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五年級數學下冊《長方體與正方體的體積》講義
一、考點梳理
（一）體積的概念
★物體所占空間的大小叫做物體的體積。常用的體積單位有立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）。棱長為 1 厘米的正方體，體積是 1 立方厘米；棱長為 1 分米的正方體，體積是 1 立方分米；棱長為 1 米的正方體，體積是 1 立方米。
（二）長方體和正方體體積公式
★長方體體積公式：長方體的體積 = 長 × 寬 × 高，用字母表示為，其中為長，為寬，為高。長方體體積也可以表述為底面積 × 高，即 ，。
★正方體體積公式：正方體的體積 = 棱長 × 棱長 × 棱長，用字母表示為，這里表示正方體的棱長。由于正方體底面是正方形，其底面積，所以正方體體積同樣可以用底面積 × 高來計算，即。
（三）體積單位間的進率
1 立方米 = 1000 立方分米，1 立方分米 = 1000 立方厘米，1 立方米 = 1000000 立方厘米。高級單位換算成低級單位，乘進率；低級單位換算成高級單位，除以進率。
（四）排水法測量體積
當測量一些形狀不規則的物體體積時，常用排水法。將物體浸沒在盛水的容器中，水面上升的那部分水的體積，就等于物體的體積。若容器為長方體或正方體，可通過計算放入物體前后水的體積差來得到物體體積，即，其中為容器的底面積，為水面上升的高度。
二、重點題型解析
（一）長方體體積公式的應用
例 1：一個長方體水箱，從里面量長 40 厘米，寬 30 厘米，高 20 厘米。這個水箱能裝多少升水？
【解題思路】本題求水箱的容積，水箱是長方體形狀，容積計算方法和體積相同。利用長方體體積公式，算出體積后，再將單位由立方厘米換算為升。1 升 = 1000 立方厘米。
【解題過程】（立方厘米），24000 立方厘米 = 24000÷1000 = 24 升。
（二）正方體體積公式的應用
例 2：用棱長 1 厘米的小正方體拼成一個稍大的正方體，至少需要多少個小正方體？拼成的正方體體積是多少？
【解題思路】正方體棱長都相等，要用小正方體拼成大正方體，每條棱上至少需要 2 個小正方體。這樣就能算出小正方體個數，再根據正方體體積公式算出拼成后的正方體體積。
【解題過程】每條棱上至少 2 個小正方體，那么總共需要小正方體（個）。拼成后的大正方體棱長為 2 厘米，體積（立方厘米）。
（三）體積公式的變換
例 3：一個長方體的體積是 3.6 立方米，已知它的底面積是 240 平方分米，它的高是多少米？
【解題思路】本題涉及單位換算，先將底面積的單位由平方分米換算為平方米，再根據長方體體積公式的變形算出高。
【解題過程】240 平方分米 = 240÷100 = 2.4 平方米，（米）。
（四）排水法的應用
例 4：一個底面邊長為 5 分米的正方形的長方體玻璃容器，里面裝有水。將一塊不規則的石頭浸沒在水中后，水面從原來的 2 分米上升到了 2.2 分米。這塊石頭的體積是多少立方分米？
【解題思路】根據排水法，石頭的體積等于水面上升的那部分水的體積。容器底面是正方形，可先算出容器底面積，再乘以水面上升的高度，得到石頭體積。
【解題過程】容器底面積（平方分米），水面上升高度（分米），石頭體積（立方分米）。
三、鞏固練習
（一）基礎題
一個正方體的棱長是 5 厘米，它的體積是多少立方厘米？
一個長方體的長是 8 分米，寬是 6 分米，高是 4 分米，它的體積是多少立方分米？
在一個棱長為 10 厘米的正方體容器里裝滿水，然后將水倒入一個長 20 厘米、寬 10 厘米的長方體容器中，求此時長方體容器中水的高度。
（二）進階題
要制作一個無蓋的長方體水槽，長 8 分米，寬 4 分米，高 3 分米，至少需要多少平方分米的鐵皮？這個水槽最多能裝多少升水？
把一個棱長為 6 分米的正方體木塊，削成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是多少立方分米？
一個長方體玻璃缸，從里面量長 40 厘米，寬 25 厘米，缸內水深 12 厘米。把一塊石頭浸入水中后，水面上升到 16 厘米，求這塊石頭的體積。
（三）拓展題
一個長方體，如果高增加 2 厘米，就變成了一個正方體。這時表面積比原來增加 56 平方厘米，原來長方體的體積是多少立方厘米？
有一個長方體容器，從里面量長 5 分米，寬 4 分米，高 6 分米，里面注有水，水深 3 分米。如果把一塊棱長 2 分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？
一個底面是邊長為 4 分米的正方形的長方體容器，里面裝有 14.4 升水，現在把一個蘋果放入水中，此時容器內水深 1.2 分米，求這個蘋果的體積。
參考答案
（一）基礎題
（立方厘米）
（立方分米）
正方體容器中水的體積（立方厘米），長方體容器底面積（平方厘米），水的高度（厘米）。
（二）進階題
所需鐵皮面積：（平方分米）；水槽容積：（立方分米），96 立方分米 = 96 升。
圓柱底面半徑為分米，體積（立方分米）。
石頭體積（立方厘米）。
（三）拓展題
正方體棱長：（厘米），原長方體高：厘米，體積（立方厘米）。
正方體鐵塊體積：（立方分米），水面上升高度：（分米）。
容器底面積（平方分米），升 = 立方分米，原來水的高度（分米），蘋果體積（立方分米）。

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