資源簡介

第五章 一元一次方程
5.3 實踐與探索
第3課時 工程、行程和配套問題
本節課是華東師大版初中數學七年級下冊第五章第三節《實踐與探索》第三課時的內容．本課在學生學習了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，進一步探究利用一元一次方程解決實際問題．通過本課的學習，學生將學會列一元一次方程解決日常生活中的工程問題、行程問題和配套問題．
到了七年級下冊，學生已經具備了一定的數學基礎和方程知識，對一元一次方程的基本概念有了初步的了解．然而，由于學生之間存在個體差異，部分學生從實際問題中找出等量關系，列出一元一次方程可能會遇到困難．因此，在教學過程中，教師需要關注學生的個體差異，采取因材施教的教學策略．
1.通過學習列方程解決日常生活中的工程問題、行程問題和配套問題，進一步感知數學在生活中的作用．
2.通過分析工程問題、行程問題和配套問題中的數量關系，建立方程解決實際問題，進一步發展分析問題，解決問題的能力．
3.經歷由實際問題抽象、建立方程模型的過程，能抓住等量關系列出方程，并能解方程．
4.進一步熟悉列方程解應用題的解題步驟，學會從實際問題中抽象出數學模型．
重點：解決日常生活中的工程問題、行程問題和配套問題．
難點：找等量關系列一元一次方程解決實際問題．
復習回顧
1.一件工作，如果甲單獨做2小時完成，那么甲單獨做1小時，完成全部工作量的多少？
2.一件工作，如果甲單獨做3小時完成，那么甲單獨做1小時，完成全部工作量的多少？
3.工作量、工作效率、工作時間之間有怎樣的關系？
答案：1. ；2. ；3.工作量＝工作效率×工作時間，工作效率＝工作量÷工作時間，工作時間＝工作量÷工作效率．
設計意圖：復習回顧已學知識，為新課的學習做準備．
探究新知
活動一：工程問題
問題1 某工廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人．已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天．
（1）兩人合作需幾天完成？
（2）如果師傅先工作了2天，然后與徒弟合作，問還需幾天完成？
（3）現由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得報酬900元．如果按各人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配？
試解答這一系列問題，并和同學們一起交流各自的做法．
解：（1）設兩人合作完成需要x天．
列表分析：
可列方程：
解得x＝2.4
答：兩人合作完成需要2.4天．
（2）設還需y天完成．
列表分析：
可列方程：
解得y＝1.2．
答：還需1.2天完成．
（3）設完成這項工作總共用了z天．
列表分析：
可列方程：
解得z＝3
徒弟完成工作量的，師傅完成工作量的．
所以徒弟與師傅平分報酬，每人分得450元．
應用新知
經典例題
例1 一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天．如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？
分析 把工作量看作單位“1”，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，根據工作效率×工作時間＝工作量，列方程．
解：設要x天可以鋪好這條管線，由題意得
．
解得 x＝8
答：要8天可以鋪好這條管線．
小結：工程問題
工程問題中的三個基本量：工作量、工作效率、工作時間，它們之間的關系是：工作量＝工作效率×工作時間
若把工作量看作1，則工作效率＝1÷工作時間
(1)按工作時間，各時間段的工作量之和＝完成的工作量，
(2)按工作者，若一項工作有甲、乙兩人參與，則甲的工作量＋乙的工作量＝完成的工作量．
設計意圖：引導學生自己動手，如何用一元一次方程解決工程問題，提高讀題審題的能力，并規范答題的步驟．體會利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
活動二：行程問題
例2 小明與小紅的家相距20 km，小明從家里出發騎自行車去小紅家，兩人商定小紅到時候從家里出發騎自行車去接小明．已知小明騎車的速度為13 km/h，小紅騎車的速度是12 km/h．
（1）如果兩人同時出發，那么他們經過多少小時相遇？
分析 由于小明與小紅都從家里出發，相向而行，所以相遇時，他們走的路程的和等于兩家之間的距離．即小明走的路程＋小紅走的路程＝兩家之間的距離(20 km)．
解：（1）設小明與小紅騎車走了x h后相遇，
則根據等量關系，得
13x＋12x＝20．
解得 x＝0.8．
答：經過0.8 h他們兩人相遇．
（2）如果小明先走30min，那么小紅騎車要走多少小時才能與小明相遇？
解：（2）設小紅騎車走了t h后與小明相遇，則根據等量關系，得
13(0.5＋t)＋12t＝20．
解得 t＝0.54．
答：小紅騎車走0.54 h后與小明相遇．
小結：相遇問題
(1)路程＝速度×時間，
(2)甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙間的距離．
注意相向而行的始發時間和地點．
設計意圖：引導學生自己動手，如何用一元一次方程解決行程問題，提高讀題審題的能力，并規范答題的步驟．體會利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
活動三：配套問題
例3 某種儀器由1個A部件和1個B部件配套構成，每個工人每天可以加工A部件1 000個或者加工B部件600個．現有工人16人，應怎樣安排人力，才能使每天生產的A部件和B部件配套？
分析：本題中設安排x人生產A部件，相等關系是“每天生產A部件的數量＝每天生產B部件的數量”．列表如下：
解：設安排x人生產A部件，則安排（16－x）人生產B部件．
根據題意，得1000x＝600(16－x)，
解方程，得x＝6．
經檢驗，符合題意，
所以16－x＝16－6＝10．
答：應安排6人生產A部件，10人生產B部件，才能使每天生產的A部件和B部件配套．
小結：配套問題
在現實生活和生產中常見“產品配套”問題，解決這類題的基本相等關系是加工（或生產）的各種零配件的總數量比等于一套組合件中各種零配件的數量比．
設計意圖：引導學生自己動手，如何用一元一次方程解決行程問題，提高讀題審題的能力，并規范答題的步驟．體會利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
課堂練習
1.一項工作，甲獨做需18天，乙獨做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨做x天完成，那么所列方程為________________．
答：．
2.一艘輪船在同一河道中航行，順流而下每小時航行23 km，逆流而上每小時航行15 km，則輪船在平靜的河面航行的速度是______km/h，河水的流速是_______km/h．
答：19，4．
3.某車間有22名工人，每人每天可以生產1200個螺柱或2000個螺母．1個螺柱需要配2個螺母，為使每天生產的螺柱和螺母剛好配套，應安排生產螺柱和螺母的工人各多少名？
等量關系：每天生產的螺柱數量：生產的螺母數量＝1：2
解：設應安排x名工人生產螺柱，則(22－x)名工人生產螺母
解方程，得 x＝10
檢驗，x＝10符合題意，22－x＝12．
答：應安排10名工人生產螺柱，12名工人生產螺母．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深學生對一元一次方程的理解和應用能力．通過解決具體的工程問題、行程問題和配套問題，鞏固一元一次方程的應用．
【課堂檢測】
1.甲、乙兩人相距280米，相向而行，甲從A地出發每秒走8米，乙從B地出發每秒走6米，那么甲出發幾秒后與乙相遇？
分析：甲的行程＋乙的行程＝A、B兩地間的距離
解：設甲出發t秒與乙相遇．
根據題意，得 8t＋6t＝280．
解得 t＝20．
所以，甲出發20秒后與乙相遇．
2.某車間每天能生產甲種零件120個，或乙種零件100個，甲、乙兩種零件分別取3個、2個才能配成一套產品，現要在45天內生產最多的成套產品，怎樣安排生產甲、乙兩種零件的天數？最多可以生產多少套產品？
解：設安排x天生產甲種零件，則(45－x)天生產乙種零件．
解方程，得 x＝25
45－x＝20，20×1000÷2＝1000(套)
答：安排20天生產甲種零件，安排20天生產乙種零件，共生產1000套產品．
3.整理一批數據，假設每個人單位時間內完成工作量一樣，單獨一個人做需要80 h完成所有任務．現在先由幾個人先做2 h，再增加5人做8 h后，共完成這項工作的四分之三，問先安排參與整理數據的具體的人數是多少人？
解：先安排參與整理數據的具體的人數是x人．
根據題意，得
解方程，得 x＝2
檢驗，x＝2符合題意．
答：先安排2人參與整理數據．
設計意圖：通過課堂檢測，學生能夠在短時間內快速回顧和鞏固本堂課所學相關知識．同時，也鍛煉了學生的解題速度和對題目的理解能力，同時培養他們的時間管理意識和學習興趣．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
本節課你學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
根據自己家到學校的距離，步行時間和騎車時間編一道利用一元一次方程解決實際問題的題.
本節課是第七章“一元一次方程”的第三節《實踐與探索》中的第三課時《工程問題、行程問題和配套問題》，本節課是代數學習中的重要組成部分．本課在學生學習了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，進一步探究利用一元一次方程解決日常生活中的工程問題、行程問題和配套問題．七年級的學生正處于青春期，思維活躍，好奇心強，但注意力容易分散．因此，教師在設計教學活動時，應注重激發學生的學習興趣，通過生動的實例和有趣的練習，引導學生積極參與課堂活動，提高教學效果．
針對學生的學情，教師在備課時應充分準備，設計多樣化的教學活動，如小組討論、動手操作、游戲競賽等，以激發學生的學習興趣和主動性．同時，教師還應關注學生的學習過程，及時給予指導和幫助，確保每位學生都能在課堂上有所收獲．

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