資源簡介

六年級數學下冊小升初《因數和倍數》講義
一、考點歸納
（一）因數和倍數
定義：在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數和商的倍數，除數和商是被除數的因數。例如，在這個式子中，是和的倍數，和是的因數，因數和倍數是相互依存的關系。
特點：一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是，最大的因數是它本身；一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
（二）2、3、5的倍數的特征
2的倍數：個位上是、、、、的整數，都能被整除，例如、等。
5的倍數：個位上是或的整數，都能被整除，例如、等。
3的倍數：一個數各位上的數字之和是的倍數，這個數就能被整除。比如，各位數字之和為，是的倍數，所以是的倍數。
（三）奇數和偶數
1.定義：整數中，是的倍數的數叫做偶數（也是偶數），不是的倍數的數叫做奇數。
2.運算規律：
奇數 + 奇數 = 偶數，例如；
奇數 + 偶數 = 奇數，例如；
偶數 + 偶數 = 偶數，例如。
（四）質數和合數
質數：一個大于的自然數，如果只有和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。最小的質數是。
合數：一個大于的自然數，如果除了和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。最小的合數是。
特殊情況：既不是質數，也不是合數。
（五）最大公因數和最小公倍數
最大公因數：幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數。例如，的因數有、、、、、，的因數有、、、、、，和的公因數有、、、，最大公因數是。
最小公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數。例如，的倍數有、、、、……，的倍數有、、、……，和的公倍數有、……，最小公倍數是。
二、考點剖析
（一）考點1：因數和倍數
1.找因數的方法：
列乘法算式：例如找的因數，因為，，，所以的因數有、、、、、。
列除法算式：用分別除以從開始的自然數，能整除的除數和商就是的因數。
找倍數的方法：用這個數分別乘、、……，所得的積就是這個數的倍數。例如的倍數有，，……
（二）考點2：2、3、5的倍數的特征
判斷方法：
對于和的倍數，直接看個位數字即可。
對于的倍數，要計算各位數字之和。例如判斷是否是的倍數，計算，是的倍數，所以是的倍數。
綜合應用：一個數同時是和的倍數，個位數字一定是；一個數同時是、、的倍數，個位數字是且各位數字之和是的倍數。
（三）考點3：奇數和偶數
運算性質拓展：
奇數 - 奇數 = 偶數，例如；
奇數 - 偶數 = 奇數，例如；
偶數 - 偶數 = 偶數，例如；
奇數×奇數 = 奇數，例如；
奇數×偶數 = 偶數，例如；
偶數×偶數 = 偶數，例如。
應用場景：在一些實際問題中，如分配物品、排列順序等，會用到奇數和偶數的性質來判斷是否可行。
（四）考點4：質數和合數
判斷方法：可以通過試除法，用小于這個數的質數（從開始）去除這個數，如果能整除，則這個數是合數，否則是質數。例如判斷，從開始試除，、、、、、、都不能整除，所以是質數。
質數與合數的關系：除以外的質數都是奇數，但奇數不一定是質數；合數不一定是偶數，但除以外的偶數都是合數。
（五）考點5：最大公因數和最小公倍數
求最大公因數的方法：
列舉法：分別列出兩個數的因數，找出它們的公因數和最大公因數。
分解質因數法：把兩個數分解質因數，然后找出它們公有的質因數，將公有的質因數相乘，所得的積就是最大公因數。例如，，公有的質因數是和，最大公因數是。
短除法：用短除法分別對兩個數進行分解，直到所得的商互質，然后把除數相乘，得到最大公因數。
求最小公倍數的方法：
列舉法：分別列出兩個數的倍數，找出它們的公倍數和最小公倍數。
分解質因數法：把兩個數分解質因數，然后找出它們公有的質因數和各自獨有的質因數，將公有的質因數和各自獨有的質因數相乘，所得的積就是最小公倍數。例如，，公有的質因數是和，獨有的質因數是，獨有的質因數是，最小公倍數是。
短除法：用短除法分別對兩個數進行分解，直到所得的商互質，然后把除數和最后的商相乘，得到最小公倍數。
三、過關訓練
（一）基礎題
的因數有（ ），其中質數有（ ），合數有（ ），奇數有（ ），偶數有（ ）。
解析：通過列乘法算式，，，，可找出的因數為、、、、、、、。再根據質數、合數、奇數、偶數的定義進行分類。
在這些自然數中，同時是和的倍數的數有（ ），同時是、、的倍數的數有（ ）。
解析：先求出和的最小公倍數為，在中找的倍數；再求出、、的最小公倍數為，在中找的倍數。
幼兒園老師給小朋友分糖果，若每人分顆，則多顆；若每人分顆，則少顆。請問有多少個小朋友？一共有多少顆糖果？
解析：這是一個盈虧問題，可通過設未知數，利用糖果總數不變列方程求解。設小朋友有個，根據兩種分法糖果總數相等可列方程。
把一張長厘米，寬厘米的長方形紙剪成若干個同樣大小的正方形，且沒有剩余，正方形的邊長最大是多少厘米？可以剪成多少個這樣的正方形？
解析：求正方形的邊長最大是多少，就是求和的最大公因數；再用長方形紙的面積除以正方形的面積，得到正方形的個數。
（二）進階題
五年級學生參加植樹活動，人數在和人之間，如果分成人一組，人一組，人一組或人一組，都恰好分完。五年級參加植樹活動的學生有多少人？
解析：先求出、、、的最小公倍數，然后在和之間找這個最小公倍數的倍數。
有一包糖果，無論是平均分給個人，還是個人，都正好剩塊；如果平均分給個人，那么正好分完。這包糖果至少有多少塊？
解析：先求出和的最小公倍數，然后在此基礎上找出滿足除以整除且余數為的數。
小明家的客廳地面是一個長分米，寬分米的長方形。如果要用邊長是整數分米的正方形地磚把客廳地面鋪滿（使用的地磚必須都是整塊），可以選擇邊長是幾分米的地磚？邊長最大是幾分米？
解析：可以選擇的地磚邊長是和的公因數，邊長最大就是和的最大公因數。
兩個自然數的和是，它們的最大公因數是，這兩個自然數分別是多少？
解析：設這兩個數分別為和（、互質），根據兩數和為列出方程，化簡后求解和的值。

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