資源簡介

第六章 一次方程組
6.3 三元一次方程組及其解法
本節課《三元一次方程組及其解法》是華師版初中數學七年級下冊第六章第三節內容．本課在學生學習了二元一次方程、二元一次方程組及二元一次方程組的解的基本概念后，進一步深入學習三元一次方程、三元一次方程組及其解法組的解．通過本課的學習，加深學生對消元的認知，感受“消元”的思想．
在本節課的學習中，學生已經具備了方程組的基礎知識，對方程組的概念有了初步詳細的了解．然而，在面對多元題目還不能迅速的做出判斷，找出應消去的未知數．因此，在教學過程中，要采用學生多練，多思考，教師要主動引導學生總結歸納解題的方法和規律．
1．了解三元一次方程組的概念．
2．會用“代入”、“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進而化為“一元”方程來解決．
3．能根據三元一次方程組的具體形式選擇適當的解法．
4．讓學生感受把新知轉化為已知，把不會的問題轉化為學過的問題，把難度大的問題轉化為難度較小的問題這一化歸思想，體會數學學習的方法．
重點：三元一次方程組的解法及“消元”思想．
難點：根據方程組的特點，選擇消哪個元，選擇用什么方法消元．
情境導入
在6.1節中，我們應用二元一次方程組，求出了勇士隊在“我們的小世界杯”足球賽第一輪比賽中勝與平的場數．
在第二輪比賽中，勇士隊參加了10場比賽，按同樣的計分規則，共得18分，已知勇士隊在比賽中勝的場數正好等于平與負的場數之和，那么勇士隊在第二輪比賽中勝、平、負的場數各是多少？
這個問題可以通過列出一元一次方程或二元一次方程組來解決．
小明同學提出了一個新的思路：
問題中有三個未知數，如果設勇士隊在第二輪比賽中勝、平、負的場數分別為x、y、z，又將怎樣呢？
分別將已知條件直接“翻譯”，列出方程，并將它們寫成方程組的形式，得
像這樣的方程組稱為三元一次方程組．
怎樣解三元一次方程組呢？
回憶一下二元一次方程組的解法，從中得到什么啟示？
師生活動：學生獨立思考，再小組交流，最后呈現答案．
設計意圖：通過創設問題情境，引入新課，使學生了解三元一次方程組的概念及本節課要解決的問題．
復習回顧
解二元一次方程組的基本思想是什么？你會用幾種方法解二元一次方程組？
答：我們知道，解二元一次方程組的基本思想是“消元”：消去一個未知數，將方程組轉化為一元一次方程求解．方法有代入消元法和加減消元法．
師生活動：采用教師問學生答．
設計意圖：通過提前布置預習作業，培養學生建立清晰的知識體系，不僅回顧了知識點也為學生接下來學習新課做鋪墊．
探究新知
活動一：三元轉換為二元解決問題
問題1：如何解情境導入中的三元一次方程組？
對于三元一次方程組，同樣可以先消去某一個（或兩個）未知數，轉化為二元一次方程組（或一元一次方程）求解．
注意到方程③中，x是用含y和z的代數式來表示的，把它分別代入方程①②，就可以消去x，得到
（化歸思想在這里進一步得到體現，你體會到了嗎？）
這是一個關于y、z的二元一次方程組，解得
將代入方程③中，可得
所以這個三元一次方程組的解是
什么叫三元一次方程？
在這個方程組中，和都含有三個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1，這樣的方程叫做三元一次方程．
必備條件：
(1)是整式方程；
(2)含三個未知數；
(3)所含未知數的項的次數都是1．
什么叫三元一次方程組？
像這樣，共含有三個未知數的三個一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組．
(1)是整式方程；
(2)含三個未知數；
(3)三個都是一次方程；
(4)聯立在一起．
上面的三元一次方程組能否用加減消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的？比較一下，哪種方法更簡便？由此你能總結出解三元一次方程組的步驟嗎？
設計意圖：引導學生觀察方程組中相應方程之間的關系，從而培養學生愛探索的好習慣．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
概念歸納：
解三元一次方程組的步驟：
1.利用代入法或加減法先消掉一個未知數，將三元一次方程組轉化為二元一次方程組.
2.解二元一次方程組.
3.將二元一次方程組的解代入其中一個方程，求出第三個未知數.
【教學說明】結合情境問題中列出的方程組，類比前面所學二元一次方程組的解法，得到解三元一次方程組的整體思路．
活動二：選擇適當的方法解方程組
問題2：解方程組 ，若要使運算簡便，消元的方法應選取( B )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上說法都不對
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流．
設計意圖：通過讓學生操作，培養學生動手的能力，并引發學生的思考，加深對本節概念的印象．
應用新知
經典例題：例1：解方程組：
解：由方程②，得
④
把④分別代入方程①和③, 得
整理，得
解這個二元一次方程組，得
代入④，得
．
所以原方程組的解為
這里，我們用的是代入消元法：先由方程②，用含有x、y的代數式表示z，再分別代入方程①和③，消去未知數z，轉化為只含有x 的二元一次方程組求解。
能否先消去x（或y）？怎么做？比較一下，哪個更簡便？
例2：解方程組：
分析：
三個方程中未知數的系數都不是1或，用代入消元法比較麻煩，可考慮用加減消元法求解.
解：③－②，得
即
①×3＋②×4，得
即
得方程組
解得
把代入方程②，得
所以原方程組的解為
上述例1和例2的解答分別應用了代入消元法和加減消元法，先消去某一個未知數，將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，然后解所得的二元一次方程組，得到兩個未知數的值，進而求出第三個未知數的值，從而得到原方程組的解．
能否先消去z（或x）？怎么做？比較一下，哪個更簡便？
師生活動：學生先獨立思考
設計意圖：通過學生參與活動，激發學生參與課堂教學的熱情，使學生進入問題情境，讓學生加深對知識點印象．激發學生的求知欲望，感受數學的魅力．
解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”轉化為“二元”，使解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，進而再轉化為解一元一次方程．
課堂練習
【教材練習】
1、解下列方程組：
（1）
（3）
(1)解：①＋②得
②－③得
得方程組
解得
將代入①
得
所以原方程組的解為
(2)解：①＋2×②得
得方程組
解得
將代入①
得
所以原方程組的解為
(3)解：把原方程組整理，得
③－①，得 ④
①×4－②，得 ⑤
⑤－④×3，得
即
把代入④得
把，代入①得
所以原方程組的解為
(4)解：由①得 ④
由②得 ⑤
由④和⑤得
設，則，
把，，代入③
得
把代入
所以原方程組的解為
2．已知．當時，；當時，；當時，．求a、b、c的值．
解：根據題意得
把②代入①、③得
解得
所以，，
師生活動：學生先獨立思考再作答．
分析：把“三元”轉換為“二元”后解二元一次方程組
【限時訓練】
1．若，，則的值為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
答：D
師生活動：老師提問學生舉手回答問題．
解析: 通過觀察未知數的系數，可采取兩個方程相加得，，所以.
2．下列方程是三元一次方程的是________．(填序號)
①； ②；
③； ④.
答：①
3．解方程組：
解：由方程②，得 ④
將④分別代入①和③，得
解得
把代入④，得
所以原方程組的解為
4.在等式 中，當時，；當時，；當時，求a、b、c的值．
解：根據題意得
②－①，得 ④
③－①，得 ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
解得
把代入①得
所以原方程組的解為
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．解三元一次方程組的基本思路是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步加深并鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
你還會解什么樣的三元一次方程呢？
你還有其他的方法嗎？
和小伙伴們一起討論并實施驗算一下吧！
通過本節課的學習能讓學生在本節課上了解到三元一次方程組的概念，掌握用“代入法”、“加減法”對三元一次方程組進行消元，并逐步領會如何選擇適合的方法，以提高解題效率.原來本環節的目的是讓學生熟練掌握三元一次方程組的解法和調動學生學習的積極性，但因為計算結果比較復雜，學生不敢肯定自己動手計算結果，從而影響了效果．

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