資源簡介

第六章 一次方程組
6.2.1 用代入消元法解二元一次方程組
本節課《用代入消元法解二元一次方程組》是華師版初中數學七年級下冊第六章第二節《二元一次方程組的解法》第一課時的內容．本課在學生學習了二元一次方程、二元一次方程組及二元一次方程組的解的基本概念后，進一步深入學習關于解二元一次方程組的解法，特別是學生在審題之后判斷解方程使用的方法．通過本課的學習，學生掌握代入消元的方法，感受“消元”的思想，并能迅速的判斷遇到不同題型使用的方法．
在本節課的學習中，學生已經具備了一定的基礎知識，對方程組的概念有了初步的了解．然而，在解決問題時學生對解題方法的最簡性還不能很快的做出判斷．因此，在教學過程中，要采用學生多練，多思考，教師要主動引導學生總結歸納解題的方法和規律．
1．會用代入消元法解簡單的二元一次方程組．
2．通過探索代入消元法解二元一次方程的過程，理解代入消元法的基本思想所體現的化歸思想方法．
3．通過提供適當的情境資料，吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣；在合作討論中學會交流與合作，培養良好的數學思想，逐步滲透類比、化歸的意識．
重點：用代入消元法解二元一次方程組．
難點：探索如何用代入消元法解二元一次方程組，感受“消元”思想．
情境導入
根據籃球比賽規則：贏一場得2分，輸一場得1分，已知某次中學生籃球聯賽中，某球隊共賽了12場，積20分．求該球隊贏了幾場？輸了幾場？
解：設該球隊贏了x場，輸了y場，
根據題意得
怎么求x、y的值呢？
師生活動：學生獨立思考，再小組交流，最后呈現答案．
設計意圖：培養學生獨立思考問題的能力．
復習回顧
思考：什么叫做二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解？
答：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程．
共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組．
（注意：方程組各方程中同一字母必須代表同一個量）
使二元一次方程組中兩個方程的左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做這個二元一次方程組的解．
師生活動：采用教師問學生答．
設計意圖：通過提前布置預習作業，培養學生建立清晰的知識體系，不僅回顧了知識點也為學生接下來學習新課做鋪墊．
探究新知
活動一：二元轉換為一元解決問題
問題1：回顧上節課中的問題：
設應拆除x 舊校舍, 建造y 新校舍，那么根據題意，可列出方程組：
怎樣求出這個二元一次方程組的解
我們知道此題可以用一元一次方程來求解, 即設應拆除舊校舍x, 則建造新校舍4x, 根據題意可得到4x－x＝20000×30%．
追問：對于一元一次方程的解法我們是非常熟悉的．那么我們如果能將解二元一次方程組轉化為解一元一次方程，我們的問題不就可以解決了嗎 可是如何來轉化呢
設計意圖：引導學生觀察方程組和相應的一元一次方程間的聯系．
在方程組中的方程②y＝4x, 把它代入方程①中y的位置，我們就可以得到一元一次方程4x－x＝20000×30%．通過“代入”，我們消去了未知數y，得到了一元一次方程，這樣就可以求解了．
解方程得：x＝2000，把x＝2000代入②得y＝8000．所以．
答：應拆除舊校舍2000 ，建造新校舍8000 ．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
概念歸納：前面解方程組是將其中一個方程的某個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程．這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法．
解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變為“一元”．
活動二：直接利用代入法解二元一次方程組
問題2：解方程組
解：由①得
y＝12－x ③
將③代入②, 得
2x＋12－x＝20
解得 x＝8，
將x＝8代入③, 得
y＝4．
所以．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流．
活動三：轉換后利用代入法解二元一次方程組
問題3：解方程組．
分析：觀察分析此方程組與上題中的方程組在形式上的差別． 可知上題的方程組中有未知數系數的絕對值是1的方程, 而此方程組中兩個方程未知數的系數都不是1, 這時怎么辦呢
能不能將兩個方程先化簡，并將其中一個方程適當變形, 用一個未知數來表示另一個未知數
我們有兩個辦法, 一個是某個方程兩邊同除以某個未知數的系數，使這個未知數的系數化1, 化成1題的形式；另一個是將某個方程的某一個未知數移到方程的一邊，其他各項移到另一邊，再把這個未知數的系數化1，從而達到“用一個未知數來表示另一個未知數”的目的．
解：原方程組化簡得：
由①得 ③
把③代入②得
4x－3×＝18
解得 x＝9
把x＝9代入③，得
y＝6
所以原方程組的解為 ．
師生活動：這里是先消去x，得到關于y的一元一次方程，可不可以先消去y呢 (讓學生試一試, 并比較兩種解法的優劣．易知先消去x使變形后的方程比較簡單且代入后化簡比較容易)．
設計意圖：通過讓學生操作，培養學生動手的能力，并引發學生的思考，加深對本節概念的印象．
概念歸納：代入法解二元一次方程組的方法：
1．將方程組中的一個方程的一個未知數用含另一未知數的式子表示．
2．把得到的式子代入另一個方程，得到一元一次方程，并求解．
3．把求得的解代入方程，求另一未知數的解．
應用新知
經典例題：
例1：解方程組：
解：由①得
③
將③代入②, 得
解得
將代入③，得
．
所以原方程組的解為．
解析：可以再依據二元一次方程組的定義來驗證得出的解是否正確．
例2：解方程組：
解：由①, 得
x＝4＋y ③
將③代入②, 得
3(4＋y)－8y－10＝0
解得 y＝－0.8．
將y＝－0.8代入③, 得
x＝4＋×(－0.8)
即 x＝1.2
所以原方程組的解為．
師生活動：學生先獨立思考．
設計意圖：通過學生參與活動，激發學生參與課堂教學的熱情，使學生進入問題情境，讓學生加深對知識點印象．激發學生的求知欲望，感受數學的魅力．
課堂練習
【教材練習】
1．（1） （2）
（3） （4）
(1)解：把①代入②,得
解得
把代入①
得
所以原方程組的解為．
(2)解：把②代入①,得
解得
把代入②
得
所以原方程組的解為．
(3)解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程組的解為．
(4)解：由②得
③
把③代入①，得
解得
把代入③
得
所以原方程組的解為．
分析：直接利用代入法解二元一次方程組．
2．把下列各方程變形為用一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式．
（1）．
（2）．
解：（1）或．
（2）或．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
分析：即將方程作適當的變形, 把其中系數容易化為1的一項放在方程的一邊, 其他的項移到方程另一邊．
3．解下列方程組
（2）
（3） （4）
(1)解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程組的解為．
（2）解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程組的解為．
（3）解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程組的解為．
(4)解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程組的解為．
分析：轉換后利用代入法解二元一次方程組．
【限時訓練】
1．已知方程下面是用含y的代數式表示x是（ ）
A． B．
C． D．
答：C
師生活動：老師提問學生舉手回答問題．
2．將代入可得（ ）
A． B．
C． D．
答：B
3．用代入法解方程組有以下過程：
（1）由①得 ③；
（2）把③代入②得；
（3）去分母得；
（4）解之得，再由③得，其中錯誤的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
答：C
4．把下列方程寫成用含x的代數式表示y的形式:
(1)；
(2)．
分析：即將方程作適當的變形, 把含有y的項放在方程的一邊, 其他的項移到方程另一邊, 再把y的系數化1．
解：(1)；(2)．
5．在解方程組時，小明把方程①抄錯了，從而得到錯解，而小亮卻把方程②抄錯了，得到錯解，你能求出正確答案嗎？原方程組到底是怎樣的？
解：把代入方程②，得．
把代入方程①，得．
解方程組, 得 ．
所以原方程組為, 解得．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．解二元一次方程組的基本思路是什么？
3．代入消元法的基本步驟是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步加深并鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
你還會解什么樣的二元一次方程呢？
你還有其他的方法嗎？
和小伙伴們一起討論并實施驗算一下吧！
本課按照“身邊的數學問題引入——尋求一元一次方程的解法——探索二元一次方程組的代入消元法——典型例題——歸納代入法的一般步驟”的思路進行設計．在教學過程中，充分調動學生的主觀能動性和發揮教師的主導作用，堅持啟發式教學．教師創設有趣的情境，引發學生自覺參與學習活動的積極性，使知識發現過程融于有趣的活動中．重視知識的發生過程．將設未知數列一元一次方程的求解過程與二元一次方程組相比較，從而得到二元一次方程組的代入（消元）解法，這種比較，可使學生在復習舊知識的同時，使新知識得以掌握，這對于學生體會新知識的產生和形成過程是十分重要的．

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