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六年級數學下冊小升初《比和比例》講義
一、考點梳理
（一）比的意義和性質
比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。例如 3÷2 可寫作 3:2，讀作 3 比 2。在比中，“:” 是比號，比號前面的數叫比的前項，后面的數叫比的后項。前項除以后項所得的商，叫做比值。
比的性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0 除外），比值不變。這一性質常用于化簡比。
（二）比例的意義和性質
比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。如 2:3 = 4:6。組成比例的四個數，叫做比例的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。
比例的性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。這是解比例的重要依據。
（三）正比例和反比例
正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。用字母表示為（一定）。
反比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。用字母表示為（一定）。
（四）按比分配
把一個數量按照一定的比進行分配的問題，稱為按比分配問題。解決這類問題時，通常先求出總份數，再求出各部分量占總量的幾分之幾，最后用總量乘各部分量對應的分率，求出各部分的量。
二、典型例題
例 1：化簡比并求比值
將 2.5:0.75 化簡并求比值。
【解題思路】化簡比可根據比的基本性質，將比的前項和后項同時擴大或縮小相同倍數，化為最簡整數比。求比值則用比的前項除以后項。
【解答過程】先將 2.5 和 0.75 同時擴大 100 倍，得到 250:75，再同時除以 25，化簡為 10:3。比值為。
化簡并求比值。
【解題思路】同樣依據比的基本性質，先將兩個分數的分母化為相同，再進行化簡。求比值依舊是用前項除以后項。
【解答過程】給的前項和后項同時乘 16，得到 12:9，再同時除以 3，化簡為 4:3。比值為。
例 2：解比例
已知，求的值。
【解題思路】根據比例的基本性質，兩個外項的積等于兩個內項的積，將比例式轉化為方程，再求解方程。
【解答過程】由比例性質可得，即，兩邊同時除以 6，解得。
解比例。
【解題思路】運用比例的基本性質，外項之積等于內項之積，構建方程求解。
【解答過程】可得，即，兩邊同時除以 2，解得。
例 3：正比例應用題
一輛汽車 2 小時行駛 120 千米，照這樣的速度，5 小時可以行駛多少千米？
【解題思路】因為速度一定，路程和時間成正比例關系。先求出速度，再根據正比例關系求出 5 小時行駛的路程。
【解答過程】汽車速度為（千米 / 時），設 5 小時行駛千米，可得，即，解得千米。
工廠生產零件，4 小時生產 160 個。照這樣計算，7 小時能生產多少個零件？
【解題思路】由于單位時間生產零件數一定，生產零件總數和時間成正比例。先算出單位時間生產的零件數，再依據正比例關系算出 7 小時生產的零件數。
【解答過程】每小時生產零件（個），設 7 小時生產個零件，可得，即，解得個。
例 4：反比例應用題
用邊長為 3 分米的方磚鋪地，需要 96 塊；如果改用邊長為 4 分米的方磚鋪地，需要多少塊？
【解題思路】鋪地總面積一定，方磚面積和所需塊數成反比例關系。先算出原來方磚面積和總面積，再根據反比例關系求出新方磚所需塊數。
【解答過程】原來方磚面積為（平方分米），總面積為（平方分米）。新方磚面積為（平方分米），設需要塊，可得，解得塊。
一個旅行團從甲地到乙地，如果每小時行 45 千米，8 小時能到達。若每小時行 60 千米，幾小時能到達？
【解題思路】甲乙兩地的距離一定，速度和時間成反比例。先求出甲乙兩地的距離，再根據反比例關系求出新速度下所需的時間。
【解答過程】甲乙兩地距離為（千米），設每小時行 60 千米時，小時能到達，可得，解得小時。
例 5：按比分配應用題
學校把 360 本圖書按照 4:5 的比例分給五、六年級，五、六年級各分得多少本圖書？
【解題思路】先求出總份數，再分別算出五、六年級分得的圖書占總數的幾分之幾，最后用圖書總數乘各自的分率，得到五、六年級分得的圖書數量。
【解答過程】總份數為份，五年級分得圖書占總數的，數量為本；六年級分得圖書占總數的，數量為本。
一種混凝土是由水泥、沙子、石子按 2:3:5 配制而成的，要配制 20 噸這種混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少噸？
【解題思路】先確定總份數，接著算出水泥、沙子、石子分別占混凝土總量的幾分之幾，最后用混凝土總量乘各自的分率，求出各自的用量。
【解答過程】總份數為份，水泥占，需要噸；沙子占，需要噸；石子占，需要噸。
三、鞏固練習
（一）選擇題
把 10 克鹽放入 100 克水中，鹽和鹽水的比是（ ）。
A. 1:10 B. 1:11 C. 10:11
如果，那么的值是（ ）。
A. 12 B. 7 C. 無法確定
一個比的前項擴大 3 倍，后項縮小 3 倍，比值（ ）。
A. 不變 B. 擴大 9 倍 C. 縮小 9 倍
（二）填空題
4:5 = （ ）÷15 = = （ ）（填小數）
在一個比例中，兩個外項互為倒數，其中一個內項是，另一個內項是（ ）。
從 24 的因數中選出四個數組成一個比例是（ ）。
（三）計算題
1.化簡比：
48:36 1.5:0.25
2.求比值：
0.8:0.4 1.25:
3.解比例：
（四）應用題
配制一種農藥，藥粉和水的比是 1:500。現有藥粉 3.6 千克，配制這種農藥需要水多少千克？
小明家到學校的距離是 1200 米，他步行上學需要 15 分鐘。照這樣的速度，他從家走到 800 米外的超市需要多少分鐘？
一個車間要生產一批零件，如果每天生產 150 個，24 天完成。如果要提前 4 天完成，每天應生產多少個零件？
幼兒園大班和中班共有 32 名男生，18 名女生。大班男女生人數比為 5:3，中班男女生人數比為 2:1，大班有女生多少名？
甲、乙兩人同時從 A 地到 B 地，甲 6 小時到達，乙 5 小時到達。甲、乙兩人的速度比是多少？當甲行了 60 千米時，乙行了多少千米？
答案
（一）選擇題
B。鹽水質量為克，鹽和鹽水的比是 10:110 = 1:11。
A。由比例性質。
B。假設原比為，比值為，變化后比為，比值為，所以比值擴大 9 倍。
（二）填空題
12；16；0.8。，，，。
。兩個外項互為倒數，積為 1，根據比例性質，兩個內項積也為 1，所以另一個內項是。
示例：2:4 = 6:12（答案不唯一，24 的因數有 1、2、3、4、6、8、12、24，只要組成的比例兩個比的比值相等即可）。
（三）計算題
化簡比：
48:36 = (48÷12):(36÷12) = 4:3
1.5:0.25 = (1.5×4):(0.25×4) = 6:1
求比值：
0.8:0.4 = 0.8÷0.4 = 2
1.25:
解比例：
由比例性質得，，解得。
由比例性質得，，解得。
由比例性質得，，解得。
（四）應用題
設需要水千克，，千克。
速度為米 / 分，設走到超市需要分鐘，，解得分鐘。
零件總數為個，提前 4 天完成即天完成，每天應生產個。
設大班男生有名，女生有名，中班男生有名，女生有名。由中班男女生人數比為 2:1，可得，即，，，，所以大班女生有名。
把 A、B 兩地的路程看作單位 “1”，甲的速度是，乙的速度是，甲、乙速度比為。甲乙速度比一定，路程比也為 5:6，當甲行了 60 千米時，設乙行了千米，可得，，千米 。

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