資源簡介

第五章 一元一次方程
5.3 實踐與探索
第1課時 體積和面積問題
本節課是華東師大版初中數學七年級下冊第五章第三節《實踐與探索》第一課時的內容．本課在學生學習了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，進一步探究利用一元一次方程解決實際問題．通過本課的學習，學生將學會借助立體及平面圖形學會分析復雜問題中的數量關系和等量關系，建立方程，解決實際問題．
到了七年級下冊，學生已經具備了一定的數學基礎和方程知識，對一元一次方程的基本概念及解法有了一定的理解．然而，由于學生之間存在個體差異，部分學生從實際問題中找出等量關系，列出一元一次方程可能會遇到困難．因此，在教學過程中，教師需要關注學生的個體差異，采取因材施教的教學策略．
1.借助立體及平面圖形學會分析復雜問題中的數量關系和等量關系，建立方程，解決實際問題
2.通過具體問題的解決，體會利用方程解決問題的關鍵是尋找等量關系．
3.通過分析圖形問題中的數量關系體會方程模型的作用，進一步提高學生分析問題、解決問題、敢于提出問題的能力．
4.通過對實際問題的探討，鼓勵學生大膽質疑，激發學生的好奇心和主動學習的欲望．
重點：借助立體及平面圖形學會分析復雜問題中的數量關系和等量關系．
難點：找等量關系列一元一次方程解決實際問題．
復習回顧
填空：
長方形的周長=__________，面積=_______．
正方形的周長=__________，面積=_______．
長方體的體積=______，正方體的體積=____．
圓的周長=_______，面積=___________．
圓柱的體積=_______________．
預設答案：
2(a+b)；ab；4a；a2；abc；a3；2πr；πr2；πr2h．
情境導入
從一個水杯向另一個水杯倒水
思考：在這個過程中什么沒有發生變化？
設計意圖：復習回顧已學知識，為新課的學習做準備.讓學生觀察倒水的過程中體會等體積變化的現象中蘊涵的不變量.同時分析出不變量與變量間的等量關系．
探究新知
活動一：與平面圖形有關的實際問題
問題1 用一根長60 cm的鐵絲圍成一個長方形．
(1)如果長方形的寬是長的，求這個長方形的長和寬；
(2)如果長方形的寬比長少4 cm，求這個長方形的面積；
(3)比較小題(1)(2)所得的兩個長方形面積的大小，還能圍出面積更大的長方形嗎？
教師活動：在這個過程中什么沒有發生變化？
分析：由題意知，長方形的周長始終是不變的，即長與寬的和為：(cm)．
解：（1）如圖所示：
設此時長方形的長為x cm，則它的寬為 cm．
根據題意，得 ．
解這個方程， 得 ．
．
此時長方形的長為18 cm，寬為12 cm．
（2）如圖所示：
設此時長方形的長為x cm，則它的寬為 cm．
根據題意，得 ．
解這個方程，得 ．
．
此時長方形的長為17 cm，寬為13 cm，
所以，長方形的面積為17×13=221(cm2)．
（3）(1)中長方形的面積為18×12=216(cm2)，
∵221＞216，
∴(2)中長方形的面積比(1)中長方形的面積大．
討論：每小題中如何設未知數？在小題(2)中，能不能直接設長方形的面積為x cm ？若不能，該怎么辦？
答：在每小題中均可設長方形的長或寬為未知數；小題（2）中，因為已知長與寬的關系，而不是面積的關系，所以不能直接設出長方形的面積．只能間接地設出長方形的長或寬，待求出長方形的長或寬后，再進一步計算這個長方形的面積．
探索：將小題(2)中的寬比長少4 cm改為少3 cm、2 cm、1 cm、0 cm(即變為正方形)，長方形的面積有什么變化？
答：同理，可計算當寬比長少2 cm時，S=224 cm2；
當寬比長少1 cm時，S=224.75 cm2；
當寬與長相等時，S=225 cm2；
所以，還可以圍出面積更大的長方形．
小結：由此可以得到：當長與寬相差越小時，長方形的面積越大，當長與寬相等(相差為0)時，長方形的面積最大．
設計意圖：鼓勵學生通過獨立思考發現：圍成的長方形的長和寬在發生變化，但在圍的過程中，長方形的周長不變，由此便可建立“等量關系”．同時，根據計算，發現隨著長方形長與寬的變化，長方形的面積也在發生變化．培養學生數學思考的嚴謹性，語言表述的準確性．
活動二：立體圖形的等積變形問題
某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6 cm，12 cm的圓柱形易拉罐飲料．經市場調研決定對該產品外包裝進行改造，計劃將它的底面直徑減少為6 cm．那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變為多少厘米？
教師活動：想一想，什么發生了變化？什么沒有發生變化？
問題1：在這個問題中有一個怎樣的等量關系？
預設答案：舊包裝的容積 = 新包裝的容積
問題2：設易拉罐的高度為x cm，填寫下表：
預設答案：
問題3：根據等量關系，列出方程：________．
解得x =________．
因此，易拉罐的高變成了________cm．
預設答案：
π×3.32×12=π×32×x；14.52；14.52
教師活動：列方程時，關鍵是找出問題中的等量關系．
設計意圖：通過幾個問題，尋找圖形問題中的等量關系，激發學生的求知欲望，培養學生的積極性.此時要注意提醒學生π的取值相關細節問題.此類題目中的π值由等式的基本性質就已約去，無須帶具體值；若是題目中的π值約不掉，也要看題目中對近似數有什么要求，再確定精確程度.
應用新知
經典例題
例1 用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長比圓的半徑長2(π－2) m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算說明誰的面積大．
分析 比較兩圖形的面積大小，關鍵是通過題中的等量關系列方程求得圓的半徑和正方形的邊長，本題的等量關系為：正方形的周長＝圓的周長．
解：設圓的半徑為r m，則正方形的邊長為[r＋2(π－2)] m．
根據題意，得2πr＝4(r＋2π－4)，
解得r＝4．
∴鐵絲的長為2πr＝8π(m)．
∴圓的面積是π×42＝16π(m2)，
正方形的面積為[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，∴圓的面積大．
答：鐵絲的長為8π m，圓的面積較大．
小結：等長變形
1.線段長度不變時，不管圍成怎樣的圖形，周長不變．即C前=C后．
2.當長方形周長不變時，長方形的面積隨著長與寬的變化而變化，當長與寬相等時，面積最大．
例2 某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4 m的圓柱形儲水箱．現該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4 m減少為3.2 m．那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4 m變為多少米？
解：如果設水箱的高變為x m，填寫下表：
根據舊水箱的容積 = 新水箱的容積，列方程得
π×22×4=π×1.62×x
解得x=6.25
因此，水箱的高度變成了6.25 m．
小結：等積變形
1.形狀變了，體積沒變；原材料的體積＝成品的體積．
2.解決等積變形的問題時，通常利用體積相等建立方程．
【思考交流】
在上面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量？列方程的思路是什么？與同伴進行交流．
預設答案：相等的量；
方程的思路：審，設，列，解，檢，答．
①審：通過審題找出等量關系；
②設：設出合理的未知數(直接或間接)，注意單位名稱；
③列：依據找到的等量關系，列出方程；
④解：求出方程的解；
⑤檢：檢驗所得的解是否符合題意；
⑥答：回答題目中要解決的問題，注意單位名稱．
設計意圖：明確如何根據等積變形和等長變形找等量關系，以及列一元一次方程解決實際問題的步驟．
課堂練習
【教材練習】
1.一塊長、寬、高分別為4 cm、3 cm、2 cm的長方體橡皮泥，要用它來捏一個底面半徑為1.5 cm的圓柱，圓柱的高是多少？(精確到0.1 cm，π取3.14)
解：設圓柱的高是x cm．
根據題意，得
4×3×2＝π×1.5 ×x，
解得x≈3.4．
答：圓柱的高是3.4 cm．
2.在一個底面直徑5 cm、高18 cm的圓柱形瓶內裝滿水，再將瓶內的水倒入一個底面直徑6 cm、高10 cm的圓柱形玻璃杯中，能否完全裝下？若裝不下，那么瓶內水面還有多高？若未能裝滿，求杯內水面離杯口的距離．
解：圓柱形瓶內的體積為π×(5÷2) ×18＝112.5π(cm )，
圓柱形玻璃杯的體積為π×(6÷2) ×10＝90π(cm )，
因為112.5π＞90π，
所以不能完全裝下，
設將圓柱形玻璃杯裝滿后，圓柱形瓶內水面還有x cm高，
根據題意列方程，得112.5π－90π＝π×(5÷2) ×x，
解得x＝3.6，經檢驗，符合題意，
所以底面直徑6 cm、高10 cm的玻璃杯完全裝不下，瓶內水面還有3.6 cm高．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
3.墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如下圖虛線所示(單位：cm)．小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，如下圖實線所示．小穎所釘長方形的長、寬各為多少厘米？
【分析】等量關系是變形前后周長相等．
解：設長方形的長是 x cm．
根據題意，得x + x + 10 + 10 =10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 6
解得 x = 16
答：小穎所釘長方形的長為16 cm，寬為10 cm．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深學生對一元一次方程的理解和應用能力．通過解決具體的體積和面積問題，鞏固一元一次方程的應用．
【課堂檢測】
1.某工廠要制造直徑長為120 mm，高為20 mm的圓鋼毛坯，現有的原料是直徑長為60 mm的圓鋼若干米，則應取原料的長為( )
A.50 mm B.60 mm C.70 mm D.80 mm
答案：D
2. 一種牙膏出口處直徑為5 mm，小明每次刷牙都擠出1 cm長的牙膏，這樣一支牙膏可以用36次，該品牌牙膏推出新包裝，只是將出口處直徑改為6 mm，小明還是按習慣每次擠出1 cm的牙膏，這樣，這一支牙膏能用多少次？
【分析】等量關系是變形前后體積相等．
解：設這一支牙膏能用x次，根據題意得
．
解這個方程，得x＝25．
答：這一支牙膏能用25次．
教師活動：注意單位要統一哦！
3.把一塊長、寬、高分別為5 cm、3 cm、3 cm的長方體鐵塊，浸入半徑為4 cm的圓柱形玻璃杯中(盛有水)，水面將增高多少？(結果保留兩位小數)
【分析】等量關系是水面增高體積=長方體體積．
解：設水面增高 x 厘米，則
解得 ．
因此，水面增高約為0.90厘米．
設計意圖：通過課堂檢測，學生能夠在短時間內快速回顧和鞏固本堂課所學相關知識．同時，也鍛煉了學生的解題速度和對題目的理解能力，同時培養他們的時間管理意識和學習興趣．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1.本節課你學到了什么？
2.列方程解決實際問題的思路是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
用兩個等體積的橡皮泥捏兩個底面不同的圓柱，測量出其中一個圓柱的高，再通過列方程解決問題求出另一個圓柱的高．
本節課是第七章“一元一次方程”的第三節《實踐與探索》中的第一課時《體積和面積問題》，本節課是代數學習中的重要組成部分．本課在學生學習了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，進一步探究利用一元一次方程解決生活中的實際問題．七年級的學生正處于青春期，思維活躍，好奇心強，但注意力容易分散．因此，教師在設計教學活動時，應注重激發學生的學習興趣，通過生動的實例和有趣的練習，引導學生積極參與課堂活動，提高教學效果．
針對學生的學情，教師在備課時應充分準備，設計多樣化的教學活動，如小組討論、動手操作、游戲競賽等，以激發學生的學習興趣和主動性．同時，教師還應關注學生的學習過程，及時給予指導和幫助，確保每位學生都能在課堂上有所收獲．

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