資源簡(jiǎn)介

第八章 整式乘法與因式分解
8.4 因式分解
8.4.3 因式分解方法的綜合運(yùn)用
1. 能夠熟練掌握提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式)進(jìn)行因式分解，提高因式分解的綜合運(yùn)用能力；
2.理解并掌握運(yùn)用分組分解法分解因式的一般步驟并解決問(wèn)題；
3. 了解并掌握x2+(p+q)x+pq型式子進(jìn)行因式分解的方法；
4.經(jīng)歷觀察、分析、探究等過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和逆向思維能力.
重點(diǎn)：進(jìn)一步熟悉用提公因式法和公式法分解因式，能根據(jù)不同題目的特點(diǎn)選擇較合理的分解因式的方法；
難點(diǎn)：能綜合運(yùn)用提公因式法和完全平方公式，利用分組和十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.
（一）創(chuàng)設(shè)情境
回顧：?jiǎn)栴}1：填一填：
(1) ma+mb= .
(2) (a+2)2-1= .
(3)1+6x+9x2= .
問(wèn)題2：我們學(xué)過(guò)的關(guān)于因式分解的方法有哪些
師生活動(dòng)：教師在黑板上寫(xiě)出三個(gè)多項(xiàng)式，提問(wèn)學(xué)生如何對(duì)這三個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。引導(dǎo)學(xué)生回顧提公因式法和公式法的基本步驟和要點(diǎn)。
預(yù)設(shè)答案：1. (1) ma+mb=m(a+b)
(2) (a+2)2-1=(a+3)(a+1)
(3)1+6x+9x2=(1+3x)2
2：方法一：提公因式法；
方法二：運(yùn)用公式法：兩項(xiàng)——平方差公式
三項(xiàng)——完全平方公式
追問(wèn)：那么，四項(xiàng)或大于四項(xiàng)的該怎么分解
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式因式分解回顧，喚起學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)綜合運(yùn)用兩種方法進(jìn)行因式分解做好鋪墊，同時(shí)也能了解學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的掌握程度，以便及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和方法。
（二）探究新知
任務(wù)一 探究提公因式法與公式法的綜合應(yīng)用
思考：把下列多項(xiàng)式分解因式：
(1)ab2-ac2； (2)3ax2+24axy+48ay2.
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，小組交流合作，思考并積極回答問(wèn)題。.教師強(qiáng)調(diào)在綜合運(yùn)用時(shí)，要先觀察多項(xiàng)式各項(xiàng)是否有公因式，提取公因式后再看剩余部分是否符合公式法的形式，要分解到不能再分解為止。
分析：(1)中有公因式a，應(yīng)先提出公因式，再利用平方差公式進(jìn)行分解.
(2)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行分解.
預(yù)設(shè)答案：
解：(1) ab2-ac2
=a(b2-c2)
=a(b+c)(b-c)
(2) 3ax2+24axy+48ay2
=3a(x2+8xy+16y2)
=3a(x+4y)2
總結(jié)：分解因式時(shí)，一般有公因式先用提公因式法進(jìn)行分解，然后再用公式法最后進(jìn)行檢查.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)詳細(xì)的例題講解，讓學(xué)生清楚地了解提公因式法和公式法綜合運(yùn)用的具體步驟和思路，掌握解題的規(guī)范和技巧，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力。
任務(wù)二 探究分組分解法分解因式
思考：把下列各式分解因式：
(1)x2-y2+ax+ay； (2)a2+2ab+b2-c2.
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生小組交流合作，思考并回答問(wèn)題，教師順勢(shì)引出本課知識(shí)點(diǎn)的探究.在老師的指導(dǎo)下，完善學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式分組特征的相關(guān)描述并得出結(jié)論，同時(shí)學(xué)生對(duì)于進(jìn)行因式分解的步驟進(jìn)行總結(jié)和歸納.
分析：對(duì)于式子(1)，通過(guò)分組，將前兩項(xiàng)利用平方差公式分解，后兩項(xiàng)提取公因式，發(fā)現(xiàn)它們都有公因式(x+y)，從而繼續(xù)分解.
對(duì)于式子(2)，先將前三項(xiàng)作為一組，看作完全平方形式，然后與第四項(xiàng)構(gòu)成平方差形式，繼續(xù)分解.
預(yù)設(shè)答案：
解：(1)x2-y2+ax+ay
=(x2-y2)+(ax+ay)
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a)
總結(jié)：若用平方差公式分解后的結(jié)果中有公因式，一定要再用提公因式法繼續(xù)分解.
(2)a2+2ab+b2-c2
=(a2+2ab+b2)-c2
=(a+b)2-c2
=(a+b+c)(a+b-c)
總結(jié)：因式分解有時(shí)需先分組,再利用提公因式法或公式法進(jìn)行分解.
歸納：因式分解的一般步驟：
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，發(fā)現(xiàn)不能直接利用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分解因式的，可以先分組再利用提取公因式法和公式法分解因式，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力.
任務(wù)三 探究拆項(xiàng)、十字相乘法分解因式
思考：在因式分解中，有些多項(xiàng)式看似不能分解，如果將某項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，就可以進(jìn)行因式分解.利用這個(gè)方法你會(huì)把x2+4x+3分解因式嗎？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：教師先講解拆項(xiàng)分解因式的方法，然后提出問(wèn)題，學(xué)生小組交流合作，思考并回答問(wèn)題.最后教師詳細(xì)講解每一步的依據(jù)和目的，邊講解邊在黑板上板書(shū).
分析：方法一：拆分常數(shù)項(xiàng)，把3變成(4-1)，這個(gè)二次三項(xiàng)式可以變形為x2+4x+4-1，再利用公式法進(jìn)行分解.
預(yù)設(shè)答案：解：x2+4x+3
=(x2+4x+4)-1
=(x+2)2-1
=(x+2+1)(x+2-1)
=(x+3)(x+1)
分析：方法二：拆分一次項(xiàng)，把4x拆分成(3x+x)，這個(gè)二次三項(xiàng)式可以變形為x2+3x+x+3，再利用提公因式法法進(jìn)行分解.
預(yù)設(shè)答案：解：x2+4x+3
=x2+3x+x+3
=x(x+3)+(x+3)
=(x+3)(x+1)
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的例子，詳細(xì)地向?qū)W生展示拆項(xiàng)因式分解的全過(guò)程，讓學(xué)理解拆項(xiàng)的思路和方法，明白如何通過(guò)拆項(xiàng)、分組、運(yùn)用公式等步驟將一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力.
思考：計(jì)算：
(x+2)(x+3)= . (x+2)(x-3)= .
(x-2)(x+3)= . (x-2)(x-3)= .
觀察上面等式，有什么特點(diǎn)？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考并舉手回答問(wèn)題，然后小組討論交流這些等式的特點(diǎn)，并挑選一名代表展示小組討論結(jié)果.
預(yù)設(shè)答案：(x+2)(x+3)= x +5x+6 (x+2)(x-3)= x x6
(x-2)(x+3)= x +x6 (x-2)(x-3)= x 5x+6
特點(diǎn)：(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab
探究：反過(guò)來(lái)得到：x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
利用上式，可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.這就是十字相乘法.
該類二次三項(xiàng)式，應(yīng)符合如下特點(diǎn):
①二次項(xiàng)系數(shù)為1.
①常數(shù)項(xiàng)ab可以看成a與b兩個(gè)因數(shù)之積；
②這兩個(gè)因數(shù)a與b的和剛好等于一次項(xiàng)的系數(shù).
即，一個(gè)二次三項(xiàng)式x +px+q，如果能夠把常數(shù)項(xiàng)q，分解成兩個(gè)因數(shù)a與b的積ab，且使a+b等于一次項(xiàng)的系數(shù)p，那么它就可以分解因式.即 x +px+q=x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
十字相乘法分解因式的步驟：
(1)分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角；
(2)分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角；
(3)交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).
思考：你能利用這個(gè)方法把x2+4x+3分解因式嗎？
分析：根據(jù)十字相乘法的規(guī)律可嘗試將上述多項(xiàng)式分解因式，這里一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3，常數(shù)項(xiàng)3 =1×3.
預(yù)設(shè)答案：解：x2+4x+3
=x2+(1+3)x+1×3
=(x+3)(x+1)
提示：1.常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們和一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同.
2.常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的例子，詳細(xì)地向?qū)W生展示十字相乘法的全過(guò)程，讓學(xué)理解十字相乘法的思路和方法，明白如何通過(guò)十字相乘法將一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力.
（三）應(yīng)用新知
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過(guò)程.
例1把下列多項(xiàng)式分解因式：
(1) 16x4-81 ； (2) x4-2x2+1.
分析：(1)中先將16x4看作(4x2)2，81看作92，利用平方差公式進(jìn)行兩次分解即可。
(2)中先將x4看作(x2)2，把式子看作關(guān)于x2的二次三項(xiàng)式，符合完全平方公式的形式，分解為(x2-1)2，然后對(duì)x2-1利用平方差公式分解，最后得出結(jié)果.
預(yù)設(shè)答案：(1) 16x4-81
=(4x2+9)(4x2-9)
=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)
(2) x4-2x2+1
=(x2-1)2
=[(x+1)(x-1)]2
=(x+1)2(x-1)2
提示：因式分解結(jié)果不能有大括號(hào)和中括號(hào)，相同因式的積要寫(xiě)成冪的形式.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)詳細(xì)的例題講解，讓學(xué)生清楚地了解提公因式法和公式法綜合運(yùn)用的具體步驟和思路，掌握解題的規(guī)范和技巧，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力。
例2 已知a-b=3，b-c=-4，則整式a2-ac-b(a-c)的值為( )
A.-12 B.-4 C.-3 D.3
分析：先將整式a2-ac-b(a-c)進(jìn)行分組分解因式，然后由已知條件得到a-c=-1，代入計(jì)算即可.
解：a2-ac-b(a-c)
=a(ac)-b(a-c)
=(ac)(ab)
因?yàn)閍-b=3，b-c=-4，所以a-c=-1.
將a-b=3，a-c=-1代入得：(ac)(ab)=1×3=3.故選：C.
預(yù)設(shè)答案：C.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，了解分組分解因式的基本程序和步驟.運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，鞏固學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解.
例3 無(wú)論x、y為任何值時(shí)，x2+y2-2x+12y+40的值都是( )
A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.非負(fù)數(shù).
分析：將多項(xiàng)式分組，利用完全平方公式分解因式，寫(xiě)成非負(fù)數(shù)的和的形式，再判斷式子的取值范圍即可.
解：x2+y2-2x+12y+40
=(x2-2x+1)+(y2+12y+36)+3
=(x-1)2+(y+6)2+3,
因?yàn)?x-1)2≥0，(y+6)2≥0,
所以(x-1)2+(y+6)2+3>0，
即x2+y2-2x+12y+40>0
所以x2+y2-2x+12y+40的值是正數(shù)，
故選:A.
預(yù)設(shè)答案：A.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題加深學(xué)生對(duì)分組分解因式的理解和掌握，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，逐步學(xué)會(huì)獨(dú)立分析式子的結(jié)果特點(diǎn)，選擇合適的分組方法進(jìn)行因式分解，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.
例4 把x2+7x+10分解因式.
分析：對(duì)于二次三項(xiàng)式x +px+q，要找到兩個(gè)數(shù)a和b，使得a+b=p且ab=q.
常數(shù)項(xiàng)：10=2×5；一次項(xiàng)系數(shù)：7=2+5
預(yù)設(shè)答案：解：x2+7x+10=(x+2)(x+5)
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固十字相乘法分解因式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.體會(huì)十字相乘法因式分解解決相關(guān)問(wèn)題的簡(jiǎn)便性.
（四）鞏固新知
1.把多項(xiàng)式因式分解成，則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，由題意，得，可得．
2.分解因式時(shí)，甲看錯(cuò)了的值，分解的結(jié)果是，乙看錯(cuò)了，分解的結(jié)果是，那么分解因式正確的結(jié)果是 。
【答案】
【解析】解：分解因式：，甲看錯(cuò)了的值，分解的結(jié)果是，
中，是正確的，
乙看錯(cuò)了的值，分解的結(jié)果是，
中是正確的，
是，分解因式后為
故答案為．
3.把下列各式分解因式：
．
【答案】解：
．
．
4.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：
．．
．
【答案】．．

5.已知，，是的三條邊長(zhǎng)，且，試判斷的形狀．
【答案】解：因?yàn)椋?br/>所以，
提公因式，得，
即．
因?yàn)椋?br/>所以，
解得，即，
所以為等腰三角形．
6.已知，求的值．
【答案】解：因?yàn)椋?br/>所以，
即，
，，
當(dāng)，時(shí)，
．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)鞏固新知，加深對(duì)本節(jié)課的理解及應(yīng)用.在進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)的同時(shí)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，以便彌補(bǔ)知識(shí)的漏洞.
（五）課堂總結(jié)
師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.
1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2.因式分解的一般步驟是什么？
3.對(duì)于x2+(p+q)x+pq型式子的因式該怎么分解？
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己小結(jié)，活躍了課堂氣氛，做到全員參與，理清了知識(shí)脈絡(luò)，強(qiáng)化了重點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生口頭表達(dá)能力.

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