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第八章 整式乘法與因式分解
8.4 因式分解
8.4.1 提公因式法
1.掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法進(jìn)行因式分解.
2. 在對(duì)因式分解的概念和提公因式法進(jìn)行因式分解的探究中，了解因式分解與整式乘法之間互逆變形關(guān)系，培養(yǎng)整體性思維，建立數(shù)學(xué)思維的思考模式.
3. 通過因式分解的概念和提公因式法進(jìn)行因式分解的學(xué)習(xí)，在經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納的學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)歸納的數(shù)學(xué)思想方法，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流的習(xí)慣，感悟數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值.
重點(diǎn)：掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法進(jìn)行因式分解.
難點(diǎn)：經(jīng)歷提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式，滲透化歸思想.
（一）創(chuàng)設(shè)情境
情境：楊輝，字謙光，南宋杰出的數(shù)學(xué)家。他是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家，與秦九韶、李冶、朱世杰并稱“宋元數(shù)學(xué)四大家”。
楊輝在《詳解九章算法》中記載了一些乘法算式和相應(yīng)的分解因數(shù)的方法，如“四六二十四”可以分解為“2×12”“3×8”“4×6”.
思考：在數(shù)學(xué)中，對(duì)于多項(xiàng)式是否也有類似的分解方法呢
師生活動(dòng)：教師講解南宋數(shù)學(xué)家楊輝的故事，學(xué)生認(rèn)真聽講，最后教師提出問題，學(xué)生思考.
設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課通過數(shù)學(xué)史故事引入，激發(fā)學(xué)生的興趣.通過思考問題的提出，引發(fā)學(xué)生思考，為學(xué)習(xí)新內(nèi)容做鋪墊.
（二）探究新知
任務(wù)一 探究因式分解的概念
思考：請(qǐng)把下列多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式乘積的形式.
(1) a2+2ab+b2= ; (2) a2-2ab+b2= ;
(3) a2-b2= ; (4) na+nb+nc= .
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)整式乘法公式及平方差公式回答,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察等號(hào)兩邊的形式發(fā)現(xiàn)：這幾個(gè)式子從左到右的變形是把多項(xiàng)式化為整式乘積的形式，從而給出因式分解的定義.
分析：(1)(2)(3)根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可得出答案；(4)可以把n提取出來即可得出答案.
預(yù)設(shè)答案：(1) a2+2ab+b2= (a+b)2
(2) a2-2ab+b2= (a-b)2
(3) a2-b2= (a+b)(a-b)
(4) na+nb+nc= n(a+b+c)
總結(jié)：像這樣，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
思考：下列整式乘法與因式分解之間有什么關(guān)系
(1) m(a+b+c)=ma+mb+mc，ma+mb+mc=m(a+b+c)；
(2) (a-7)2=a2-14a+49，a2-14a+49=(a-7)2；
(3) (x+3)(x-3)=x2-9，x2-9=(x+3)(x-3).
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)并板書:因式分解與整式乘法互為逆運(yùn)算.
總結(jié)：可以看出，因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即
總結(jié)：因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式，而不是單項(xiàng)式.分解后的每個(gè)因式必須是整式的積的形式.
設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題的解決，讓學(xué)生觀察、思考和操作過程中，結(jié)合具體事例了解因式分解的概念,認(rèn)識(shí)其本質(zhì)屬性——將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)式子乘積的變形，同時(shí)發(fā)現(xiàn)因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，為后續(xù)探索因式分解的具體方法做鋪墊.
任務(wù)二 探究提公因式法分解因式
思考：觀察下列多項(xiàng)式，它們有什么共同的特點(diǎn)？你能嘗試分解它們嗎？
(1) ma+mb+mc； (2) 2x2+x.
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：教師先提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考，并回答問題，教師點(diǎn)評(píng)并給出公因式的定義;對(duì)于問題“你能嘗試分解它們嗎”，教師引導(dǎo)學(xué)生利用整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc 分解因式，并給出提公因式的定義.
預(yù)設(shè)答案：(1) ma+mb+mc：有相同因式m.
(2) 2x2+x：有相同因式 x.
歸納：它們的每一項(xiàng)都含有一個(gè)相同的因式，我們把相同的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.
把公因式m和x提到括號(hào)外面，這樣就把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積.
即 (1)ma+mb+mc=m(a+b+c)； (2) 2x2+x=x(2x+1)
歸納：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
思考：運(yùn)用提公因式法時(shí)，如何確定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式 嘗試找出 3x2y - 6xy2的公因式.
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；
3.討論時(shí)間3分鐘.
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并進(jìn)行小組討論，在教師的引導(dǎo)下概括總結(jié)找出多項(xiàng)式的公因式的一般步驟.
預(yù)設(shè)答案：
系數(shù)：最大公約數(shù).
字母：相同的字母.
指數(shù)：相同字母的最低次數(shù)
公因式是 3xy.
總結(jié)：找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的一般步驟：
一定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).
二定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.
三定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次冪.
設(shè)計(jì)意圖：鍛煉學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)的能力，用簡單的設(shè)問增強(qiáng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的精神，同時(shí)利用具體的問題，引導(dǎo)學(xué)生了解提公因式法分解因式的基本程序和步驟并積累找公因式的經(jīng)驗(yàn).
（三）應(yīng)用新知
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.
例1把下列各式分解因式：
(1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a.
分析：(1)數(shù)字：系數(shù)4，8的最大公約數(shù)是4
字母：公共的字母m
指數(shù)：m取1次，所以公因式是4m
確定公因式：4m
預(yù)設(shè)答案：解： (1) 4m2 8mn
=4m·m 4m·2n
=4m(m 2n).
分析：(2)數(shù)字：系數(shù)3，6的最大公約數(shù)是3
字母：公共的字母a
指數(shù)：a取1次，所以公因式是3a
確定公因式：3a
最后一項(xiàng)3a提取后還有因數(shù)1.
預(yù)設(shè)答案：解：(2) 3ax2 6axy + 3a
=3a·x2 3a·2xy + 3a·1
=3a(x2 2xy + 1)
設(shè)計(jì)意圖：通過例題，了解提公因式法分解因式的基本程序和步驟；積累找公因式的方法；知道提公因式法是把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式乘積的形式；用提公因式法分解因式后，保證含有多項(xiàng)式的因式中再無公因式.
例2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c)3y(b+c)； (2) 3n(x2)+(2x).
分析：(1)根據(jù)題意知，先找出公因式(b+c)，再提取公因式即可；
預(yù)設(shè)答案：解：(1) 2x(b+c)3y(b+c)
=(b+c)(2x3y).
x2與2x有什么關(guān)系？
分析：(2) (2x)=(x2)，所以在第二個(gè)括號(hào)前提個(gè)負(fù)號(hào)，原式變?yōu)?n(x2)(x2)，然后找出公因式，再提取公因式即可.
預(yù)設(shè)答案：解：(2) 3n(x2)+(2x)
=3n(x2)(x2)
=(x2)(3n1)
總結(jié)：公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式.
設(shè)計(jì)意圖：通過例題的講解使學(xué)生進(jìn)一步鞏固因式分解的基本方法，提高對(duì)公因式的認(rèn)識(shí)——公因式及可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，感受因式分解給計(jì)算帶來的簡便，體會(huì)此方法的數(shù)學(xué)價(jià)值.
例3 判斷下列因式分解是否正確.
(1)12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y)
(2)3x2 6xy+x=x(3x6y)
(3)x2+xyxz=x(x+yz)
預(yù)設(shè)答案：解：(1)錯(cuò)誤，公因式?jīng)]有提盡，還可以提出公因式2；所以正確答案為12x2y+18xy2=6xy(2x+3y)
(2)錯(cuò)誤，當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后剩余的項(xiàng)是1；所以正確答案為3x2 6xy+x=x(3x6y+1)
(3)錯(cuò)誤，提出負(fù)號(hào)時(shí)括號(hào)里的項(xiàng)沒變號(hào)；所以正確答案為x2+xyxz=x(xy+z).
總結(jié)：因式分解要求：(1)分解徹底； (2)結(jié)果化為最簡；(3)結(jié)果不含中括號(hào)； (4)結(jié)果括號(hào)中第一項(xiàng)系數(shù)一般不為負(fù)數(shù).
設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例辨析，讓學(xué)生進(jìn)一步理解因式分解的概念.
例4 已知:a+b=7，ab=4，求代數(shù)式a2b+ab2的值.
分析：原式提取公因式變形后，將a+b與ab的值代入計(jì)算即可求出值.
預(yù)設(shè)答案：解：因?yàn)閍+b=7，ab=4，
所以a2b+ab2=ab(a+b)=4×7=28.
總結(jié)：求代數(shù)式的值，有時(shí)要將已知條件看作一個(gè)整體，代入求值.
設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固因式分解在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.體會(huì)因式分解解決相關(guān)問題的簡便性.
（四）鞏固新知
1.下列因式分解正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：，所以選項(xiàng)不符合題意；
B.，這是因式分解，所以選項(xiàng)不符合題意；
C.在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，所以選項(xiàng)不符合題意；
A.，所以選項(xiàng)符合題意．
故選：．
2.多項(xiàng)式，則的值是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?br/>，
所以，或，所以或．
3.若多項(xiàng)式因式分解后所含的一個(gè)因式是，那么另一個(gè)因式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】故選B．
4.將多項(xiàng)式分解因式，應(yīng)提取的公因式是 ．
【答案】
【解析】解：，
所以應(yīng)提取的公因式是．
故答案為．
5.對(duì)任意整數(shù)，試說明一定能被整除．
【答案】解：因?yàn)?br/>，
所以原式一定能被整除．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)鞏固新知，加深對(duì)本節(jié)課的理解及應(yīng)用.在進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)的同時(shí)去發(fā)現(xiàn)問題，以便彌補(bǔ)知識(shí)的漏洞.
（五）課堂總結(jié)
師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.
1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2.什么因式分解？
3.什么是公因式？
4.找公因式的一般步驟是什么？
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己小結(jié)，活躍了課堂氣氛，做到全員參與，理清了知識(shí)脈絡(luò)，強(qiáng)化了重點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生口頭表達(dá)能力.

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