資源簡介

18.2.3 正方形
教學目標：
1．掌握正方形的概念、性質和判定，并會用它們進行有關的論證和計算．
2．理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯系和區別，掌握正方形的性質、判定的應用方法.進一步體會特殊與一般的關系．
3.經歷探索正方形有關性質、判定條件的過程，在觀察中尋求新知，在探究中發展推理能力，逐步掌握說理的基本方法.
4.培養合情推理能力和探究習慣，體會平面幾何的內在價值.
教學重點： 正方形的性質與判定
教學難點：掌握正方形的性質、判定的應用方法.
教學方法：講練結合
教具準備：三角板、PPT
教學過程
導入新課
復習回顧
觀察圖片，回答問題：
上述圖片中的四邊形都是特殊的平行四邊形，除菱形、矩形外，還有一種特殊的平行四邊形，你知道是什么圖形嗎？
講授新課
合作探究
問題1 矩形經過怎樣的變化就成為了正方形呢？
問題2 菱形經過怎樣的變化就成為了正方形呢？
定義：有一組鄰邊相等,且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.
正方形也是軸對稱圖形，它有四條對稱軸：兩條對角線和每組對邊中點連線所在直線.
問題3 結合下圖，談談正方形與平行四邊形、矩形和菱形的關系.
知識歸納：
正方形既是矩形,又是菱形,它具有平行四邊形、矩形和菱形的一切性質.
正方形的性質1:正方形的四個角都是直角,四條邊都相等.
正方形的性質2:正方形的對角線相等且互相垂直平分.
正方形的性質3:既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.
想一想：我們之前是怎樣判定矩形和菱形的？
典型例題
例1 求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．
已知，如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC，BD相較于點O.
求證：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 已知：如圖所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,DE∥AC,交AB于點E,DF∥AB,交AC于點F.
求證：四邊形AEDF是菱形.
證明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四邊形AEDF是平行四邊形.
∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.
∴AE=DE.
∴四邊形AEDF是菱形.
小試牛刀：
下列條件中，能判定四邊形是菱形的是(　D　)
A. 對角線互相垂直 B. 對角線互相平分
C. 對角線相等 D. 對角線互相垂直平分
課堂練習
1.如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加下列條件不能判定 ABCD是菱形的只有(　　)
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
答案：C
2.如圖所示,小紅在作線段AB的垂直平分線時,是這樣操作的:分別以點A,B為圓心,大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧,兩弧相交于點C,D,則直線CD即為所求.連接AC,BC,AD,BD,根據她的作圖方法可知,四邊形ADBC一定是(　　)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
答案：B
3.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長BC到E，使CE=AC，連接AE，交CD于F，求∠AFC的度數.
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD， ∠BCD= ∠DCE=90°.
∴ ∠ACB=45°.
∵CE=AC， ∠CAE+ ∠E= ∠ACB，
∴ ∠E=22.5°，
∴ ∠AFC= ∠DCE+ ∠E=90°+22.5°=112.5°.
4.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
(1)求證：AF=DC；
(2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，說明理由．
解：(1)證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE,
∵E是AD的中點，∴AE=DE，
∴△AFE≌△DBE.
∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，
∴AF=BD，∴AF=DC．
(2)解：四邊形ADCF是菱形，理由如下：
由(1)知AF∥BC，AF=DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，
∴AD= BC=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形．
課堂小結
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