資源簡介

五年級數學下冊《長方體與正方體的表面積》講義
一、知識框架
在之前的學習中，我們已經認識了長方體和正方體的基本特征，如長方體有 6 個面，相對的面完全相同；正方體的 6 個面都相等。在此基礎上，我們進一步學習長方體與正方體的表面積，這不僅加深對立體圖形的認識，也為解決生活中的實際問題提供幫助，后續還將關聯到體積等知識的學習。
二、考點梳理
（一）長方體與正方體表面積的定義
★長方體：長方體 6 個面的總面積，叫做它的表面積。長方體相對的面的面積相等，即上面（下面）的面積 = 長 × 寬，前面（后面）的面積 = 長 × 高，左面（右面）的面積 = 寬 × 高。
★正方體：正方體 6 個面的總面積，叫做它的表面積。正方體的 6 個面都是正方形且面積都相等，每個面的面積 = 棱長 × 棱長。
（二）長方體與正方體表面積的計算公式
★長方體表面積公式：，其中表示長，表示寬，表示高。這是因為長方體有三組相對的面，每組相對面的面積分別為、、，將三組面的面積相加后乘以 2，就得到長方體的表面積。
★正方體表面積公式：，其中表示正方體的棱長。由于正方體 6 個面面積都相等，每個面面積為，所以正方體表面積為 6 個面面積之和，即 。
三、重點題型解析
（一）直接應用公式計算表面積
無蓋容器表面積計算
例 1：做一個長 6 分米，寬 4 分米，高 3 分米的長方體無蓋玻璃魚缸，至少需要多少平方分米的玻璃？
【解題思路】這是一個求長方體部分表面積的問題。因為魚缸無蓋，所以只需求 5 個面的面積之和，即下面、前面、后面、左面、右面的面積之和。下面的面積為長 × 寬，即平方分米；前面和后面面積相同，為長 × 高，平方分米；左面和右面面積相同，為寬 × 高，平方分米。將這 5 個面的面積相加，平方分米。
【規范解答】
（平方分米）
答：至少需要 84 平方分米的玻璃。
長方體通風管表面積計算
例 2：加工廠要制作一個長方體形狀的通風管，管口是邊長 3 分米的正方形，管長 4 米。制作這個通風管至少需要多少平方米鐵皮？
【解題思路】通風管是沒有兩端的面的，所以這個長方體通風管只有 4 個面，且這 4 個面的面積相等。先統一單位，3 分米 = 0.3 米，每個面的面積為 0.3×4，那么 4 個面的總面積就是。
【規范解答】
3 分米 = 0.3 米
（平方米）
答：制作這個通風管至少需要 4.8 平方米鐵皮。
（二）棱長變化對表面積的影響
例 3：一個正方體的棱長擴大到原來的 2 倍，它的表面積擴大到原來的幾倍？
【解題思路】設原正方體棱長為，則原表面積為。當棱長擴大到原來的 2 倍，新棱長為，新表面積為。用新表面積除以原表面積，，可知表面積擴大到原來的 4 倍。
【規范解答】
設原正方體棱長為，原表面積
新棱長為，新表面積
答：它的表面積擴大到原來的 4 倍。
（三）拼接與切割問題
正方體拼接成長方體的表面積變化
例 4：手工課上，小紅把兩個棱長為 3 厘米的正方體拼成一個長方體。這個拼成的長方體的表面積是多少平方厘米？
【解題思路】兩個正方體拼成長方體后，表面積會減少 2 個正方形的面?？梢韵人愠鰞蓚€正方體的表面積之和，再減去減少的 2 個面的面積；也可以根據拼成后長方體的長、寬、高，直接套用長方體表面積公式計算。
【規范解答】
方法一：兩個正方體表面積之和為平方厘米，減少的 2 個面的面積為平方厘米，所以拼成的長方體表面積為平方厘米。
方法二：拼成后的長方體長為厘米，寬和高仍為 3 厘米，表面積平方厘米。
答：拼成的長方體的表面積是 90 平方厘米。
長方體切割成正方體的表面積變化
例 5：有一個長方體木塊，長 10 厘米，寬 8 厘米，高 6 厘米。如果把它鋸成一個最大的正方體，正方體的表面積比原來長方體表面積減少多少平方厘米？
【解題思路】鋸成的最大正方體的棱長為長方體最短的邊，即 6 厘米。分別算出長方體和正方體的表面積，再求兩者的差值。
【規范解答】
原長方體表面積
（平方厘米）
正方體表面積（平方厘米）
減少的面積為（平方厘米）
答：正方體的表面積比原來長方體表面積減少 160 平方厘米。
四、鞏固練習
（一）基礎題
新年快到了，小明要給一個正方體禮品盒包裝彩紙，禮品盒棱長 1.2 分米。包裝這個禮品盒至少需要多少平方分米的彩紙？
【分析】本題直接考查正方體表面積公式的應用，正方體 6 個面面積相同，可直接套用公式計算。
小區新修建了一個長方體形狀的游泳池，長 50 米，寬 25 米，深 2 米。為了保證居民安全與衛生，需要在它的四周和底面貼瓷磚，那么貼瓷磚的面積是多少平方米？
【分析】這是求長方體 5 個面的表面積，即缺少上面的面，根據長方體表面積的計算方法，分別算出各個面的面積再求和。
（二）進階題
要制作一個長 2 米，寬和高都是 0.5 米的長方體煙囪，至少需要多少平方米的鐵皮？
【分析】長方體煙囪沒有上下兩個面，只需計算 4 個側面的面積。
把三個棱長 4 厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積比原來三個正方體表面積之和減少了多少平方厘米？
【分析】三個正方體拼成長方體，表面積會減少 4 個正方形面的面積，求出這 4 個面的面積即可。
（三）拓展題
有一個長方體，它的前面和上面的面積之和是 209 平方厘米。已知它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米？
【分析】根據長方體前面和上面的面積公式，得到長 ×(寬 + 高)=209，將 209 分解質因數，再結合質數的性質確定長、寬、高，最后計算長方體的表面積。
用三個長 5 厘米、寬 4 厘米、高 2 厘米的長方體拼成一個大長方體，怎樣拼才能使拼成的大長方體的表面積最大？最大表面積是多少平方厘米？
【分析】要使拼成的大長方體表面積最大，就要把最小的面拼在一起。先確定每個小長方體各個面的面積，找出最小面，再計算拼成后的大長方體的表面積。
一個正方體木塊，棱長是 8 厘米。如果在這個木塊的六個面的中心位置各挖去一個棱長為 2 厘米的小正方體，這時剩下的立體圖形的表面積是多少平方厘米？
【分析】在大正方體六個面中心挖去小正方體后，大正方體的表面積不僅沒有減少，反而增加了 6 個小正方體 4 個側面的面積?？上人愠龃笳襟w的表面積，再加上增加的面積，得到剩下立體圖形的表面積。
參考答案
（一）基礎題
正方體表面積（平方分米）
答：包裝這個禮品盒至少需要 8.64 平方分米的彩紙。
貼瓷磚面積為
（平方米）
答：貼瓷磚的面積是 1550 平方米。
（二）進階題
0.5×2×4 = 4（平方米）
答：至少需要 4 平方米的鐵皮。
4×4×4 = 64（平方厘米）
答：這個長方體的表面積比原來三個正方體表面積之和減少了 64 平方厘米。
（三）拓展題
因為，假設長為 11，那么寬 + 高 = 19，把 19 寫成兩個質數相加，。
長方體表面積
（平方厘米）
答：這個長方體的表面積是 486 平方厘米。
小長方體三個面的面積分別為：平方厘米，平方厘米，平方厘米，最小面是的面。
拼成后的大長方體長為厘米，寬 4 厘米，高 2 厘米。
表面積
（平方厘米）
答：把的面拼在一起，拼成的大長方體表面積最大，最大表面積是 196 平方厘米。
大正方體表面積為平方厘米，增加的面積為平方厘米。
剩下立體圖形的表面積為平方厘米。
答：剩下的立體圖形的表面積是 480 平方厘米。

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