資源簡介

(共36張PPT)
第7單元 第3課
不走重復的路徑
（湘科版）五年級
下
1
核心素養目標
3
新知講解
5
拓展延伸
7
板書設計
2
新知導入
4
課堂練習
6
課堂總結
課后作業
8
01
核心素養目標
信息意識
計算思維
數字化學習與創新
信息社會責任
理解在信息化社會中，運用圖論解決問題時可能涉及的隱私和安全問題，能夠在團隊中有效溝通、合作。
使用圖論解決跨學科問題的創新意識，通過編程工具或軟件模擬一筆畫問題，鍛煉動手能力和解決實際問題的能力。
學會使用歐拉定理判斷一筆畫的可能性，以及設計尋找一筆畫路徑的簡單算法，增強邏輯推理能力。
掌握什么是一筆畫，以及歐拉路徑基本性質，能夠從現實問題中識別出適用一筆畫問題的場景，并用圖表示出來。
02
新知導入
活動背景
快遞員除了為小區提供派送服務，還要上門攬收居民發往全國的快遞。這些居民位于不同的街道，為了提高效率，能否一次性攬收這些貨而不走重復路(一筆畫)呢？
02
新知導入
活動目標
1、了解一筆畫的基本定義。
2、了解一筆畫的判斷方法。
02
新知導入
03
新知講解
一、一筆畫的界定
圖形中包含線條和交點。連通圖是指從圖形中任意一個交點，可以到達其他所有交點。連通圖是一筆畫圖形的基本前提。
03
新知講解
在連通圖中實現一筆畫有兩個要求：第一，畫筆要經歷所有的路線和交叉點；第二，同一條線路只能走一次，不能重復。
03
新知講解
下面的圖形中，哪些是一筆畫圖形，哪些不是？是一筆畫圖形的打“√”，不是的打“×”。
探究實踐
（ ） （ ） （ ）
√
×
√
03
新知講解
二、一筆畫圖形的判斷
一筆畫的判斷條件
通過嘗試可以發現，不是所有的圖形都能實現一筆畫。在一筆畫圖形中，交點匯聚的線條數分奇數與偶數兩種;由奇數線條連接的點稱為奇點由偶數線條連接的點稱為偶點。
03
新知講解
18世紀初，德國哥尼斯堡的公園里有七座橋，它們將河中兩個島嶼與河岸連接起來。有人提出了一個具有挑戰性的任務：一次走過所有橋，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。
信息鏈接
03
新知講解
著名數學家歐拉在挑戰此任務時，將地圖上的四個區域簡化為四個點，七座橋則畫作七條線段，從而把問題轉化為“是否可以通過一筆畫出這個圖形”。
03
新知講解
經過思考，歐拉認為這是不可能的。不僅如此，歐拉還得出了一筆畫的判斷條件。將原本需要窮舉所有可能性的算法換成只需判斷奇點個數的算法，快速得出結論，圓滿地解答了這個難題。
03
新知講解
歐拉開創了數學的一個新分支——圖論。圖論在計算機科學領域有著廣泛的應用。
03
新知講解
滿足以下兩個條件之一的連通圖可以實現一筆畫：
1、全部由偶點組成的連通圖。以任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。
2、只有兩個奇點，其余都為偶點的連通圖。必須以一個奇點為起點，另一個奇點則是終點。
03
新知講解
歐拉解決了一筆畫的問題，因此，能夠一筆畫成的圖形也被稱作歐拉圖。
03
新知講解
判斷一筆畫的方法
（1）找出圖形的交叉點，并數一數其包含的交叉線。
03
新知講解
（2）判斷各交叉點的類型，并用不同符號、顏色等方式區分結果。
03
新知講解
（3）統計奇點和偶點的總數，判斷該圖形是否可以一筆畫成，并指出筆畫的起點和終點。
03
新知講解
1、在下列圖中分別以每個交叉點作為起點，嘗試一筆畫繪制，并記錄能完成一筆畫的起點。
探究實踐
5
0
0
4
4
4
否
否
否
否
是
是
無
所有頂點
所有頂點
無
無
無
04
課堂練習
一、選擇題
下面關于“一筆畫”的描述，正確的是？（ ）
A. 任何圖形都能一筆畫成 B. 只有線條交叉點全是偶點的圖形才能一筆畫
C. 連通圖是判斷一筆畫的前提條件 D. 一筆畫必須從偶點開始
2、如果一個連通圖有4個奇點，這個圖形能否一筆畫成？（ ）
A. 能，從任意點開始 B. 不能
C. 能，但需要分兩次畫 D. 能，但必須從奇點開始
3、數學家歐拉解決“七橋問題”時，將問題轉化為什么數學問題？（ ）
A. 計算面積 B. 判斷一筆畫的可能性
C. 測量距離 D. 統計橋的數量
C
B
B
04
課堂練習
4、一個連通圖有2個奇點，其余是偶點，畫一筆畫時應從（ ）開始。
A. 偶點 B. 奇點
C. 任意點 D. 終點
5、如果快遞員想一次性走完所有路線且不重復，他需要解決的問題類似于（ ）。
A. 計算最短路徑
B. 判斷一筆畫的可能性
C. 測量街道長度
D. 統計包裹數量
二、判斷題
如果一個圖形有2個奇點，必須從一個奇點開始，另一個奇點結束。（ ）。
B
√
B
04
課堂練習
三、操作題
畫一個能一筆畫成且起點和終點相同的圖形（至少4個交點），并標出所有偶點。
答案示例：正方形四個頂點為○，四條邊連接成環。
05
拓展延伸
中國郵遞員問題
郵遞員每天從郵局出發，走遍該地區所有街道再返回郵局，他應如何安排送信的路線讓總路程最短呢？這個問題由中國學者管梅谷在——奇偶點圖1960年首先提出，并給出了解法上作業法，被國際上統稱為“中國郵遞員問題”。
對于該問題，如果郵遞員可以從郵局出發，走遍每條街道且不走重復路，最后回到郵局，這樣的路線一定是距離最短的。這種解決問題的思路與我們熟悉的一筆畫非常相似。
05
拓展延伸
紅綠燈的秘密任務
十字路口的紅綠燈通過控制車流方向，避免車輛路線交叉堵塞，就像圖論中通過調整路徑順序解決沖突問題。
05
拓展延伸
小蜜蜂的采蜜路線
蜜蜂在花叢間飛行采蜜時，會本能地選擇最短且不重復的路線，這種生物智慧啟發科學家研究路徑優化算法。
05
拓展延伸
地鐵線路圖的設計藝術
地鐵線路圖用不同顏色區分路線，雖然實際軌道復雜，但設計師通過簡化交叉點讓乘客輕松看懂換乘路徑。
05
拓展延伸
星座連線的數學原理
古人用線段連接星星形成星座圖案，若用一筆畫規則檢驗，會發現大熊座（北斗七星）的連線需要兩次才能畫完。
05
拓展延伸
單元回顧
05
拓展延伸
交流評價
1、同學之間相互交流，分享各自的收獲。
2、評一評，畫一畫。(最高為5顆★)
06
課堂總結
1
引入新知內容
不走重復的路徑
2
一筆畫的界定
3
一筆畫圖形的判斷
4
完成課堂練習
5
進行相關知識拓展
1
2
3
4
5
07
板書設計
不走重復的路徑
1、進行新知引入
2、一筆畫的界定
3、一筆畫圖形的判斷
4、完成課堂練習
5、進行知識拓展
課后作業。
1、下面的圖形中，哪些是一筆畫圖形，哪些不是？
08
課后作業
1、下面的圖形中，哪些是一筆畫圖形，哪些不是？是一筆畫圖形的打“√”，不是的打“×”。
√
×
√
×
×
08
課后作業
2、如果允許在七橋問題中再架一座橋，使游人能夠不重復地走遍這八座橋，不要求回到起點，橋應該架在哪里 如果允許去掉七橋問題中的一座或幾座橋，應該削減成幾座橋才可以使游人不重復地走遍保留下來的橋？
（1）添加一座橋：橋應架在 任意一對未直接相連的頂點之間 （如A-C或B-D）。
（2） 需移除的橋數量： 移除2座橋 （如A-B和C-D），使所有頂點為偶度數，形成歐拉回路。
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