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初一數學第七周提優講義
（復習：第7～9章+二元一次方程組）
20250327
一、單選題（6題，共18分）
1．下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　 　）
A． B． C． D．
2．若多項式9x2－kx＋4是某一個關于x的一次二項式的完全平方，則k的值為（ ）
A．6 B．±6 C．±12 D．－12
3．如果一個數等于兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個數為“奇妙數”．下列數中為“奇妙數”的是（　 　）
A．808 B．606 C．505 D．202
4．已知a2+b2+c2＝2a4b+6c14，則（ab）c的值是（　　 ）
A．4 B．4 C．8 D．8
5．如圖，C是AB上一點，分別以AC、BC為邊作正方形ACDE與
正方形BCFG，連接CG、DG．已知，△CDG的面積為，
則正方形ACDE與正方形BCFG的面積的和為（ 　　）
A． B．
C．22 D．13
6．“換元法”是解決數學問題的重要思想方法，若方程組的解是，則方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（10題，共30分）
9．若am＝9，an＝8，ak＝4，則am﹣n+2k的值為 ．
10．已知代數式(ax－3)(2x＋4)－x2化簡后，不含x2項，則a的值為　 　．
11．二元一次方程3x＋2y＝7的正整數解為 ．
12．計算：（－0．125）2023×22022×42021＝ 　 　．
13．已知關于x、y的方程組的解滿足，則k= ．
14．已知（m+n+3）（m+n3）＝16，那么m+n的值為 　 　．
15．如果x22x1＝0，那么x412x+5的值為 ．
16．如圖1，已知長方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖2，若∠DEF=72°，則∠GMN的度數為 ．
圖1 圖2
17．如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形AB并列放置后構造新正方形，測得陰影部分面積為10，若將3個正方形A和2個正方形B并列放置后構造新正方形如圖3，（圖2、圖3中正方形AB紙片均無重疊部分）則圖3陰影部分面積　 　．
18．如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝110°，CD與AB在直線EF異側．若∠DCF＝60°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和6度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t秒，在射線CD轉動一周的時間內，當t的值為 　時，CD與AB平行．
第17題圖 第18題圖
三、解答題（8題，共62分）
19．（6分）先化簡再求值：（m2）2（n+2）（n2）m（m1），其中m2+6m+9+|n1|＝0．
20．（5分）如圖，在數學活動課中，小明剪了一張三角形ABC的紙片，他將三角形ABC沿BC的垂直平分線翻折，折痕DE交AC于點D，交BC于點E．
（1）請作出折痕DE；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）連接BD，若AB＝5，AC＝7，則△ABD的周長為 ．
21．（4+6分）（1）關于x，y的方程組與方程組有相同的解，
求mn的值．
（2）在解方程組時，甲由于粗心看錯了方程組中的a，求出方程組的解為，乙看
錯了方程組中的b，求得方程組的解為，
① 求出a、b的值； ② 求出原方程組的正確解．
22．（8分）對于任意四個有理數a，b，c，d，可以組成兩個有理數對（a，b）與（c，d）．我們規定：
（a，b） （c，d）＝a2+d2bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+422×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，y）是一個完全平方式，求常數k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的條件下，將長方形ABCD及長方形CEFG按照如圖方式放置，其中點E、G分別在邊
CD、BC上，連接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求圖中陰影部
分的面積．
23．（8分）某汽車制造廠開發一款新式電動汽車，計劃一年生產安裝240輛．由于抽調不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經過培訓后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產開始后，調研部門發現：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車．
（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？
（2）如果工廠招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安
裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？
24．（7分）王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識求代
數式x2+4x+5的最小值．同學們經過交流討論，最后總結出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因為（x+2）2≥0，
所以當x＝2時，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依據上述方法，解決下列問題
（1）當x＝　 　時，x2+6x15有最小值是　 　．
（2）多項式x2+2x+18有最　 　 （填“大”或“小”）值，該值為 　 　．
（3）已知x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值．
25．（8分）已知關于x、y的方程組．
（1）若方程組的解滿足x＋y＝0，求m的值．
（2）當m每取一個值時，2x2y＋mx＝8就對應一個方程，而這些方程有一個公共解，你能求出這個
公共解嗎？
（3）如果方程組有整數解，求整數m的值．
26．（10分）將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
圖1 圖2 圖3
（1）若三角板如圖1擺放時，則∠α＝　 　，∠β＝　 ．
（2）現固定△ABC的位置不變，將△DEF沿AC方向平移至點E正好落在PQ上，如圖2所示，DF
與PQ交于點G，作∠FGQ和∠GFA的角平分線交于點H，求∠GHF的度數；
（3）現固定△DEF，將△ABC繞點A順時針旋轉至AC與直線AN首次重合的過程中，當線段BC與
△DEF的一條邊平行時，請直接寫出∠BAM的度數．
∴，
∴正方形ACDE與正方形BCFG的面積的和為，
故選：B．
6．“換元法”是解決數學問題的重要思想方法，若方程組的解是，則方程組的解為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：方程組變形為：，
∵方程組的解是，
∴
3（x+1）＝12，﹣2y＝16，
x＝3，y＝﹣8，
∴方程組的解為：，
故選：D．
二．填空題（共6小題）
7.若am＝9，an＝8，ak＝4，則am﹣n+2k的值為 18 .
【解答】解：am﹣n+2k=am÷an×ak×ak=9÷8×16=18
8．已知代數式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2化簡后，不含x2項，則a的值為 　　 ．
【解答】解：（ax﹣3）（2x+4）﹣x2
＝2ax2﹣6x+4ax﹣12﹣x2
＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x﹣12，
∵代數式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2化簡后，不含x2項，
∴2a﹣1＝0，
∴．
故答案為：．
9．二元一次方程3x+2y＝7的正整數解是　x＝1，y＝2　 ．
【解答】解：∵3x+2y＝7，
∴y，
∵要求的是正整數解，
∴x＝1，或x＝2，
∴當x＝1時，y＝2；當x＝2時，y，此時y不是正整數，故不符合題意．
故答案為：x＝1，y＝2．
10.計算：（－0.125）2023×22022×42021＝ 　 － 　．
【解答】解：（－0.125）2023×22022×42021＝ （－0.125×2×4）2021××2=－
11.已知關于x、y的方程組的解滿足，則k= 8 .
【解答】解：由題意可得：x+2y+2x+y=k+1
∴k+1=3（x+y）=9
∴k=8
12．已知（m+n+3）（m+n﹣3）＝16，那么m+n的值為 　±5　 ．
【解答】解：令a＝m+n，由題意可得：（a+3）（a﹣3）＝16，∴a2﹣9＝16，∴a2＝25，∴a＝±5，
即m+n＝±5，
故答案為：±5．
13.如果x22x1＝0，那么x412x+5的值為 10 .
【解答】解：由題意可得：x2＝2x+1
∴x4＝（2x+1）2=4x2+4x+1
∴x412x+5==4x28x+6=4（x22x）+6=4+6=10
14．如圖a，已知長方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝　72　 °．
【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折疊可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案為：72．
15．如圖，有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形A、B并列放置后構造新正方形，測得陰影部分面積為10，若將3個正方形A和2個正方形B并列放置后構造如圖3的新正方形，（圖2，圖3中正方形A、B紙片均無重疊部分）則圖3中陰影部分的面積 　22　 ．
【解答】解：設正方形紙片A的邊長為a，正方形紙片B的邊長為b．
由題意得，a2﹣b2＝2，（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝10．
∴圖3中陰影部分的面積為（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+20＝22．
故答案為：22．
16．如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝110°，CD與AB在直線EF異側．若∠DCF＝60°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和6度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t秒，在射線CD轉動一周的時間內，當時間t的值為 　2秒或38秒　 時，CD與AB平行．
【解答】解：分三種情況：
如圖①，AB與CD在EF的兩側時，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此時（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋轉到與AB都在EF的右側時，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此時（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋轉到與AB都在EF的左側時，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的條件下，將長方形ABCD及長方形CEFG按照如圖方式放置，其中點E、G分別在邊CD、BC上，連接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求圖中陰影部分的面積．
【解答】解：（1）（2x）2+y2﹣kx y
＝4x2﹣kxy+y2，
∵4x2﹣kxy+y2是一個完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC 2x 8x＝8x2，
S△BGF（8x﹣4y） y
＝4x﹣2y2，
S△DEF 4y （2x﹣y）
＝4xy﹣2y2，
S△GEC 4y y＝2y2，
∴S陰＝8x2﹣（4xy﹣2y2）﹣（4xy﹣2y2）﹣2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2[（2x+y）2﹣8xy]
＝2（144﹣8×10）
＝128．
21．某汽車制造廠開發一款新式電動汽車，計劃一年生產安裝240輛．由于抽調不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經過培訓后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產開始后，調研部門發現：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車．
（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？
（2）如果工廠招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？
【解答】解：（1）設每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，新工人每月分別安裝y輛電動汽車，
根據題意得，
解之得．
答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，新工人每月分別安裝2輛電動汽車；
（2）設調熟練工m人，
由題意得，12（4m+2n）＝240，
整理得，n＝10﹣2m，
∵0＜n＜10，
∴當m＝1，2，3，4時，n＝8，6，4，2，
即：①調熟練工1人，新工人8人；②調熟練工2人，新工人6人；③調熟練工3人，新工人4人；④調熟練工4人，新工人2人．
22．王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識求代數式x2+4x+5的最小值．同學們經過交流討論，最后總結出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因為（x+2）2≥0，
所以當x＝2時，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依據上述方法，解決下列問題
（1）當x＝　 3 　時，x2+6x15有最小值是　 24 　.
（2）多項式x2+2x+18有最　 大 　（填“大”或“小”）值，該值為 　 19 　.
（3）已知x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值.
【解答】解：（1）∵x2+6x15＝（x+3）224，∴當x＝3時，有最小值24；
（2）∵x2+2x+18＝（x1）2+19，∴當x＝1時有最大值19；
（3）∵x2+5x+y+20＝0，∴y＝x25x20
∴x+y＝x24x20＝（x﹣2）2﹣16，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣16≥﹣16，
∴當x＝2時，y+x的最小值為﹣16．
23．已知關于x、y的方程組．
（1）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值．
（2）當m每取一個值時，2x﹣2y+mx＝8就對應一個方程，而這些方程有一個公共解，你能求出這個公共解嗎？
（3）如果方程組有整數解，求整數m的解．
【解答】解：（1）將x+2y＝6記作①，x+y＝0記作②．由②，得x＝﹣y．
將x＝﹣y代入①，得﹣y+2y＝6．解得y＝6．∴x＝﹣6．
∴2×（﹣6）﹣2×6+mx＝8．解得，m．
（2）2x﹣2y+mx＝8變形得：（2+m）x﹣2y＝8，令x＝0，得y＝﹣4，
∴無論m取如何值，都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，
∴公共解為；
（3），①+②得，3x+mx＝14，∴x，
∵方程組有整數解，且m是整數，
∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，
∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．
此時m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣17，4，11．
當m＝﹣1時，x＝7，y，不符合題意；
當m＝﹣2時，x＝14，y＝﹣4，符合題意；
當m＝﹣4時，x＝﹣14，y＝10，符合題意；
當m＝﹣5時，x＝﹣7，y，不符合題意，
當m＝﹣10時，x＝﹣2，y＝4，符合題意，
當m＝﹣17時，x＝﹣1，y，不符合題意；
當m＝4時，x＝2，y＝2，符合題意，
當m＝11時，x＝1，y，不符合題意，
綜上，整數m的值為﹣2或﹣4或﹣10或4．
24．將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如圖1擺放時，則∠α＝　15°　 ，∠β＝　150°　 ．
（2）現固定三角形ABC的位置不變，將三角形DEF沿AC方向平移至點E正好落在PQ上，如圖2所示，

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