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第八章 整式乘法與因式分解
8.4 因式分解
8.4.2 公式法
1.使學生了解平方差公式和完全平方公式的結構特點，會靈活運用公式法分解因式；
2.通過對平方差公式和完全平方公式的辨析，培養學生的觀察能力；
3.在引導學生逆用乘法公式的過程中，培養學生逆向思維能力；
4.經歷探索因式分解方法的過程，培養學生自主探索、發現問題的能力，通過猜測、推理、驗證、歸納等步驟，發展學生的數學思維能力。
重點：理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意義，掌握公式法的形式和特征.
難點：能夠運用公式法和提公因式法進行因式分解.
（一）創設情境
回顧：問題1：什么叫因式分解？
問題2：怎樣找公因式？
問題3：請寫出完全平方公式和平方差公式.
師生活動：教師提出問題，學生思考并舉手回答問題.
預設答案：1.把一個多項式化為幾個整式積的形式，叫做因式分解.
2.一定系數：最大公約數；二定字母：相同字母三定指數：字母最低次冪.
3.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2=a2 2ab+b2
平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2
設計意圖：回顧因式分解的相關概念，為本節課學習公式法做鋪墊.
（二）探究新知
任務一 探究公式法分解因式
思考：平方差公式和完全平方公式左右兩邊倒過來會出現什么情形？可不可以用此來分解因式？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：教師提出問題，小組交流合作，思考并積極回答問題.
預設答案：
總結：運用公式(完全平方公式和平方差公式)進行因式分解的方法叫作公式法.
設計意圖：經歷把平方差公式和完全平方公式反過來，探索平方差公式法和完全平方公式法分解因式的過程，體會它們之間的聯系，發展逆向思維的能力．
思考：(1)平方差公式有什么結構特點？公式中的a，b可以表示什么？
(2)完全平方公式有什么結構特點？公式中的a，b可以表示什么？
(3)你能利用公式對整式x2-2x+1進行因式分解嗎？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：教師提出問題，學生小組交流合作，思考并回答問題，教師順勢引出本課知識點的探究.在老師的指導下，完善學生對公式特征的相關描述并得出結論，同時學生對于不能利用平方差公式和完全平方公式進行分解因式的式子給出相應的解釋.
預設答案：（1）平方差公式： a2 b2 = (a+b)(a b)
平方差式的特點： a2 b2
1.必須是二項式(或可以看成二項的)；
2.每一項都為平方項；
3.兩個平方項的符號相反.
公式中的a，b可以表示單項式，也可以表示多項式.
歸納：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積.
變式：下列多項式能否用平方差公式因式分解？為什么？
1x y
2x y
3 x y
4 x y
分析：
1不是，這是兩數平方和；
2是；
3是；
4不是，這是兩數平方和的相反數.
判斷依據：1. 各項能否寫成平方項；
確定兩數平方是否相減.
設計意圖：讓學生通過自己的歸納找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相關結論進行練習.
預設答案：（2）完全平方公式： a2±2ab+b2 = (a±b)2
完全平方式的特點： a2±2ab+b2
1.必須是三項式(或可以看成三項的)；
2.有兩個同號的數或式的平方；
3.有一項為兩數或式乘積的2倍，與符號無關.
公式中的a，b可以表示單項式，也可以表示多項式.
歸納：兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.
變式 下列多項式是不是完全平方式？為什么？
1a 4a4
214a
3 4b 4b1
4 a abb
分析：
1是；
2不是，只有兩項；
3不是，平方項符號不一致；
4不是，ab項沒有系數2.
預設答案：（3）x2-2x+1= x2-2x1+(1)2 是一個完全平方式.
解：x2-2x+1
=x2-2x1+(1)2
= (x-1)2
設計意圖：讓學生通過自己的歸納找到因式分解中完全平方公式的特征，并能利用相關結論進行練習.舉例說明便于學生理解，同時歸納總結，由分解因式與整式乘法的互逆關系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解國式，這種分解因式的方法就是公式法.
（三）應用新知
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1把下列各式分解因式：
(1) x2+14x+49 ； (2) 9a2-30ab+25b2；
(3) x2-81； (4) 36a2-25b2.
分析：這幾道題可以利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解.完全平方公式為a2±2ab+b2 = (a±b)2；
平方差公式為a2 b2 = (a+b)(a b).
預設答案：解：(1) x2+14x+49
=x2+2·x·7+72
=(x+7)2
(2) 9x2-30ab+25b2
=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2
=(3a-5b)2
(3) x2-81
=x2-92
=(x+9)(x-9)
(4) 36a2-25b2
=(6a)2-(5b)2
=(6a+5b)(6a-5b)
設計意圖：鍛煉運用平方差公式和完全平方公式進行因式分解的能力，規范學生的解題步驟.
例2 把下列各式分解因式：
(1) x2 +4xy 4y2； (2) (2a+b)2 (a2b)2.
分析：(1)中首項有負號，一般先利用添括號法則，將其變形為(x2 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式.
(2)直接符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解即可.
預設答案：解：(1) x2 +4xy 4y2
（符合完全平方公式a2-2ab+b2 = (a-b)2的形式，這里a=x，b=2y.）
= (x2 4xy+ 4y2)
= (x2y)2
(2) (2a+b)2 (a2b)2
（符合平方差公式a2 b2 = (a+b)(a b)的形式，這里a=2a+b，b=a2b.）
=[(2a+b)+(a2b)][(2a+b)(a2b)]
=(2a+b+a2b)(2a+ba+2b)
=(3a-b)(a+3b)
總結：運用平方差公式分解因式的一般步驟：
(1)還原成平方差的形式.
(2)運用公式寫成兩數和與兩數差的積的形式.
(3)分別在括號內合并同類項.
(4)各因式分解到不能再分解為止.
設計意圖：通過例題，了解公式法分解因式的基本程序和步驟.運用所學知識解決問題，鞏固學生對知識的認識與理解.
例3 在實數范圍內分解因式：81a4 16b4；
分析：81a4看作(9a2)2，16b4看作(4b2)2，原式=(9a2)2(4b2)2，符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解即可.
分解因式要分解徹底，根據平方差公式進行兩次分解即可.
預設答案：解：81a4 16b4
=(9a2)2(4b2)2
=(9a2+4b2)(9a24b2)
=(9a2+4b2)(3a+2b)(3a2b)
總結：分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止.
設計意圖：讓學生在做題的過程中，學習如何正確變形多項式，運用平方差公式的條件進行因式分解.考查學生對運用平方差公式進行因式分解的條件的掌握，
例4 已知4m+n=40，2m3n=5.求(m+2n)2 (3mn)2的值.
分析：先利用平方差公式將所給式子進行變形，然后通過已知條件進行代換計算.
預設答案：解：原式=(m+2n+3mn) (m+2n3m+n)
=(4m+n) (3n2m)
=(4m+n) (2m3n)
當4m+n=40，2m3n=5時，
原式=40×5=200
總結：求代數式的值，有時要將已知條件看作一個整體，代入求值.
設計意圖：通過典型例題的講解，讓學生進一步鞏固公式法分解因式在數學中的應用.體會公式法因式分解解決相關問題的簡便性.
（四）鞏固新知
1.下列各式能用完全平方公式進行因式分解的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選項A中的式子可以利用平方差公式分解因式，結果是選項B中的式子無法分解因式選項C中的式子能用完全平方公式分解因式，其結果是選項D中的式子無法分解因式．
2.下列各式中，不能用平方差公式進行因式分解的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，選項A能用平方差公式進行分解，選項B不能用平方差公式進行分解：，選項C能用平方差公式進行分解，選項D能用平方差公式進行分解．
3.已知 a = 7- 3b ，則代數式 a2+ 6ab + 9b2的值為 .
【答案】49
【解析】因為a = 7- 3b，所以a+3b=7，所以a2+ 6ab + 9b2=(a+3b)2=72=49.
4.分解因式：．
【答案】解：原式
．
5.分解因式：
．
【答案】解：原式，
；
原式，
．
6.若為整數，試說明能被整除．
【答案】解：．
因為是整數，所以能被整除，即能被整除．
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.在進一步鞏固所學知識的同時去發現問題，以便彌補知識的漏洞.
（五）課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.公式法分解因式的定義是什么？
3.平方差公式法和完全平方公式法用字母怎么表示？
設計意圖：讓學生自己小結，活躍了課堂氣氛，做到全員參與，理清了知識脈絡，強化了重點，培養了學生口頭表達能力.

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