資源簡介

第三章 概率初步
2 頻率的穩定性
第2課時
一、教學目標
1.通過擲硬幣活動，經歷猜測、試驗、收集數據、分析試驗結果等過程，初步體會頻率與概率的關系；
2.進一步體會試驗次數較大時，頻率具有穩定性；
3.理解并掌握用頻率來估計概率的方法；
4.學會根據問題的特點，用統計來估計事件發生的概率，培養學生分析問題、解決問題的能力.
二、教學重難點
重點：進一步體會試驗次數較大時，頻率具有穩定性.
難點：理解并掌握用頻率來估計概率的方法.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
【情境導入】
教師活動：教師出示問題，引發學生思考.
師：拋擲一枚質地均勻的硬幣，硬幣落下后，會出現兩種情況：
提問：你認為正面朝上和正面朝下的可能性相同嗎？
預設答案：相同.
師：通過試驗趕快驗證一下吧！
設計意圖：通過拋硬幣的實際情境，引發學生思考并猜想，激發學生的探索欲，為學習本節課知識做鋪墊.
環節二 探究新知
【操作思考】
拋擲一枚硬幣，你認為正面朝上和正面朝下的可能性相同嗎？
(1)兩人一組做20次擲硬幣的游戲，并將數據記錄在下表中：
樣例數據：
教師帶領學生回憶頻率的含義：在n次重復試驗中，不確定事件A發生了m次，則比值稱為事件A發生的頻率.
提問：
通過試驗，與你們的猜想一致嗎？
預設答案：
有點不太一樣呢，可能試驗次數有點少，我們把全班同學的試驗結果匯總一下看看吧！
總結全班的試驗結果，匯總在表格中.
(2)累計全班同學的試驗結果，并將試驗數據匯總填入下表：
樣例數據：
設計意圖：經歷猜測、試驗、收集數據、分析試驗結果等過程，進一步體會頻率與概率的關系.
(3)根據上表，完成下面的折線統計圖：
教師根據表中數據繪制統計圖并全班交流.
(4)根據下面的折線統計圖，你發現了什么規律？
預設答案：
當試驗的次數較少時，折線在“0.5水平直線”的上下擺動的幅度較大.
隨著試驗的次數的增加，折線在“0.5水平直線”的上下擺動的幅度會逐漸變小.
設計意圖：通過繪制統計圖，觀察統計圖中的變化趨勢，理解頻率與概率之間的關系.
下表列出了一些歷史上的數學家所做的擲硬幣實驗的數據：
提問：表中的數據支持你發現的規律嗎？
預設答案：
試驗次數很大時，頻率穩定在0.5左右. 表中的數據支持所發現的規律.
【拓展】
第一個從理論上證明頻率具有穩定性這一規律的是數學家雅科布·伯努利(Jakob Bernoulli，1654-1705).
伯努利用大數定理以嚴格的數學形式表達了頻率的穩定性，即當試驗次數n很大時，事件發生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.根據實際推斷原理，在實際應用中，當試驗次數n很大時，就可以用事件發生的頻率來估計事件發生的概率.
事件A發生的概率P(A)，刻畫了事件A發生的可能性的大小. P(A)越大，事件A發生的可能性也越大，
P(A)越小，事件A發生的可能性也越小.
頻率與概率既有密切的聯系，又有本質的差別.
概率是隨機事件的本質屬性，
頻率是隨機事件在試驗中的統計結果.
設計意圖：通過拓展知識，加深學生對知識的理解與掌握，拓寬學生的知識面.
【歸納】
頻率的穩定性：
無論是擲質地均勻的硬幣還是擲圖釘，在試驗次數很大時正面朝上(釘尖朝上)的頻率都會在一個常數附近擺動，這就是頻率的穩定性.
由于事件A發生的頻率，表示該事件發生的頻繁程度，頻率越大，事件A發生越頻繁，這就意味著事件A發生的可能性也越大，因而，我們就用這個常數來表示事件A發生的可能性大小.
概率：
我們把刻畫事件A發生的可能性大小的數值，稱為事件A發生的概率，記為P(A).
一般地，大量重復的試驗中，我們常用隨機事件A發生的頻率來估計事件A發生的概率.
設計意圖：通過總結概括，培養學生語言組織與概括的能力，加深對知識的理解與掌握.
【嘗試思考】
事件A發生的概率P(A)的取值范圍是什么？必然事件發生的概率是多少？不可能事件發生的概率又是多少
預設答案：
若A是必然事件，則事件A發生的次數m＝n，所以，因此P(A)＝1，即必然事件發生的概率為1.
若A是不可能事件，則事件A發生的次數m＝0，所以，因此P(A)＝0，即不可能事件發生的概率為0.
【歸納】
必然事件發生的概率為1；
不可能事件發生的概率為0；
隨機事件A發生的概率P(A)是0與1之間的一個常數.
設計意圖：通過頻率與概率的知識，歸納總結確定事件、不可能事件及隨機事件的概率，為解決實際問題奠定理論基礎.
【思考交流】
(1)小明做了4次拋瓶蓋的試驗，其中有3次蓋口向上，由此，他估計蓋口向上的概率是，你同意他的想法嗎 與同伴進行交流.
預設答案：
不同意.
因為概率是針對大量試驗而言的，大量試驗中存在的規律并不一定在一次試驗中存在.
(2)擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率是，那么，擲10次硬幣定會有5次正面朝上嗎 如何理解正面朝上的概率是 與同伴進行交流.
預設答案：
不會.
因為概率是針對大量試驗而言的，當試驗的次數越來越大時，正面朝上的頻率會穩定到.
【回顧反思】
回顧你做過的拋瓶蓋和擲硬幣試驗，你對事件發生的頻率與概率的關系有怎樣的理解
預設答案：頻率是概率的一個近似值，而概率是頻率的長期穩定值.
環節三 應用新知
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
【典型例題】
例1 對某批乒乓球的質量進行隨機抽查，結果如下表所示：
(1) 完成上表；
(2)根據上表，在這批乒乓球中任取一個，它為優等品的概率大約是多少？
(3)如果重新再抽取1000個乒乓球進行質量檢查，對比上表記錄下數據，兩表的結果會一樣嗎？為什么？
答案：
(1)
(2)在這批乒乓球中任取一個，它為優等品的概率大約是0.825.
(3)不一樣，因為隨機事件在一次試驗中發生與否是不確定的，所以如果再抽取1000個乒乓球進行質量檢查，記錄下來的數據一般是不同的.
例2 小凡做了5次拋擲均勻硬幣的試驗，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他認為正面朝上的概率約為，正面朝下的概率約為 .你同意他的觀點嗎？你認為他再多做一些試驗，結果還是這樣嗎？
答案：不同意，結果不一樣.
解析：
因為試驗的次數不多(只有5次)，此時用頻率來估計概率，其誤差一般較大，所以，認為正面朝上的可能性大約為，朝下的可能性約為是不大合適的. 由于硬幣是均勻的，所以再多做一些試驗，正面朝上的頻率和正面朝下的頻率一般會穩定在附近.
設計意圖：通過練習，讓學生掌握利用頻率估計概率的方法，提高學生應用所學知識解決實際問題的能力.
環節四 鞏固新知
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
【隨堂練習】
1.下列事件發生的可能性為0的是(　　)
A.擲兩枚骰子，同時出現數字“6”朝上
B.小明從家里到學校用了10分鐘，從學校回到家里卻用了15分鐘
C.今天是星期天，昨天必定是星期六
D.小明步行的速度是每小時40千米
答案：D
2.2025年4月30日，蘇州吳江蠶種全部發放完畢，共計發放蠶種6460張（每張上的蠶卵有200粒左右），涉及6個鎮，各鎮隨即開始孵化蠶種，小李所記錄的蠶種孵化情況如表所示，則可以估計蠶種孵化成功的概率為( )
A．0.95 B．0.9 C．0.85 D．0.8
答案：B
3.拋擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率為，那么，拋擲100次硬幣，你能保證恰好50次正面朝上嗎？
答：不能保證.
因為概率是針對大量試驗而言的，大量試驗中存在的規律并不一定在一次試驗中存在，概率是，不能保證在2次試驗中恰好發生1次，也不能保證在100次試驗中恰好發生50次，只是當試驗的次數越來越大時，正面朝上的頻率會穩定到.
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養學生獨立完成練習的習慣.
環節五 課堂小結
以思維導圖的方式呈現：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

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