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第8章 整式乘法與因式分解
8.3 完全平方公式與平方差公式
8.3.2平方差公式
1.理解并掌握用多項式的乘法法則推導(dǎo)出平方差公式的過程；
2.掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，能靈活利用平方差公式進行計算；
3.在用幾何面積驗證公式的過程中，理解平方差公式的幾何意義，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
4.在探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并能用符號表示規(guī)律，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會數(shù)學(xué)的簡潔之美.
重點：掌握平方差公式的驗證過程和結(jié)構(gòu)特點．
難點：能利用平方差公式計算或解決問題．
（一）創(chuàng)設(shè)情境
回顧：回顧多項式與多項式相乘的運算法則，并用字母表示出來.
預(yù)設(shè)答案：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
設(shè)計意圖：通過回顧學(xué)過的知識，為學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容提供理論基礎(chǔ)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)各部分知識間的聯(lián)系，加強學(xué)生的應(yīng)用能力.
（二）探究新知
任務(wù)一：平方差公式
探究：由多項式乘法計算：
(1)； (2).
師生活動：小組合作：
1.利用多項式與多項式相乘的運算法則計算；
2.組內(nèi)成員合作，根據(jù)多項式乘法的規(guī)律概括出的計算公式.
設(shè)計意圖：提出問題，讓學(xué)生合作探究，調(diào)動學(xué)生的積極性，有利于啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識和合作能力.
探究：由多項式乘法計算：
(1)； (2).
猜想：
探究：你能驗證一下猜想嗎？
設(shè)計意圖：利用已學(xué)的知識，推導(dǎo)出平方差公式，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)各部分知識間的聯(lián)系，通過猜想、驗證的過程，鍛煉學(xué)生的推理能力.
總結(jié)：平方差公式：
兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.
平方差公式的特征：
1.等號左邊是兩個二項式的積，且這兩個二項式中有一項為相同項，另一項為相反項；
2.等號右邊是相同項的平方減去相反項的平方.
3.公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式等式子.
任務(wù)二：平方差公式的幾何意義
思考：你能設(shè)計一個圖形來說明平方差公式嗎？
師生活動：小組合作：
1.獨立思考，完成驗證；
2.小組成員合作，交流自己的思路，完善證明過程.
探究：如圖，將邊長為的正方形分為三部分，為邊長為的小正方形.
設(shè)計意圖：通過幾何圖形的面積證明平方差公式，感受數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生對于平方差公式的理解，提高學(xué)生解決問題的能力.
（三）應(yīng)用舉例
例1.利用乘法公式計算：
； .
分析：（1）根據(jù)兩數(shù)和與兩數(shù)差的積等于兩數(shù)的平方差計算即可.
（2）根據(jù)兩數(shù)特點，將式子轉(zhuǎn)化為兩數(shù)和與兩數(shù)差的形式，再用平方差公式進行計算.
解：（1）
.
例2.利用乘法公式計算：
分析：將看成整體，原式即可看成與之和乘與之差，利用平方差公式計算即可．
解：
.
例3. ．
分析：本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵，兩次利用平方差公式即可求解．
解：
.
答案：．
設(shè)計意圖：通過3個例題，熟悉了平方差公式的基本內(nèi)容和結(jié)構(gòu)特點，練習(xí)了利用平方差公式進行計算，提高學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度，訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)用能力.
（四）課堂練習(xí)
1.計算：
．
【解析】本題的類型不符合我們學(xué)習(xí)的乘法公式，但運用整體思想，把多項式中的某一部分看成一個整體，則可應(yīng)用乘法公式計算．先將變成，中括號內(nèi)符合平方差公式的形式，相乘得，這時再運用完全平方公式計算把看成一個整體當(dāng)然也可以把或看成一個整體后應(yīng)用完全平方公式原式可變?yōu)椋砂芽闯梢粋€整體后應(yīng)用平方差公式，再應(yīng)用完全平方公式．
解：．
．
．
2.下列各多項式的乘法中，能用平方差公式計算的有( )
；；；
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
【解析】本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．根據(jù)平方差公式特點：兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差，等于這兩個數(shù)的平方差，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解：，能用平方差公式；
，兩項均相同，不符合平方差公式，不能用平方差公式；
，能用平方差公式；
，能用平方差公式；
綜上所述，能用平方差公式計算的有個．
答案：C
3.計算：，其中．
【解析】此題考查了整式的混合運算化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．先根據(jù)多項式乘單項式法則和平方差公式計算乘法，再去括號，最后合并同類項即可化簡原式，將的值代入即可求解．
解：原式
，
當(dāng)時，原式．
如圖，在邊長為的正方形中央剪去一個邊長為的小正方形，將剩余部分剪開平鋪成一個平行四邊形，則該平行四邊形的面積為( )
A. B. C. D.
【解析】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拼成的平行四邊形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式整理即可得解．
解：
，
答案：
5.從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形如圖，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖．
上述操作能驗證的等式是______；請選擇正確的一個
A、
B、
C、
應(yīng)用你從選出的等式，完成下列各題：
已知，，求的值．
計算：
【解析】此題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．觀察圖與圖，根據(jù)兩圖形陰影部分面積相等驗證平方差公式即可；使用平方差公式求出所求式子的值即可；原式利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果．
解：根據(jù)圖形得：，
上述操作能驗證的等式是，
故答案為：；
，，
；
原式
．
6.已知一個三角形的底邊長為，對應(yīng)高為，面積為試用含的代數(shù)式表示當(dāng)時，求的值．
【解析】本題考查了平方差公式的知識，解決此類問題的關(guān)鍵是牢記平方差公式利用三角形的面積公式得到三角形的面積，然后利用平方差公式計算可得用含的代數(shù)式表示；再將代入計算即可求解．
解：
，
當(dāng)時，．
設(shè)計意圖：設(shè)置了6個練習(xí)題目，難度由低到高，幫助學(xué)生理解本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，提高學(xué)生對于新學(xué)知識的靈活應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.
（五）總結(jié)歸納
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
1.平方差公式是什么？
2.平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？
3.如何用幾何圖形的面積驗證平方差公式？
設(shè)計意圖：先拋出幾個問題，讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，再加以梳理，加深學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的印象和理解，進一步鞏固所學(xué)知識.

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