資源簡介

圓與圓的位置關系
一、教材分析
教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關系的初步分析的基礎上結合前面學習的點與圓、直線與圓的位置關系,得到圓與圓的位置關系的幾何方法,用代數的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化,它將是以后處理圓錐曲線的常用方法.因此,增加了用代數方法來分析位置關系,這樣有利于培養學生數形結合、經歷幾何問題代數化等解析幾何思想方法及辯證思維能力,其基本思維方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的，學習有著非常重要的意義.
二、學情分析
學生在本小節之前已經學習了直線的方程、圓的方程能夠運用方程研究直線與直線的位置關系、直線與圓的位置關系。此時已掌握了一些數形結合的方法以及利用方程解決問題的思想但仍缺乏一定的邏輯推理能力和對知識方法的歸納總結、運用能力。
三、教學方法
本節課主要類比直線與圓的位置關系，利用幾何畫板做動態演示讓學生更加清晰直觀的的掌握圓與圓的幾種位置關系，同時通過問題串的形式運用數形結合以及方程思想來研究圓與圓的位置關系。
四、教學支持條件
1.幾何畫板
2.PPT
3.電子白板
4.投影儀
五、教學目標
1. 通過觀察幾何畫板動態演示，理解并掌握圓與圓的位置關系，培養數形結合的思想。
2.利用平面直角坐標系中兩點間的距離公式求兩圓的連心線長.
3.會用連心線長判斷兩圓的位置關系.
4.能解決兩圓的公共弦長問題.
5.通過圓與圓的位置關系的學習，形成代數方法處理幾何問題的能力，從而激發學生學習數學的熱情和興趣，培養學生分析、概括的思維能力
六、教學重難點
重點：求弦長問題，判斷圓和圓的位置關系；
難點：判斷圓和圓的位置關系．
七、教學過程
1、復習導入
平面幾何中，直線與圓的位置關系有哪幾種呢？如何判斷直線與圓之間的位置關系呢？
在解析幾何中，我們如何判斷圓與圓之間的位置關系呢？這就是我們本堂課研究的課題，教師板書課題圓與圓的位置關系.
2、研探新知
提出問題
①初中學過的平面幾何中，圓與圓的位置關系有幾種？
②判斷兩圓的位置關系，你有什么好的方法嗎？
③通過觀察幾何畫板上的動態圖形，可以直觀判斷兩個圓的位置關系.如何把這些直觀的事實轉化為數學語言呢？
④通過幾何畫板展示的動態圖形以及旁邊數量的變化思考如何判斷兩個圓的位置關系呢？
⑤你能在同一個直角坐標系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？
⑥若將兩個圓的方程相減，你發現了什么？
⑦兩個圓的位置關系是否可以轉化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關系的判定呢？
活動：
教師引導學生回顧學過的知識、舉例，并對學生活動進行評價；學生回顧知識點時，可互相交流.教師引導學生閱讀教科書中的相關內容，注意個別輔導，解答學生疑難，并引導學生自己總結解題的方法.學生觀察幾何畫板的動態演示并思考，發表自己的解題方法.教師應該關注并發現有多少學生利用“圖形”求解，對這些學生應該給予表揚.同時強調，解析幾何是一門數與形結合的學科.啟發學生利用圖形的特征，用代數的方法來解決幾何問題.教師指導學生利用兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關系來判別兩個圓的位置.學生互相探討、交流，尋找解決問題的方法，并能通過圖形的直觀性，利用平面直角坐標系的兩點間距離公式尋求解題的途徑.
討論結果：①初中學過的平面幾何中，圓與圓的位置關系有五類，分別是外離、外切、相交、內切、內含.
②判斷兩圓的位置關系，我們可以類比直線與圓的位置關系的判定，目前我們只有初中學過的幾何法，利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關系判斷.
③根據幾何畫板所展示的動態圖形，可以直觀判斷兩個圓的位置關系.用幾何的方法說就是圓心距(d)與兩圓半徑(R1，R2)的和與差之間的關系.
④判斷兩個圓的位置關系.一是可以利用幾何法，即兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關系來判別兩個圓的位置關系.設兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：
1°當d＞R1+R2時，圓C1與圓C2外離；
2°當d=R1+R2時，圓C1與圓C2外切；
3°當|R1－R2|＜d＜R1+R2時，圓C1與圓C2相交；
4°當d=|R1－R2|時，圓C1與圓C2內切；
5°當d＜|R1－R2|時，圓C1與圓C2內含；
判斷兩圓的位置關系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計算兩圓的半徑R，r；第二步：計算兩圓的圓心距O1O2，即d；第三步：根據d與R，r之間的關系，判斷兩圓的位置關系.
教師板書：兩圓的位置關系
外離 外切 相交 內切 內含
d＞R1+R2 d=R1+R2 |R1－R2|＜d＜R+R2 d=|R1－R2| d＜|R1－R2|
二是看兩圓的方程組成的方程組的實數解的情況，解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實數解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數解，則兩圓相切；若無實數解，兩圓相離.
教師總結比較兩種方法的優缺點.
幾何方法：直觀，容易理解，但不能求出交點坐標.
代數方法：
1°只能判斷交點，并不能準確的判斷位置關系(有一個交點時不能判斷內切還是外切，無交點時不能判斷內含還是外離).
2°優點是可以求出公共點.
⑤投影展示學生畫的圓
⑥若將兩個圓的方程相減，得到一個一元一次方程，既直線方程，由于它過兩圓的交點，所以它是相交兩圓的公共弦的方程.
⑦兩個圓的公共點的問題可以化歸為這條公共直線與兩個圓中的一個圓的公共點的判定問題.由點到直線的距離公式來判斷.
3、典型例題
題型一：判斷兩圓的位置關系
例1 已知圓C1：x2+y2+2x+8y－8=0，圓C2：x2+y2－4x－4y－2=0，判斷兩圓的位置關系.
活動:學生思考交流，教師引導提示，判斷兩圓的位置關系有兩種基本的方法，要合理使用.方法一看兩圓的方程組成的方程組的實數解的情況，方法二利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關系判斷.
解:方法一:圓C1與圓C2的方程聯立得到方程組
①－②得x+2y－1=0，③
由③得y=，把上式代入①并整理得x2－2x－3=0.
方程④的判別式Δ=(－2)2－4×1×(－3)=16＞0，所以方程④有兩個不等的實數根，即圓C1與圓C2相交.
方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y－8=0，圓C2:x2+y2－4x－4y－2=0，化為標準方程，得(x+1)2+(y+4)2=25與(x－2)2+(y－2)2=10.
圓C1的圓心是點(－1，－4)，半徑長r1=5;
圓C2的圓心是點(2，2)，半徑長r2=.
圓C1與圓C2的連心線的長為=3，圓C1與圓C2的半徑長之和為r1+r2=5+，
半徑長之差為r1－r2=5－.
而5－＜3＜5+，即r1－r2＜3＜r1+r2，
所以圓C1與圓C2相交，它們有兩個公共點A、B.
點評:判斷兩圓的位置關系，一般情況下，先化為標準方程，利用幾何法判斷較為準確直觀.
變式訓練
判斷下列兩圓的位置關系，如果兩圓相交，請求出公共弦的方程.
(1)(x+2)2+(y－2)2=1與(x－2)2+(y－5)2=16，
(2)x2+y2+6x－7=0與x2+y2+6y－27=0.
解:(1)根據題意，得兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4，兩圓的圓心距d==5.
因為d=r1+r2，所以兩圓外切.
(2)將兩圓的方程化為標準方程，得(x+3)2+y2=16，x2+(y+3)2=36.
故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6，
兩圓的圓心距d=.
因為|r1－r2|＜d＜r1+r2，所以兩圓相交.
題型二：圓的公共弦長問題
例2 已知圓C1:x2+y2+2x－6y+1=0，圓C2:x2+y2－4x+2y－11=0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.
活動：學生審題，思考并交流，探討解題的思路，教師及時提示引導，因兩圓的交點坐標同時滿足兩個圓方程，聯立方程組，消去x2項、y2項，即得兩圓的兩個交點所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長.
解:設兩圓交點為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則A、B兩點坐標滿足方程組
①－②，得3x－4y+6=0.
因為A、B兩點坐標都滿足此方程，所以3x－4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.
易知圓C1的圓心(－1，3)，半徑r=3.
又點C1到直線的距離為d==.
所以AB=2，即兩圓的公共弦長為.
點評:處理圓有關的問題，利用圓的幾何性質往往比較簡單，要注意體會和應用.
4、課堂小結
本節課主要學習了圓與圓的位置關系，判斷方法：幾何方法和代數方法.
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