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五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《公因數(shù)與最大公因數(shù)的應(yīng)用》講義
一、考點(diǎn)梳理
（一）公因數(shù)與最大公因數(shù)定義
★公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。例如，8 的因數(shù)有 1、2、4、8，12 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、12，那么 8 和 12 公有的因數(shù) 1、2、4 就是它們的公因數(shù)。
★最大公因數(shù)：公因數(shù)中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。如 8 和 12 的最大公因數(shù)是 4。
（二）求最大公因數(shù)的方法
★列舉法：分別列出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)，再找出它們的公因數(shù)，最后確定最大公因數(shù)。例如求 16 和 24 的最大公因數(shù)，16 的因數(shù)有 1、2、4、8、16，24 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、8、12、24，它們的公因數(shù)有 1、2、4、8，所以最大公因數(shù)是 8。
★分解質(zhì)因數(shù)法：把每個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來(lái)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。比如，16 = 2×2×2×2，24 = 2×2×2×3，公有質(zhì)因數(shù)為 2、2、2，那么 16 和 24 的最大公因數(shù)就是 2×2×2 = 8。
★短除法：先用這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質(zhì)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。
（三）最大公因數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景
在生活中，涉及將物品等分成若干相同部分，或者將大的物體分割成小的相同物體時(shí)，常常會(huì)用到最大公因數(shù)的知識(shí)。比如裁剪布料、切割木板、分配物品、搭建模型等問(wèn)題。
二、重點(diǎn)題型解析
例 1：裁剪布料問(wèn)題
有一塊長(zhǎng) 48 分米、寬 36 分米的布料，要把它剪成同樣大小的正方形布料，且沒(méi)有剩余，正方形布料的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少分米？
【解題思路】
要把長(zhǎng)方形布料剪成同樣大小的正方形且沒(méi)有剩余，那么正方形的邊長(zhǎng)必須是 48 和 36 的公因數(shù)。題目要求正方形布料的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，就是求 48 和 36 的最大公因數(shù)。
方法一：列舉法。48 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。它們的公因數(shù)有 1、2、3、4、6、12，所以最大公因數(shù)是 12，即正方形布料的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是 12 分米。
方法二：分解質(zhì)因數(shù)法。48 = 2×2×2×2×3，36 = 2×2×3×3，公有質(zhì)因數(shù)為 2、2、3，最大公因數(shù)為 2×2×3 = 12。
方法三：短除法。用短除法對(duì) 48 和 36 進(jìn)行計(jì)算，除數(shù)依次為 2、2、3，將除數(shù)相乘 2×2×3 = 12，得出最大公因數(shù)是 12。
例 2：分配物品問(wèn)題
把 42 本故事書和 30 本科技書平均分給若干個(gè)小組，使每組中故事書的本數(shù)相同，科技書的本數(shù)也相同，最多可以分給幾個(gè)小組？每個(gè)小組分得故事書和科技書各多少本？
【解題思路】
要使每組中故事書和科技書的本數(shù)分別相同，那么小組數(shù)就是 42 和 30 的公因數(shù)，要求最多可以分給幾個(gè)小組，就是求 42 和 30 的最大公因數(shù)。
通過(guò)短除法，用 2 和 3 依次去除 42 和 30，可得最大公因數(shù)為 2×3 = 6，即最多可以分給 6 個(gè)小組。
42÷6 = 7（本），每個(gè)小組分得故事書 7 本；30÷6 = 5（本），每個(gè)小組分得科技書 5 本 。
三、鞏固練習(xí)
（一）基礎(chǔ)題
有兩根彩帶，一根長(zhǎng) 21 厘米，另一根長(zhǎng) 28 厘米。現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不許有剩余，每小段最長(zhǎng)是多少厘米？一共可以截成多少段？
【分析】本題考查最大公因數(shù)在切割彩帶問(wèn)題中的應(yīng)用，需先求出 21 和 28 的最大公因數(shù)，進(jìn)而得出每小段的長(zhǎng)度和總段數(shù)。
手工課上，老師把 36 張紅紙和 45 張藍(lán)紙平均分給若干個(gè)小組，每個(gè)小組得到的紅紙和藍(lán)紙數(shù)量分別相同，最多能分給幾個(gè)小組？每個(gè)小組分得紅紙和藍(lán)紙各多少?gòu)垼?br/>【分析】該題要求將兩種顏色的紙平均分配，實(shí)際是求 36 和 45 的最大公因數(shù)，從而確定小組數(shù)以及每個(gè)小組分得的紙張數(shù)。
（二）進(jìn)階題
把一個(gè)長(zhǎng) 56 厘米、寬 42 厘米的長(zhǎng)方形鐵片，剪成邊長(zhǎng)是整厘米數(shù)，且面積相等的小正方形鐵片，恰好沒(méi)有剩余，至少可以剪成多少塊？
【分析】要使剪成的小正方形數(shù)量最少，那么小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)最大，即求 56 和 42 的最大公因數(shù)，再計(jì)算長(zhǎng)方形鐵片能剪成的小正方形數(shù)量。
用 48 朵紅花和 36 朵黃花做成花束，若每束花里紅花的朵數(shù)相同，黃花的朵數(shù)也相同，每束花里最少有幾朵花？
【分析】本題需先求出 48 和 36 的最大公因數(shù)，以確定花束的數(shù)量，再計(jì)算每束花中紅花和黃花的總數(shù)。
（三）拓展題
有三根鋼管，長(zhǎng)度分別是 16 米、24 米和 36 米。現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不許有剩余，每小段最長(zhǎng)是多少米？一共可以截成多少段？
【分析】這道題考查多個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)應(yīng)用，通過(guò)求 16、24 和 36 的最大公因數(shù)，得到每小段的長(zhǎng)度，進(jìn)而算出總段數(shù)。
某小區(qū)要在一條長(zhǎng) 180 米、寬 60 米的長(zhǎng)方形綠化帶四周等距離地安裝路燈，要求四個(gè)角都要安裝且距離盡可能大。一共需要安裝多少盞路燈？
【分析】要使路燈距離盡可能大且四個(gè)角都安裝，需先求出 180 和 60 的最大公因數(shù)，即相鄰兩盞路燈的距離，再根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式計(jì)算路燈數(shù)量。
參考答案
（一）基礎(chǔ)題
21 的因數(shù)有 1、3、7、21，28 的因數(shù)有 1、2、4、7、14、28，21 和 28 的最大公因數(shù)是 7，所以每小段最長(zhǎng)是 7 厘米。21÷7 = 3（段），28÷7 = 4（段），一共可以截成 3 + 4 = 7（段）。
36 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，45 的因數(shù)有 1、3、5、9、15、45，36 和 45 的最大公因數(shù)是 9，即最多能分給 9 個(gè)小組。36÷9 = 4（張），每個(gè)小組分得紅紙 4 張；45÷9 = 5（張），每個(gè)小組分得藍(lán)紙 5 張。
（二）進(jìn)階題
56 的因數(shù)有 1、2、4、7、8、14、28、56，42 的因數(shù)有 1、2、3、6、7、14、21、42，56 和 42 的最大公因數(shù)是 14，即小正方形邊長(zhǎng)為 14 厘米。56÷14 = 4，42÷14 = 3，至少可以剪成 4×3 = 12（塊）。
48 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，36 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，48 和 36 的最大公因數(shù)是 12，即可以做成 12 束花。48÷12 = 4（朵），36÷12 = 3（朵），每束花里最少有 4 + 3 = 7（朵）。
（三）拓展題
16 = 2×2×2×2，24 = 2×2×2×3，36 = 2×2×3×3，16、24 和 36 的最大公因數(shù)是 4，所以每小段最長(zhǎng)是 4 米。16÷4 = 4（段），24÷4 = 6（段），36÷4 = 9（段），一共可以截成 4 + 6 + 9 = 19（段）。
180 和 60 的最大公因數(shù)是 60，即相鄰兩盞路燈的距離是 60 米。長(zhǎng)方形綠化帶的周長(zhǎng)為（180 + 60）×2 = 480（米），480÷60 = 8（盞），一共需要安裝 8 盞路燈。

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