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第八章 整式乘法與因式分解
8.3 完全平方公式與平方差公式
8.3.1 完全平方公式
1.會推導完全平方公式，理解公式的結構特征，并能正確利用公式進行乘法運算.
2.在利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，了解完全平方公式的幾何意義，感知數形結合的思想.
3.在探索完全平方公式的過程中，感悟從一般到特殊的研究問題的方法.
4.在探究過程中發現規律，并能用符號表示，感受數學的嚴謹性，體會數學的簡潔美.
重點：能夠運用完全平方公式進行乘法計算
難點：掌握完全平方公式的推導過程和幾何意義
（一）創設情境
情境：在一次數學課上，老師要求學生們計算如下正方形的面積。請結合我們已經學過多項式與多項式相乘的法則。在小組中合作討論，算出如下正方形的面積：
邊長為a且的正方形
在（1）中正方形的基礎上，邊長增加2
在（1）中正方形的基礎上，邊長增加b
預設答案：（1）；
；
.
回顧：多項式與多項式相乘的法則是什么？
師生活動：教師向學生介紹情景，引導學生在小組內討論解法，可提示學生回顧之前所學的多項式乘法的內容，并借此引入本節內容
設計意圖：將實際問題作為情景引入課題，從學生較為熟悉的面積和多項式計算入手，引入完全平方公式的內容，吸引學生學習的興趣.
（二）探究新知
任務一：從多項式推導完全平方公式
思考：觀察比較情境中列出的多項式乘法式子，你發現了什么規律？
規律：兩個數的和的平方，恰好等于這兩個數的平方和加上這兩個數乘積的二倍
合作探究：類比上述過程，計算，并嘗試總結兩個數的差的平方的計算規律
師生活動：教師組織學生進行合作探究并積極回答問題，培養學生自主思考的能力。該環節結束后可總結相關概念.
設計意圖：教師組織學生積極參與互動，加深學生對完全平方公式的理解，培養學生自主思考總結的能力。
總結：
上面兩個等式被稱為完全平方公式.
完全平方公式的語言敘述：兩個數的和（或差）的平方，等于這兩個數的平方和加（或減）這兩個數乘積的2倍.
任務二：從幾何推導完全平方公式
圖 1
合作探究：觀察上圖，從圖形面積的角度，寫出圖1中蘊含的等式：
其中，代表等號左側大正方形的面積，分別代表兩個小正方形的面積，代表兩個長方形面積，運用幾何圖形面積割補法，得出完全平方和公式.
圖 2
類比上述推導，寫出圖2中蘊含的等式：
師生活動：教師組織學生進行合作探究，從幾何角度推導完全平方公式，從而加深學生對其幾何意義的理解.
設計意圖：教師組織通過類比自主思考，加強學生的類比能力和對完全平方公式的理解.
（三）應用舉例
例1：利用乘法公式計算：
； ．
分析：利用完全平方公式進行計算即可.關鍵是識別公式中的a,b在具體式子中分別表示什么.
答案：解：
．
例2：利用乘法公式計算：.
分析：根據已經學過的積的乘方，可以將式子表示為，再利用完全平方和的公式進行計算即可.
答案：
思考：還有其他計算方法嗎？直接把記為，把記為，代入完全平方公式計算.
例3：若，，則的值是______．
分析：本題主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解題的關鍵．先把兩邊平方，展開得到，再把代入即可求解．
答案：解：，，即，，，
，故答案為．
例4：已知，求：．
分析：本題考查了完全平方公式的應用，解題的關鍵是能夠熟練的運用完全平方公式的展開式解決問題，將兩邊同時平方后展開，即可求出的值；將展開，再套用的結論，即可得出結果．
答案：解：，．
，．
師生活動：教師帶領學生分析解題思路，并嘗試讓學生自主解答，動手做一做后舉手發言.
設計意圖：通過4個不同的例題，進一步鞏固本節學習的相關概念，加強學生對完全平方公式的理解和掌握，例1直接用完全平方公式進行計算，例2考察學生是否能夠綜合運用積的乘方運算和完全平方公式進行簡化計算，例3和例4綜合考察學生對完全平方公式的理解和熟練程度，用整體帶入的思想解決問題，鞏固學生對知識的掌握。經過這4個例題的練習，促進達成本節的知識目標，幫助學生回顧掌握.
（四）課堂練習
1.若是完全平方式，則的值為______．
【答案】或
【解析】考慮到完全平方式有兩種形式，需要進行分類討論。若為完全平方和公式，則；若為完全平方差公式，則；故答案為或
2.先化簡再求值：，其中．
【答案】解：
，
當時，原式．
【解析】先用完全平方公式，單項式乘多項式的法則進行計算，然后把的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．本題考查了整式的混合運算化簡求值和完全平方公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
3.已知，求的值．
【答案】解：
可得，
故的值為.
【解析】本題主要考查的是完全平方公式的熟練運用。通過配湊法將等號左側多項式化為完全平方式，再根據完全平方式非負的性質，可得，最后代入即可得到答案.
4.如圖所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖的方式拼成一個正方形．
按要求填空：
你認為圖中的陰影部分的正方形的邊長等于______；
請用兩種不同的方法表示圖中陰影部分的面積：
方法：________；方法：__________
觀察圖，請寫出代數式，，這三個代數式之間的等量關系：______；
根據題中的等量關系，解決如下問題：若，求的值．
實際上有許多代數恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖，它表示了______．
【答案】解：； ，；
，，，，
由可得
，；

【解析】觀察可得陰影部分的正方形邊長是；
方法：陰影部分的面積就等于邊長為的小正方形的面積；方法：邊長為的大正方形的面積減去個長為，寬為的長方形面積；
根據以上相同圖形的面積相等可得；
根據可得、，利用中結論計算可得；
根據：大長方形面積等于長乘以寬或兩個邊長為、一個邊長為的正方形加上個長為、寬為的小長方形面積和列式可得．
本題考查了完全平方公式的幾何意義，認真觀察圖形以及掌握正方形、長方形的面積公式計算是關鍵．
師生活動：教師安排學生在課上或課后自主完成練習題目
設計意圖：通過練習，鞏固本節課所學概念，提高學生邏輯思維能力和解決實際問題的能力.
總結歸納
1.本節課你學到了什么？
2.完全平方公式是什么？用語言如何敘述
3.完全平方公式是如何推導出來的？

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