資源簡介

人教A版高二下冊選擇性必修第三冊7.1.2全概率公式教學設計
課題 7.1.2 全概率公式
課型 新授課 課時 2
學習目標 1.結合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推導出全概率公式的過程; 2.理解全概率公式并會利用全概率公式計算概率; 3.了解貝葉斯公式以及其簡單應用.
學習重點 利用全概率公式計算概率，全概率公式及其應用.
學習難點 理解全概率公式:理解完備事件組的含義和作用。理解全概率公式的推導過程。 應用全概率公式:準確劃分完備事件組。選擇合適的條件概率進行計算。 解決實際問題:將實際問題抽象為概率模型。理解題意，準確設定事件和條件。
學情分析 一、學生已有知識基礎 已掌握條件概率的概念和計算方法。理解互斥事件和獨立事件的概念。具備一定的分類討論思想。 對條件概率的理解可能不夠深入，影響全概率公式的應用。對復雜事件的分析能力有限，難以準確劃分完備事件組。對公式的推導過程可能缺乏理解，導致記憶困難。 二、學生認知特點 抽象思維發展:高中生抽象邏輯思維逐漸成熟，能夠理解全概率公式的推導過程。但對公式的內涵和應用場景可能理解不夠透徹。 學習興趣:部分學生對概率的實際應用感興趣，如抽獎、天氣預報等。但可能對理論推導和公式證明缺乏耐心。 學習習慣:部分學生習慣于機械記憶公式，缺乏主動思考和探究。部分學生缺乏將數學知識應用于實際問題的意識和能力。
核心知識 全概率公式、貝葉斯公式
教學內容及教師活動設計 （含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容） 教師個人復備
環節一 創設情境，引入課題 在上節計算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時，我們首先把一個復雜事件表示為一些簡單事件運算的結果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．下面，再看一個求復雜事件概率的問題． 思考：從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．顯然，第1次摸到紅球的概率為．那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？ 因為抽簽具有公平性，所以第2次摸到紅球的概率也應該是．但是這個結果并不顯然，因為第2次摸球的結果受第1次摸球結果的影響．下面我們給出嚴格的推導． 用表示事件“第次摸到紅球”，表示事件“第次摸到藍球”，．如圖7.1-2所示， 事件可按第1次可能的摸球結果(紅球或藍球)表示為兩個互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得 ． 上述過程采用的方法是：按照某種標準，將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率． 環節二 觀察分析，感知概念 一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有 ． 我們稱上面的公式為全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率論中最基本的公式之一． 【設計意圖】通過概念辨析，讓學生深化對全概率公式的理解，并歸納總結出來全概率是用來解決“由因求果”類問題的。 例 4 某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8．計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率． 解：設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥．根據題意得 ，， 由全概率公式，得 ． 因此，王同學第2天去A餐廳用餐的概率為0.7． 【設計意圖】總結全概率公式求概率的步驟： 1.設事件：把事件B（結果事件）看作某一過程的結果,把A1,A2,…,An 看作導致結果的若干個原因； 2.寫概率：由已知，寫出每一原因發生的概率(即P(Ai )),且每一原因對結果的影響程度 (即P(B|Ai ))； 3.代公式：用全概率公式計算結果發生的概率(即P(B) ). 環節三 抽象概括，形成概念 例5 有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%． （1）任取一個零件，計算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，計算它是第i (i＝1，2，3)臺車床加工的概率． 解：設“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第臺車床加工”，則，且兩兩互斥．根據題意得 ，，， ，． 由全概率公式，得 ． （2）“如果取到的零件是次品，計算它是第臺車床加工的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件發生的概率． ． 類似地，可得 ，． 環節四 辨析理解 深化概念 思考：例5中，的實際意義是什么 是試驗之前就已知的概率，它是第臺車床加工的零件所占的比例，稱為先驗概率．當已知抽到的零件是次品(發生)，是這件次品來自第臺車床加工的可能性大小，通常稱為后驗概率．如果對加工的次品，要求操作員承擔相應的責任，那么，，就分別是第1，2，3臺車床操作員應承擔的份額． 將例5中的問題（2）一般化，可以得到貝葉斯公式． *貝葉斯公式(Bayes formula)：設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，，有 ． 貝葉斯公式是由英國數學家貝葉斯 (T. Bayes, 1702-1761)發現的，它用來描述兩個條件概率之間的關系． 標有*號的內容為選學內容，不作考試要求． 環節五 概念應用，鞏固內化 例6 在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列．由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05．假設發送信號0和1是等可能的． （1）分別求接收的信號為0和1的概率； *（2）已知接收的信號為0，求發送的信號是1的概率． 分析：設“發送的信號為0”，“接收到的信號為0”．為便于求解，我們可將題目中所包含的各種信息用圖7.1-4直觀表示． 解：設“發送的信號為0”，“接收到的信號為0”，則“發送的信號為1”，“接收到的信號為1”．由題意得 ，，， ，． （1） ，． （2）． 環節六 歸納總結,反思提升 1.教師可以設置以下問題讓學生思考： (1)全概率公式中將樣本空間分拆成若干個兩兩互斥的事件的并集的作用是什么？ (2)應用全概率公式計算概率的步驟是什么？ (3)條件概率與貝葉斯公式有什么聯系？ 2.本節課學習的概念有哪些？ (1)全概率公式． (2)貝葉斯公式． 3.在解決問題時，用到了哪些數學思想？ 方法歸納：化整為零、轉化化歸． 常見誤區：事件拆分不合理或不全面． 課堂練習： 1、設1 000件產品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取兩件產品,則第二次抽到的是不合格品的概率為（ A ） A. 0.2 B. 0.8 C. 0.25 D. 0.75 2．某小組有20名射手，其中1，2，3，4級射手分別為2，6，9，3名.又若選1，2，3，4級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85，0.64，0.45，0.32，今隨機選一人參加比賽，則該小組比賽中射中目標的概率為( C ) A. 0.285 B.0.3625 C.0.5275 D. 0.5 3．設某工廠有兩個車間生產同型號家用電器,第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品率為0.12,兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫,假設第1,2車間生產的成品比例為2∶3,今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產品,則該產品合格的概率為(　C　) A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88 學生思考問題，引出本節新課內容. 設置問題情境，激發學生學習興趣，并引出本節新課. 學生根據情境問題，探究全概率公式與貝葉斯公式. 利用情境問題，探究全概率公式與貝葉斯公式，培養學生探索的精神. 利用例題引導學生掌握并靈活運用全概率公式與貝葉斯公式解決實際相關計算問題. 加深學生對基礎知識的掌握，并能夠靈活運用基礎知識解決具體問題. 【設計意圖】讓學生親身經歷了從特殊到一般，結合集合，獲得全概率概念與公式的過程，同時發展學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。 分析：取到的零件可能來自第1臺車床，也可能來自第2臺或第3臺車床，有3種可能．設“任取一零件為次品”，“零件為第 i臺車床加工”，如圖7.1-3所示，可將事件B表示為3個兩兩互斥事件的并，利用全概率公式可以計算出事件B的概率． 【設計意圖】會利用全概率公式求概率，培養學生分析問題、利用已學知識解決問題的能力。 【設計意圖】讓學生理解貝葉斯公式是解決“執果尋因”類的問題，并理解其推導過程，培養學生分析問題的能力。 【設計意圖】通過練習，鞏固本節所學知識，培養學生學以致用、解決問題的能力，提高學生的數學運算、邏輯推理等能力，發展學生直觀想象、數學建模的核心素養。 【設計意圖】通過問題設計，讓學生歸納總結本節課學 習的內容. 通過課堂練習，檢驗學生對本節課知識點的掌握程度，同時加深學生對本節課知識點的掌握及運用. 通過練習，鞏固基礎知識，發散學生思維，培養學生思維的嚴謹性和對數學的探索精神.
板書設計 §7.1.2 全概率公式 一、新知導入 三、例題講解 二、新知講解 四、課堂練習 1.全概率公式 五、拓展提高 2.貝葉斯公式 六、課堂總結 七、作業布置
作業設計 教材第53頁習題7.1第5,7,8題. 【設計意圖】讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高學以致用、解決問題的能力。
教學反思 注重概念理解:具體例子和直觀圖示幫助學生理解全概率公式。引導學生理解完備事件組的含義和作用。 加強公式應用:設計層次遞進的練習題，幫助學生掌握公式應用。引導學生總結不同類型題目的解題思路。 聯系實際生活:選擇貼近學生生活的例子，激發學習興趣。引導學生運用全概率公式解決實際問題。 培養數學思維:鼓勵學生獨立思考，探究全概率公式的本質。引導學生體會數學的嚴謹性和邏輯性。 在講解全概率公式之前，可以先復習條件概率和完備事件組的概念。通過具體的例子，引導學生理解全概率公式的推導過程和應用場景。設計不同類型的練習題，幫助學生掌握全概率公式的應用。鼓勵學生將全概率公式應用于實際問題，提高解決問題的能力。 例如:可以使用抽獎、天氣預報等生活中的例子來講解全概率公式。可以設計一些與生活相關的練習題，例如計算某種疾病的患病率、某種產品的合格率等。可以引導學生利用全概率公式解決一些實際問題，例如預測天氣、評估風險等。
　　

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