資源簡介

第七章 冪的運算
7.3同底數冪的除法
第1課時
本節課《同底數冪的除法》是蘇科版初中數學七年級下冊第七章第三節的第1課時的內容.在此前，學生已經掌握了同底數冪乘法，冪的乘方與積的乘方，為進一步學習同底數冪的除法做了很好的鋪墊.這節課是以培養學生學習能力為重要內容，對進一步培養學生的邏輯思維能力有著重要意義.
本課教材通過創設實際問題情境，如人均水資源量，引導學生從具體問題中抽象出數學模型，進而引入同底數冪除法的概念．這種從實際到抽象的過渡，有助于學生更好地理解同底數冪除法的現實意義，激發他們的學習興趣．在探索同底數冪除法法則的過程中，學生需要類比同底數冪乘法將復雜的冪運算轉化為簡單的指數相減問題，這有助于培養學生的數學思維能力和解決問題的能力礎，不僅傳授了重要的數學知識，更注重了學生數學素養的全面提升．
學生在學習《同底數冪的除法》時，已經具備了一定的數學基礎知識和運算能力，能夠進行簡單的整式乘法運算.但對于同底數冪的除法，學生可能會在理解同底數冪的除法性質的本質和運用同底數冪的除法性質進行計算時遇到困難.此外，學生的抽象思維能力和歸納總結能力還有待進一步提高.因此，在教學過程中，我將通過具體的實例引導學生思考，幫助他們理解和掌握同底數冪的除法法則.
1．了解同底數冪的除法運算性質，理解符號表示此性質的意義，體會模型思想，發展符號意識；
2. 會運用同底數冪的除法運算性質進行計算，做到步步有據；
3. 在探索同底數冪的除法運算性質的過程中，感受從特殊到一般、從具體到抽象的思考問題的方法．
重點：會運用同底數冪的除法運算性質進行計算
難點：在探索同底數冪的除法運算性質的過程中，感受從特殊到一般、從具體到抽象的思考問題的方法
情境導入
據統計，我國2021年水資源總量約為2.96×1012m3按全國 1.41×109人計算，人均水資源量為多少
答：人均水資源量為
==≈2.10×103（m3）.
所以，人均水資源量約為2.10×103m3．
師生活動：教師演示，學生傾聽，獨立思考．
設計意圖：通過情境創設，讓學生感悟數學來源于生活并應用于生活的辯證思想，鍛煉學生的獨立思考能力，為推導同底數冪的除法法則埋下伏筆．
探究新知
活動一：探究同底數冪的除法運算性質
問題 計算：
（1）212÷29 ；
答：（1）解：原式=.
師引導學生：.
追問：，依據是什么？
生：除法是乘法的逆運算.
（2）;
答：（2）解：原式 .
.
（3）10m÷10n（m＞n ，m、n是正整數）.
答：（3）解：原式.
師生活動：第（1）題，教師演示，學生傾聽，第（2）（3）題，學生模仿，類比完成，師生互動交流．
設計意圖：借助乘方的意義，獲得同底數冪的除法性質，在此過程中培養學生的表達能力和總結能力，讓學生學會用數學思維思考，用數學的語言表達．同時借助除法是乘法的逆運算培養學生逆向思維，用已學知識解決新問題的能力．
師：從前邊的計算中，你發現了什么？
生：同底數冪相除，底數不變，指數相減.
師：你能類比同底數冪的乘法用字母表示出你的發現嗎？
生： am÷an =am－n .
師追問：對這些字母有什么要求？
生：m＞n ，m、n是正整數.
師：除法有什么特殊要求？字母a有沒有要求
生：除數不為零，a≠0.
師追問：你能驗證嗎？
生：am÷an (a≠0，m＞n，m、n是正整數)
活動二：探究同底數冪的除法運算性質
同底數冪的除法運算性質：同底數冪相除，底數不變，指數相減.
用符號表示為：am ÷ an=am－n（a≠0，m＞n，m、n是正整數）．
師生活動：師指定學生回答案．
設計意圖：通過同底數冪的除法性質培養學生的表達能力和總結能力，讓學生學會用數學思維思考，用數學的語言表達．
應用新知
例1 計算: (1)(－b)8÷(－b)； (2)a6÷(－a)2 ； (3)(ab)4÷(ab)2； (4)t2m+3÷t2(m是非負整數).
變式1 計算: (m－n)3÷ (n－m)2.
變式2 計算：277÷99.　　
　　答：例1 (1)(－b)8÷(－b)=(－b)8－1=(－b)7=－b7；
(2)a6÷(－a)2=a6÷a2=a6－2=a4；
(3)(ab)4÷(ab)2=(ab)4－2=(ab)2=a2b2；
(4)t2m+3÷t2=t2m+3－2=t2m+1.
變式1 原式=(m－n)3÷ (m－n)2 =(m－n)3－2= m－n　
師總結：運用同底數冪的除法運算性質的前提條件: 底數相同或互為相反數的冪相乘.特別地，當底數為多項式時，也必須滿足這個條件.
變式2 原式=（33)7÷（32)9=321÷318=321－18=33=27 ．
師總結：應用同底數冪的除法運算性質時要保證底數相同.
師生活動：教師板演示范，學生模仿．
設計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生計算能力．讓學生理解運用同底數冪的除法運算性質的前提：底數相同或互為相反數的冪相乘．特別地，當底數為多項式時，也必須滿足這個條件．
課堂練習
【教材練習】
1. 計算：(1)315÷310；(2) ；(3)y13÷y2；
(4)(－a)4÷(－a)；(5)(－xy)5÷(xy)2；(6)a10n÷a2n(n是正整數).
2.下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正.
（1）a8÷a4 =a2; （ ）
（2）x10÷x9 =x; （ ）
（3）m5 ÷m =m5; （ ）
（4）(－z)6÷ (－z)4 = －z2 （ ）
答：1.(1)315÷310=315－10=35；
(2) ；
(3)y13÷y2=y13－2=y11；
(4)(－a)4÷(－a)=(－a)4－1=(－a)3=－a3；
(5)(－xy)5÷(xy)2=－(xy)5÷(xy)2=－(xy)5－2=－(xy)3=－x3y3；
(6)a10n÷a2n=a10n－2n=a8n.
2.（1）×，a4； （2）√； （3）×，m4； （4）×，z2.
【限時訓練】
1.計算:(1) 279÷97÷3；(2) (a－b)6÷(b－a)3÷(a－b)2.
2.已知am=12,an=3,則am-n=____ .
3.已知am=3,an=2,求a2m－3n的值.
答：1.(1) 原式=(33)9÷(32)7÷3=327÷314÷3=327－14÷3=313÷3=312；
(2) 原式=(b－a)6÷(b－a)3÷(b－a)2=(b－a)6－3－2=b－a.
2.am-n=am÷an=12÷3=4.
3. a2m－3n=a2m÷a3n=(am)2÷(an)3=32÷23=1.125.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱，相互交流.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本節課《同底數冪的除法》的第一節課，課堂所需要掌握知識的重點和難點可以通過教師少許的啟發和指點，通過學生的自主合作學習獲得.所以am ÷ an=am－n（a≠0，m＞n，m、n是正整數），以學生為主體，師生合作.在選題上，從最基礎的題練習起來，在學生全數掌握的前提下，逐步提升，給予中高難度的練習，力爭85%以上的學生能夠掌握.在情感調控上面,注重激情,著重在語言上做引導，對課堂進行有力的調控，從而保證學生旺盛的求知欲.第七章 冪的運算
7.3同底數冪的除法
第2課時
本節課的內容旨在擴展學生對指數運算的理解，特別是在同底數冪的除法運算上。教材接著引入了零指數和負整數指數的規定，這是理解同底數冪除法運算性質的關鍵點，同時也是學生可能會感到困惑的地方。為了幫助學生克服這一難點，教材通過具體的例子和豐富的練習題來加深學生的理解。教材的結構設計清晰，逐步引導學生從基礎概念到更復雜的應用，這有助于學生逐步建立信心并掌握知識點。教材還注重培養學生的邏輯思維和批判性思維，鼓勵學生通過討論和交流來提高參與度和理解力。教師在教學過程中應利用這些特點，通過實例講解和互動活動來提高教學效果.
此階段的學生正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的時期，他們具備了一定的觀察、分析、歸納和推理能力.學生不容易對兩個規定的合理性作出解釋，因此教師需給與適當的指導.
1.理解并掌握零指數冪和負指數冪，并能解釋其合理性.
2.掌握整數指數冪的運算性質，培養學生的數學運算核心素養.
3.能夠將負指數冪與正指數冪進行相互轉化，并能運用轉化后的形式進行計算.
4.在對“規定”合理性做出解釋的過程中，感受從特殊到一般，從具體到抽象的思考問題的方法，學會數學思考、感悟理性精神.
重點：理解并掌握零指數冪和負整數指數冪，并能解釋其合理性.
難點：能夠將負指數冪與正指數冪進行相互轉化，并能運用轉化后的形式進行計算.
復習導入
問題：同底數冪相除的運算性質是什么？
答：= (a≠0，m，n是正整數，m>n).
問題：現有一長方形，它的面積為平方厘米，長為厘米，那么它的寬是多少厘米呢？
答：解：==4（厘米）.
答：它的寬是4厘米.
教師追問：若m=n， = 成立嗎？
師生活動：讓學生自由回答，教師給與評價
設計意圖：讓學生在回顧上節課內容的同時，對本課內容有一個初步的感知，引發學生對本課內容的思考，有利于激發學生的學習興趣，學生在頭腦中建立全章的思維導圖，形成體系．
探究新知
活動一：零指數冪
問題：若m=n， =？
當m=n時，am ÷an=1.
師提示：假設= (a≠0，m，n是正整數，m=n)成立，=？
答：am ÷an =am-n=am-m =a0，a0 =1(a≠0)
師小結：規定：任何不等于0的數的0次冪等于1.
用符號表示：a0 =1(a≠0).
現在可以在之前同底數冪的除法的運算法則的基礎上，將同底數冪的除法的運算法則擴充為：
am ÷an =am-n（m,n是正整數，m≥n）.
師追問：若m＜n， = 成立嗎？
師生活動：教師適當引導，學生獨立思考，然后指定學生回答.
設計意圖：通過假設= (a≠0，m，n是正整數，m=n)讓學生明白零指數冪的來由，理解并掌握零指數冪，進一步讓學生明白，當m=n時，同底數冪的除法性質仍然成立.
活動二：負整數指數冪
問題：若m＜n， = 成立嗎？
師提示：在式子am ÷an(a≠0)中,如果令m=0,那么a0÷an=？
答：a0÷an= =.
師繼續提示：假設= (a≠0，m，n是正整數，m＜n)成立，a0÷an=？
答：=
師小結：=
規定：任何不等于0的數的-n(n是正整數)次冪,等于這個數的n 次冪的倒數.
用符號表示為= (a≠0，n是正整數)
特別地：= (a≠0)
當冪的指數從正整數推廣到整數后，正整數指數冪的各種運算法則仍然適用.
把積的乘方運算法則推廣到商的乘方運算.
問題：若m＜n，你能推導出 = ？
答：當mam ÷an = = = =
規定了零指數冪、負整數指數冪的意義后,同底數冪的除法運 算性質可以擴展為:
= (a≠0，m，n是正整數)
師生活動：學生獨立思考，教師適當引導，然后指定學生回答.
設計意圖：通過假設= (a≠0，m，n是正整數，m＜n)成立，讓學生明白負整數指數冪的來由，理解并掌握負整數指數冪，進而將同底數冪的除法性質從正整數推廣到整數.注意冪的指數從正整數推廣到整數后，正整數指數冪的各種運算法則仍然適用
應用新知
例1 用小數或分數表示下列各數.
（1）； （2）； （3）3.14.
答：解：（1） ==；
（2）=-=-；
（3）3.14=3.14=3.14=0.000 0314.
例2 計算：(1) ； (2) .
解：(1) ；
.
師生活動：學生先獨立計算，指定學生板演，教師予以一定評價.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
課堂練習
【教材練習】
1. 用小數或分數表示下列各數：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
2. 把下列各數寫成負整數指數冪的形式：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
3. 計算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
　　答：1.（1）10-3=0.001；（2）=0.0001;（3）；（4） =0.021.
　　2.（1）0.001=10-3;
（2）0.000001=10-6 ;
（3） = = 3-2 ;
（4）= =2-6.
　3.（1)=(-3)2+(-2)=(-3)0=1；
(2)==；
（3）=0.1+1=1.1；
（4）=1-=.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
　　【限時訓練】
1. 如果(a-1)0=1成立，那么（ ）
A.a≠1 B.a=0 C.a=2 D.a=0或a=2
2. 若3n=2，3m=5，則32m+3n-1=____________
3.分別指出當x取何值時，下列各等式成立．
（1）＝2x (2) 10x＝0.01； (3) 0.1x＝100．
答案：
A
3.(1)x=-5；（2)x=-2；(3)x=-2.
歸納總結
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
基于上節課的學習 ，學生對于同底數冪的除法性質有一定的理解基礎，通過假設當m=n,m＜n時同底數冪的除法性質成立，讓學生明白和理解零指數冪和負整數指數冪，進一步將同底數冪的除法性質從正整數推廣到整數.
本課時通過逐步分析和解答，幫助學生理解并掌握解題方法.學生在解題時不容易理解兩個規定，因此應該更多地讓學生自己嘗試解題，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學生的獨立解題能力.通過做題鞏固的方式，幫助學生鞏固本節課的知識點.注重學生的反饋，通過讓學生自己總結學到的內容，更好地檢測他們對知識的掌握情況，追尋數學本質，力爭全體學生正確理解本課知識點，并規范使用.第七章 冪的運算
7.3同底數冪的除法
第3課時
本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第七章第三節第三課時，從知識體系上看，已學習正整數指數冪條件下的科學記數法、同底數冪的除法的運算法則及零指數冪和負指數冪的運算，本課時在科學記數法表示絕對值大于10的數及負指數冪相關知識的基礎上進行拓展，學習用科學記數法表示絕對值小于1的數．
本課教材通過聯系學生已有的對科學記數法相關認識——對比大數太陽半徑及小數氫原子半徑的科學記數法表示，引導學生在原有認知結構的基礎上拓展科學記數法的更多使用情境，進而引入對絕對值小于1的數的科學記數法相關知識．本課通過類比、歸納的學習方式，利用熟悉內容減輕學生認知難度，幫助學生更好地進入新知識的認識.探索用科學記數法表示絕對值小于1的數的過程中，引導學生學會利用負指數冪表示絕對值小于1的數，學會用科學記數法表示數進行運算，最終在不同情境在靈活使用科學記數法，提高運算的準確性及表達的高效性，不僅傳授了重要的數學知識，更注重了學生數學素養的全面提升．
學生已具備一定的知識基礎和學習能力．學生在七年級上冊已學習用科學記數法表示大數，已掌握正整數指數冪條件下的科學記數法，會使用科學記數法表示絕對值大于10的數.在本章中，學生又學習了同底數冪的除法的運算法則，并經歷探索零指數冪和負指數冪的意義過程，了解負指數冪及其存在的條件，具備學習用科學記數法表示小數的知識及能力基礎.
1. 會用科學記數法表示絕對值小于1的數.
2. 經歷將10的負整數冪與數互化的過程，體會數學知識間的相互聯系.
3.熟練運用負整數指數冪的知識解決一些實際問題，培養學生解決實際問題的能力
重點： 會用科學記數法表示絕對值小于1的數.
難點：熟練運用負整數指數冪的知識解決一些實際問題，培養學生解決實際問題的能力.
情境導入
問題1：太陽是地球所處太陽系的中心，其半徑約為700 000 000m，如何用科學記數法表示數據700 000 000m呢？
答：700 000 000m =7×108m.
思考：什么情況會使用科學記數法？它的形式是怎樣的？
答：一些較大的數適合用科學記數法表示.
用科學記數法可以把一個絕對值大于10的數寫成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整數.
問題2：太陽中最豐富的元素是氫，氫原子的半徑約為0.000 000 000 05m.數據0.000 000 000 05m也能用科學記數法表示嗎？
一般地，用科學記數法可以把一個絕對值大于10的數寫成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整數，規定了負整數指數冪后，對于絕對值小于1的數也可以用科學記數法表示為a×10-n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整數.
如何將數據0.000 000 000 05m表示為科學記數法形式呢？
師提示：你能將0.000 000 000 05m寫成負整數數指數冪的形式嗎？
生：0.000 000 000 05m=5×10-11m.
師：有了負整數指數冪后，小于1的正數也可以用科學記數法表示.
師生活動：教師展示情境，學生齊答，獨立思考，舉手回答．
設計意圖：通過熟悉情境的設置，引導學生回顧科學記數法數，感受數學簡潔高效之美，引導學生在原有知識基礎上進行思考，為學習絕對值小于1的數的科學記數法表示埋下伏筆．
探究新知
活動：用科學記數法表示絕對值小于1的數
師小結：
小于1的正數可以用科學記數法表示為a×10–n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n是正整數.
師出示例子：
0.000 01=10-5
0.000 000 01 = 10-8
0.000 000 025 7= 2.57×10–8
0. 000 0314= 3.14×10-5 .
問題1：填空并觀察指數的變化，你有什么發現？
答：0；10，－1；100，－2；1000，－3；100…0（n個0），－n；
追問：
答：0.000 000 0035=3.5×0.000 000 001=3.5×10–9；
0.000 000 00107=1.07×0.000 000 001=1.07×10–9.
追問：用科學記數法表示絕對值小于1的數的一般步驟是什么呢？
答：(1)確定a：a 是大于或等于1 且小于10 的數.
(2)確定n：n 等于原數中左起第一個非0 數前“0”的個數(包括小數點前的那個0)；
(3)將原數絕對值用科學記數法表示為a×10－n，如是負數再添加負號.
師生活動：學生獨立思考，舉手回答，教師歸納總結．
設計意圖：借助將10的負整數指數冪及科學記數法形式的數化成小數表示，并引導學生與原來的式子進行對比，感受絕對值小于1的數可以寫成一個數與10的負整數指數冪的積的形式，也就是寫成科學記數法形式，進一步掌握用科學記數法表示絕對值小于1 的數的一般步驟.
應用新知
例1 用科學記數法表示下列各數:
0.000 109, －0.000 006 2，.
變式 用小數表示下列各數：
－1.12×10-9，2×10-7，－8.013×10-8.
答： 0.000 109=1.09×0.000 1=1.09×10-4,
－0.000 006 2=－6.2×0.000 001=－6.2×10-6，
　
變式2 －1.12×10－9=－0.000 000 001 12，
2×10－7=0.000 000 2，
－8.013×10－8=－0.000 000 080 13 .
師生活動：教師板演示范，學生模仿．
設計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生對科學記數法表示絕對值小于1 的數的轉化能力．通過變式幫助學生靈活掌握原數與科學記數法形式間的轉變．
　　例2 人體紅細胞的截面可以近似地看成圓.在顯微鏡下測定某人紅細胞的截面半徑約為3.7×10－6m.求紅細胞的截面面S(取3.14).
答：紅細胞的截面面積約為
師生活動：學生獨立思考，然后指定學生回答.
設計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣．創設應用情境，讓學生結合科學計數法對冪的乘方運算法則等知識進行綜合運用，提升學生計算能力及解決實際問題的能力．
例3 隨著技術的發展，在芯片的硅晶片上雕刻的電路間距已經可以小到幾納米.納米(記為nm)是長度單位，1nm等于1m的十億分之一.請以毫米為長度單位表示1nm.
答：
師總結：刻度尺上的一小格是1mm，而1nm是1mm的百萬分之一.所以1nm真的很小！
師生活動：學生獨立思考，然后指定學生回答.
設計意圖：這個環節在科學記數法表示數的的基礎上加入了單位的轉換，讓學生感受數學不僅來源于生活，服務于生活，還服務于科學，幫助人類更好的探究微觀世界，體驗到學習的樂趣和成功的喜悅．
課堂練習
【教材練習】
　　1. 用科學記數法表示下列各數:
　
　2. 用科學記數法表示下列結果，并比較它們的大小：
　(1)幽門螺桿菌是胃部疾病常見的感染性疾病源，其寬大約0.00005cm，換算成以米為單位是多少？
　(2)某國產手機芯片是7nm制程芯片，換算成以米為單位是多少？
　(3)是指大氣中直徑小于等于(是長度單位之一，表示微米.1=m)的細顆粒物，其直徑不到人的頭發直徑的對人體健康有很大的危害.換算成以米為單位是多少
　答：1.
　2. ， ＜ ＜ .
　　【限時訓練】
1. 用科學記數法表示下列各數：
（1）0.000 000 036＝______________； （2）－0.000 273＝______________；
（3）－0.000 000 91＝______________； （4）0.000 000 007＝______________；
（5）－＝______________； （6）－＝______________．
2. 納米是非常小的長度單位，已知1納米＝毫米，某種病毒的直徑為100納米，若將這種病毒排成1毫米長，則病毒的個數是_______．
3. 氦氣是一種重要的戰略資源. 1億個氦原子的質量約為7×10-16g，用科學記數法表示1個氦原子的質量（單位：g）.
答：1.（1） ；（2）－；（3）－；（4） ；（5）－； （6）－ .
　2. ；
　3.7×10-16÷108=7×10-24（g） ，
　答：1個氦原子的質量為7×10-24 g.
　　師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
　　設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
科學記數法廣泛運用于科學研究、工程技術等領域，如生物、物理等研究中對微觀世界的細胞、粒子等的探索。尋找有你有關的微觀世界數據，記錄下來并用科學記數法表示.
本課通過熟悉的用科學記數法表示絕對值大于1的數引入，幫助學生的回顧科學記數法的形式及a和n的限制條件，進而引出與其相關的氫原子半徑如何表示的新問題.這種情境創設有助于學生自發地改善對某些數據的表達方式，激發他們的學習興趣，引導學生自主思考，讓學生自己歸納出用科學記數法表示絕對值小于1的數，以增強學生探究和解決問題的能力及數學表達能力.
探究新知過程中，鼓勵學生參與探索，利用已有知識自主探索出轉化方式，讓學生感受到一個非常小的正數可以寫成一個數與10的負整數指數冪的積的形式，也就是寫成科學記數法形式，加深學生對知識的理解.
學生在解題時容易數錯0的個數及放錯小數點的位置，因此應該更多地讓學生自己多嘗試多歸納，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學生的熟練度及準確性.通過歸納總結，幫助學生鞏固本節課的知識點.注重學生的反饋，通過讓學生自己總結學到的內容，更好地檢測他們對知識的掌握情況，追尋數學本質，力爭全體學生綜合且靈活運用科學記數法對數據進行表達.

展開更多......

收起↑