資源簡介

第七章 冪的運算
數學探究：“大”數與“小”數
本節課《“大”數與“小”數》是蘇科版初中數學七年級下冊第七章數學探究，具有畫龍點睛的重要作用．從知識體系上看，“大數與小數”這一章節主要圍繞“大”數和“小”數的概念、比較、運算及實際應用展開.通過本章的學習，學生將進一步理解和掌握“大”數和“小”數的相關知識，提高數學運算能力和問題解決能力．
本課教材通過創設實際問題情境，如與人體的相關數據、與地球有關的相關數據等，引導學生從具體問題中抽象出數學模型，進而感受生活中的“大”數和“小”數，激發他們的學習興趣．在探索“大”數和“小”數的過程中，學生需要利用相關冪的運算進行操作，這有助于培養學生的數學思維能力和解決問題的能力，不僅讓學生感受生活中的“大”數和“小”數，而且還注重了學生數學素養的全面提升．
學生已經學習了整個第七章的內容，已具備一定的知識基礎和學習能力．掌握了同底數冪的乘除運算，為學生運用生活中的“大”數和“小”數解決實際問題提供了知識支撐．
1.掌握“大”數與“小”數的運算規則，包括加、減、乘、除等基本運算，提高運算能力 .
2.能夠解決與“大”數與“小”數相關的實際問題，培養學生解決問題的能力.
3.激發學生對數學的興趣和熱愛，培養學生的數學素養. 培養學生的認真、細致的學習態度，以及以及勇于探索、敢于創新的精神.
重點： 掌握“大”數與“小”數的運算規則，包括加、減、乘、除等基本運算，提高運算能力 .
難點：能夠解決與“大”數與“小”數相關的實際問題，培養學生解決問題的能力.
情境導入。
問題：從下列圖片中你能發現哪些“大”數？
答：像4.96×1012、3兆、60億等都屬于生活中的“大”數；
問題：從下列圖片中你能發現哪些“小”數？
答：像50μm，3.4nm，2nm等都屬于生活中的“小”數."小"數一般指的是數值較小的數。
涉及單位換算：1兆=1012； 1億=108； 1nm=10-9m； 1μm=10-6m
師生活動： 教師呈現圖片，引導學生用數學的眼光觀察這幾幅圖片，感知生活中的數學，同時感受與身體相關的一些數據，梳理本章所學的冪的相關計算和單位換算.
設計意圖：讓學生從這些圖片中感知“大”數和“小”數.給學生提供了探索的空間、營造了活動的氛圍、激發了活動的興趣,讓學生感受數學在不同領域的生活中都有著很重要的作用，從而激發學生的求知欲。
探究新知
活動一 與人體相關的“大”數和“小”數
細胞中DNA（脫氧核糖核酸）分子的直徑只有2×10-7cm.人體由約40萬億到60萬億個細胞構成，不同類型的細胞具有特定功能.每2.54平方厘米的人體皮膚上約有3200萬個細胞，人體皮膚不斷進行細胞新陳代謝,每天有約5000萬個皮膚細胞脫落.按平均重量計算,這些脫落的皮膚細胞每天大約重10克.
問題:根據上述材料你能發現哪些“小”數，你能計算出一個皮膚細胞的重量嗎？
答：2×10-7cm是一個“小”數，
10÷（5000×104）=2×10-7（克）.
答：一個皮膚細胞的重量為2×10-7克.
小結：人體中細胞中DNA分子直徑和一個皮膚細胞的重量都是“小”數.
問題：成人大腦約有1.4×1010個細胞，嬰兒的腦細胞以每分鐘約2.0×105個的驚人速度遞增，一般到8歲可達到成人腦細胞數量.一年約有5.256×105min，你能估測出兒童7歲時大腦的腦細胞數量嗎？
答：解：2.0×105×5.256×105×7=7.3584×1011（個）
答：兒童7歲時大腦的腦細胞數量約為7.3584×1011個.
問題：正常成年人在安靜狀態下，每分鐘心跳約60~100次；心臟每天跳動大約10萬次，射出的血大約7600升（也有說法認為心臟每天要輸送7.6萬升血液），一生中心臟大約要跳動20億~30億次，送大約5億升血液.人體血液總量約占體重的7%~8%，一個成年人體內約有4.5升血液.在人體血液中紅細胞直徑約為7.7×10-4cm，每立方毫米血液里約有5×106個紅細胞.你能估計一個成人體內約有多少個紅細胞？
答：1L=1000000mm3=106mm3
4.5×106×5×106=2.25×1013 （個）
答：一個成人體內約有2.25×1013 個紅細胞.
師小結：用科學計數法可以表示“大”數和“小”數.
師生活動：教師呈現與人體有關的材料，讓學生閱讀材料，嘗試解決問題1、問題2和問題3,讓學生感受與人體有關中的“大”數和“小”數。同時也是引導學生回顧和復習冪的運算及用科學記數法表示一個“大”數和“小”數的方法.
設計意圖：每一個材料匹配一個問題，讓學生更容易消化和吸收。問題1中涉及的是一個“小”數，問題2中涉及的是一個“大”數，問題3設計的是“大”數與“小”數的綜合，讓學生對“大”數和“小”數加深印象后，再進行綜合訓練，具有一定的梯度.
活動二 與地球相關的“大”數和“小”數
問題：我們生活的地球已有大約46億年的歷史，它的部分信息如下表，
你能講表格補充完整嗎（用科學記數法表示）？
答：地球的體積為.14×=1.083×1021（m3）
陸地面積：5.1×1014×0.29=1.479×1014（m2）
海洋面積：5.1×1014×0.71=3.621×1014（m2）
地球的密度為5.976×1024÷（1.083×1021）=5.518g/cm3。
師生活動：體積計算，教師演示，學生傾聽，后面幾個小問，學生模仿，類比完成，師生互動交流．尤其是平均密度計算，需要特別注意。
設計意圖：借助冪的運算和科學記數法，引導學生進行復雜問題的計算，在此過程中培養學生的表達能力和總結能力，讓學生學會用數學思維思考，用數學的語言表達．
課堂練習
1. 水由氫、氧兩種元素組成，一個水分子包含兩個氫原子和一個氧原子.一個氫原子的質量約為1.674×10-27kg，一個氧原子的質量約為2.657×10-26kg，一個水分子的質量大約是多少（單位：kg）？
答：∵一個水分子包含兩個氫原子和一個氧原子.
∴一個水分子的質量： 2×1.674×10-27+2.657×10-26≈2.9918×10-26(kg).
答：一個水分子的質量大約是2.9918×10-26kg.
變式：100g的水中會有多少個水分子呢？
答：100×10-3÷（2.9918×10-26）≈3.342×1024（個）
答：100g的水中約有3.342×1024個水分子.
2. 地球的半徑約為6.37×103km，太陽的半徑約為6.96×105km，恒星HR237的半徑約為太陽的1800倍.
(1)太陽體積約是地球的多少倍？
(2)恒星HR237的體積約是太陽的多少倍？
答：（1）：
π×÷÷π÷≈1.305×106.
答：太陽體積約是地球的1.305×106倍.
18003=5832000000=5.832×109.
答：恒星HR237的體積約是太陽的5.832×109倍.
　　【限時訓練】
　　1.世界上最小、最輕的昆蟲是膜翅目纓小蜂科的一種卵蜂，體長僅0.021厘米，其質量也只有0.000005克．
（1）用科學記數法表示上述兩個數據．
（2）一個雞蛋的質量大約是50克，多少只卵蜂的質量和與這個雞蛋的質量相等？
答：(1)0.021=2.1×10-2; 0.000005=5×10-6.
大約50÷（5×10-6）=107（只）
答：107只蜂卵的質量和這個雞蛋的質量相等.
2.生物芯片是20世紀80年代末在生命科學領域中迅速發展起來的一項高新技術，通俗地說就是在一塊指甲大小的芯片上集成大量晶體管，構成一個微型的生物化學分析系統，以實現對生物樣品準確、迅速、大信息量的檢測，已知一塊邊長1.03cm×1.03cm的某種芯片上集成了1.53×1010個晶體管，求每個晶體管所占的面積．
答：每個晶體管所占的面積為：1.03×1.03÷（1.53×1010）=6.94×10-11 cm2.
3.距離太陽系最近的恒星是比鄰星，它距地球約4.25光年，光在真空中的速度為3×108m/s,光在真空中穿行1年的距離稱為1光年.如果一個探測器以6.4×104km/h的平均速度飛往比鄰星，那么大約需要多少年？
答：因為1m/s=3.6km/h.
所以1光年=3×108×3.6×365×24km=9.4608×1012km
因為速度為6.4×104km/h，
9.4608×1012÷（6.4×104）÷24÷365≈1.6875×104（年）
答：大約需要1.6875×104年。
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.讓學生再次感受生活中的大數和小數.
歸納總結
設計意圖：通過小結讓學生進一步感受生活中的“大”數和“小”數.
實踐作業
尋找生活中的“大”數和“小”數，記錄下來和同學進行分享.
學生對“大”數與“小”數的冪運算存在理解差異，部分學生在計算大數冪時較為熟練，但在處理小數冪或分數冪時卻頻繁出錯，這反映出學生對冪運算的本質理解不夠深入，在今后教學中，應加強學生對冪運算基本概念和運算規律的掌握，通過更多實例練習，特別是涉及小數和分數冪的題目，來提升學生的運算能力和對冪運算的全面理解.

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