資源簡介

第八講 ：公因數(shù)與公倍數(shù)
知識精講
短除法.
公因數(shù)就是幾個數(shù)公共的因數(shù)，其中最大的一個稱為最大公因數(shù)；公倍數(shù)就是幾個數(shù)公共的倍數(shù)，其中最小的一個稱為最小公倍數(shù).特別的，1為所有數(shù)的公因數(shù).
1、2、3和6都是24和30的公因數(shù)，6是最大公因數(shù).可以發(fā)現(xiàn)1，2，3和6都是6的因數(shù).
12和18的公倍數(shù)有36,72,108,…36是最小公倍數(shù).可以發(fā)現(xiàn)36,72,108及其他公倍數(shù)都是36的倍數(shù).
通常，我們把兩個數(shù)a,b的最大公因數(shù)記為(a，b)；a，b的最小公倍數(shù)記作[a，b].三個數(shù)a,b,c的最大公因數(shù)記為(a，b，c)；a，b，c的最小公倍數(shù)記作[a，b，c].如：14和21的最大公因數(shù)是7,記作：；14和21的最小公倍數(shù)是42，記作：[14，21]=42.15，10，21的最大公因數(shù)是1，記作：；15，10，21的最小公倍數(shù)是210，記作[15，10，21]=210.
若兩個數(shù)互質(zhì)，那么它們的最大公因數(shù)就是1,最小公倍數(shù)就是它們的乘積；若兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，那么它們的最大公因數(shù)就是較小的那個數(shù)，最小公倍數(shù)就是較大的那個數(shù).
在現(xiàn)實生活中我們常常會用到幾個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，那么我們怎樣來求幾個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)呢 除了直接枚舉之外，最常用的方法是“短除法”.
分解質(zhì)因數(shù)法.
分解質(zhì)因數(shù)法比較實用，也利于我們分析數(shù)的構(gòu)成.
公因數(shù)與公倍數(shù)的應(yīng)用.
學(xué)習(xí)了如何求公因數(shù)與公倍數(shù)，接下來看一下在實際生活中如何運用公因數(shù)與公倍數(shù)解決問題.
題型匯總
題型一：短除法求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)
1．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
45和9 24和16
【答案】
45和9的最大公因數(shù)是3×3＝9．
45和9的最小公倍數(shù)是3×3×5×1＝45．
24和16的最大公因數(shù)是2×2×2＝8．
24和16的最小公倍數(shù)是2×2×2×3×2＝48．
2．求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
36和54 19和57
【答案】
36和54的最大公因數(shù)是2×3×3＝18，最小公倍數(shù)是2×3×3×2×3＝108．
19和57的最大公因數(shù)是19，最小公倍數(shù)是19×3＝57．
題型二：分解質(zhì)因數(shù)法求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)
1．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。
6和18
18和24
35和84
【答案】6；18；
6；72；
7；420；
【分析】兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公約數(shù)；兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答；同時考查了求兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系時的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，最大公約數(shù)為較小的數(shù)；最小公倍數(shù)為較大的數(shù)。
【詳解】6和18是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是18；
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
最大公因數(shù)6，最小公倍數(shù)72；
35＝5×7
84＝2×2×3×7
最大公因數(shù)7，最小公倍數(shù)420。
【點睛】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的知識點，根據(jù)定義仔細(xì)解答即可。
2．寫出下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)：
20和30 65和39 8和6 7和11 60和12．
【答案】①20=2×2×5
30=2×3×5
最大公約數(shù)是2×5=10
最小公倍數(shù)是2×2×5×3=60
②65=5×13
39=3×13
最大公因數(shù)是13
最小公倍數(shù)是3×5×13=195
③8=2×2×2，6=2×3
最大公因數(shù)是2
最小公倍數(shù)是2×2×2×3=24
④7和11是互質(zhì)數(shù)
最大公因數(shù)是1
最小公倍數(shù)是7×11=77
⑤60是12的倍數(shù)
最大公因數(shù)是12
最小公倍數(shù)是60．
【詳解】試題分析：對于一般的兩個數(shù)來說，這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；對于兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系時的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，最大公約數(shù)為較小的數(shù)，較大的那個數(shù)，是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；是互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積．
解：①20=2×2×5
30=2×3×5
最大公約數(shù)是2×5=10
最小公倍數(shù)是2×2×5×3=60
②65=5×13
39=3×13
最大公因數(shù)是13
最小公倍數(shù)是3×5×13=195
③8=2×2×2，6=2×3
最大公因數(shù)是2
最小公倍數(shù)是2×2×2×3=24
④7和11是互質(zhì)數(shù)
最大公因數(shù)是1
最小公倍數(shù)是7×11=77
⑤60是12的倍數(shù)
最大公因數(shù)是12
最小公倍數(shù)是60．
【點評】此題主要考查了求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：對于一般的兩個數(shù)來說，這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；對于兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系時的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，最大公約數(shù)為較小的數(shù)，較大的那個數(shù)，是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；是互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積．
題型三：公因數(shù)與公倍數(shù)的實際應(yīng)用
1．淘氣和笑笑都很喜歡閱讀。淘氣每3天去一次圖書館，笑笑每4天去一次圖書館。5月31日他們一起去了圖書館，那么6月份有哪幾天他們都去了圖書館？
【答案】6月12日和6月24日
【分析】因為6月份有30天，分別列出3和4的倍數(shù)，找出它們在30以內(nèi)的公倍數(shù)，也就是它們間隔多少天兩人又同時去圖書館，據(jù)此解題即可。
【詳解】3的倍數(shù)有：3、6、9、12、15、18、21、24、27…
4的倍數(shù)有：4、8、12、16、20、24、28…
所以30以內(nèi)的3和4的公倍數(shù)有12和24，
5月31日＋12天＝6月12日
5月31日＋24天＝6月24日
答：6月份的6月12日、6月24日他們都去了圖書館。
【點睛】此題考查用求公倍數(shù)的方法解決生活中的實際問題，注意結(jié)合題目的實際，在特定范圍內(nèi)求公倍數(shù)。
2．甲、乙、丙三人定期去圖書館，甲每8天（中間空7天，下同）去一次，乙每6天、丙每4天各去一次，在2月份的最后一天，三人剛好都去了圖書館。那么從3月1日到12月31日，甲、乙、丙三人中有人去圖書館的日子有多少天？
【答案】102天
【分析】甲每8天去一次，丙每4天各去一次，因此甲去圖書館的日子丙肯定去圖書館，所以直接計算丙去圖書館的日子，不用考慮甲的次數(shù)；然后計算乙去圖書館的天數(shù)，最后算總天數(shù)的時候要注意減去乙、丙共去的天數(shù)即可。
【詳解】總天數(shù)：31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋31＋30＋31＝306（天）
306÷4＝76（天）……2（天）
306÷6＝51（天）
[4，6]＝12
306÷12＝25（天）……6（天）
76＋51－25
＝127－25
＝102（天）
答：甲、乙、丙三人中有人去圖書館的日子有102天。
題型四：公因數(shù)與公倍數(shù)中的植樹問題
1．長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅色點，同時自右向左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點將木棍逐級鋸開，那么長度是4厘米的短木棍有多少根？
【答案】根
【分析】根據(jù)題意，畫出涂色示意圖如下；由于100是5的倍數(shù)，所以自右向左每隔5厘米染一個紅點相當(dāng)于自左向右每隔5厘米染一個紅點。而每隔30厘米可得到2個4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得一個短木棍，故4厘米的短木棍共有：（根）。
【詳解】畫出涂色示意圖如下：
可知，每（5×6）厘米里可以鋸2個4厘米的短木棍；
100÷30＝3（個）……10（厘米）
剩下的10厘米還可以鋸出1個4厘米長的短木棍。
2×3＋1＝7（根）
答：長度是4厘米的短木棍有7根。
【點睛】由于100是5的倍數(shù)，所以自右向左每隔5厘米染一個紅點相當(dāng)于自左向右每隔5厘米染一個紅點，這是解題的關(guān)鍵。畫涂色示意圖發(fā)現(xiàn)，這是一個周期為5與6最小公倍數(shù)的周期問題。
2．在一根長100厘米的木棍上，從左到右每隔6厘米染上一個紅點，同時從右到左每隔5厘米也染上一個紅點，然后在紅點處把木棍逐段鋸開，那么長度為2厘米的短木棍有多少根？
【答案】6根
【分析】因為100能被5整除，所以從右到左每隔5厘米染上一個紅點也可以看作是自左至右每隔5厘米染上一個紅點，于是我們可以看作是從同一端點開始染色，6與5的最小公倍數(shù)是30，即在30厘米的地方，染兩次紅色，這樣染色就會出現(xiàn)循環(huán)，每一周期的長度是30厘米；100÷30＝…3（個）……10（米），共有3個周期余10米，每一周期中有2段長度為2厘米的木棍，如第1周期中，6×2﹣5×2＝2（厘米），5×4﹣6×3＝2（厘米）；剩余10厘米中兩個紅點之間的長度都不是2厘米，所以鋸開后長度2厘米的短木棍共有2×3＝6（根）；據(jù)此即可解答。
【詳解】100÷30＝…3（個）……10（米）
2×3＝6（根）
答：長度為2厘米的短木棍有6根。
【點睛】解決這一問題的關(guān)鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔5厘米的染色，轉(zhuǎn)化為自左向右的染色，便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象，化難為易。
跟蹤訓(xùn)練
一、選擇題
1．36是2和18的（ ）。
A．公倍數(shù) B．公因數(shù) C．最小公倍數(shù) D．最大公因數(shù)
2．一個比20小的偶數(shù)，它有因數(shù)3，又是4的倍數(shù)（ ）。
A．12 B．16 C．15 D．18
3．多功能教室長12米，寬8米，計劃在地面上鋪方磚，要求都用整塊的方磚，且恰好鋪滿，方磚的邊長可以是（ ）。
A．70厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．90厘米
4．一筐雞蛋，2個2個地數(shù)、3個3個地數(shù)、4個4個地數(shù)、5個5個地數(shù)，都正好數(shù)完而沒有剩余，這筐雞蛋最少有( )個．
A．30 B．60 C．120 D．90
5．甲每3天去少年宮一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同時去少年宮，則下次同去少年宮應(yīng)是（ ）
A．6月12日 B．6月13日 C．6月24日 D．6月25日
二、填空題
6．兩個數(shù)的最大公因數(shù)是18，這兩個數(shù)的公因數(shù)有( )。
7．12和18的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是 。
8．甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是8，甲＞乙，但甲不是乙的倍數(shù)。若甲＋乙＝80，那么甲、乙的差是 。
9．兩個數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72，如果其中一個數(shù)是24，則另一個數(shù)是( )．
10．m、n是非零自然數(shù)，如果m=n+1,那么m和n的最小公倍數(shù)是( )，如果m=7n，那么m和7的最大公因數(shù)是( )．
三、計算題
11．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
24和16 32 和63 35和28
四、解答題
12．五（1）班的學(xué)生人數(shù)比40人多，比60人少，每7人一小組正好分完，每8人一小組也正好分完，五（1）班有多少人？
13．淘氣和笑笑都很喜歡閱讀。淘氣每3天去一次圖書館，笑笑每4天去一次圖書館。5月31日他們一起去了圖書館，那么6月份有哪幾天他們都去了圖書館？
14．朱老師拿了一摞練習(xí)本，如果平均分給第一小組的5個同學(xué)，可以正好分完；如果平均分給第二小組的8個同學(xué)，也可以正好分完。這摞練習(xí)本至少有多少本？
15．已知自然數(shù)、滿足以下兩個性質(zhì)：⑴ 、不互素；⑵、的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和為35．那么+的最小值是多少？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．A
【分析】36＝2×18，36是2的倍數(shù)、也是18的倍數(shù)，所以36是2和18的公倍數(shù)，據(jù)此解答即可。
【詳解】因為，所以36是2和18的公倍數(shù)。
故答案為：
【點睛】本題主要考查公倍數(shù)的意義，注意掌握兩個數(shù)的乘積和這兩個數(shù)的公倍數(shù)的關(guān)系。
2．A
【分析】根據(jù)偶數(shù)的意義，在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，又因為它有因數(shù)3，又是4的倍數(shù)，首先找出20以內(nèi)3、4的倍數(shù)，進而找出的它們的公倍數(shù)，解答即可。
【詳解】20以內(nèi)3的倍數(shù)有：3、6、9、12、15、18；
20以內(nèi)4的倍數(shù)有：4、8、12、16、20；
所以20以內(nèi)既有因數(shù)3，又是4的倍數(shù)的數(shù)是12。
故答案為：A
【點睛】此題考查的目的是理解倍數(shù)、公倍數(shù)的意義，掌握求兩個數(shù)的公倍數(shù)的方法。
3．B
【分析】如果都用整塊的方磚，且恰好鋪滿，應(yīng)先找到12和8的公因數(shù)，它們的公因數(shù)應(yīng)該是方磚邊長的倍數(shù)。
【詳解】12和8的公因數(shù)有1、2、4，所以邊長的若干倍是1米、2米、4米即100厘米、200厘米、400厘米，當(dāng)邊長是80厘米時，400能被80整除，400÷80＝5，也就是都使用整塊的方磚，且恰好鋪滿。
故答案為：B
【點睛】本題還可以先統(tǒng)一單位，然后用長、寬同時除以每一個選項，如果沒有余數(shù)，就是所求答案。
4．B
【詳解】略
5．B
【分析】根據(jù)題意，是求3、4、6的最小公倍數(shù)，就是求4、6的最小公倍數(shù)，首先把這兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，它們的公有質(zhì)因數(shù)和各自獨有質(zhì)因數(shù)的乘積就是它們的最小公倍數(shù)，然后進行推算日期即可．此題屬于求最小公倍數(shù)問題，求3個數(shù)的最小公倍數(shù)，利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，它們的公有質(zhì)因數(shù)和各自獨有質(zhì)因數(shù)的乘積就是它們的最小公倍數(shù)．
【詳解】解：把4、6分解質(zhì)因數(shù)：
4=2×2；
6=2×3；
~4、6的最小公倍數(shù)是：2×2×3=12；
他們再過12天同去少年宮；
1+12=13（日），即6月13日．
故選B．
6．1，2，3，6，9，18
【分析】根據(jù)公因數(shù)的意義可知兩個數(shù)的公因數(shù)即為最大公因數(shù)18的因數(shù)，只要找出18的因數(shù)即可。
【詳解】18的因數(shù)：1、2、3、6、9、18。
【點睛】此題主要考查學(xué)生對最大公因數(shù)的理解與認(rèn)識。
7．30
【分析】用質(zhì)因數(shù)分解法求最大公因數(shù)： 全部共有的質(zhì)因數(shù)相乘的積就是這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。
用質(zhì)因數(shù)分解法求最小公倍數(shù)的方法： 全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
先分別求出12和18的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)，用最小公倍數(shù)減最大公因數(shù)即可解答。
【詳解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6
2×3×2×3＝6×6＝36
36－6＝30
12和18的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是30。
8．32
【分析】甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是8，則甲是8的倍數(shù)，乙也是8的倍數(shù)。可以設(shè)甲是8，乙是8，且m和n互質(zhì)。再根據(jù)8m＋8n＝80，得出m和n的和是10，找出和是10的兩個自然數(shù)，且這兩個數(shù)互質(zhì)，就是m和n的值，再乘8得出甲乙兩個數(shù)的值，最后相減即可。
【詳解】設(shè)甲是8，乙是8（，互質(zhì)）
甲＋乙＝8＋8＝80
＋＝10
10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5，只有3＋7符合條件。
所以甲＝8×3＝24
乙＝8×7＝56
56－24＝32
則甲、乙的差是32。
9．36
【詳解】略
10． mn 7
【詳解】略
11．8和48 32和64 7和140
【詳解】略
12．56人
【分析】先求出7、8的最小公倍數(shù)，再找到7、8的公倍數(shù)在40人到60人以內(nèi)的最多的數(shù)即為所求。
【詳解】7、8是一組互質(zhì)數(shù)，所以它們的最小公倍數(shù)是7×8＝56
答：五（1）班有56人。
【點睛】此題考查了公倍數(shù)問題，解答該題關(guān)鍵是會求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，并用它解決實際問題。
13．6月12日和6月24日
【分析】因為6月份有30天，分別列出3和4的倍數(shù)，找出它們在30以內(nèi)的公倍數(shù)，也就是它們間隔多少天兩人又同時去圖書館，據(jù)此解題即可。
【詳解】3的倍數(shù)有：3、6、9、12、15、18、21、24、27…
4的倍數(shù)有：4、8、12、16、20、24、28…
所以30以內(nèi)的3和4的公倍數(shù)有12和24，
5月31日＋12天＝6月12日
5月31日＋24天＝6月24日
答：6月份的6月12日、6月24日他們都去了圖書館。
【點睛】此題考查用求公倍數(shù)的方法解決生活中的實際問題，注意結(jié)合題目的實際，在特定范圍內(nèi)求公倍數(shù)。
14．40本
【詳解】5的倍數(shù)有：5，10，15，20，25，30，35，40……
8的倍數(shù)有：8，16，24，32，40，48，56，64……
5和8共同的倍數(shù)中最小的是40。
答：這摞練習(xí)本至少有40本。
15．25
【詳解】因為、的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是35，所以35是兩數(shù)最大公約數(shù)的倍數(shù)．它們的最大公約數(shù)可能是5和7（因為兩數(shù)不互質(zhì)，所以不為1）．如果、的最大公約數(shù)是5，則、的最小公倍數(shù)是30，此時有=10、=15或=5、=30；如果、地最大公約數(shù)是7，則、的最小公倍數(shù)是28，此時有=7、=28．
所以＋的最小值為．
【點睛】、的最大公約數(shù)一定是它們最小公倍數(shù)的約數(shù)．充分應(yīng)用最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并分類討論多種可能性，考察推理思維的周密性和嚴(yán)謹(jǐn)性，最終找到最小值．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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