資源簡介

第五章 一元一次方程
5.3 實踐與探索
第2課時 和差倍分、銷售和儲蓄問題
本節課是華東師大版初中數學七年級下冊第五章第三節《實踐與探索》第二課時的內容．本課在學生學習了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，進一步探究利用一元一次方程解決實際問題．通過本課的學習，學生將學會列一元一次方程解決日常生活中的和差倍分、銷售問題和儲蓄問題．
到了七年級下冊，學生已經具備了一定的數學基礎和方程知識，對一元一次方程的基本概念及解法有了一定的理解．然而，由于學生之間存在個體差異，部分學生從實際問題中找出等量關系，列出一元一次方程可能會遇到困難．因此，在教學過程中，教師需要關注學生的個體差異，采取因材施教的教學策略．
1.通過學習列方程解決日常生活中的和差倍分、銷售問題和儲蓄問題，進一步感知數學在生活中的作用．
2.通過分析和差倍分、銷售問題和儲蓄問題中的數量關系，建立方程解決實際問題，進一步發展分析問題，解決問題的能力．
3.經歷由實際問題抽象、建立方程模型的過程，能抓住等量關系列出方程，并能解方程．
4.進一步熟悉列方程解應用題的解題步驟，學會從實際問題中抽象出數學模型．
重點：解決日常生活中的和差倍分、銷售問題和儲蓄問題．
難點：找等量關系列一元一次方程解決實際問題．
復習回顧
列一元一次方程解應用題的主要步驟有哪些？
答：步驟：審，設，列，解，檢，答．
①審：通過審題找出等量關系；
②設：設出合理的未知數(直接或間接)，注意單位名稱；
③列：依據找到的等量關系，列出方程；
④解：求出方程的解；
⑤檢：檢驗所得的解是否符合題意；
⑥答：回答題目中要解決的問題，注意單位名稱．
設計意圖：復習回顧已學知識，為新課的學習做準備．
探究新知
活動一：和差倍分問題
問題1 新學年開始，某校三個年級為地震災區捐款，經統計，七年級捐款數占全校三個年級捐款總數的，八年級捐款數是全校三個年級捐款數的平均數，九年級捐款數為1964元．求七、八年級的捐款數．
思考：題目中的等量關系是什么？
答：七年級捐款數+八年級捐款數+九年級捐款數=總捐款數．
解：設總捐款數為x元，則七年級捐款數為x元，
八年級捐款數為x元．根據題意，得
，
解得 x＝7365，
所以，七年級七年級捐款數：×7365＝2946(元)，
八年級捐款數為×7365＝2455(元)．
活動二：銷售問題
問題2 某商場將某種商品按原價的8折出售，此時商品的利潤率是10%．已知這種商品的進價為1800元，那么這種商品的原價是多少？
分析：利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售價－成本)÷成本×100%．
在解決這類問題過程中，要抓住這個等量關系．由于本例中只提到原價、進價和利潤率，這里的“進價”看作是“成本”．
解：設商品的原價是x元，根據題意，得
解這個方程，得x＝2475．
因此，這種商品的原價為2475元．
活動三：儲蓄問題
問題3 某銀行一年定期儲蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共計10225元．小明爸爸存入銀行的本金是多少元？
分析 設小明爸爸存入銀行的本金為x元，則一年后的利息為2.25%x．
等量關系：本利和＝本金＋利息
解：設小明爸爸存入銀行的本金為x元，根據題意，得
x＋2.25%x＝10225
解得 x＝10000．
經檢驗，符合題意．
答：小明爸爸存入銀行的本金為10000元．
設計意圖：引導學生自己動手，如何用一元一次方程解決和差倍分、銷售問題和儲蓄問題，提高讀題審題的能力，并規范答題的步驟.體會利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
應用新知
經典例題
例1 今年小亮11歲，小亮的爸爸39歲，多少年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍？
分析 設x年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍．
等量關系：x年后爸爸的年齡＝x年后小亮年齡的3倍
解：設x年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍．
依題意，得
39＋x＝3(11＋x)
解得 x＝3
答：3年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍．
小結：和差倍分
倍數關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增加率…”來體現．
多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余…”來體現．
比例問題：全部數量＝各種成分的數量之和．
設計意圖：引導學生自己動手，如何用一元一次方程解決和差倍分問題，提高讀題審題的能力，并規范答題的步驟．體會利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
例2 一件夾克按成本價提高50%后標價，后因季節關系按標價的8折出售，每件以60元賣出，這批夾克每件成本是多元？老板是虧了還是賺了？賺了多少？利潤率是多少？
分析：先用成本價表示出標價，然后根據等量關系式“標價×0.8＝售價”列方程．
利潤率＝利潤÷成本價×100%
解：設成本價為x元，
則標價為(1＋50%) x元，根據題意，
得 (1＋50%)x 80%＝60
解得 x＝50
60－50＝10(元)，利潤率：10÷50×100%＝20%
答：老板賺了10元，利潤率為20%．
小結：利用一元一次方程確定商品的利潤
(1)確定商品的打折數
等量關系：標價×打折數－進價＝利潤，利潤＝進價×利潤率．
(2)確定商品的利潤
等量關系：進價×(1＋利潤率)＝售價．
(3)優惠問題中的打折銷售
商場中的優惠一般是購買數量超過一定的范圍才打折或超過的部分打折．要分段分情況計算不同的利潤．
設計意圖：引導學生自己動手，如何用一元一次方程解決銷售問題，提高讀題審題的能力，并規范答題的步驟．體會利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
例3 爸爸為小明存了一個3年期的教育儲蓄（3年期的年利率為2.7％），3年后能取5405元，他開始存入了多少元？
分析：5405元是什么量？要求的是什么量？等量關系是什么？
解：設他開始存入x元，根據題意，可列方程：x(1＋2.7%×3)＝5405
解得：x＝5000．
所以他開始存入5000元．
小結：利息的計算方法
利息＝本金×利率×期數
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數＝本金×(1＋利率×期數)
利息稅＝利息×稅率
稅后利息＝利息－利息稅＝利息－利息×稅率＝利息×(1－稅率)＝本金×利率×期數×(1－稅率)
設計意圖：引導學生自己動手，如何用一元一次方程解決儲蓄問題，提高讀題審題的能力，并規范答題的步驟.體會利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
課堂練習
【教材練習】
1.填空：
(1)學校圖書館原有圖書a冊，最近增加了20%，現在有圖書________冊；
(2)某煤礦預計今年比去年增產15%，達到年產煤60萬噸，設去年產煤x萬噸，則可列方程_____________；
(3)某商品按定價的八折出售，售價為14.80元，則原定價是______元．
答：（1）1.2a；(2)(1＋15%)x＝60；(3)18.5．
2.一個角的余角比這個角的補角的一半小 40°，求這個角的度數．
解：設這個角的度數為x°．
根據題意，得
，
解得x＝80．
答：這個角的度數為80°．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
3.小明的爸爸前年存了一個2年期存款，年利率是4.40%，今年到期后得到利息176元，小明爸爸前年存了多少錢？
解：設小明的爸爸前年存了x元錢，
根據題意可得：
x×4.40%×2＝176，
解得：x＝2000．
答：小明的爸爸前年存了2000元錢．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深學生對一元一次方程的理解和應用能力．通過解決具體的和差倍分、銷售問題和儲蓄問題，鞏固一元一次方程的應用．
【課堂檢測】
1.某文化商場同時賣出兩臺電子琴，每臺均賣960元，以成本計算，其中一臺贏利20%，另一臺虧本20%，則本次出售中商場( )．
A．不賠不賺 B．賺160元 C．賺80元 D．賠80元
答案：D
2.王先生到銀行存了一筆三年期的定期存款，年利率是5%，若到期后取出得到本息和共33825元，設王先生存入的本金為x 元，則下面所列方程正確的是（ ）
A.x＋3×5%x＝33825 B.x＋5%x＝33825
C.3×5%x＝33825 D.3(x＋5x)＝33825
答案：A
3.現在父親和女兒的年齡和是91，當父親的年齡是女兒現在年齡的2倍的時候，女兒的年齡是父親現在年齡的三分之一，求女兒現在的年齡？
解：設女兒今年x歲，那么爸爸今年（91－x）歲
由題意可得：
解得： x＝28．
答：女兒現在的年齡是28歲．
4.一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？
解：①設盈利25%的衣服進價是 x 元，
依題意得 x＋0.25x＝60
解得 x＝48
②設虧損25%的衣服進價是 y元，
依題意得 y－0.25y＝60
解得 y＝80
兩件衣服總成本：48＋80＝128(元)
因為120－128＝－8(元)
所以賣這兩件衣服共虧損了8元．
設計意圖：通過課堂檢測，學生能夠在短時間內快速回顧和鞏固本堂課所學相關知識．同時，也鍛煉了學生的解題速度和對題目的理解能力，同時培養他們的時間管理意識和學習興趣．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
本節課你學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
請同學們，根據自己的年齡編一道利用一元一次方程解決實際問題的題．
本節課是第七章“一元一次方程”的第三節《實踐與探索》中的第二課時《和差倍分、銷售和儲蓄問題》，本節課是代數學習中的重要組成部分．本課在學生學習了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，進一步探究利用一元一次方程解決生活中的和差倍分、銷售和儲蓄問題．七年級的學生正處于青春期，思維活躍，好奇心強，但注意力容易分散．因此，教師在設計教學活動時，應注重激發學生的學習興趣，通過生動的實例和有趣的練習，引導學生積極參與課堂活動，提高教學效果．
針對學生的學情，教師在備課時應充分準備，設計多樣化的教學活動，如小組討論、動手操作、游戲競賽等，以激發學生的學習興趣和主動性．同時，教師還應關注學生的學習過程，及時給予指導和幫助，確保每位學生都能在課堂上有所收獲．

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