1）整數中，是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫做奇數，最小的奇數是1；
（2）一個數，如果只有1和它本身兩個因數，那么這樣的數叫做質數；一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數；
（3）由兩個數和的奇偶性可知，奇數＋奇數＝偶數，偶數＋偶數＝偶數，奇數＋偶數＝奇數，據此分析。
【詳解】由自然數的分類可知，自然數中不是奇數就是偶數，任意給出三個不同的自然數，一定有兩個自然數同為奇數或者同為偶數，那么其中一定有2個數的和是偶數，如：2、4、8中沒有2個數的和是奇數，也沒有2個數的和是質數，但有2個數的和是偶數；0、2、3中沒有2個數的和是合數，但有2個數的和是偶數。
故答案為：B
【點睛】掌握奇數、偶數、質數、合數的意義，并靈活運用和差的奇偶性是解答題目的關鍵。
6．D
【詳解】設49的反面為a，則其余反面的數為a+（49﹣40）＝a+9、a+（49﹣28）＝a+21；
因為a、a+9、a+21均為質數，所以a＝2；
[2+（2+9）+（2+21）]÷3＝12
故選D．
7．15
【分析】
根據因數和倍數的定義可知，只在自然數（零除外）范圍內研究倍數和因數。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然數）那么a和b就是c的因數，c就是a和b的倍數。一個數的因數的個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數是它本身。據此可知，一個自然數有四個因數，分別是A、3、5、B，這個自然數是（3×5＝15）。
【詳解】根據分析可知，
3×5＝15
一個自然數有四個因數，分別是A、3、5、B，這個自然數是15。
【點睛】正確理解因數和倍數的意義，是解答此題的關鍵。
8．23
【分析】30套軍裝、71個水壺、79雙軍鞋，總共180件物品，最后一共剩下19件物品沒有發出去，那么發出去了161件物品，由于每個戰士拿的一樣多，那么161是總人數的倍數。
【詳解】
161的因數有1，7，23，161；
（1）當有7名戰士時，
30÷7＝4（套）……2（套）
71÷7＝10（個）……1（個）
79÷7＝11（雙）……2（雙）
因為2＋1＋2＝5（件），5≠19，
所以有7名戰士不符合題意．
（2）當有23名戰士時，
30÷23＝1（套）……7（套）
71÷23＝3（個）……2（個）
79÷23＝3（雙）……10（雙）
因為7＋2＋10＝19（件），
所以一共有23名戰士，每名戰士分得1套軍裝，3個水壺和3雙軍鞋．
綜上，可得一共有23名戰士．
答：一共有23名戰士．
【點睛】本題在求解過程中用到了整體的思想，總共用去的物品數量一定是總人數的倍數。
9．75
【分析】一個數最小的因數是它本身，最大是它本身，則由題意可知，這一個數的最小的兩個因數分別是1和4－1＝3；進而可知最大的一個因數是第二大因數的3倍，由此求出最大的兩個因數，進而得出這個正整數即可。
【詳解】100÷（3＋1）
＝100÷4
＝25；
100－25＝75；
所以最大的兩個因數是25和75；
所以這個正整數就是75。
【點睛】解答的關鍵是先求出最小的兩個因數，進而明確最大的因數和第二大因數之間的關系。
10．6
【分析】單價×數量＝總價，這束鮮花的總錢數93元，是個奇數，玫瑰的枝數是最大的一位數，即9枝，玫瑰單價5元，是奇數，奇數×奇數＝奇數，總錢數－玫瑰錢數＝偶數；狐尾百合單價10元，是偶數，枝數為奇數，偶數×奇數＝偶數，狐尾百合錢數是偶數；康乃馨單價是奇數，總價應為偶數，所以康乃馨枝數為偶數，據此再根據3的倍數的特征推算出康乃馨的枝數。
【詳解】最大的一位數是9。
93－9×5
＝93－45
＝48（元）
狐尾百合的枝數為奇數，只能是1枝或3枝。康乃馨3元/枝，康乃馨的錢數是3的倍數。
48－10×1
＝48－10
＝38（元）
38不是3的倍數，狐尾百合不可能是1枝。
48－10×3
＝48－30
＝18（元）
18是3的倍數，狐尾百合有3枝，則：
18÷3＝6（枝）
康乃馨應為6枝。
【點睛】關鍵是理解奇數和偶數的運算性質，掌握3的倍數的特征。
11．65/77
【分析】長方形的周長是36米，根據周長公式，可知，長＋寬＝周長÷2＝18米，即長和寬的和為18。已知長和寬都是以米為單位的質數，可以通過列舉法，求出長和寬，再根據面積公式求解。
【詳解】長＋寬＝36÷2＝18（米）
18以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17。
滿足和是18的有：5和13、7和11。
所以有以下兩種情況：
一種是：長13米，寬5米，面積為13×5＝65（平方米）；
另一種是：長11米，寬7米，面積為11×7＝77（平方米）。
【點睛】本題主要考查長方形的面積，關鍵要根據周長計算出長和寬，注意多種答案。
12． 5 7
【分析】設其中一個數為a，另一個數為b，根據題干描述列式a＋b＝6（a－b），化簡出a和b的關系，代入數據驗證，從而找到這兩個質數。
【詳解】設其中一個數為a，另一個數為b，則
a＋b＝6（a－b）
a＋b－6a＋6b＝0
7b－5a＝0
5a＝7b
a＝b
因為這兩個數為自然數，所以b只能是5的整倍數，又因為兩個數都是質數，然后代數驗證即可，當b＝5時，a＝7，則5＋7＝12，12是合數，7－5＝2，2是質數，而且12÷2＝6，符合題意，所以這兩個質數是5和7。
【點睛】除了1和它本身以外不再有其他因數，這樣的數叫質數；除了1和它本身以外還有其他因數，這樣的數叫合數。
13． 531 32
【分析】23是一個質數，所以運行的算法為；
由于只知道結果是66，所以讓和這兩個算式都等于66，再分別計算出A，看A是否符合各自運算程序的條件，即，，8是合數，不符合相對應的運算程序的條件“A是質數”；，，32是合數，符合相對應的運算程序的條件“A是合數”，所以這個數是32。
【詳解】232＋2＝23×23＋2＝529＋2＝531
解：設這個數為x，由題意得：
x2＋2＝66
x2＝64
x＝8
8是合數，不符合題意。
解：設這個數為y，由題意得：
2y＋2＝66
2y＝64
y＝32
32是合數，符合題意。
【點睛】首先判斷所輸入的數是質數還是合數，然后依照程序的規則計算出結果即可；因為只知道結果為66，并不知道輸入的原數是質數還是合數，故要依據規則列兩個方程，解答后再做判斷。
14．65平方米；77平方米
【分析】根據長方形的周長求出長與寬的和，在長方形中長大于寬且長和寬是兩個不同的質數據此求出所有符合條件的長與寬，最后利用“長方形的面積＝長×寬”求出長方形的面積，據此解答。
【詳解】長與寬的和：36÷2＝18（米）
情況一：當寬為2米時，
長：18－2＝16（米）
因為16不是質數，所以不符合題意。
情況二：當寬為3米時，
長：18－3＝15（米）
因為15不是質數，所以不符合題意。
情況三：當寬為5米時，
長：18－5＝13（米）
因為5和13都是質數，所以符合題意。
面積：5×13＝65（平方米）
情況四：當寬為7米時，
長：18－7＝11（米）
因為7和11都是質數，所以符合題意。
面積7×11＝77（平方米）
由上可知，長方形的面積可能是65平方米和77平方米。
答：這個長方形的面積可能是65平方米和77平方米。
【點睛】掌握長方形的周長和面積計算公式并熟記100以內質數表是解答題目的關鍵。
15．257
【分析】由于這是個三位質數，各位數字都不相同，并且個位數字等于前兩位數字的和，首先根據已知條件及質數的性質確定個位數：由于各位數字都不相同，個數是前兩個數的和，所以首先排除1和0，也不可能是3和9（如果是3和9則各位上的數相加的和能被3和9整除，這個數也能被3和9整除）；由于這個數三位是質數，則個位數一定不是偶數，也不是5，如是5則能被5整除，所以個位數只能是7，然后據此結合條件即能得出這個三位數是哪些。
【詳解】由于各位數字都不相同，個數是前兩個數的和，所以首先排除1和0，也不可能是3和9；由于這個數是質數，則個位數一定不是偶數，也不是5；所以個位數只能是7；
根據各位數字都不相同，且個位數等于前兩個數字的和這點，有6個這樣的數：167、257、347、437、527和617；這六個數中，437和527不是質數，所個三位數可能是：167、257、347和617，由于1和4不是質數，所以這個三位數是257。
【點睛】此題主要考查了質數與合數，關鍵是根據已知條件及質數的性質確定個位數是多少。
16．11和19，或13和17，或23和7
【分析】一個質數的6倍與另一個質數的6倍的和是180，所以兩個質數的和是180÷6＝ 30，再通過兩個質數的和為30，找到滿足條件的兩個質數即可。
【詳解】兩個質數的和為：180÷6＝30
所以兩個質數為：11和19，或13和17，或23和7
答：這兩個質數分別是11和19，或13和17，或23和7。
【點睛】本題考查質數，解答本題的關鍵是找到兩個質數的和。
17．2、5、43或2、7、41或2、11、37或2、17、31或2、19、29
【分析】只有1和它本身兩個因數的數，叫質數。
【詳解】50＝2＋5＋43
50＝2＋7＋41
50＝2＋11＋37
50＝2＋17＋31
50＝2＋19＋29
答：這三個質數可能是2、5、43或2、7、41或2、11、37或2、17、31或2、19、29。
【點睛】本題考查了質數，質數只有2個因數，合數至少有3個因數。
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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