資源簡(jiǎn)介

第六章 一元一次方程
6.2.4 列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題
本節(jié)課《列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題》是華師版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章第四節(jié)的內(nèi)容．在學(xué)生學(xué)習(xí)了用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題、解二元一次方程組之后，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程組．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明白解決實(shí)際問(wèn)題就是把“未知”化為“已知”的過(guò)程，其關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題中的等量關(guān)系，列出方程．
學(xué)生現(xiàn)階段已經(jīng)具備一定的知識(shí)儲(chǔ)備，通過(guò)第五章的學(xué)習(xí)對(duì)等量關(guān)系已經(jīng)有了初步的了解．然而，由于學(xué)生之間存在個(gè)體差異，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題、體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的運(yùn)用中存在理解偏差．因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師需要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，采取因材施教的教學(xué)策略．
1．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題使學(xué)生感受二元一次方程組的廣泛應(yīng)用，體會(huì)列二元一次方程組是解決某些實(shí)際問(wèn)題的一種有效的數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)．
2．能夠由題意找出等量關(guān)系，列出二元一次方程組并檢驗(yàn)所得結(jié)果是否符合實(shí)際意義．
3．使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿探索與創(chuàng)造，體會(huì)到經(jīng)濟(jì)社會(huì)中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生探索的精神．
重點(diǎn)：把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，即對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的建立．
難點(diǎn)：在實(shí)踐探索中尋找解題方案．
情境導(dǎo)入
在現(xiàn)實(shí)生活中，有很多問(wèn)題都跟數(shù)學(xué)有關(guān)，例如下面的問(wèn)題：
經(jīng)典例題：小剛買了3 kg蘋果，2 kg梨，共花了18.8元，小玲買了2 kg蘋果，3 kg梨，共花了18.2元．你能算出蘋果和梨各自的單價(jià)嗎？
這是一個(gè)大家熟悉的購(gòu)物問(wèn)題，你會(huì)用所學(xué)到的知識(shí)來(lái)解決嗎(學(xué)生討論)？
復(fù)習(xí)回顧
1．一元一次方程解實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程是什么？
2．分析和抽象的過(guò)程包括哪些？
（1）弄清題意，設(shè)未知數(shù)；
（2）找等量關(guān)系；
（3）列方程．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的復(fù)習(xí)，為本節(jié)課的繼續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊．
探究新知
活動(dòng)一：列方程組解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題
問(wèn)題1：題中有哪些未知量，你如何設(shè)未知數(shù)？
未知量：蘋果的單價(jià)，梨的單價(jià)；
設(shè)未知數(shù)：設(shè)蘋果的單價(jià)為x元/千克，梨的單價(jià)為y元/千克．
問(wèn)題2：題中有哪些等量關(guān)系？
解：設(shè)蘋果的單價(jià)為x元/千克，梨的單價(jià)為y元/千克．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組得
答：蘋果的單價(jià)為4元/千克，梨的單價(jià)為3.4元/千克．
我們可以發(fā)現(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題中，都存在著一些等量關(guān)系，因此我們可借助列方程或方程組的方法來(lái)處理這些問(wèn)題．
活動(dòng)二：列方程組解決實(shí)際問(wèn)題
教材例題：
問(wèn)題3. 某蔬菜公司收購(gòu)到某種蔬菜140 t，準(zhǔn)備加工后上市銷售．該公司的加工能力是：每天可以粗加工16 t或者精加工6 t．現(xiàn)計(jì)劃用15天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務(wù)？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤(rùn)為1000元，精加工后為2000元，那么該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少元？
分析：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是解答前一個(gè)問(wèn)題，即先求出安排粗加工和精加工的天數(shù)．
從題目的信息中我們可以得到這樣的等量關(guān)系：
設(shè)粗加工和精加工的天數(shù)分別為x，y，將兩個(gè)等量關(guān)系直接“翻譯”就可列出方程組.
解：設(shè)應(yīng)安排x天粗加工，y天精加工．根據(jù)題意得，得
解這個(gè)方程組，得
出售這些加工后的蔬菜共可獲利
（元）
答：應(yīng)安排5天粗加工，10天精加工，加工后出售共可獲利200000元．
師生活動(dòng)：小組形式匯報(bào)．
活動(dòng)三：二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟
【歸納結(jié)論】
(1)審題：分析題目中的已知量與未知量；
(2)設(shè)元：用字母表示題目中的未知量；
(3)列方程組：根據(jù)題中的2個(gè)等量關(guān)系列出方程組；
(4)解方程組：利用代入消元法或加減消元法解出未知數(shù)的值；
(5)檢驗(yàn)并答：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，然后作答．
在第5章中，我們通過(guò)列一元一次方程解決了一些簡(jiǎn)單的實(shí)際題．在這里，又通過(guò)列二元一次方程組解決了另一些實(shí)際問(wèn)題．實(shí)際上，有很多問(wèn)題都存在著一些等量關(guān)系，我們可以通過(guò)列方程或方程組的方法來(lái)處理．列方程（或方程組）解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程可以概括為：
要注意的是，解決實(shí)際問(wèn)題的方法往往是多種多樣的，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題靈活選用．
設(shè)計(jì)意圖：感受方程模型思想的必要性和優(yōu)越性，并從列一元一次方程和列二元一次方程組的方法中，領(lǐng)會(huì)列二元一次方程組思維方式的簡(jiǎn)潔明了性和在解一些等量關(guān)系較為復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)體現(xiàn)的優(yōu)越性．
應(yīng)用新知
例1：某市舉辦中學(xué)生足球比賽，規(guī)定勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分．市第二中學(xué)足球隊(duì)比賽11場(chǎng)，沒(méi)有輸過(guò)一場(chǎng)，共得27分，試問(wèn)該隊(duì)勝幾場(chǎng)，平幾場(chǎng)？
分析：題中的未知量有勝的場(chǎng)數(shù)和平的場(chǎng)數(shù)，等量關(guān)系有：
勝的場(chǎng)數(shù)＋平的場(chǎng)數(shù)；
勝場(chǎng)得分＋平場(chǎng)得分．
勝場(chǎng) 平場(chǎng) 合計(jì)
場(chǎng)數(shù) x y 11
得分 3x y 27
解：設(shè)市第二中學(xué)足球隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組得
答：該市第二中學(xué)足球隊(duì)勝8場(chǎng)，平3場(chǎng)．
例2：某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2 m的某種布料可做衣身3個(gè)或衣袖5只，現(xiàn)計(jì)劃用132 m這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
分析：
本題的第一個(gè)相等關(guān)系較易得出：
衣身、衣袖所用布料的長(zhǎng)度和為132 m；
第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎樣配套的，
即衣袖的數(shù)量等于衣身數(shù)量的2倍．
解：設(shè)用x m布料做衣身，用y m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組得
答：用60 m布料做衣身，用72 m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套．
例3：二果問(wèn)價(jià)：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，試問(wèn)甜苦果幾個(gè)？又問(wèn)各該幾個(gè)錢？
分析：這首古詩(shī)詞翻譯成白話文，即：九百九十九文錢可買一千個(gè)甜果和苦果，已知十一文錢可買九個(gè)甜果，四文錢可買七個(gè)苦果，那么甜果、苦果各買多少個(gè)？買甜果、苦果各需多少文錢？
解：設(shè)甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組得
因?yàn)椋?br/>所以甜果657個(gè)需803文錢，苦果343個(gè)需196文錢．
課堂練習(xí)
【教材練習(xí)】
1．22名工人按定額完成了3400件產(chǎn)品，其中熟練工每人定額200件，學(xué)徒工每人定額150件．問(wèn)：這22名工人中熟練工和學(xué)徒工各有多少名？
解：設(shè)熟練工有x名，學(xué)徒工有y名．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組，得
答：這22名工人中熟練工2名，學(xué)徒工20名．
2．為了改善富春河的周圍環(huán)境，踐行“綠水青山就是金山銀山”理念，縣政府決定，將該河上游A地的一部分牧場(chǎng)改林場(chǎng)．改變后，預(yù)計(jì)林場(chǎng)和牧場(chǎng)共有162 ，牧場(chǎng)面積是林場(chǎng)面積的20%．請(qǐng)你算一算：改變后林場(chǎng)和牧場(chǎng)的面積各為多少公頃？
解：設(shè)改變后林場(chǎng)的面積為x公頃，牧場(chǎng)面積為y公頃．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組，得
答：改變后林場(chǎng)的面積各為135公頃，牧場(chǎng)面積各為27公頃．
3．某船的載重為200 t，容積為500 ．現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為4 ，乙種貨物每噸體積為1.5 ．若要充分利用這艘船的載重與容積，則甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝多少噸？（設(shè)裝運(yùn)貨物時(shí)不留空隙）
解：設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組，得
答：甲種貨物裝80噸，乙種貨物裝120噸．
師生活動(dòng)：老師提問(wèn)學(xué)生代表展示問(wèn)題答案．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生參與活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，使學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題情境，讓學(xué)生加深對(duì)等量關(guān)系的認(rèn)知．激發(fā)學(xué)生的求知欲望，感受數(shù)學(xué)的魅力．
【限時(shí)訓(xùn)練】
1．某工廠去年的總產(chǎn)值比總支出多500萬(wàn)元．由于今年總產(chǎn)值比去年增加15%，總支出比去年節(jié)約10%，因此，今年總產(chǎn)值比總支出多950萬(wàn)元．今年的總產(chǎn)值和總支出各是多少萬(wàn)元？
解：設(shè)去年的總產(chǎn)值是x萬(wàn)元，總支出是y萬(wàn)元．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組，得
，．
答：今年的總產(chǎn)值是2300萬(wàn)元，總支出是1350萬(wàn)元．
2．甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，決定將甲服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)．在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？
解：設(shè)甲服裝的成本x元，乙服裝的成本y元．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組，得
答：甲服裝的成本300元，乙服裝的成本200元．
3．甲、乙兩人練習(xí)賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就可以追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙，求兩人每秒鐘各跑多少米？
解：設(shè)甲每秒跑x米，乙每秒跑y米．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組，得
答：甲每秒跑6米，乙每秒跑4米．
4．某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？
解：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程組，得
答：訂做的工作服是3375套，要求的期限是18天．
師生活動(dòng)：老師提問(wèn)學(xué)生舉手回答問(wèn)題．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)鞏固列二元一次方程組解應(yīng)用題的技能．
歸納總結(jié)
師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2．怎么利用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．
實(shí)踐作業(yè)
在日常生活中方程組還可以運(yùn)用到哪些情況中？快跟小伙伴們?nèi)ヒ黄鹑ヌ剿靼桑?br/>列二元一次方程組和列一元一次方程解同一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，是用兩種不同的表達(dá)形式揭示問(wèn)題中的相等關(guān)系；反過(guò)來(lái)，求解實(shí)際問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把問(wèn)題中的相等關(guān)系翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.學(xué)習(xí)各類實(shí)際問(wèn)題,不僅要熟悉各類問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系,而且還要弄清各類問(wèn)題之間的本質(zhì)聯(lián)系．

展開更多......

收起↑