資源簡(jiǎn)介

小學(xué)奧數(shù)新定義運(yùn)算專(zhuān)題講義
一、知識(shí)點(diǎn)講解.
1.新定義運(yùn)算特點(diǎn).
形式:用特殊符號(hào)（★、※、◎等）定義新計(jì)算規(guī)則.
核心:將陌生符號(hào)轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算（加減乘除、乘方等）.
步驟:
①仔細(xì)閱讀定義,提取運(yùn)算規(guī)則.
②將符號(hào)表達(dá)式轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)表達(dá)式.
③按常規(guī)方法計(jì)算或解方程.
2.常見(jiàn)題型.
直接計(jì)算:根據(jù)定義進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.
逆向求解:已知運(yùn)算結(jié)果反推未知數(shù).
規(guī)律探索:通過(guò)案例總結(jié)通用公式.
復(fù)合應(yīng)用:結(jié)合多個(gè)新定義符號(hào)解題.
二、例題精講
例題1:定義★,求★.
解答:★.
例題2:定義※,求※.
解答:※.
例題3:定義◎,若◎,求.
解答:
例題4:定義 ,求 .
解答:
先算內(nèi)層: .
再算外層: .
例題5:定義表示兩個(gè)數(shù)中最大數(shù)減最小數(shù),求.
解答:.
第一層:.
第二層:.
例題6:定義表示的因數(shù)個(gè)數(shù),求.
解答:
12的因數(shù):1,2,3,4,6,12→共6個(gè),.
例題7:定義數(shù)列,求.
解答:.
.
.
.
例題8:定義★,※★★,求※.
解答:
★.
★.
※
例題9:定義「幸運(yùn)數(shù)」為各位數(shù)字和是9的倍數(shù),判斷2023和2025是否為幸運(yùn)數(shù).
解答:.
2+0+2+3=7→7不是9的倍數(shù),2023不是幸運(yùn)數(shù).
2+0+2+5=9→9是9的倍數(shù),2025是幸運(yùn)數(shù).
例題10:定義表示的約數(shù)和,求.
解答:.
6的約數(shù)和:1+2+3+6=12.
8的約數(shù)和:1+2+4+8=15.
總和:12+15=27.
三、習(xí)題訓(xùn)練
習(xí)題1:定義◎,求◎.
習(xí)題2:定義 ,若4 ,求.
習(xí)題3:定義,求[2,3,4].
習(xí)題4:定義數(shù)列,求.
習(xí)題5:定義表示的倍與的倍之和,解方程.
習(xí)題6:定義「完美數(shù)」為其真因數(shù)之和等于自身,判斷28是否為完美數(shù).
習(xí)題7:定義★,求★.
習(xí)題8:定義※,求※.
習(xí)題9:定義◎,若◎,求.
習(xí)題10:定義 ,求 .
習(xí)題11:定義表示四個(gè)數(shù)的平均值,求.
習(xí)題12:定義表示的各位數(shù)字平方和,求.
習(xí)題13:定義數(shù)列,求.
習(xí)題14:定義★,※★★,求※.
習(xí)題15:定義「魔法數(shù)」為各位數(shù)字乘積是偶數(shù),判斷1357是否為魔法數(shù).
習(xí)題16:定義表示n的最大奇約數(shù),求.
習(xí)題17:定義,求.
習(xí)題18:定義數(shù)列,求.
習(xí)題19:定義,解方程.
習(xí)題20:定義「超完全數(shù)」為真因數(shù)之和是自身的3倍,判斷24是否為超完全數(shù).
小學(xué)奧數(shù)新定義運(yùn)算專(zhuān)題講義解析版
一、知識(shí)點(diǎn)講解.
1.新定義運(yùn)算特點(diǎn).
形式:用特殊符號(hào)（★、※、◎等）定義新計(jì)算規(guī)則.
核心:將陌生符號(hào)轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算（加減乘除、乘方等）.
步驟:
①仔細(xì)閱讀定義,提取運(yùn)算規(guī)則.
②將符號(hào)表達(dá)式轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)表達(dá)式.
③按常規(guī)方法計(jì)算或解方程.
2.常見(jiàn)題型.
直接計(jì)算:根據(jù)定義進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.
逆向求解:已知運(yùn)算結(jié)果反推未知數(shù).
規(guī)律探索:通過(guò)案例總結(jié)通用公式.
復(fù)合應(yīng)用:結(jié)合多個(gè)新定義符號(hào)解題.
二、例題精講
例題1:定義★,求★.
解答:★.
例題2:定義※,求※.
解答:※.
例題3:定義◎,若◎,求.
解答:
例題4:定義 ,求 .
解答:
先算內(nèi)層: .
再算外層: .
例題5:定義表示兩個(gè)數(shù)中最大數(shù)減最小數(shù),求.
解答:.
第一層:.
第二層:.
例題6:定義表示的因數(shù)個(gè)數(shù),求.
解答:
12的因數(shù):1,2,3,4,6,12→共6個(gè),.
例題7:定義數(shù)列,求.
解答:.
.
.
.
例題8:定義★,※★★,求※.
解答:
★.
★.
※
例題9:定義「幸運(yùn)數(shù)」為各位數(shù)字和是9的倍數(shù),判斷2023和2025是否為幸運(yùn)數(shù).
解答:.
2+0+2+3=7→7不是9的倍數(shù),2023不是幸運(yùn)數(shù).
2+0+2+5=9→9是9的倍數(shù),2025是幸運(yùn)數(shù).
例題10:定義表示的約數(shù)和,求.
解答:.
6的約數(shù)和:1+2+3+6=12.
8的約數(shù)和:1+2+4+8=15.
總和:12+15=27.
三、習(xí)題訓(xùn)練
習(xí)題1:定義◎,求◎.
解答:.
習(xí)題2:定義 ,若4 ,求.
解答:.
習(xí)題3:定義,求[2,3,4].
解答:
習(xí)題4:定義數(shù)列,求.
解答:
.
.
.
習(xí)題5:定義表示的倍與的倍之和,解方程.
解答:.
習(xí)題6:定義「完美數(shù)」為其真因數(shù)之和等于自身,判斷28是否為完美數(shù).
解答:
28的真因數(shù):1+2+4+7+14=28.
是.
習(xí)題7:定義★,求★.
解答:★.
習(xí)題8:定義※,求※.
解答:※.
習(xí)題9:定義◎,若◎,求.
解答:.
習(xí)題10:定義 ,求 .
解答:
先算內(nèi)層: .
再算外層: .
.
習(xí)題11:定義表示四個(gè)數(shù)的平均值,求.
解答:.
習(xí)題12:定義表示的各位數(shù)字平方和,求.
解答:.
習(xí)題13:定義數(shù)列,求.
解答:,,.
習(xí)題14:定義★,※★★,求※.
解答:★,★,※.
習(xí)題15:定義「魔法數(shù)」為各位數(shù)字乘積是偶數(shù),判斷1357是否為魔法數(shù).
解答:
乘積:（奇數(shù)）.
不是.
習(xí)題16:定義表示n的最大奇約數(shù),求.
解答:（）.
總和:3+15=18
習(xí)題17:定義,求.
解答:.
習(xí)題18:定義數(shù)列,求.
解答:,,,.
習(xí)題19:定義,解方程.
解答:.
習(xí)題20:定義「超完全數(shù)」為真因數(shù)之和是自身的3倍,判斷24是否為超完全數(shù).
解答:
24的真因數(shù):1+2+3+4+6+8+12=36.
≠3倍.
不是.小學(xué)奧數(shù)同余問(wèn)題專(zhuān)題講義
一、知識(shí)點(diǎn)講解
1.同余基本概念
定義:若兩數(shù)除以的余數(shù)相同,則稱(chēng)與模同余,記作.
性質(zhì):
若,則
若且,則
2.同余運(yùn)算規(guī)則
加減法:若,,則
乘法:
冪運(yùn)算:若,則
3.常用模數(shù)特性
模4:平方數(shù)
模9:數(shù)位和同余
模3:數(shù)位和同余
二、例題精講
例題1:求的余數(shù).
解答:
答案:2.
例題2:求.
解答:
答案:10.
例題3: 2023年元旦是星期日,問(wèn)2025年元旦是星期幾？
解答:
2023年:365天
2024年:366天
總余數(shù):
星期日+3天=星期三
答案:2025年元旦是星期三.
例題4:解方程.
解答:
例題5:求.
解答:
答案:2
例題6:求最小正整數(shù)滿(mǎn)足:
①;②.
解答:先滿(mǎn)足條件②設(shè)
代入條件①,
當(dāng)時(shí),
答案:最小的正整數(shù)為8.
例題7:求的個(gè)位數(shù)字.
解答:
個(gè)位周期為4:7,9,3,1,……
2023÷4=505余3→對(duì)應(yīng)第三位
答案:3.
例題8:解方程.
解答:
答案:.
例題9:工廠每天生產(chǎn)零件數(shù),周一到周三共生產(chǎn)89個(gè),是否可能？
解答:
設(shè)每天產(chǎn)量,三天總產(chǎn)量
而
答案:不可能.
三、習(xí)題訓(xùn)練.
習(xí)題1:求.
習(xí)題2:今天是星期五,100天后是星期幾？
習(xí)題3:求.
習(xí)題4:求的余數(shù).
習(xí)題5:今天是星期五,150天后是星期幾？
習(xí)題6:解方程.
習(xí)題7:求.
習(xí)題8:求.
習(xí)題9:解方程組
.
習(xí)題10:求.
習(xí)題11:某數(shù)除以5余3,除以7余2,求最小正整數(shù).
習(xí)題12:求.
習(xí)題13:證明:不存在整數(shù)使得.
習(xí)題14:解方程.
習(xí)題15:求.
習(xí)題16:求滿(mǎn)足以下條件的最小自然數(shù):
.
習(xí)題17:求的最后兩位數(shù)字.
習(xí)題18:證明:對(duì)任意整數(shù),.
習(xí)題19:數(shù)列,,求.
習(xí)題20:解方程組
.
小學(xué)奧數(shù)同余問(wèn)題專(zhuān)題講義解析版
一、知識(shí)點(diǎn)講解
1.同余基本概念
定義:若兩數(shù)除以的余數(shù)相同,則稱(chēng)與模同余,記作
性質(zhì):
若,則
若且,則
2.同余運(yùn)算規(guī)則
加減法:若,,則
乘法:
冪運(yùn)算:若,則
3.常用模數(shù)特性
模4:平方數(shù)
模9:數(shù)位和同余
模3:數(shù)位和同余
二、例題精講
例題1:求的余數(shù).
解答:
答案:2.
例題2:求.
解答:
答案:10.
例題3: 2023年元旦是星期日,問(wèn)2025年元旦是星期幾？
解答:
2023年:365天
2024年:366天
總余數(shù):
星期日+3天=星期三
答案:2025年元旦是星期三.
例題4:解方程.
解答:
例題5:求.
解答:
答案:2
例題6:求最小正整數(shù)滿(mǎn)足:
①;②.
解答:先滿(mǎn)足條件②設(shè)
代入條件①,
當(dāng)時(shí),
答案:最小的正整數(shù)為8.
例題7:求的個(gè)位數(shù)字.
解答:
個(gè)位周期為4:7,9,3,1,……
2023÷4=505余3→對(duì)應(yīng)第三位
答案:3.
例題8:解方程.
解答:
答案:.
例題9:工廠每天生產(chǎn)零件數(shù),周一到周三共生產(chǎn)89個(gè),是否可能？
解答:
設(shè)每天產(chǎn)量,三天總產(chǎn)量
而
答案:不可能.
三、習(xí)題訓(xùn)練.
習(xí)題1:求.
解答:


答案:.
習(xí)題2:今天是星期五,100天后是星期幾？
解答:
星期五+2天=星期日
答案:星期日.
習(xí)題3:求.
解答:
當(dāng)時(shí),含因子12
只需計(jì)算
答案:9.
習(xí)題4:求的余數(shù).
解答:
計(jì)算
答案:2.
習(xí)題5:今天是星期五,150天后是星期幾？
解答:
星期五+3天=星期一
答案:星期一.
習(xí)題6:解方程.
解答:
答案:6
習(xí)題7:求.
解答:
逐步計(jì)算:
答案:5.
習(xí)題8:求.
解答:
答案:1.
習(xí)題9:解方程組
.
解答:
列奇數(shù):3,5,7,9,11,13,15,17,...
驗(yàn)證:7÷5余2→符合條件
答案:7.
習(xí)題10:求.
解答:
答案:3.
習(xí)題11:某數(shù)除以5余3,除以7余2,求最小正整數(shù).
解答:
列:8,13,18,23,28,...
驗(yàn)證:23÷7余2→符合條件
答案:23
習(xí)題12:求.
解答:
答案:2.
習(xí)題13:證明:不存在整數(shù)使得.
解答:平方數(shù)模3余0或1,2無(wú)法出現(xiàn).
習(xí)題14:解方程.
解答:
答案:.
習(xí)題15:求.
解答:
,
答案:.
習(xí)題16:求滿(mǎn)足以下條件的最小自然數(shù):
.
解答:
1.先解前兩個(gè)條件:
列偶數(shù):8,18,28,38,48,...
驗(yàn)證:8÷5余3→8
2.解
→→
最小解:
答案:驗(yàn)證:18符合條件
習(xí)題17:求的最后兩位數(shù)字.
解答:
答案:7.
習(xí)題18:證明:對(duì)任意整數(shù),.
解答:
分三類(lèi)討論:
:
:
:
對(duì)任意整數(shù),.
習(xí)題19:數(shù)列,,求.
解答:
觀察周期:
周期為3→→
答案:.
習(xí)題20:解方程組
.
解答:
設(shè),滿(mǎn)足第三個(gè)條件
代入第二個(gè)條件:
設(shè),則
當(dāng)時(shí),,不滿(mǎn)足條件一
當(dāng)時(shí),,滿(mǎn)足條件一
答案:23.小學(xué)奧數(shù)奇偶性分析專(zhuān)題講義
一、知識(shí)點(diǎn)講解.
1.奇偶性基本性質(zhì).
奇數(shù)：形如（為整數(shù)）
偶數(shù)：形如（為整數(shù)）
重要結(jié)論：
奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)
奇數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù)
偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)
奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)
奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)
偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù).
2.高階應(yīng)用技巧.
反證法：假設(shè)某種情況存在，導(dǎo)出奇偶矛盾
狀態(tài)守恒：操作前后奇偶性不變
染色法：用黑白交替染色揭示奇偶規(guī)律.
二、例題精講.
例題1：的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？
解答：
總和包含50個(gè)奇數(shù)和49個(gè)偶數(shù)：
奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加結(jié)果為偶數(shù)，偶數(shù)總和的奇偶性由奇數(shù)的個(gè)數(shù)決定
奇數(shù)
例題2：證明不存在三個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積為奇數(shù).
解答：
三個(gè)連續(xù)數(shù)中必有一個(gè)偶數(shù)，乘積必為偶數(shù)
不存在
例題3：數(shù)列，，求奇偶性.
解答：
為偶，為偶，為奇，為奇……，以4為周期.2023÷4=505……3，所以為偶數(shù).
例題4：若和都是質(zhì)數(shù)，且.求.
解答：
若都為奇質(zhì)數(shù)，則為偶數(shù)，不成立。所以，其中必有一個(gè)為2，另一個(gè)為89.或.
例題5：黑板有數(shù)1－2023，每次擦去兩數(shù)寫(xiě)其差，最終剩下的數(shù)奇偶性？
解答：
操作不改變?nèi)w數(shù)之和的奇偶性。初始和為偶數(shù)
偶數(shù).
例題6：7個(gè)倒置杯子，每次翻轉(zhuǎn)4個(gè)，能否全朝上？
解答：
每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次改變奇偶性，需奇數(shù)次操作使7奇→偶，矛盾
不能.
例題7：能否將1-15排成環(huán)形，使相鄰兩數(shù)和均為質(zhì)數(shù)？
解答：
奇偶交替排列時(shí)，奇+偶=奇（可能為質(zhì)數(shù)），但15個(gè)數(shù)中8奇7偶，無(wú)法完全交替
不能.
例題8：方程是否有整數(shù)解？
解答：
平方數(shù)模4余0或1。，而
無(wú)解.
例題9：【策略游戲】?jī)啥咽臃謩e有2022和2023顆，每次從一堆取1-3顆，先取完者勝。先手有必勝策略嗎？
解答：
將兩堆差調(diào)整為4的倍數(shù)：先手從2023取1顆，使兩堆均為2022，后續(xù)鏡像操作
先手取1顆.
三、習(xí)題訓(xùn)練.
習(xí)題1：判斷的奇偶性.
答案：奇數(shù)（偶+奇=奇）.
習(xí)題2：能否找到5個(gè)奇數(shù)之和等于100？
答案：不能（5奇之和必奇）.
習(xí)題3：方程是否有都為奇數(shù)的解？
答案：無(wú)（奇+奇+奇=奇≠偶）.
習(xí)題4：15人握手，每人握奇數(shù)次，可能嗎？
答案：不能（總握手次數(shù)必為偶數(shù)）.
習(xí)題5：證明：不存在整數(shù)使.
答案：模4分析，平方數(shù)模4余0或1，當(dāng)n≥2時(shí)模4余3.
習(xí)題6：判斷的奇偶性.
解答：
連乘式中含因數(shù)2，乘積為偶數(shù)
偶數(shù)+1=奇數(shù)
答案：奇數(shù).
習(xí)題7：能否用11個(gè)奇數(shù)的和得到2024？
解答：
11個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，而2024是偶數(shù)
答案：不能.
習(xí)題8：證明：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積一定是偶數(shù).
解答：
設(shè)數(shù)為和，必有一偶一奇
乘積=偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)
答案：成立.
習(xí)題9：方程是否存在全奇數(shù)的解？
解答：
奇數(shù)平方
（2025）
答案：無(wú)解.
習(xí)題10：15盞燈排成環(huán)形，每次翻轉(zhuǎn)相鄰3盞，能否全亮？
解答：
每次翻轉(zhuǎn)改變3盞狀態(tài)→總改變次數(shù)為奇數(shù)次
初始狀態(tài)全滅（偶次改變）
無(wú)法達(dá)到全亮（奇次改變）
答案：不能.
習(xí)題11：數(shù)列定義：，，求的奇偶性.
解答：
遞推觀察奇偶性：
（奇）→（奇）→所有項(xiàng)均為奇
答案：奇數(shù).
習(xí)題12：證明：不存在整數(shù)使（）.
解答：
當(dāng)時(shí)，
右邊
平方數(shù)模8余0,1,4→矛盾
答案：無(wú)解.
習(xí)題13：兩堆石子，每次從一堆取1-3顆，先取完勝。若初始為（9,10），先手有必勝策略嗎？
解答：
將兩堆差調(diào)整為4的倍數(shù)：先手從10取1→（9,9），后續(xù)鏡像操作
答案：先手取1顆。.
習(xí)題14：數(shù)列，前40項(xiàng)是否全為質(zhì)數(shù)？
解答：
當(dāng)時(shí)，
答案：否（第40項(xiàng)為合數(shù)）.
習(xí)題15：能否找到5個(gè)不同奇數(shù)，平均數(shù)為偶數(shù)？
解答：
5個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，平均數(shù)必為奇數(shù)
答案：不能.
習(xí)題16：證明：不是整數(shù).
解答：
考慮分母中2的最高冪次為.
通分后分子為奇數(shù)，分母為偶數(shù)
答案：非整數(shù).
習(xí)題17：證明：方程無(wú)非零整數(shù)解.
解答：
若存在解，兩邊模3：
平方數(shù)模3余0或1→左邊需滿(mǎn)足
，代入后右邊含因數(shù)9，無(wú)限遞降矛盾
無(wú)解最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)專(zhuān)題講義
一、核心知識(shí)點(diǎn)
1.基本概念
最大公因數(shù)（GCD）：幾個(gè)數(shù)公有的最大因數(shù)
最小公倍數(shù)（LCM）：幾個(gè)數(shù)公有的最小倍數(shù)
2.求解方法
列舉法：
GCD：列出所有公因數(shù)取最大
LCM：列出公倍數(shù)取最小
短除法：
用公因數(shù)連續(xù)除,直到商互質(zhì)
GCD=所有除數(shù)乘積,LCM=除數(shù)與商的乘積
分解質(zhì)因數(shù)法：
GCD=共有質(zhì)因數(shù)的最低次冪乘積
LCM=所有質(zhì)因數(shù)的最高次冪乘積
3.重要性質(zhì)
兩數(shù)乘積=GCD×LCM
若兩數(shù)互質(zhì),則GCD=1,LCM=兩數(shù)乘積
二、典型例題.
例題1：求36和48的最大公因數(shù).
解析（短除法）
GCD=.
例題2：求15和28的最小公倍數(shù).
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
LCM=.
例題3：三根木棍分別長(zhǎng)24cm,36cm,60cm,截成等長(zhǎng)小段的最長(zhǎng)長(zhǎng)度.
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
GCD=.
例題4：甲每6天值日,乙每8天值日,至少多少天后共同值日？
解析：短除法求LCM：
LCM=天.
例題5：用分解質(zhì)因數(shù)法求GCD(72,90).
解析：
GCD=.
例題6：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12,LCM=72,求這兩個(gè)數(shù).
解析：設(shè)兩數(shù)為和（互質(zhì)）
可能組合：與或與.
例題7：一盒糖分給6人或8人都剩3顆,求糖數(shù)（不足50顆）.
解析：求LCM(6,8)=24
解為顆.
例題8：求12,18,30的LCM.
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
LCM=.
例題9：兩數(shù)和為60,GCD=12,求這兩個(gè)數(shù).
解析：設(shè)兩數(shù)為和,則
互質(zhì)組合：→12與48；→24與36.
例題10：時(shí)鐘A每18分鐘響一次,B每24分鐘響一次,現(xiàn)在A和B同時(shí)響起,問(wèn)多少分鐘后A和B再次同時(shí)響起.
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
LCM=分鐘.
三、強(qiáng)化練習(xí).
習(xí)題1：求GCD(54,81).
習(xí)題2：求LCM(9,12,15).
習(xí)題3：用36朵紅花和48朵黃花扎花束,問(wèn)最多能扎多少束花束.
習(xí)題4：已知兩個(gè)數(shù)GCD=15,其中一數(shù)90,求另一數(shù).
習(xí)題5：一筐蘋(píng)果3個(gè)3個(gè)數(shù)剩2,5個(gè)5個(gè)數(shù)剩1,求最少數(shù)量.
習(xí)題6：求16,20,28的GCD.
習(xí)題7：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12,LCM=180,求這兩個(gè)數(shù).
習(xí)題8：甲每10天理一次發(fā),乙每12天理一次發(fā),丙每15天理一次發(fā).求甲,乙,丙理發(fā)周期的最小公倍數(shù).
習(xí)題9：一個(gè)數(shù)除以6余1,除以8余5的最小自然數(shù).
習(xí)題10：一種地磚長(zhǎng)和寬分別為28cm和20cm,現(xiàn)在用若干塊這種地磚鋪成正方形.問(wèn)最少需要多少塊磚.
習(xí)題11求GCD(105,140).
習(xí)題12：求LCM(16,24,36).
習(xí)題13：兩個(gè)數(shù)GCD=8,和為72,求所有這樣兩位數(shù)的組合.
習(xí)題14：甲閃光燈每15秒閃一次,乙閃光燈每20秒閃光一次.求甲,乙閃光燈的最小同步時(shí)間.
習(xí)題15：用短除法求GCD(84,126).
習(xí)題16：三個(gè)齒輪齒數(shù)分別為30,45,60,首次同時(shí)回到原位需轉(zhuǎn)多少圈？
習(xí)題17：一個(gè)數(shù)除以7余3,除以9余5,求該數(shù)的最小解.
習(xí)題18：用36個(gè)紅球和60個(gè)藍(lán)球裝禮盒,每盒顏色分布相同,最多裝幾盒？
習(xí)題19：已知兩個(gè)數(shù)GCD=6,LCM=210,求這兩個(gè)數(shù).
習(xí)題20：三個(gè)齒輪A,B,C齒數(shù)分別為24,36,48齒,A與B咬合,B與C咬合,問(wèn)旋轉(zhuǎn)多少圈后三者恢復(fù)初始位置關(guān)系.
最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)專(zhuān)題講義解析版
一、核心知識(shí)點(diǎn)
1.基本概念
最大公因數(shù)（GCD）：幾個(gè)數(shù)公有的最大因數(shù)
最小公倍數(shù)（LCM）：幾個(gè)數(shù)公有的最小倍數(shù)
2.求解方法
列舉法：
GCD：列出所有公因數(shù)取最大
LCM：列出公倍數(shù)取最小
短除法：
用公因數(shù)連續(xù)除,直到商互質(zhì)
GCD=所有除數(shù)乘積,LCM=除數(shù)與商的乘積
分解質(zhì)因數(shù)法：
GCD=共有質(zhì)因數(shù)的最低次冪乘積
LCM=所有質(zhì)因數(shù)的最高次冪乘積
3.重要性質(zhì)
兩數(shù)乘積=GCD×LCM
若兩數(shù)互質(zhì),則GCD=1,LCM=兩數(shù)乘積
二、典型例題.
例題1：求36和48的最大公因數(shù).
解析（短除法）
GCD=.
例題2：求15和28的最小公倍數(shù).
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
LCM=.
例題3：三根木棍分別長(zhǎng)24cm,36cm,60cm,截成等長(zhǎng)小段的最長(zhǎng)長(zhǎng)度.
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
GCD=.
例題4：甲每6天值日,乙每8天值日,至少多少天后共同值日？
解析：短除法求LCM：
LCM=天.
例題5：用分解質(zhì)因數(shù)法求GCD(72,90).
解析：
GCD=.
例題6：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12,LCM=72,求這兩個(gè)數(shù).
解析：設(shè)兩數(shù)為和（互質(zhì)）
可能組合：與或與.
例題7：一盒糖分給6人或8人都剩3顆,求糖數(shù)（不足50顆）.
解析：求LCM(6,8)=24
解為顆.
例題8：求12,18,30的LCM.
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
LCM=.
例題9：兩數(shù)和為60,GCD=12,求這兩個(gè)數(shù).
解析：設(shè)兩數(shù)為和,則
互質(zhì)組合：→12與48；→24與36.
例題10：時(shí)鐘A每18分鐘響一次,B每24分鐘響一次,現(xiàn)在A和B同時(shí)響起,問(wèn)多少分鐘后A和B再次同時(shí)響起.
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
LCM=分鐘.
三、強(qiáng)化練習(xí).
習(xí)題1：求GCD(54,81).
解析：
GCD=.
習(xí)題2：求LCM(9,12,15).
解析：短除法：
LCM=.
習(xí)題3：用36朵紅花和48朵黃花扎花束,問(wèn)最多能扎多少束花束.
解析：GCD(36,48)=12束.
習(xí)題4：已知兩個(gè)數(shù)GCD=15,其中一數(shù)90,求另一數(shù).
解析：
另一數(shù)可能為或.
習(xí)題5：一筐蘋(píng)果3個(gè)3個(gè)數(shù)剩2,5個(gè)5個(gè)數(shù)剩1,求最少數(shù)量.
解析：試算得最小解11：,余1.
習(xí)題6：求16,20,28的GCD.
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
,,
GCD=.
習(xí)題7：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12,LCM=180,求這兩個(gè)數(shù).
解析：兩數(shù)乘積=
可能組合：36與60（驗(yàn)證：GCD(36,60)=12,LCM=180）.
習(xí)題8：甲每10天理一次發(fā),乙每12天理一次發(fā),丙每15天理一次發(fā).求甲,乙,丙理發(fā)周期的最小公倍數(shù).
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
,,
LCM=天.
習(xí)題9：一個(gè)數(shù)除以6余1,除以8余5的最小自然數(shù).
解析：設(shè)數(shù)=→試算得最小解13.
習(xí)題10：一種地磚長(zhǎng)和寬分別為28cm和20cm,現(xiàn)在用若干塊這種地磚鋪成正方形.問(wèn)最少需要多少塊磚.
解析：LCM(28,20)=140cm→塊.
習(xí)題11求GCD(105,140).
解析：短除法：
GCD=.
習(xí)題12：求LCM(16,24,36).
解析：分解質(zhì)因數(shù)：
,,
LCM=.
習(xí)題13：兩個(gè)數(shù)GCD=8,和為72,求所有這樣兩位數(shù)的組合.
解析：設(shè)數(shù)為和（且互質(zhì)）.
解為：(8,64)和(16,56).
習(xí)題14：甲閃光燈每15秒閃一次,乙閃光燈每20秒閃光一次.求甲,乙閃光燈的最小同步時(shí)間.
解析：LCM(15,20)=60秒.
習(xí)題15用短除法求GCD(84,126).
解析：
GCD=.
習(xí)題16：三個(gè)齒輪齒數(shù)分別為30,45,60,首次同時(shí)回到原位需轉(zhuǎn)多少圈？
解析：齒數(shù)30,45,60的LCM=180→轉(zhuǎn)6圈,4圈,3圈.
習(xí)題17：一個(gè)數(shù)除以7余3,除以9余5,求該數(shù)的最小解.
解析：試算得最小解59：,.
習(xí)題18：用36個(gè)紅球和60個(gè)藍(lán)球裝禮盒,每盒顏色分布相同,最多裝幾盒？
解析：GCD(36,60)=12盒.
習(xí)題19：已知兩個(gè)數(shù)GCD=6,LCM=210,求這兩個(gè)數(shù).
解析：可能組合：42與30（驗(yàn)證：GCD=6,LCM=210）.
習(xí)題20：三個(gè)齒輪A,B,C齒數(shù)分別為24,36,48齒,A與B咬合,B與C咬合,問(wèn)旋轉(zhuǎn)多少圈后三者恢復(fù)初始位置關(guān)系.
解析：齒輪齒數(shù)24,36,48 → LCM=144齒小學(xué)奧數(shù)分解質(zhì)因數(shù)專(zhuān)題講義
一、知識(shí)點(diǎn)講解
1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)
質(zhì)數(shù)：一個(gè)大于1的自然數(shù)，除1和它本身外，沒(méi)有其他因數(shù)。
例如：2,3,5,7,11...
合數(shù)：一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，還有其他因數(shù)。
例如：4,6,8,9,10...
2.分解質(zhì)因數(shù)
將一個(gè)合數(shù)寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，稱(chēng)為分解質(zhì)因數(shù)。
例如：.
3.分解方法：短除法
步驟：
①用最小的質(zhì)數(shù)試除；
②若可整除，記錄該質(zhì)數(shù)，繼續(xù)用商重復(fù)步驟①；
③若不可整除，換下一個(gè)更大的質(zhì)數(shù)試除；
④直到商為1時(shí)停止。
二、例題精講
例題1：將1008分解質(zhì)因數(shù).
解答：
.
例題2：已知，求的所有因數(shù)之和.
解答：
因數(shù)之和公式：.
例題3：一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解包含，已知它有18個(gè)因數(shù)且，求這個(gè)數(shù)的最小值.
解答：
①因數(shù)個(gè)數(shù)公式：
②聯(lián)立方程：，解得或
③最小值取.
例題4：求1260、882和315的最大公約數(shù).
解答：
①分解質(zhì)因數(shù)：
②取公共質(zhì)因數(shù)最小指數(shù)：.
例題5：指出的錯(cuò)誤并修正.
解答：
錯(cuò)誤：未完全分解（漏掉重復(fù)因數(shù)）
正確分解：
例題6：將1728分解質(zhì)因數(shù)，并說(shuō)明它是哪個(gè)數(shù)的立方.
解答：
，是12的立方.
例題7：若有60個(gè)因數(shù)，求的值.
解答：
.
例題8：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是1260，它們的最大公約數(shù)是42，求這兩個(gè)數(shù).
解答：
設(shè)兩數(shù)為和（互質(zhì)）
互質(zhì)組合：
可能解：
（最小的一組）.
例題9：判斷323是否為質(zhì)數(shù)，若不是則分解.
解答：
用17試除：
.
例題10：將分解質(zhì)因數(shù).
解答：
原式
三、習(xí)題訓(xùn)練.
習(xí)題1：分解420.
習(xí)題2：分解980.
習(xí)題3：已知某數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解為，求這個(gè)數(shù).
習(xí)題4：若一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解為，它是哪個(gè)平方數(shù)的倍數(shù)？
習(xí)題5：用長(zhǎng)24cm、寬36cm的長(zhǎng)方形地磚鋪正方形地面，最少需要多少塊磚？
習(xí)題6：甲、乙、丙三人分別每4天、6天、8天去圖書(shū)館，今天同時(shí)相遇，至少幾天后再相遇？
習(xí)題7：求360的因數(shù)個(gè)數(shù).
習(xí)題8：將分解質(zhì)因數(shù)
習(xí)題9：小明分解質(zhì)因數(shù)得到，是否正確？
習(xí)題10：指出分解式的錯(cuò)誤.
習(xí)題11：將999999分解質(zhì)因數(shù)
習(xí)題12：求的因數(shù)中，末尾有兩個(gè)0的因數(shù)個(gè)數(shù).
習(xí)題13：一個(gè)數(shù)有12個(gè)因數(shù)，且質(zhì)因數(shù)只有2和3，求最小可能的數(shù).
習(xí)題14：若，且與的最大公約數(shù)是6，求和.
習(xí)題15：分解.
習(xí)題16：分解（由6個(gè)8組成的數(shù),提示：)
習(xí)題17：判斷437是否為質(zhì)數(shù)，若不是則分解.
習(xí)題18：若，求n的最小值.
小學(xué)奧數(shù)分解質(zhì)因數(shù)專(zhuān)題講義解析版
一、知識(shí)點(diǎn)講解
1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)
質(zhì)數(shù)：一個(gè)大于1的自然數(shù)，除1和它本身外，沒(méi)有其他因數(shù)。
例如：2,3,5,7,11...
合數(shù)：一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，還有其他因數(shù)。
例如：4,6,8,9,10...
2.分解質(zhì)因數(shù)
將一個(gè)合數(shù)寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，稱(chēng)為分解質(zhì)因數(shù)。
例如：.
3.分解方法：短除法
步驟：
①用最小的質(zhì)數(shù)試除；
②若可整除，記錄該質(zhì)數(shù)，繼續(xù)用商重復(fù)步驟①；
③若不可整除，換下一個(gè)更大的質(zhì)數(shù)試除；
④直到商為1時(shí)停止。
二、例題精講
例題1：將1008分解質(zhì)因數(shù).
解答：
.
例題2：已知，求的所有因數(shù)之和.
解答：
因數(shù)之和公式：.
例題3：一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解包含，已知它有18個(gè)因數(shù)且，求這個(gè)數(shù)的最小值.
解答：
①因數(shù)個(gè)數(shù)公式：
②聯(lián)立方程：，解得或
③最小值取.
例題4：求1260、882和315的最大公約數(shù).
解答：
①分解質(zhì)因數(shù)：
②取公共質(zhì)因數(shù)最小指數(shù)：.
例題5：指出的錯(cuò)誤并修正.
解答：
錯(cuò)誤：未完全分解（漏掉重復(fù)因數(shù)）
正確分解：
例題6：將1728分解質(zhì)因數(shù)，并說(shuō)明它是哪個(gè)數(shù)的立方.
解答：
，是12的立方.
例題7：若有60個(gè)因數(shù)，求的值.
解答：
.
例題8：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是1260，它們的最大公約數(shù)是42，求這兩個(gè)數(shù).
解答：
設(shè)兩數(shù)為和（互質(zhì)）
互質(zhì)組合：
可能解：
（最小的一組）.
例題9：判斷323是否為質(zhì)數(shù)，若不是則分解.
解答：
用17試除：
.
例題10：將分解質(zhì)因數(shù).
解答：
原式
三、習(xí)題訓(xùn)練.
習(xí)題1：分解420.
解答：
習(xí)題2：分解980.
解答：
習(xí)題3：已知某數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解為，求這個(gè)數(shù).
解答：
習(xí)題4：若一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解為，它是哪個(gè)平方數(shù)的倍數(shù)？
解答：
提取偶數(shù)次冪：
的倍數(shù)
習(xí)題5：用長(zhǎng)24cm、寬36cm的長(zhǎng)方形地磚鋪正方形地面，最少需要多少塊磚？
解答：
①求最小公倍數(shù)：
，
LCM
②計(jì)算塊數(shù)：
塊
習(xí)題6：甲、乙、丙三人分別每4天、6天、8天去圖書(shū)館，今天同時(shí)相遇，至少幾天后再相遇？
解答：
分解求LCM：，，
LCM
天
習(xí)題7：求360的因數(shù)個(gè)數(shù).
因數(shù)個(gè)數(shù)：
習(xí)題8：將分解質(zhì)因數(shù)
解答：
用平方差公式：.
習(xí)題9：小明分解質(zhì)因數(shù)得到，是否正確？
解答：
驗(yàn)證：，正確.
習(xí)題10：指出分解式的錯(cuò)誤.
解答：
重復(fù)書(shū)寫(xiě)，正確應(yīng)為.
習(xí)題11：將999999分解質(zhì)因數(shù)
解答：
.
習(xí)題12：求的因數(shù)中，末尾有兩個(gè)0的因數(shù)個(gè)數(shù).
解答：
末尾兩個(gè)0需含，剩余因數(shù)自由組合：
.
習(xí)題13：一個(gè)數(shù)有12個(gè)因數(shù)，且質(zhì)因數(shù)只有2和3，求最小可能的數(shù).
解答：
設(shè)分解式為，滿(mǎn)足
可能組合：
最小值：.
習(xí)題14：若，且與的最大公約數(shù)是6，求和.
解答：
設(shè)，（互質(zhì)），則.
互質(zhì)組合：，對(duì)應(yīng)解或
或.
習(xí)題15：分解
解答：
原式
.
習(xí)題16：分解（由6個(gè)8組成的數(shù),提示：)
解答：
即：.
習(xí)題17：判斷437是否為質(zhì)數(shù)，若不是則分解.
解答：
用19試除：
.
習(xí)題18：若，求n的最小值.
解答：
分析階乘中質(zhì)因數(shù)的冪次：.被7、11、13整除性質(zhì)專(zhuān)題講義
一、核心知識(shí)點(diǎn).
1.三位分節(jié)法（通用方法）
操作步驟：
(1).將數(shù)從右向左每三位分一節(jié)，末節(jié)不足三位時(shí)補(bǔ)零
(2).交替加減各節(jié)數(shù)值（奇數(shù)節(jié)加，偶數(shù)節(jié)減）
(3).若結(jié)果能被7/11/13整除，則原數(shù)也能被整除
原理：基于7×11×13=1001的特性.
2.單獨(dú)判定技巧
7的判定：
(1).末位截?cái)啵耗┪弧?，用剩余數(shù)減去這個(gè)積
(2).重復(fù)操作直到容易判斷（如得到7、0或負(fù)數(shù)）
11的判定：
(1).計(jì)算奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差
(2).若差是11的倍數(shù)（含0），則原數(shù)可被11整除.
13的判定：
(1).末位截?cái)啵耗┪弧?，用剩余數(shù)加上這個(gè)積
(2).重復(fù)操作直到容易判斷.
3.1001特性
7×11×13=1001→若數(shù)可被1001整除，則必能被7、11、13同時(shí)整除
二、典型例題.
例題1:判斷37135能否被7整除.
解析：（截?cái)喾ǎ?br/>3713－5×2=3713－10=3703
370－3×2=370－6=364
36－4×2=28→28÷7=4
∴能被7整除.
例題2:驗(yàn)證123456789能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇數(shù)位和：9+7+5+3+1=25
偶數(shù)位和：8+6+4+2=20
差：25－20=5→非11倍數(shù)
∴不能被11整除.
例題3:判斷1001能否被13整除.
解析：（1001特性）
1001=7×11×13→可直接被13整除.
例題4：用三位分節(jié)法判斷31415926能否被7整除.
解析：
分節(jié)：031'415'926
計(jì)算：031－415+926=542
542÷7≈77.43→不能被7整除
例題5：求使4__56能被7整除的空格數(shù)字.
解析：當(dāng)__=2時(shí)：4256
425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5
當(dāng)__=9時(shí)：4956
495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6
∴填2或9.
例題6：證明任意連續(xù)六個(gè)相同數(shù)字組成的數(shù)必被7、11、13整除.
解析：設(shè)數(shù)為aaaaaa（如111111），分節(jié)為111'111
計(jì)算：111－111=0→0能被7、11、13整除.
例題7：判斷987654321能否被13整除.
解析：（三位分節(jié)法）
分節(jié)：987'654'321
計(jì)算：987－654+321=654
654÷13≈50.3→不能被13整除
例題8：求能同時(shí)被7和11整除的最小三位數(shù).
解析：
7×11=77→77的倍數(shù)
最小三位數(shù)為154（77×2）.
例題9：用截?cái)喾ㄅ袛?64192能否被13整除
解析：
86419+2×4=86419+8=86427
8642+7×4=8642+28=8670
867+0×4=867→867÷13=66.69
∴不能被13整除.
例題10：設(shè)數(shù)A=3717171，問(wèn)A能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇數(shù)位和：1+1+1+3=6
偶數(shù)位和：7+7+7=21
差：21－6=15→非11倍數(shù)
∴不能整除.
三、強(qiáng)化練習(xí).
習(xí)題1：判斷666666能否被7整除.
習(xí)題2：用三位分節(jié)法驗(yàn)證999999能被13整除.
習(xí)題3：求使23_4能被11整除的空格數(shù)字.
習(xí)題4：找出能被7整除的最大三位數(shù).
習(xí)題5：判斷3141592653589793能否被11整除.
習(xí)題6：用截?cái)喾?yàn)證1001能被7整除.
習(xí)題7：求同時(shí)被7和13整除的最小四位數(shù).
習(xí)題8：設(shè)數(shù)N=abcabc，證明N必被7、11、13整除.
習(xí)題9：判斷2468013579能否被13整除.
習(xí)題10：求滿(mǎn)足3_2_能被7和11整除的四位數(shù).
習(xí)題11：用三位分節(jié)法判斷20240601能否被7整除.
習(xí)題12：判斷777777777能被13整除嗎
習(xí)題13：用截?cái)喾?yàn)證105105能否被7整除.
習(xí)題14：求一個(gè)被7除余1且被11整除的最小兩位數(shù).
習(xí)題15：用奇偶位差法判斷101010101能否被11整除.
習(xí)題16：使三位數(shù)2_8成為13的倍數(shù)，求空格數(shù)字.
習(xí)題17：判斷123456789101112能否被1001整除.
習(xí)題18：用截?cái)喾?yàn)證142856能被7整除.
被7、11、13整除性質(zhì)專(zhuān)題講義解析版
一、核心知識(shí)點(diǎn).
1.三位分節(jié)法（通用方法）
操作步驟：
(1).將數(shù)從右向左每三位分一節(jié)，末節(jié)不足三位時(shí)補(bǔ)零
(2).交替加減各節(jié)數(shù)值（奇數(shù)節(jié)加，偶數(shù)節(jié)減）
(3).若結(jié)果能被7/11/13整除，則原數(shù)也能被整除
原理：基于7×11×13=1001的特性.
2.單獨(dú)判定技巧
7的判定：
(1).末位截?cái)啵耗┪弧?，用剩余數(shù)減去這個(gè)積
(2).重復(fù)操作直到容易判斷（如得到7、0或負(fù)數(shù)）
11的判定：
(1).計(jì)算奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差
(2).若差是11的倍數(shù)（含0），則原數(shù)可被11整除.
13的判定：
(1).末位截?cái)啵耗┪弧?，用剩余數(shù)加上這個(gè)積
(2).重復(fù)操作直到容易判斷.
3.1001特性
7×11×13=1001→若數(shù)可被1001整除，則必能被7、11、13同時(shí)整除
二、典型例題.
例題1:判斷37135能否被7整除.
解析：（截?cái)喾ǎ?br/>3713－5×2=3713－10=3703
370－3×2=370－6=364
36－4×2=28→28÷7=4
∴能被7整除.
例題2:驗(yàn)證123456789能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇數(shù)位和：9+7+5+3+1=25
偶數(shù)位和：8+6+4+2=20
差：25－20=5→非11倍數(shù)
∴不能被11整除.
例題3:判斷1001能否被13整除.
解析：（1001特性）
1001=7×11×13→可直接被13整除.
例題4：用三位分節(jié)法判斷31415926能否被7整除.
解析：
分節(jié)：031'415'926
計(jì)算：031－415+926=542
542÷7≈77.43→不能被7整除
例題5：求使4__56能被7整除的空格數(shù)字.
解析：當(dāng)__=2時(shí)：4256
425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5
當(dāng)__=9時(shí)：4956
495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6
∴填2或9.
例題6：證明任意連續(xù)六個(gè)相同數(shù)字組成的數(shù)必被7、11、13整除.
解析：設(shè)數(shù)為aaaaaa（如111111），分節(jié)為111'111
計(jì)算：111－111=0→0能被7、11、13整除.
例題7：判斷987654321能否被13整除.
解析：（三位分節(jié)法）
分節(jié)：987'654'321
計(jì)算：987－654+321=654
654÷13≈50.3→不能被13整除
例題8：求能同時(shí)被7和11整除的最小三位數(shù).
解析：
7×11=77→77的倍數(shù)
最小三位數(shù)為154（77×2）.
例題9：用截?cái)喾ㄅ袛?64192能否被13整除
解析：
86419+2×4=86419+8=86427
8642+7×4=8642+28=8670
867+0×4=867→867÷13=66.69
∴不能被13整除.
例題10：設(shè)數(shù)A=3717171，問(wèn)A能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇數(shù)位和：1+1+1+3=6
偶數(shù)位和：7+7+7=21
差：21－6=15→非11倍數(shù)
∴不能整除.
三、強(qiáng)化練習(xí).
習(xí)題1：判斷666666能否被7整除.
解析：
66666－6×2=66666－12=66654
6665－4×2=6665－8=6657
665－7×2=665－14=651
65－1×2=63→63÷7=9
∴能整除.
習(xí)題2：用三位分節(jié)法驗(yàn)證999999能被13整除.
解析：
分節(jié)：999'999
計(jì)算：999－999=0→0能被13整除.
習(xí)題3：求使23_4能被11整除的空格數(shù)字.
解析：
奇數(shù)位和：4+3=7
偶數(shù)位和：_+2
差：|7－(_+2)|是11倍數(shù)
解得_=5（7－7=0）.
習(xí)題4：找出能被7整除的最大三位數(shù).
解析：
999÷7≈142.71→7×142=994.
習(xí)題5：判斷3141592653589793能否被11整除.
解析：（快速法）
奇數(shù)位和：3+9+5+5+9+4+1=32
偶數(shù)位和：7+8+3+8+6+1+3=36
差：32－36=－4→不能整除.
習(xí)題6：用截?cái)喾?yàn)證1001能被7整除.
解析：
100－1×2=98→98÷7=14.
習(xí)題7：求同時(shí)被7和13整除的最小四位數(shù).
解析：
7×13=91→91×11=1001.
習(xí)題8：設(shè)數(shù)N=abcabc，證明N必被7、11、13整除.
解析：
abcabc=abc×1001→1001=7×11×13.
習(xí)題9：判斷2468013579能否被13整除.
解析：（分節(jié)法）
分節(jié)：2'468'013'579→補(bǔ)零為002'468'013'579
計(jì)算：002－468+013－579=－1032
1032÷13不能整除.
習(xí)題10：求滿(mǎn)足3_2_能被7和11整除的四位數(shù).
解析：
設(shè)數(shù)為3a2b
被11整除：奇數(shù)位和(3+2)=5，偶數(shù)位和(a+b)→|5－(a+b)|是11倍數(shù)，所以|5－(a+b)|=0或11
情況1：a+b=5
被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍數(shù)，即3a-2b+1是7的倍數(shù)，即3a-2(5-a)+1是7的倍數(shù)，5a-9是7的倍數(shù)，5a-2是7的倍數(shù)，無(wú)解.
情況2：a+b=16
被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍數(shù)，即3a-2b+1是7的倍數(shù)，即3a-2(16-a)+1是7的倍數(shù)，5a-31是7的倍數(shù)，5a＋4是7的倍數(shù)，a=2或9.
a=2時(shí)，b=14，不滿(mǎn)足
a=9時(shí)，b=7，滿(mǎn)足
最終解：3927.
習(xí)題11：用三位分節(jié)法判斷20240601能否被7整除.
解析：
分節(jié)：020'240'601
計(jì)算：020－240+601=381
381÷7≈54.43→不能整除.
習(xí)題12：判斷777777777能被13整除嗎
解析：（三位分節(jié)法）
分節(jié)：777'777'777
計(jì)算：777－777+777=777
777÷13=59.769→不能整除.
習(xí)題13：用截?cái)喾?yàn)證105105能否被7整除.
解析：
10510－5×2=10500
1050－0×2=1050
105－0×2=105→105÷7=15
∴能整除.
習(xí)題14：求一個(gè)被7除余1且被11整除的最小兩位數(shù).
解析：
設(shè)數(shù)N=11k，且11k≡1mod7
計(jì)算11kmod7等價(jià)于4k≡1mod7→k=2（4×2=8≡1）
∴N=11×2=22→22÷7=3余1
正確答案：22.
習(xí)題15：用奇偶位差法判斷101010101能否被11整除.
解析：
奇數(shù)位和：1+1+1+1+1=5
偶數(shù)位和：0+0+0+0=0
差5－0=5→不能整除.
習(xí)題16：使三位數(shù)2_8成為13的倍數(shù)，求空格數(shù)字.
解析：
方法一：截?cái)喾?br/>末位8×4=32，前段2_+32需被13整除
即2_+32=(20+_)+32=52+_
需52+_≡0mod13→52≡0mod13→_=0
答案：208（驗(yàn)證208÷13=16）.
習(xí)題17：判斷123456789101112能否被1001整除.
解析：
∵1001=7×11×13→只需驗(yàn)證能否被7、11、13同時(shí)整除
被11整除檢驗(yàn)：
奇數(shù)位和：2+1+9+7+5+3+1=28
偶數(shù)位和：1+0+8+6+4+2=21
差28－21=7→不能被11整除
∴原數(shù)不能被1001整除.
習(xí)題18：用截?cái)喾?yàn)證142856能被7整除.
解析：14285－6×2=14273→1427－3×2=1421→142－1×2=140小學(xué)奧數(shù)循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)專(zhuān)題講義
一、知識(shí)點(diǎn)講解
1.循環(huán)小數(shù)的定義
①純循環(huán)小數(shù)：小數(shù)點(diǎn)后全部數(shù)字循環(huán)的小數(shù)（如..，寫(xiě)作;,寫(xiě)作）
②混循環(huán)小數(shù)：小數(shù)點(diǎn)后部分?jǐn)?shù)字不循環(huán)，部分循環(huán)的小數(shù)（如，寫(xiě)作；，寫(xiě)作）
2.純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)公式
(9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù))，能約分的要約分。
3.混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)公式
(9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)，0的個(gè)數(shù)等于非循環(huán)部分的位數(shù))，能約分的要約分。
二、典型例題
類(lèi)型一：純循環(huán)小數(shù)
例1 將化為分?jǐn)?shù).
解：
例2 將化為分?jǐn)?shù).
解：
例3 將化為分?jǐn)?shù)
解：
類(lèi)型二：混循環(huán)小數(shù)
例4 將化為分?jǐn)?shù).
解：非循環(huán)部分長(zhǎng)度1，循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度1：
.
例5 將化為分?jǐn)?shù).
解 ：非循環(huán)部分長(zhǎng)度2，循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度1：
.
例6 將化為分?jǐn)?shù).
解: 非循環(huán)部分長(zhǎng)度3，循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度2：
類(lèi)型三：特殊類(lèi)型
例7 驗(yàn)證.
解：設(shè) ，則
相減得：
例8 將化為分?jǐn)?shù).
解: 非循環(huán)部分長(zhǎng)度1，循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度3：
例9 計(jì)算 .
解:
例10 小明跑步，前400米用時(shí)小時(shí)，求時(shí)速.
解:小時(shí)
時(shí)速： 米/小時(shí).
三、分層訓(xùn)練
基礎(chǔ)訓(xùn)練（15題）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
進(jìn)階訓(xùn)練（5題）
16.
17.
18.
19.
20.
挑戰(zhàn)訓(xùn)練（5題）
21.
22.
23.
24.
25.
進(jìn)階訓(xùn)練（2題）
26. 將化為分?jǐn)?shù)
27. 計(jì)算
分層訓(xùn)練答案
基礎(chǔ)訓(xùn)練（15題）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
解
7.
解
8.
解
9.
解
10.
解
11.
解
12.
解
13.
解
14.
解
15.
解
進(jìn)階訓(xùn)練（5題）
16.
17.
18.
19.
20.
解
挑戰(zhàn)訓(xùn)練（5題）
21.
22.
23.
24.
25.
進(jìn)階訓(xùn)練（2題）
26. 將化為分?jǐn)?shù)
解:
27. 計(jì)算
解:小學(xué)奧數(shù)抽屜原理講義
知識(shí)點(diǎn)講解：
第一抽屜原理（鴿巢原理）
把個(gè)物品放入個(gè)抽屜中（），則至少有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)物品。
公式表達(dá)：若余，則至少有一個(gè)抽屜中有至少個(gè)物品。
第二抽屜原理
把個(gè)物品放入個(gè)抽屜中，若，則至少有一個(gè)抽屜中至少有個(gè)物品。
例題精講
例1:口袋里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各4個(gè)。至少取出多少個(gè)球，才能保證有2個(gè)顏色相同的？
解：將顏色看作抽屜（），根據(jù)抽屜原理，至少取個(gè)球。
例2:把7支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆盒，至少有一個(gè)筆盒有幾支鉛筆？
解：余1，所以至少有一個(gè)筆盒有支。
例3：任意5個(gè)自然數(shù)中，是否一定有2個(gè)數(shù)的差是4的倍數(shù)？
解：將自然數(shù)按除以4的余數(shù)分成4類(lèi)（抽屜）。5個(gè)數(shù)放入4個(gè)抽屜，必有兩數(shù)余數(shù)相同，它們的差是4的倍數(shù)。
例4：在367人中，至少有多少人同一天過(guò)生日？
解：一年最多366天，367人放入366天，至少有人同一天過(guò)生日。
例5：一個(gè)布袋里有黑、白襪子各10只，至少拿多少只才能配成一雙同色襪子？
解：最不利情況：先拿1黑1白，再拿1只必配對(duì)。至少拿只。
例6：任取6個(gè)自然數(shù)，證明其中必有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)。
解：按除以5的余數(shù)分5類(lèi)（抽屜）。6個(gè)數(shù)放入5個(gè)抽屜，必有兩數(shù)余數(shù)相同，差為5的倍數(shù)。
例7:把20個(gè)蘋(píng)果放入6個(gè)籃子，至少有一個(gè)籃子有多少個(gè)蘋(píng)果？
解：余2，所以至少有一個(gè)籃子有個(gè)。
例8:證明：在任意11個(gè)自然數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)的差是10的倍數(shù)。
解：按除以10的余數(shù)分10類(lèi)，11個(gè)數(shù)放入10個(gè)抽屜，必有兩數(shù)余數(shù)相同，差為10的倍數(shù)。
例9:一個(gè)班級(jí)有42人，至少有多少人在同一個(gè)月出生？
解：余6，所以至少有人同月出生。
例10:從1到100中任取51個(gè)數(shù)，證明必有兩個(gè)數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系。
解：將數(shù)按奇數(shù)分組：，共50組。取51個(gè)數(shù)必有兩數(shù)在同一組，存在倍數(shù)關(guān)系。
練習(xí)題
1.盒子里有紅、藍(lán)鉛筆各5支，至少拿幾支才能保證拿到1支紅筆？
2.把9本書(shū)放進(jìn)4個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜放幾本書(shū)？
3.任意16人中，至少有幾人生肖相同？
4.至少取出多少個(gè)自然數(shù)，才能保證有兩個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)？
5.布袋中有黃、綠球各8個(gè)，至少拿幾個(gè)才能保證有3個(gè)同色？
6.證明：任意7個(gè)自然數(shù)中必有兩數(shù)差是6的倍數(shù)。
7.把25塊糖分給6個(gè)小朋友，至少有人分到幾塊？
8.從1到50中任取26個(gè)數(shù)，是否必有兩數(shù)之和為51？
9.至少取多少個(gè)自然數(shù)，才能保證有兩個(gè)數(shù)的差是9的倍數(shù)？
10.證明：任意13人中至少有兩人的生日在同一個(gè)月。
練習(xí)題答案
1.6支（最不利情況先拿完5支藍(lán)筆）
2.3本（余1，）
3.2人（生肖共12種，余4，，至少2人。
4.3個(gè)（奇偶性分2類(lèi)，取3個(gè)數(shù)必有兩數(shù)同奇偶）
5.5個(gè)（最不利拿2黃2綠，再1個(gè)必成3個(gè)）
6.按除以6的余數(shù)分6類(lèi)，7個(gè)數(shù)必有兩數(shù)余數(shù)相同
7.5塊（余1，）
8.是（數(shù)對(duì)(1,50),(2,49),...,(25,26)共25組，取26個(gè)數(shù)必有兩數(shù)同組）
9.10個(gè)（按除以9的余數(shù)分9類(lèi)，取10個(gè)數(shù)必重復(fù)）
10.一年12個(gè)月，13人放入12個(gè)月，至少2人同月。

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