資源簡介

第六章 一次方程組
6.4 實踐與探索
本節(jié)課《實踐與探索》是華師版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第六章第四節(jié)的內(nèi)容．本課在學(xué)生學(xué)習(xí)了二元一次方程組和它的解、二元一次方程組的解法和三元一次方程組及其解法的知識之后，作為本章最后一個小結(jié)，主要內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會建立二元一次方程組模型解決問題．通過在解決實際問題的過程中，同伴之間的討論、交流與合作，體會與他人合作的重要性，逐步形成積極參與討論、敢于發(fā)表見解并尊重與理解他人見解的意識．
在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了二元一次方程組的相關(guān)知識，但在解決不同問題時學(xué)生對解題使用方法還不能準(zhǔn)確判斷．因此，在本節(jié)課中通過學(xué)生積極思考、互相討論，探索事物之間的數(shù)量關(guān)系，形成方程模型．學(xué)生學(xué)好本節(jié)知識，不僅可以解決本章基礎(chǔ)問題還能培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識在教學(xué)過程中，要采用學(xué)生多練，多思考，教師要主動引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解題的方法和規(guī)律．
1．通過對實際問題的探索與解決，逐步形成結(jié)合具體的事例發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題的能力．
2．學(xué)會用二元一次方程組解決簡單的實際問題．
3．通過學(xué)生積極思考、互相討論，探索事物之間的數(shù)量關(guān)系，形成方程模型．
4．通過在解決實際問題的過程中，同伴之間的討論、交流與合作，體會與他人合作的重要性，逐步形成積極參與討論、敢于發(fā)表見解并尊重與理解他人見解的意識．
重點：學(xué)生積極參與討論和探究問題．
難點：用二元一次方程組解決簡單的實際問題．
復(fù)習(xí)回顧
通過前面的學(xué)習(xí)，你能說出列二元一次方程組解決實際問題的步驟嗎？其中什么是關(guān)鍵？
師生活動：采用教師問學(xué)生答．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生對列二元一次方程組解決實際問題的步驟進(jìn)行復(fù)習(xí)，為本節(jié)課作鋪墊．
探究新知
活動一：建立二元一次方程組模型解決幾何問題
問題1：要用20張白卡紙做長方體的包裝盒，準(zhǔn)備把這些白卡紙分成兩部分，一部分做側(cè)面，另一部分做底面，已知每張白卡紙可以做2個側(cè)面，或者3個底面．如果1個側(cè)面和2個底面可以做成一個包裝盒，那么如何分才能使做成的側(cè)面和底面正好配套？
師生活動：請同學(xué)們獨立思考，試解上面的問題,然后與你的同伴討論、交流，探索解題進(jìn)行方法.
追問：
1.本題有哪些已知量？
(1)共有白卡紙20張；
(2)一張白卡紙可以做盒身2個或盒底蓋3個；
(3)1個盒身與2個盒底蓋配成一套．
2.求什么？
用幾張白卡紙做盒身？幾張白卡紙做盒底蓋？
3.若設(shè)用x張白卡紙做盒身，y張白卡紙做盒底蓋，那么可做盒身多少個？盒底蓋多少個？（2x個盒身，3y個盒底蓋）
4.找出2個等量關(guān)系.
(1)用做盒身的白卡紙張數(shù)＋用做盒底蓋的白卡紙張數(shù)＝20；
(2)由已知(3)可知盒底蓋的個數(shù)應(yīng)該是盒身的2倍，才能使盒身與盒底蓋正好配套．
根據(jù)題意，得
解這個方程組，得
由于解為分?jǐn)?shù)，所以如果不允許剪開，則只能做成16個包裝盒，無法全部利用；如果允許剪開，則分法很多，例如可以將一張白卡紙一分為二，用8張半做盒身，11張半做盒底蓋，可以做成盒身17個，盒底蓋34個，正好配套成17個包裝盒，較充分地利用了材料．
問題2：小明在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個大小一樣的長方形，恰好可以拼成如下圖所示的一個大的長方形．小紅看見了，說：“我來試一試”，結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如下圖所示的正方形，咳，怎么中間還留有一個洞，恰好是邊長為2 mm的小正方形！
你能求出這些長方形的長和寬嗎？
1.觀察小明的拼圖你能發(fā)現(xiàn)小長方形的長x mm與寬y mm之間的數(shù)量關(guān)系嗎？
（根據(jù)矩形的對邊相等，得）
2.再觀察小紅的拼圖，你能寫出表示小長方形的長x mm與寬y mm之間的另一個關(guān)系式嗎？
(顯然有)
這樣就得到方程組
解這個方程組，得
8個小矩形的面積和()；
大正方形的面積()；
()()
因此小紅拼出的大正方形中間還留下了一個恰好是邊長為2 mm的小正方形．
師生活動：在學(xué)生探索解題方法的過程中，教師要鼓勵學(xué)生多角度地思考，只要學(xué)生的方法有道理，就要給予肯定和鼓勵．鼓勵學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑和大膽創(chuàng)新．
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，并找出等量關(guān)系．
應(yīng)用新知
活動二：建立二元一次方程組模型解決實際問題
例1：某商場購進(jìn)甲、乙兩種商品后，甲種商品加價50%、乙種商品加價40%作為標(biāo)價，適逢元旦，商場舉辦促銷活動，甲種商品打八折銷售，乙種商品打八五折銷售，某顧客購買甲、乙兩種商品各1件，共付款538元，已知商場共盈利88元，求甲、乙兩種商品的進(jìn)價各是多少元．
解：設(shè)甲種商品的進(jìn)價為x元，乙種商品的進(jìn)價為y元．根據(jù)題意，得
化簡，得
解得
答：甲種商品的進(jìn)價為250元，乙種商品的進(jìn)價為200元．
例2：如圖：用8塊相同的長方形拼成一個寬為48厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少？
解：設(shè)小長方形的長是x厘米，寬是y厘米．
解這個方程組，得
答：小長方形的長是36厘米，寬是12厘米．
師生活動：學(xué)生先獨立思考
設(shè)計意圖：通過學(xué)生參與活動，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，使學(xué)生進(jìn)入問題情境，讓學(xué)生加深對知識點印象．激發(fā)學(xué)生的求知欲望，感受數(shù)學(xué)的魅力．
課堂練習(xí)
【教材練習(xí)】
1．為了更有效地利用水資源，鼓勵居民節(jié)約用水，某市規(guī)定，居民生活用水按三檔分段計價． 第一段：每戶每月用水不超過A ，水價為2.91元/；第二段：每戶每月用水超過A 但不超過B ，超過部分水價按3.71元/計算；第三段：每戶每月用水超過B ，超過部分水價按6.11元/計算．
已知小紅家上月用水20 ，并沒有超過B ，繳納水費59.80元．問：該市規(guī)定的用水標(biāo)準(zhǔn)A 是多少？小紅家按第二段超量部分計費的用水量是多少？
解：，
所以小紅家上月用水量超過A ，
設(shè)該市規(guī)定的用水標(biāo)準(zhǔn)A是x ，小紅家按第二段超量部分計費的用水量是y ．
根據(jù)題意，得
解這個方程組，得
答：設(shè)該市規(guī)定的用水標(biāo)準(zhǔn)A是18 ，小紅家按第二段超量部分計費的用水量是2 ．
2．某山區(qū)盛產(chǎn)一種野果，極具市場前景，一家經(jīng)銷公司一次收購23 t．經(jīng)市場預(yù)測，若直接銷售，則每噸可獲利500元；若經(jīng)過粗加工并包裝，則每噸可獲利2500元；若制成罐頭出售，則每噸可獲利4000元．該公司每天可粗加工并包裝4 t或制罐頭1.5 t．同一天兩種加工方式不能同時進(jìn)行，且全部原料必須不超過7天全部銷售或加工完畢．為此，公司研究了三種方案：
（1）全部進(jìn)行粗加工并包裝；
（2）盡可能多地制作罐頭，余下的直接銷售；
（3）部分制作罐頭，其余進(jìn)行粗加工并包裝，且正好7天完成。
請你探究一下，為公司做決策．
（1）全部進(jìn)行粗加工并包裝，
可獲利（元）．
（2）盡可能多地制作罐頭，余下的直接銷售，可獲利
（元）．
（3）設(shè)制作罐頭x天，進(jìn)行粗加工并包裝y天．
根據(jù)題意，得
解這個方程組，得
此時獲利（元）．
因為，
所以公司應(yīng)選擇方案（3）：安排2天制作罐頭，5天進(jìn)行粗加工并包裝獲利最大．
師生活動：學(xué)生先獨立思考再作答．
分析：轉(zhuǎn)換后利用代入法解二元一次方程組．
【限時訓(xùn)練】
1．一個長方形，它的長減少1 cm，寬增加3 cm，可得到一個正方形，其面積比原來的長方形面積大21 ．求原來長方形的長與寬各是多少厘米？
分析：本題要求原來長方形的長與寬，可利用題中的條件找出相等關(guān)系，列出方程組來解決，由于原來長方形的長減少1 cm，寬增加3 cm，就可得到一個正方形，據(jù)此有相等關(guān)系“原長方形的長原長方形的寬”，而所得的正方形比原來的長方形面積大21 ．據(jù)此又可以得相等關(guān)系“所得正方形的面積－原來的長方形的面積”．
解：設(shè)原來長方形的長為x cm，寬為y cm，根據(jù)題意，得
化簡得
解這個方程組，得
答：原來長方形的長與寬分別是10 cm，6 cm．
2.有兩個長方形，第一個長方形的長與寬之比為5：4，第二個長方形的長與寬之比為3：2，第一個長方形的周長比第二個長方形的周長大112 cm，第一個長方形的寬比第二個長方形的長的2倍還大6 cm，求這兩個長方形的面積．
解：設(shè)第一個長方形的長與寬分別為5x cm和4x cm，第二個長方形的長與寬分別為3y cm和2y cm，根據(jù)題意，得
解這個方程組，得
因為，0
答：這兩個長方形的面積分別為1620 ，150 ．
3.某紙品廠為了制作甲、乙兩種長方形無蓋小盒(圖1)，利用邊角料裁出長方形和正方形兩種硬紙片，長方形的寬與正方形的邊長相等(圖2)．現(xiàn)用300張長方形硬紙片和150張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可做甲、 乙兩種小盒各多少個？
【教學(xué)說明】 通過練習(xí)使學(xué)生掌握如何從幾何問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.
解：設(shè)可做甲種小盒x個，可做乙種小盒y個．根據(jù)題意可得：
解這個方程組，得
答：可做甲種小盒30個可做乙種小盒60個．
歸納總結(jié)
師生活動：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2．怎樣建立二元一次方程組模型解決問題？
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步加深并鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識．
實踐作業(yè)
在日常生活中解決實際問題一般采用什么樣的方法呢？
和小伙伴們一起進(jìn)行方案設(shè)計吧！
本節(jié)課通過師生交流，對學(xué)生的解法給予鼓勵，并引導(dǎo)學(xué)生比較用一元一次方程和用二元一次方程組來解的感受，從中體會到什么時候應(yīng)用一元一次方程，什么時候應(yīng)用二元一次方程組來解決實際問題比較方便.再通過練習(xí)使學(xué)生掌握如何從幾何問題中抽象出數(shù)學(xué)模型,教學(xué)效果較好．

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