資源簡介

第六章 一次方程組
6.2.3 選擇恰當的方法解二元一次方程組
本節課《選擇恰當的方法解二元一次方程組》是人教版初中數學七年級下冊第六章第二節《二元一次方程組的解法》延伸內容．本課在學生學習了代入消元和加減消元法后，進一步探究解二元一次方程組的其他方法．通過本課的學習，學生將掌握解方程的多種方法，從而提高做題的高效率．
在本節課的學習中，學生已經具備了解二元一次方程組的基礎方法．然而，在解決多種情況時，如果采用以上學習的兩種方法可能會加大計算量，不能做到快而準．因此在教學過程中，教師一定要鼓勵學生多嘗試、多練習、多思考，并引導學生主動總結歸納解題的多種方法和技巧．
1．會根據方程組的具體情況選擇適合的消元法．
2．通過對具體的二元一次方程組的觀察、分析，選擇恰當的方法解二元一次方程組，培養學生的觀察、分析能力．
3．通過學生比較兩種解法的差別與聯系，體會透過現象抓住事物本質的這一認識方法．
重點：會根據方程組的具體情況選擇合適的消元法．
難點：在解題過程中進一步體會“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想．
復習回顧
1．代入法解二元一次方程組的步驟是什么？
將其中一個方程的某個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程．這種解方程組的方法稱為代入消元法．
2．加減法解二元一次方程組的步驟是什么？
當方程組中同一未知數的系數互為相反數時，我們可以把兩方程相加，當方程組中同一未知數的系數相等時，我們可以把兩方程相減，從而達到消元的目的，進而求得二元一次方程組的解．這種解二元一次方程組的方法，叫做加減消元法．
3．代入法、加減法的基本思想是什么？
將“二元”化“一元”
4．我們在解二元一次方程組時，該選取何種方法呢？
【歸納結論】 ①關于二元一次方程組的兩種解法：代入消元法和加減消元法，通過比較，我們發現其實質都是消元，即通過消去一個未知數，化“二元”為“一元”．
②只有當方程組的某一方程中某一未知數的系數的絕對值是1時，用代入消元法較簡單，其他的用加減消元法較簡單．
通過學生自學、對比、討論、互幫互助，既鞏固了已學的用代入法解二元一次方程組的知識，又在此過程中學會根據方程組的具體情況選擇適合的消元法．
師生活動：學生先獨立思考,再以小組形式匯報．
設計意圖： 既復習了舊知識，又引出了新課題，最后設置懸念，增強了學生的學習興趣．
探究新知
活動一：判斷方程組解的情況
問題1：計算下列方程組
（1）
解得
（2）
解：①×2＋②得
（3）
解：①×2＋②得
讓學生根據前面二元一次組方程的解的情況，討論出上述三個方程組的解的情況：
（1）有唯一解；
（2）無解；
（3）有無窮多解．
讓學生小組討論：分別在什么樣的情況下方程組有唯一解、無解、有無數個解？
（在學生討論時教師給予提示：注意觀察上述三個方程組中，每個方程組中的對應未知數的系數之間的關系，必要時把它們乘一乘或者除一除．）
（1）中；
（2）中；
（3）中．
由上我們可以猜想：若方程組中x,y兩個未知數的系數比不相等，則方程組有唯一解；若方程組中x,y兩個未知數的系數比相等但與常數項的比值不等，則方程組無解；若方程組中x,y兩個未知數的系數比以及常數項的比值都相等，則方程組有無窮多解．
【歸納結論】對于一般的二元一次方程組
我們有
（1），二元一次方程組有唯一解；
（2），二元一次方程組無解；
（3），二元一次方程組有無窮多解．
設計意圖：通過提前布置預習作業，培養學生檢索整理信息的能力，并引發學生的思考，為學習新課做鋪墊．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
活動二：整體代入法解二元一次方程組
問題2：解方程組
解：由①得 ③
把③代入②，得，解得
把代入③，得，解得
所以原方程組的解為．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．像這樣的方法被稱為“整體代入法”．
設計意圖：通過讓學生操作，培養學生動手的能力，并引發學生的思考，加深對本節概念的印象．
活動三：換元法解二元一次方程組
問題3：解方程組
解：設，，則原方程組可變形為
解得，所以，解得
所以原方程組的解為．
我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程的方法叫“換元法”．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：通過讓學生思考，培養學生探究并發現新知的習慣，從而激發學生的學習興趣．
活動四：解未知數的系數交叉相等方程組
問題4：解方程組
解：①＋②，得，即 ③
②－①，得，即 ④
③＋④，得，即．
把代入③，得
所以原方程組的解為
對于形如的方程，可通過將兩個方程相加減，得到系數簡單的新方程組再運用加減法求解．
應用新知
經典例題：
例1：解方程組
解：把②代入①，得，解得
把代入②，解得
所以原方程組的解為
例2：解方程組
解：設，，則原方程組可變形為整理得
解得，所以，解得
所以原方程組的解為
例3：解方程組
解：①＋②，得，即 ③
①－②，得，即 ④
③＋④，得，即．
把代入③，得
所以原方程組的解為
師生活動：學生先獨立思考再作答，老師提問學生代表展示問題答案．
設計意圖：通過學生參與活動，激發學生參與課堂教學的熱情，激發學生的求知欲．
課堂練習
【限時訓練】
（3）
(1)解：由①得 ③
把③代入②，得
解得
把代入③
解得
所以原方程組的解為
(2)解：設，，
則原方程組可變形為
化簡得
解得
所以，
解得
所以原方程組的解為
(3)解：①＋②，得 ③
③×9，得 ④
④－①，得
解得
④－②，得
解得
所以原方程組的解為
(4)解：①＋②，得，即 ③
②－①，得，即 ④
③＋④，得
解得
把代入③，得
所以原方程組的解為
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解二元一次方程組的解法．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．二元一次方程組的多種解法有哪些？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
二元一次方程組的多種解法能否應用到日常生活中嗎？
本節課是讓學生學會根據方程組的具體情況選擇合適的消元法．在學習二元一次方程組的解法中，關鍵是領會其本質思想——消元，體會“化未知為已知”的化歸思想．因而在教學過程中教師應通過問題情境的創設，激發學生的學習興趣，并通過精心設計的問題，引導學生在已有知識的基礎上，自己比較、分析總結出在解二元一次方程組時，根據方程組的特點選擇恰當的方法．

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