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第8章 整式乘法與因式分解
8.1.3 同底數冪的除法
第1課時
1.理解并掌握同底數冪的除法法則，能進行同底數冪的除法運算；
2.能靈活利用同底數冪除法的運算法則解決有關法則的逆用問題和實際生活中的問題；
3.通過探索同底數冪除法運算法則的過程，進一步體會類比、歸納、推理的探究方法；
4.在探索過程中，培養學生的思維嚴密性，提高學生解決問題的能力.
重點：掌握同底數冪的除法的運算法則．
難點：能靈活利用同底數冪除法的運算法則進行運算或逆用解決問題．
（一）創設情境
回顧：冪的組成和同底數冪的乘法法則是什么？
預設答案：
同底數冪的乘法法則：
同底數冪相乘，底數不變，指數相加.
即（，都是正整數）.
情境：一種液體每升含有個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發現滴殺菌劑可以殺死個有害細菌，要將升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？
預設答案：
設計意圖：先回顧之前學過的同底數冪的乘法法則，為本節課內容作鋪墊，然后通過一個實際問題引出本節課的內容，啟發學生的思維，引起學生的興趣.
（二）探究新知
任務一：同底數冪的除法法則
探究：怎樣計算？
先完成下表：
探究：觀察上表，同底數冪相除有什么規律？
師生活動：小組合作：
1.觀察上表的運算結果，說說自己發現的規律；
2.猜測同底數冪除法的運算法則，小組內交流，說說自己的看法；
3.互相合作，總結歸納出同底數冪的除法的運算法則.
探究：
猜想：
探究：你能驗證剛剛的猜想嗎？
證明：∵，
∴.
一般地，如果，都是正整數（），那么.
設計意圖：通過進行推導計算、猜想、證明的過程，總結歸納出同底數冪的除法的運算法則，鍛煉學生推理問題，分析問題的能力，同時加深學生對本節課所學內容的印象.
總結：同底數冪的除法：
(，都是正整數，且).
同底數冪相除，底數不變，指數相減.
示例：
任務二：同底數冪除法法則的逆用
思考：已知，求的值.
設計意圖：通過一個問題思考同底數除法法則的逆用，提高對所學內容的掌握程度，培養學生舉一反三的意識.
總結：同底數冪的除法法則逆用：
(，都是正整數，且).
指數相減可看成同底數冪相除進行運算.
（三）應用舉例
例1 .計算：
(1)； (2)；
(3)b； (4).
分析：根據同底數冪的除法法則進行運算即可.
解：(1).
(2).
(3).
(4).
例2 .下列計算正確的是( )
A. B.
C. D.
分析：本題主要考查冪的乘方，同底數冪的乘除法，合并同類項，根據相關運算法則計算出各選項的結果后再判斷即可．
解：．，計算錯誤，不符合題意；
B.，計算正確，符合題意；
C.，計算錯誤，不符合題意；
D.，計算錯誤，不符合題意．
答案：．
例3 .已知，，求的值．
分析：本題考查了逆用同底數冪的除法運算及冪的乘方，根據冪的乘方法則：底數不變，指數相乘，同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減，進行運算即可
解：由題意得，，
故．
設計意圖：通過3個例題，進一步理解熟悉同底數冪的除法法則及其逆向應用，加深學生的印象，增強應用意識.
（四）課堂練習
1.下列計算正確的有．
．
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
【解析】本題考查了同底數冪除法，積的乘方，掌握運算法則是解題的關鍵．對各項分別進行計算，然后再判斷正誤即可．
解：，故此項錯誤；
，故此項正確；
，故此項錯誤；
，故此項錯誤，
正確的選項有個，
答案：B.
2.下列計算正確的是( )
A. B.
C. D.
【解析】本題考查了整式的運算，根據同底數冪的乘法和除法，積的乘方，合并同類項的運算法則計算即可．
解：、和不是同類項，不能合并，故選項 A錯誤，不符合題意；
B、，故選項 B正確，符合題意；
C、，故選項 C錯誤，不符合題意；
D、，故選項 D錯誤，不符合題意．
答案：．
3.若，，則 ．
【解析】本題考查同底數冪的乘除法和冪的乘方，理清指數的變化是解題的關鍵先逆用同底數冪的乘法法則和除法法則對進行變形，再逆用冪的乘方性質進行變形，最后把、代入計算即可．
解：
．
答案：．
4. ．
【解析】本題主要考查同底數冪的除法．先化成同底數冪，然后利用同底數冪的除法計算即可．
解：，
答案：．
5.若，，，求，，之間的數量關系．
解：因為， ，
所以，即，
所以．
6.已知，求的值．
解：
，
，
所以，解得．
設計意圖：設置了6個練習題目，難度由低到高，幫助學生理解本節課所學的內容，提高學生對于新學知識的靈活應用能力，培養學生的應用意識.
（五）總結歸納
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
1.同底數冪的除法法則是什么？
2.如何利用同底數冪的除法法則解決問題？
設計意圖：先拋出幾個問題，讓學生回顧本節課所學的內容，再加以梳理，加深學生對本節課所學內容的印象和理解，進一步鞏固所學知識.第8章 整式乘法與因式分解
8.1.3 同底數冪的除法
第3課時
1.理解用科學記數法表示較小的數的原理，會用科學記數法表示絕對值小于1的數；
2.能將10的負整數次冪與原數靈活互化，體會數學各部分知識間的聯系；
3.掌握用科學記數法表示絕對值小于1的數解決實際問題的過程；
4.在探究學習過程中，體會數的多種表達形式，使學生感受到知識來源于生活、并應用于生活的特點，感受數學之美.
重點：掌握用科學記數法表示數的原理和步驟．
難點：能利用科學記數法解決實際問題．
（一）創設情境
回顧：前面我們學過用科學記數法來表示一些絕對值大于10的數，回顧其方法步驟，并表示下列各數：
(1)2 280 000=_______________________；
(2)16 708 000=_______________________；
(3) 13 500=_______________________.
預設答案：
(1) (1) (3)
情境：我們的世界有許多細小的物體；例如最常見的頭發絲，一根頭發絲的直徑大約0.000 05米；而蠶絲的直徑只有發絲的十分之一；還有我們肉眼觀察不到的細菌，通常用微米()作為測量它們的計量單位.(1=0.000 001m)
思考：我們能否用科學記數法把0.000 05、0.000 001這些絕對值小于1的數表示出來？
設計意圖：通過回顧學過的知識，類比本節課所學的內容，引發學生的思考，再通過情境問題，展示本節課學習的內容在實際生活中的應用，引起學生的興趣.
（二）探究新知
任務一：用科學記數法表示絕對值小于1的數
探究：用科學記數法表示下列各數：
(1)0.000 001； (2) 0.000 43.
師生活動：小組合作：
1.結合學過的知識，思考如何用科學記數法表示；
2.組內成員合作，完成題目，并進行討論，歸納出用科學記數法表示絕對值小于1的數的步驟和方法.
設計意圖：提出問題，讓學生合作探究，調動學生的積極性，有利于啟發學生的思維，培養學生的自主探究意識和合作能力.
探究：用科學記數法表示下列各數：
(1)0.000 001； (2) 0.000 43.
總結：用科學記數法表示絕對值小于1的數：
絕對值小于1的數可以用科學記數法表示為的形式，其中110，是正整數.
示例：
設計意圖：通過計算得出結論，提高學生對于所學知識的應用能力，在總結歸納的過程中，培養學生的推理能力和應用意識.
探究：對于一個絕對值小于1的數，其中零(包括小數點前面的一個零)的個數與用科學記數法表示時10的指數之間有什么關系？完成下列題目，看看能發現什么？
(1)0.1；(2)0.01；(3)0.001；(4)0.000 1；(5)0.000 000 000 1.
總結：對于一個絕對值小于1的數，如果這個數中第一個不等于零的數字前面有個零(包括小數點前面的一個零)，用科學記數法表示這個數時，10的指數為.
示例：
0.000 000 1
個0
用科學記數法表示絕對值小于1的數的一般步驟：
(1)確定：的絕對值是大于或等于1且小于10的數；
(2)確定：等于原數中第一個不等于零的數字前面的零的個數；
(3)將原數用科學記數法表示為(其中，是正整數).
設計意圖：通過解決具體的計算問題，總結歸納出用科學記數法表示絕對值小于1的數的步驟和方法，培養學生總結歸納的能力 .
（三）應用舉例
例1.用科學記數法表示下列各數，并在計算器上把它們表示出來：
(1)0.000 76； (2) 0.000 001 59.
分析：根據用科學記數法表示絕對值小于1的數的步驟表示即可.
解：
例2.水是由氫、氧兩種元素組成的，1個氫原子的質量約為1.674×kg，1個氧原子的質量約為2.657×kg.1個氫原子與1個氧原子的質量哪個大？
分析：先將10的指數化為相同指數，再比較兩個數的大小．
解：
例3.雷達發出的微波以3×km/s的速度射向飛機，飛機再將微波反射回來，經過12.6 μs后雷達站收到反射微波．飛機與雷達站之間的距離是多少千米．（1μs=s）
分析：先將單位統一，再利用路程、速度與時間的關系計算即可．
解：
設計意圖：通過3個例題，練習了用科學記數法表示絕對值小于1的數及其應用，加深學生對所學知識的印象，提高學生的應用能力和計算能力.
（四）課堂練習
1.用科學記數法表示下列各數：
，，，，．
【解析】直接利用絕對值小于的正數和負數可以利用科學記數法表示，一般形式為，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的的個數所決定，再結合絕對值大于的正數和負數分別用科學記數法表示即可．本題考查用科學記數法表示較小的數以及用科學記數法表示較大的數，一般形式為，其中，為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的的個數所決定．
解：，
，
，
，
．
2.比較大小： ．
【解析】此題考查有理數大小比較．解答的關鍵是將題目中所給的數正確還原．根據冪的運算法則先將原數還原，然后再比較大小即可．
解：，，
，
．
故答案為：．
3.一種塑料顆粒是棱長為毫米的小正方體，它的體積是多少立方米用這種塑料顆粒制成一個棱長為米的正方體塑料塊需要用多少個顆粒用科學記數法表示
解：
小正方體的體積為立方米，
個．
答：塑料顆粒的體積是立方米，制成一個棱長為米的正方體塑料塊，需要個塑料顆粒．
4.年月日世界衛生組織正式發布通告，將新型冠狀病毒感染的肺炎正式命名為“冠狀病毒病”研究人員在透射電子顯微鏡下觀察到病毒體顆粒是近乎球形的，其直徑平均為，則新冠病毒體顆粒的體積大約是多少立方厘米？已知球的體積，其中是半徑，取
解：直徑為，
，
．
新冠病毒體顆粒的體積大約是 ．
5.太陽的質量約是，地球的質量約是，太陽的質量約是地球的質量的多少倍結果用科學記數法表示
解：
．
答：太陽的質量約是地球的質量的倍
6.聲音的強弱用分貝表示，通常人們講話時的聲音是分貝，它表示聲音的強度是，汽車的聲音是分貝，它表示聲音的強度是，噴氣式飛機的聲音是分貝，求：
汽車聲音的強度是人們講話時聲音強度的多少倍
噴氣式飛機聲音的強度是汽車聲音強度的多少倍
解：，即汽車聲音的強度是人們講話時的聲音強度的倍
因為噴氣式飛機的聲音是分貝，
所以強度為，
，
所以噴氣式飛機聲音的強度是汽車聲音強度的倍
設計意圖：設置了6個練習題目，難度由低到高，幫助學生理解本節課所學的內容，提高學生對于新學知識的靈活應用能力，培養學生的應用意識.
（五）總結歸納
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
1.能否用科學記數法表示絕對值小于1的數？
2.對于絕對值小于1的數，0的個數與用科學記數法表示的10的指數有什么關系？
3.用科學記數法表示絕對值小于1的數的一般步驟是什么？
設計意圖：先拋出幾個問題，讓學生回顧本節課所學的內容，再加以梳理，加深學生對本節課所學內容的印象和理解，進一步鞏固所學知識.第8章 整式乘法與因式分解
8.1.3 同底數冪的除法
第2課時
1.通過同底數冪相除的運算性質，探究零次冪、負整數次冪的意義及運算方法；
2.理解并掌握零次冪與負整數次冪有意義的條件，能把負整數次冪轉化成正整數次冪；
3.通過探索，讓學生體會從特殊到一般的研究方法，感受數學各部分知識間的聯系，提高學生對所學知識的應用能力.
重點：掌握零次冪和負整數次冪的運算法則．
難點：能利用零次冪和負整數次冪的運算法則進行計算．
（一）創設情境
回顧：同底數冪相除的運算法則是什么？
預設答案：(，都是正整數，且).
思考：我們已經得到了當時，的運算性質，那么當時（都是正整數），（）又如何計算呢？
設計意圖：通過回顧前面所學的運算法則及限制條件，提出問題，引發學生的思考，加深所學知識間的聯系.
（二）探究新知
任務一：零次冪
探究：當被除式的指數等于除式的指數（即）時，計算下列式子的結果，看看能得到什么 ？
（1）；（2）；（3）.
師生活動：小組合作：
1.先獨立思考，嘗試用不同的方法計算；
2.觀察得到的結果，與組內同學交流你的發現；
3.組內合作，總結發現的規律.
設計意圖：通過讓學生相互討論，訓練學生們的合作能力和探索能力，培養學生類比推理、歸納總結的意識，加深學生對所學知識的印象.
探究：計算：（1）；（2）；（3）.
總結：零次冪：
我們約定：().
任何一個不等于零的零次冪都等于1.
示例：
，，，
設計意圖：通過讓學生親自動手運算和與同學之間合作探討，體會發現結論的過程，加深學生對所學運算法則的印象，為后期靈活應用奠定基礎.
任務二：負整數次冪
探究：當被除式的指數小于除式的指數（即）時，計算下列式子的結果，看看能得到什么？
（1）；（2）；（3）.
師生活動：小組合作：
1.先獨立思考，嘗試用不同的方法計算；
2.觀察得到的結果，與組內同學交流你的發現；
3.組內合作，總結發現的規律.
設計意圖：通過讓學生相互討論，訓練學生們的合作能力和探索能力，培養學生類比推理、歸納總結的意識，加深學生對所學知識的印象.
探究：計算：（1）；（2）；（3）.
總結：負整數次冪：
一般地，我們約定：(，是正整數).
任何一個不等于零的數的(是正整數)次冪，等于這個數的次冪的倒數.
示例：
，，，
拓展：有了上述約定，我們再遇到計算時，就不必限制了，這樣，冪指數的范圍就從全體正整數擴充到全體整數.
即：(是正整數).
設計意圖：通過讓學生親自動手運算和與同學之間合作探討，體會發現結論的過程，加深學生對所學運算法則的印象，為后期靈活應用奠定基礎.
（三）應用舉例
例1.計算：
； ； .
分析：根據同底數冪的除法法則、零次冪和負整數次冪的運算法則計算即可.
解：
.
.
例2.下列運算正確的是（ ）
. .
. .
分析：直接利用同底數冪的乘法以及合并同類項法則、零指數冪的性質、負整數指數冪的性質分別化簡得出答案．
解：.，故此選項錯誤；
.，故此選項錯誤；
.，正確；
.，故此選項錯誤.
答案：
例3.計算：.
分析：利用負整數次冪、零次冪、絕對值和乘方的運算法則進行運算即可．
解：
設計意圖：通過3個例題，練習了零次冪和負整數次冪的運算，加深學生對所學知識的印象，提高學生的應用能力和計算能力.
（四）課堂練習
1.小馬虎在下面的計算中只做對了一道題，他做對的題目是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
2.計算：．
【解析】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式利用絕對值的意義，立方根定義，以及零指數冪計算即可求出值．
解：原式，
．
3.計算：．
解：原式．
4.計算：．
【解析】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算．首先計算絕對值，次冪，負指數次冪，然后進行有理數的加減運算即可．
解：原式．
5.若，且，求的值．
解： 由題意得，，所以，則．
因為，所以故．
6.若，，，，則，，，之間的大小關系是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】本題考查了負整數指數冪和零指數冪，屬于基礎題．根據負整數指數冪和零指數冪的相關法則，可得出結果．
解：，，，，
故，
答案：D．
設計意圖：設置了6個練習題目，難度由低到高，幫助學生理解本節課所學的內容，提高學生對于新學知識的靈活應用能力，培養學生的應用意識.
（五）總結歸納
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
1.零次冪該如何計算？
2.負整數次冪該如何計算？
設計意圖：先拋出幾個問題，讓學生回顧本節課所學的內容，再加以梳理，加深學生對本節課所學內容的印象和理解，進一步鞏固所學知識.

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