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《勾股定理》全章復(fù)習(xí)與鞏固
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）
2.勾股定理的應(yīng)用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：
（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；
（3）求作長(zhǎng)度為的線段.
要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理
1.原命題與逆命題
如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：
（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；
（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.
3.勾股數(shù)
滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.
常見的勾股數(shù)：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.
觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：
1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；
2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.
3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；
聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).
【典型例題】
類型一、運(yùn)用勾股定理及逆定理求值或證明
1、已知：中，，，BC邊上的高，求BC．
舉一反三：
【變式1】已知如圖，在中，，D在CB的延長(zhǎng)線上．
求證：（1）；
若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論．
【變式2】如圖和都是等腰直角三角形，，，頂點(diǎn)在的斜邊上，求證：．
2、如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．
舉一反三：
【變式1】“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，你能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？
【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的長(zhǎng)．
類型二、勾股定理與方程思想
3、如圖，在矩形ABCD中，將沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接DE，BE，BE與CD交于點(diǎn)F．
(1)請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖，在圖中作出E，F(xiàn)的位置，并標(biāo)上字母（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
(2)連接CE，若，，求的面積．
舉一反三：
【變式1】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A－C－B－A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
(1)若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求此時(shí)t的值；
(2)若點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上，求t的值．
【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
(1)求BC邊的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；
(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．
類型三、勾股定理與折疊問題
4、如圖，由△ABC中，，，．按如圖所示方式折疊，使點(diǎn)B、C重合，折痕為DE，求出AE和AD的長(zhǎng)．
,
舉一反三：
【變式1】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，現(xiàn)將直角邊AB沿直線BD對(duì)折，使點(diǎn)A恰好落在斜邊BC上，且與重合，求BD的長(zhǎng)．
【變式2】如圖，折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，BC=10cm，AB=8cm，求EF的長(zhǎng)
類型四、勾股定理與最值問題
5、如圖，在中，，，，是上一點(diǎn)，且，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，求的最小值．
舉一反三：
【變式1】如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【變式2】閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問題：∠MBN＝30°，點(diǎn)A為射線BM上一點(diǎn)，且AB＝4，點(diǎn)C為射線BN上動(dòng)點(diǎn)，連接AC，以AC為邊在AC右側(cè)作等邊三角形ACD，連接BD．當(dāng)AC⊥BN時(shí)，求BD的長(zhǎng)．
小明發(fā)現(xiàn)：以AB為邊在左側(cè)作等邊三角形ABE，連接CE，能得到一對(duì)全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，從而將問題解決（如圖1）．
請(qǐng)回答：
(1)在圖1中，小明得到的全等三角形是△　 　≌△　 　；BD的長(zhǎng)為 　 ?。?br/>(2)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到AC時(shí)，求BD的長(zhǎng)；
(3)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，求△ABD周長(zhǎng)最小值．
類型五、勾股定理與逆定理實(shí)際運(yùn)用
6、如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留到0.1km，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）；
（2）確定C港在A港的什么方向．
舉一反三：
【變式1】小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道思考題，進(jìn)行了認(rèn)真的探索．
【思考題】如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？
（1）請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題”的解答補(bǔ)充完整：
解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1=x，
則B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程 ，
解方程得x1= ，x2= ，
∴點(diǎn)B將向外移動(dòng) 米．
（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問題：
【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會(huì)是0.9米嗎？為什么？
【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？為什么？
請(qǐng)你解答小聰提出的這兩個(gè)問題．
【變式2】如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)O處，并沿東北方向（北偏東45°），以40千米/小時(shí)的速度勻速移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，在點(diǎn)O的正東方向，距離60千米的地方有一城市A．
（1）問：A市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響，為什么？
（2）在點(diǎn)O的北偏東15°方向，距離80千米的地方還有一城市B，問：B市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響？若受到影響，請(qǐng)求出受到影響的時(shí)間；若不受到影響，請(qǐng)說明理由．
7、如圖，小明準(zhǔn)備把一支筆放入鉛筆盒，豎放時(shí)筆的頂端E比鉛筆盒的寬還要長(zhǎng)，斜著放入時(shí)筆的頂端F與鉛筆盒的邊緣距離為，求鉛筆盒的寬的長(zhǎng)度．
舉一反三：
【變式1】一艘船由港沿北偏東60°方向航線10至港，然后再沿北偏西30°方向航行10至港．
（1）求，兩港之間的距離；
（2）確定港在港的什么方向？（畫出示意圖，并解答）
【變式2】如圖，書桌上的一種新型臺(tái)歷和一塊主板AB、一個(gè)架板AC和環(huán)扣（不計(jì)寬度，記為點(diǎn)A）組成，其側(cè)面示意圖為△ABC，測(cè)得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，現(xiàn)為了書寫記事方便，須調(diào)整臺(tái)歷的擺放，移動(dòng)點(diǎn)C至C′，當(dāng)∠C′=30°時(shí)，求移動(dòng)的距離即CC′的長(zhǎng)（或用計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果取整數(shù)，其中 =1.732， =4.583）

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