資源簡介

1.因數和倍數的意義：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然數)中，a和b是c的因數，c是a和b的倍數。
2.求一個數的因數的方法：
(1)找一個數的因數的方法：①列乘法算式。有序地寫出兩個整數相乘得這個數的所有乘法算式，相乘的兩個數都是這個數的因數。②列除法算式。有序地寫出用這個數分別除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整數，所得的商是整數且沒有余數的所有除法算式，這些除數和商都是這個數的因數。(2)表示一個數的因數的方法： ①列舉法。②集合法。
3.一個數的因數的特征：一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。3.求一個數的倍數的方法：
(1)找一個數的倍數的方法：用這個數依次與非0自然數相乘，所得的積都是這個數的倍數。
(2)表示一個數的倍數的方法：①列舉法。②集合法。
(3)一個數的倍數的特征：一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
1.個位上是5或0的數是5的倍數；個位上是2，4，6，8或0的數是2的倍數。
2.個位上是0的數既是2的倍數，又是5的倍數。
3.是2的倍數的數叫作偶數，不是2的倍數的數叫作奇數。
1.3的倍數特征：一個數各位上數的和是3的倍數，這個數就一定是3的倍數。
1.一個數只有1和它本身兩個因數，像這樣的數叫作質數(或素數)；一個數除了1和它本身還有別的因數，像這樣的數叫作合數。
2.1既不是質數，也不是合數。
3.判斷一個數是質數還是合數，只需要看這個數除了1和它本身兩個因數外，是否還有其他因數。如果沒有，這個數就是質數；如果有，這個數就是合數。
1.如果一個數的因數是質數，這個因數就是它的質因數。
2.把一個合數用質數相乘的形式表示出來，叫作分解質因數。
3.分解質因數的方法：枝狀圖分解法和短除法。
4.分解質因數的書寫方法：把要分解的數寫在等號的左邊，把分解得到的質數用連乘的形式寫在等號的右邊。
1.公因數的意義：
（1）幾個數公有的因數，叫作這幾個數的公因數。
（2）因為一個數的因數的個數是有限的，所以幾個數的公因數的個數也是有限的，它們既有最小的公因數，也有最大的公因數。
2.求兩個數的公因數和最大公因數的方法：
（1）幾個數公有的因數，叫作它們的公因數，其中最大的公因數叫作這幾個數的最大公因數。
（2）求兩個數的公因數，可以用列舉法分別找出每個數的因數，再找出兩個數的公因數；也可以先找出一個數的因數，再從這些因數中找出另一個數的因數，從而找出這兩個數的公因數。
1.求兩個數的公倍數和最小公倍數，可以分別列舉出這兩個數的若干個倍數，再從中找出這兩個數的公倍數，其中最小的就是它們的最小公倍數；也可以先列舉出較大數的若干個倍數，再從這些倍數中找出較小數的倍數，從而找出這兩個數的公倍數，其中最小的就是它們的最小公倍數。
1.兩個自然數相加：偶數＋偶數＝偶數　奇數＋奇數＝偶數　奇數＋偶數＝奇數
2.幾個自然數相加，當加數中奇數的個數是奇數時，和是奇數；當加數中奇數的個數是偶數時，和是偶數。
3.幾個自然數相乘，乘數都是奇數，積也是奇數；乘數中只要有一個偶數，積就是偶數。
1、因數和倍數是兩個相互依存的概念，只能說誰是誰的因數，誰是誰的倍數，因數和倍數不能單獨存在。
2、一個數的倍數都大于或等于它本身，而因數都小于或等于它本身。
3、3的倍數也可以是偶數。
4、如果a是自然數，偶數可用2a來表示，a+2并不能表示偶數。
5、1既不是質數，也不是合數。
6.、最小的質數是2，最小的合數是4。
7、2是唯一的一個偶質數。
8、分解質因數時，除數和商都不能是1，因為1不是質數。
9、如果兩個數只有公因數1，那么1就是這兩個數的最大公因數。
10、只有兩個數成倍數關系時，較小的數才是這兩個數的最大公因數。
11、幾個數的公倍數的個數是無限的。
12、當兩個數成倍數關系時，較大的數就是它們的最小公倍數。
【考點精講一】（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）用盡可能少的小正方形紙片把下面的長方形鋪滿。可以選擇邊長是多少厘米的正方形？需要多少張小正方形紙片？（小正方形的邊長是整厘米數）
【答案】6厘米；6張
【分析】小正方形紙片的邊長必須既是12的因數，又是18的因數，要盡可能少的小正方形紙片把長方形鋪滿，那么選擇小正方形的邊長就是求12和18的最大公因數；需要的張數＝長方形的面積÷正方形紙片的面積；結合長方形面積＝長×寬，正方形面積＝邊長×邊長，代入相應數值計算，據此解答。
【詳解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6，所以12和18的最大公因數是6，即可以選擇邊長是6厘米的小正方形。
（18×12）÷（6×6）
＝216÷36
＝6（張）
答：可以選擇邊長是6厘米的正方形，需要6張小正方形紙片。
【考點精講二】（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）用長20厘米、寬16厘米的長方形，照下圖的樣子拼成正方形。拼成的正方形的邊長最小是多少厘米？需要幾個長方形？
【答案】80厘米；20個
【分析】拼成的正方形的邊長既是20的倍數也是16的倍數，且邊長還要最小，所以正方形的邊長就是20和16的最小公倍數，先把20和16分別分解質因數，然后把它們公有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數，把它們公有的質因數和獨有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數。根據求出的正方形的邊長進行分析：看能放幾排，幾列，然后相乘即可。
【詳解】20＝2×2×5
16＝2×2×2×2
所以20和16的最小公倍數是2×2×5×2×2＝80
所以正方形的邊長最小是80厘米。
（80÷20）×（80÷16）
＝4×5
＝20（個）
答：拼成的正方形的邊長最小是80厘米，需要20個長方形。
【考點精講三】（22-23五年級下·江蘇淮安·期中）在本學期的因數和倍數的學習中，我們了解過像6、28等這樣的完全數（6的因數有1、2、3、6，這幾個因數的關系是1＋2＋3＝6），這是古希臘的數學家畢達哥拉斯在對數的研究過程中發現的。其實他在研究的過程中還發現了有趣的“親和數”。例如：A的所有因數除去本身外，其它的因數加起來等于B；而B的所有因數除去本身外，所有的因數加起來等于A。那么A和B這兩個數字就被稱為“親和數”。人類發現的最小的一對“親和數”是220和（ ）。你知道括號里的數字是多少嗎？請寫出你的計算過程。
【答案】284，過程見詳解
【分析】根據“親和數”的意義，先找出220的所有因數，再將除了它本身以外的其他因數相加，即可解答。
【詳解】220＝1×220＝2×110＝4×55＝5×44＝10×22＝11×20
220的因數有：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220
1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284
答：最小的一對”親和數“是220和284。
【點睛】解答本題需準確理解”親和數“的意義和計算方法。
【考點精講四】（22-23五年級下·江蘇徐州·期中）擺一擺：從0、1、3、8這4個數字卡片中選出3個，按要求組成一個三位數，并說說你的想法。
（1）組成的數是3的倍數。
（2）組成的數是偶數，同時有因數3和5。
【答案】（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）810、180
【分析】（1）3的倍數特征：一個數各個數位上的數的和是3的倍數；
（2）要求組成的數是偶數，同時有因數3和5，也就是組成的數同時是2、3、5的倍數，同時是2、3、5的倍數特征：個位是0，各個數位上的數字之和是3的倍數，據此解答。
【詳解】故分析可知，
（1）組成的數是3的倍數有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）組成的數是偶數，同時有因數3和5的數有：810、180；
【點睛】熟練掌握2、3、5的倍數的特征是解題的關鍵。
【考點精講五】（22-23五年級下·江蘇徐州·期中）想一想：9的倍數有什么特征？
說一說：9的倍數一定是3的倍數嗎？3的倍數一定是9的倍數嗎？說明你的理由。
【答案】見詳解
【詳解】答：根據找一個倍數的方法，用這個數分別乘自然數1、2、3、4、5……，所得積就是這個數的倍數，進行解答即可。如：
9的倍數的特征：各個位上的數字之和是9的倍數。
本題考查的目的是理解掌握3、9的倍數的特征及應用，明確：是9的倍數一定是3的倍數，3的倍數不一定是9的倍數。
例如：3是3的倍數，但3不是9的倍數。
【考點精講六】（23-24五年級下·廣西防城港·期中）200多年前，德國數學家哥德巴赫提出了一個命題：“凡是大于4的偶數都可以表示成兩個奇質數的和。”這就是著名的“哥德巴赫猜想”，你能舉出四個例子驗證這個猜想嗎？
【答案】見詳解
【分析】非零自然數中除了1和它本身外沒有其他的因數的數是質數；假設這個偶數是6，找出小于6的質奇數，列加法算式驗證6是否可以用兩個積質數的和表示。
【詳解】根據“凡是大于4的偶數都可以表示成兩個奇質數的和”舉例：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝3＋7
12＝7＋5
答：經舉例驗證，凡是大于4的偶數都可以表示成兩個奇質數的和。
（答案不唯一）
【考點精講七】（23-24五年級下·山西大同·期中）張奶奶家門前有一個長20米，寬12米的長方形池塘，張奶奶要在池塘四周圍一圈擋板，為了美觀張奶奶要求所用每塊擋板的長度相同。至少需要幾塊長度相等的擋板？
【答案】16塊
【分析】根據題意，要求所用每塊擋板的長度相同，那么擋板的長度是20和12的公因數；
求至少需要幾塊長度相等的擋板，那么每塊擋板的長度要最大，也就是求20和12的最大公因數；
把20和12分解質因數后，把它們公有的相同質因數乘起來就是最大公因數，即可得出擋板的最大長度。
然后根據長方形的周長＝（長＋寬）×2，求出長方形池塘一周的長度，再除以每塊擋板的長度，即是至少需要擋板的總塊數。
【詳解】20＝2×2×5
12＝2×2×3
20和12的最大公因數是：2×2＝4
即每塊擋板最長是4米。
（20＋12）×2
＝32×2
＝64（米）
64÷4＝16（塊）
答：至少需要16塊長度相等的擋板。
【考點精講八】（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）為了展示少先隊員的風采，我校舉行了“淳美小歌手”才藝大賽，五年級參賽選手在20～30人之間，正好是3的倍數，也是4的倍數。擔任評委的有學生代表、家長代表和教師代表，學生代表人數是最小的質數，家長代表人數是3的最大因數，教師代表人數是最小的合數。
（1）五年級參賽選手有（ ）人；擔任評委的有（ ）人。
（2）五年級參賽選手中女生人數是男生人數的1.4倍，參加比賽的男、女生各有多少人？（列方程解答）
（3）在這次比賽中，女選手平均得分9.6分，女選手總得分比男選手高40.4分，男選手平均得分是多少分？（列方程解答）
（4）比賽時，每位選手平均用時3.2分鐘，每兩位選手上、下場平均耗時0.8分鐘。這次比賽從第一位選手表演開始，到最后一位選手表演結束為止。一共用時多少分鐘？
【答案】（1）24；9
（2）男生：10人；女生：14人
（3）9.4分
（4）95.2分
【分析】（1）根據求最小公倍數的方法：兩個數的最小公倍數是兩個數的公有質因數與每一個獨有質因數的連乘積；如果兩個數為倍數關系，最小公倍數是較大的數；如果兩個數為互質數；最小公倍數是兩個數的乘積；據此求出3和4的最小公倍數，再找出在20～30之間3和4的倍數，就是五年級參賽的人數；
一個數，只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，除了1和它本身，還有其他因數，這樣的數叫做合數；最小的質數是2，最小的合數是4；一個是最大的因數是它本身；據此解答。
（2）設男生人數有x人，女生人數是男生人數的1.4倍，則女生人數有1.4x人，男生人數＋女生人數＝五年級參賽人數，據此列方程，解方程即可。
（3）設男選手平均得分是x分，用男生人數×男選手平均分，求出男選手獲得分數；用女生人數×女選手平均分，求出女選手獲得分數，再用女選手獲得分數－男選手活動分數＝40.4，據此列方程，解方程，即可解答。
（4）用每位選手平均用時乘選手人數，求出表演時間；用每兩位選手上下場平均消耗時乘選手人數減1，求出上下場耗時，最后把表演時間＋上下場耗時，即可解答。
【詳解】（1）3和4是互質數，3和4的最小公倍數是3×4＝12；
12×2＝24；12×3＝36；……
五年級參賽選手有24人。
最小的質數是2；最小的合數是4；3的最小因數是3；
學生代表人數是2人，家長代表人數是3人，教師代表人數4人。
2＋3＋4
＝5＋4
＝9（人）
五年級參賽選手有24人；擔任評委的有9人。
（2）解：設男生人數有x人，則女生人數是1.4x人。
x＋1.4x＝24
2.4x＝24
2.4x÷2.4＝24÷2.4
x＝10
女生：10×1.4＝14（人）
答：男生有10人，女生有14人。
（3）解：設男選手平均得分是x分。
9.6×14－10x＝40.4
134.4－10x＝40.4
134.4－10x＋10x＋40.4＝40.4－40.4＋10x
10x＝94
10x÷10＝94÷10
x＝9.4
答：男選手平均得分是9.4分。
（4）3.2×24＋0.8×（24－1）
＝76.8＋0.8×23
＝76.8＋18.4
＝95.2（分）
答：一共用時95.2分。
【考點精講九】（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）在校園“讀寫節”活動中，學校準備把54本科普書和36本文藝書平均分給一些班級，且每個班分得的科普書數量相同，文藝書數量也相同。
（1）最多可以分給幾個班級？
（2）這時每個班級分得多少本？
【答案】（1）18個
（2）5本
【分析】（1）由題意可知，最多可以分給的班級數量就是54和36的最大公因數，據此解答即可；
（2）用54和36分別除以它們的最大公因數，再相加即可。
【詳解】（1）54＝2×3×3×3
36＝2×2×3×3
54和36的最大公因數為：2×3×3＝18
答：最多可以分給18個班級。
（2）54÷18＋36÷18
＝3＋2
＝5（本）
答：這時每個班級分得5本。
【考點精講十】（23-24五年級下·江蘇·期中）用長4厘米、寬3厘米的長方形，照下圖的樣子接著拼，拼成正方形。拼成的正方形邊長最小是多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】正方形的四條邊長度相等。用長方形拼成正方形，則正方形的邊長是長方形的長與寬的公倍數。求拼成的正方形邊長最小是多少厘米，也就是求4和3的最小公倍數是多少。據此解答即可。
【詳解】3和4的最小公倍數：3×4＝12
答：拼成的正方形邊長最小是12厘米。
一、解答題
1．（22-23五年級下·安徽蚌埠·期末）某學校藝術團為慶祝建校80周年編排節目，需要用彩帶制作花籃。如果把圖中兩根彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？一共可以剪成這樣的短彩帶多少根？
2．（23-24五年級下·安徽合肥·期末）在城市較高建筑物的頂端應當設置航空障礙燈，通過間隔一段時間閃光的方式提醒過往飛機。一天晚上，小蘭觀察高樓上的障礙燈，發現第一盞燈每2秒閃一次，第二盞燈每3秒閃一次，第三盞燈每5秒閃一次，從某次三盞燈同時閃了之后開始計時，到2分鐘結束時，三盞燈同時又閃了多少次？
3．（23-24五年級下·河南平頂山·期末）給一個長40分米，寬32分米的房間鋪正方形地磚，如果要讓使用的地磚必須都是整塊，選擇的地磚邊長最大是多少分米？至少需要幾塊？
4．（23-24五年級下·江蘇宿遷·期末）縱槳飛舟，粽葉飄香，賽龍舟是端午佳節的重要組成部分，是中華文化的傳承。為弘揚中華傳統文化，彰顯“水潤之城”的城市內涵，6月10日，有38支來自各縣區的代表隊在市區古黃河金鷹段舉辦2024宿遷端午龍舟賽。賽道上原來有21個浮漂（首尾各有一個），每兩個浮漂之間距離是15米。現在每兩個浮漂之間距離改為20米，不需要重新替換的浮漂有多少個？
5．（23-24五年級下·山西大同·期末）五（1）班的同學分組合作學習，每4人一組多1人，每5人一組多1人，每8人一組也多1人。五（1）班至少有多少人？
6．（23-24五年級下·江蘇淮安·期末）工地上有兩根鋼管，一根長36分米，另一根長63分米。因施工需要，把它們都鋸成長度相等的小段，每段要盡可能長，且沒有剩余。每段鋼管長多少分米？一共能鋸成多少段？
7．（23-24五年級下·江蘇淮安·期末）小張和小李在同一家公司上班。小張每5天值一次夜班，小李每4天值一次夜班。5月13日他們同時值夜班，下一次他們值班的是幾月幾日？
8．（23-24五年級下·江蘇淮安·期末）李明家客廳長7.5米，寬6米，用正方形的地磚鋪地正好鋪滿（不需要切割），正方形的地磚邊長最大是多少分米？一共需要多少塊這樣的地磚？
9．（23-24五年級下·江蘇揚州·期末）有一筐桃，數量不超過100個，平均分給5個小朋友，還剩2個，平均分給7個小朋友，也剩2個，這筐桃最多有多少個？
10．（23-24五年級下·貴州畢節·期末）體育課上，為了使隊形整齊，要求站隊時每行人數都相等。五一班有32名同學，可以排幾行？共有幾種站隊的方法？（每行或每列不少于2人）
11．（23-24五年級下·安徽滁州·期末）去年暑假期間，小林每4天游泳一次，小軍每3天游泳一次，7月31日兩人在游泳館相遇，八月份他們一共相遇了幾次？
12．（23-24五年級下·江蘇·期末）把一些蘋果分給小朋友們，每人分3個或每人分5個都能正好分完。已知蘋果個數在80~100個之間，一共有多少個蘋果？
13．（22-23五年級下·江蘇鹽城·期中）一筐蘋果在40~50個之間，丁丁6個6個地數，或8個8個地數，都余1個。這筐蘋果一共有多少個？
14．（22-23五年級下·江蘇泰州·期中）一張長方形的紙片長28厘米，寬22厘米。如下圖，在紙的四邊留2厘米的空白，然后把中間的長方形平均分成若干個相同的正方形，正方形的邊長最大是多少厘米（邊長是整厘米數）？至少可以分成多少個正方形？
15．（22-23五年級下·江蘇淮安·期中）大賽組委會把46本編程圖書和37個益智玩具分別平均分給一等獎獲得者，結果編程圖書少2本，益智玩具剩1個，那么最多有多少位同學獲得一等獎？
16．（23-24五年級下·江蘇常州·期中）學校買來了若干只籃球。如果把這些籃球平均分給3個班，則余1只；如果平均分給4個班，則余1只；如果平均分給5個班，則余1只。學校至少買來多少只籃球？
17．（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）某小學五年級組成腰鼓隊，人數在60－80之間，他們無論是站成8人一行還是站成12人一行，都正好沒有剩余。這支腰鼓隊一共有多少人？
18．（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）用長8分米、寬6分米的長方形地磚鋪地，至少用多少塊可以鋪成一個正方形？
19．（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）在一條長72米的長廊的一邊擺花，原來每隔9米放一盆花，現在每隔6米放一盆花，一共有多少盆花不需要移動？（長廊兩端各放一盆）
20．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）甲、乙兩人到圖書館去借書，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果4月7日兩人在圖書館相遇，那么他們下一次在圖書館相遇是幾月幾日？
21．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）園林工人在長60米的小路兩邊每隔6米栽一棵樹（首尾都栽），現在要改成每隔4米栽一棵樹，那么不用移栽的樹有多少棵？
22．（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）用96朵紅花和72朵黃花扎成花束，要求每束花里紅花的朵數相同，黃花的朵數也相同，且所有的花正好分完且沒有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中紅花和黃花各有多少朵？
23．（23-24五年級下·山西大同·期中）今年1月份，小軍和小丁去參加讀書分享會。小軍每6天去一次，小丁每8天去一次。1月2日兩人在讀書會上相遇，1月幾日他們會再次相遇？
24．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）有兩根鋼絲，長度分別是16米和20米，現在要把它們截成長度相同的小段，但每一根都不許剩余，每小段最長是多少米？一共可以截成多少段？
25．（23-24五年級下·江蘇南京·期中）（1）探索：6和9的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。6和9的最大公因數與最小公倍數的乘積（ ）6×9。（填“＞”“小于”或“＝”）。
（2）發現：再找兩組數繼續研究一下，并寫下你的發現。
（3）應用：如果兩個數的最大公因數是a，最小公因數是b。已知其中一個數是24，那么另一個數是（ ）。
26．（23-24五年級下·江蘇南京·期中）實踐園的朱爺爺要把長24米、寬16米的長方形菜地分割成相同的正方形菜地，要使菜地全部用上沒有剩余，所分割的正方形菜地邊長最大是多少米？能分割成多少塊這樣的菜地？
27．（23-24五年級下·江蘇南京·期中）你們聽說過“韓信點兵——多多益善”這句歇后語嗎？其實在數學中也有“韓信點兵”這一說法，它指代的是一種類型的數學問題，下面我們就來試著解答吧。
韓信帶領1500名士兵去打仗，戰死了四五百人。還未來得及清點人數，敵軍已經追來，韓信急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韓信馬上向將士們宣布：我軍還有1049名勇士。
同學們，你知道韓信是怎么算出來的嗎？嘗試說一說。
28．（23-24五年級下·廣西防城港·期中）一種長方形木塊的長是12厘米，寬是10厘米，用這種木塊鋪成一個正方形（不允許切割），這個正方形的邊長最少是多少厘米？至少要用多少塊這樣的木塊？
29．（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）王老師每4天去圖書館一次，李老師每6天去圖書館一次，如果今年3月23日，他們兩人在圖書館相遇，下一次他們倆在圖書館相遇應是幾月幾日？
30．（23-24五年級下·江蘇·期中）用長12厘米、寬8厘米的長方形，照下圖的樣子拼成正方形。拼成的正方形邊長最小是多少厘米？至少要用多少個這樣的長方形才能拼成一個正方形？
31．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）先在圖中畫一畫，再填空。把一張長15厘米，寬9厘米的長方形紙裁成同樣大的正方形。如果要求紙沒有剩余，裁出的正方形邊長最大是（ ）厘米，一共可以裁出（ ）個這樣的正方形。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.因數和倍數的意義：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然數)中，a和b是c的因數，c是a和b的倍數。
2.求一個數的因數的方法：
(1)找一個數的因數的方法：①列乘法算式。有序地寫出兩個整數相乘得這個數的所有乘法算式，相乘的兩個數都是這個數的因數。②列除法算式。有序地寫出用這個數分別除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整數，所得的商是整數且沒有余數的所有除法算式，這些除數和商都是這個數的因數。(2)表示一個數的因數的方法： ①列舉法。②集合法。
3.一個數的因數的特征：一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。3.求一個數的倍數的方法：
(1)找一個數的倍數的方法：用這個數依次與非0自然數相乘，所得的積都是這個數的倍數。
(2)表示一個數的倍數的方法：①列舉法。②集合法。
(3)一個數的倍數的特征：一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
1.個位上是5或0的數是5的倍數；個位上是2，4，6，8或0的數是2的倍數。
2.個位上是0的數既是2的倍數，又是5的倍數。
3.是2的倍數的數叫作偶數，不是2的倍數的數叫作奇數。
1.3的倍數特征：一個數各位上數的和是3的倍數，這個數就一定是3的倍數。
1.一個數只有1和它本身兩個因數，像這樣的數叫作質數(或素數)；一個數除了1和它本身還有別的因數，像這樣的數叫作合數。
2.1既不是質數，也不是合數。
3.判斷一個數是質數還是合數，只需要看這個數除了1和它本身兩個因數外，是否還有其他因數。如果沒有，這個數就是質數；如果有，這個數就是合數。
1.如果一個數的因數是質數，這個因數就是它的質因數。
2.把一個合數用質數相乘的形式表示出來，叫作分解質因數。
3.分解質因數的方法：枝狀圖分解法和短除法。
4.分解質因數的書寫方法：把要分解的數寫在等號的左邊，把分解得到的質數用連乘的形式寫在等號的右邊。
1.公因數的意義：
（1）幾個數公有的因數，叫作這幾個數的公因數。
（2）因為一個數的因數的個數是有限的，所以幾個數的公因數的個數也是有限的，它們既有最小的公因數，也有最大的公因數。
2.求兩個數的公因數和最大公因數的方法：
（1）幾個數公有的因數，叫作它們的公因數，其中最大的公因數叫作這幾個數的最大公因數。
（2）求兩個數的公因數，可以用列舉法分別找出每個數的因數，再找出兩個數的公因數；也可以先找出一個數的因數，再從這些因數中找出另一個數的因數，從而找出這兩個數的公因數。
1.求兩個數的公倍數和最小公倍數，可以分別列舉出這兩個數的若干個倍數，再從中找出這兩個數的公倍數，其中最小的就是它們的最小公倍數；也可以先列舉出較大數的若干個倍數，再從這些倍數中找出較小數的倍數，從而找出這兩個數的公倍數，其中最小的就是它們的最小公倍數。
1.兩個自然數相加：偶數＋偶數＝偶數　奇數＋奇數＝偶數　奇數＋偶數＝奇數
2.幾個自然數相加，當加數中奇數的個數是奇數時，和是奇數；當加數中奇數的個數是偶數時，和是偶數。
3.幾個自然數相乘，乘數都是奇數，積也是奇數；乘數中只要有一個偶數，積就是偶數。
1、因數和倍數是兩個相互依存的概念，只能說誰是誰的因數，誰是誰的倍數，因數和倍數不能單獨存在。
2、一個數的倍數都大于或等于它本身，而因數都小于或等于它本身。
3、3的倍數也可以是偶數。
4、如果a是自然數，偶數可用2a來表示，a+2并不能表示偶數。
5、1既不是質數，也不是合數。
6.、最小的質數是2，最小的合數是4。
7、2是唯一的一個偶質數。
8、分解質因數時，除數和商都不能是1，因為1不是質數。
9、如果兩個數只有公因數1，那么1就是這兩個數的最大公因數。
10、只有兩個數成倍數關系時，較小的數才是這兩個數的最大公因數。
11、幾個數的公倍數的個數是無限的。
12、當兩個數成倍數關系時，較大的數就是它們的最小公倍數。
【考點精講一】（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）用盡可能少的小正方形紙片把下面的長方形鋪滿。可以選擇邊長是多少厘米的正方形？需要多少張小正方形紙片？（小正方形的邊長是整厘米數）
【答案】6厘米；6張
【分析】小正方形紙片的邊長必須既是12的因數，又是18的因數，要盡可能少的小正方形紙片把長方形鋪滿，那么選擇小正方形的邊長就是求12和18的最大公因數；需要的張數＝長方形的面積÷正方形紙片的面積；結合長方形面積＝長×寬，正方形面積＝邊長×邊長，代入相應數值計算，據此解答。
【詳解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6，所以12和18的最大公因數是6，即可以選擇邊長是6厘米的小正方形。
（18×12）÷（6×6）
＝216÷36
＝6（張）
答：可以選擇邊長是6厘米的正方形，需要6張小正方形紙片。
【考點精講二】（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）用長20厘米、寬16厘米的長方形，照下圖的樣子拼成正方形。拼成的正方形的邊長最小是多少厘米？需要幾個長方形？
【答案】80厘米；20個
【分析】拼成的正方形的邊長既是20的倍數也是16的倍數，且邊長還要最小，所以正方形的邊長就是20和16的最小公倍數，先把20和16分別分解質因數，然后把它們公有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數，把它們公有的質因數和獨有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數。根據求出的正方形的邊長進行分析：看能放幾排，幾列，然后相乘即可。
【詳解】20＝2×2×5
16＝2×2×2×2
所以20和16的最小公倍數是2×2×5×2×2＝80
所以正方形的邊長最小是80厘米。
（80÷20）×（80÷16）
＝4×5
＝20（個）
答：拼成的正方形的邊長最小是80厘米，需要20個長方形。
【考點精講三】（22-23五年級下·江蘇淮安·期中）在本學期的因數和倍數的學習中，我們了解過像6、28等這樣的完全數（6的因數有1、2、3、6，這幾個因數的關系是1＋2＋3＝6），這是古希臘的數學家畢達哥拉斯在對數的研究過程中發現的。其實他在研究的過程中還發現了有趣的“親和數”。例如：A的所有因數除去本身外，其它的因數加起來等于B；而B的所有因數除去本身外，所有的因數加起來等于A。那么A和B這兩個數字就被稱為“親和數”。人類發現的最小的一對“親和數”是220和（ ）。你知道括號里的數字是多少嗎？請寫出你的計算過程。
【答案】284，過程見詳解
【分析】根據“親和數”的意義，先找出220的所有因數，再將除了它本身以外的其他因數相加，即可解答。
【詳解】220＝1×220＝2×110＝4×55＝5×44＝10×22＝11×20
220的因數有：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220
1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284
答：最小的一對”親和數“是220和284。
【點睛】解答本題需準確理解”親和數“的意義和計算方法。
【考點精講四】（22-23五年級下·江蘇徐州·期中）擺一擺：從0、1、3、8這4個數字卡片中選出3個，按要求組成一個三位數，并說說你的想法。
（1）組成的數是3的倍數。
（2）組成的數是偶數，同時有因數3和5。
【答案】（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）810、180
【分析】（1）3的倍數特征：一個數各個數位上的數的和是3的倍數；
（2）要求組成的數是偶數，同時有因數3和5，也就是組成的數同時是2、3、5的倍數，同時是2、3、5的倍數特征：個位是0，各個數位上的數字之和是3的倍數，據此解答。
【詳解】故分析可知，
（1）組成的數是3的倍數有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）組成的數是偶數，同時有因數3和5的數有：810、180；
【點睛】熟練掌握2、3、5的倍數的特征是解題的關鍵。
【考點精講五】（22-23五年級下·江蘇徐州·期中）想一想：9的倍數有什么特征？
說一說：9的倍數一定是3的倍數嗎？3的倍數一定是9的倍數嗎？說明你的理由。
【答案】見詳解
【詳解】答：根據找一個倍數的方法，用這個數分別乘自然數1、2、3、4、5……，所得積就是這個數的倍數，進行解答即可。如：
9的倍數的特征：各個位上的數字之和是9的倍數。
本題考查的目的是理解掌握3、9的倍數的特征及應用，明確：是9的倍數一定是3的倍數，3的倍數不一定是9的倍數。
例如：3是3的倍數，但3不是9的倍數。
【考點精講六】（23-24五年級下·廣西防城港·期中）200多年前，德國數學家哥德巴赫提出了一個命題：“凡是大于4的偶數都可以表示成兩個奇質數的和。”這就是著名的“哥德巴赫猜想”，你能舉出四個例子驗證這個猜想嗎？
【答案】見詳解
【分析】非零自然數中除了1和它本身外沒有其他的因數的數是質數；假設這個偶數是6，找出小于6的質奇數，列加法算式驗證6是否可以用兩個積質數的和表示。
【詳解】根據“凡是大于4的偶數都可以表示成兩個奇質數的和”舉例：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝3＋7
12＝7＋5
答：經舉例驗證，凡是大于4的偶數都可以表示成兩個奇質數的和。
（答案不唯一）
【考點精講七】（23-24五年級下·山西大同·期中）張奶奶家門前有一個長20米，寬12米的長方形池塘，張奶奶要在池塘四周圍一圈擋板，為了美觀張奶奶要求所用每塊擋板的長度相同。至少需要幾塊長度相等的擋板？
【答案】16塊
【分析】根據題意，要求所用每塊擋板的長度相同，那么擋板的長度是20和12的公因數；
求至少需要幾塊長度相等的擋板，那么每塊擋板的長度要最大，也就是求20和12的最大公因數；
把20和12分解質因數后，把它們公有的相同質因數乘起來就是最大公因數，即可得出擋板的最大長度。
然后根據長方形的周長＝（長＋寬）×2，求出長方形池塘一周的長度，再除以每塊擋板的長度，即是至少需要擋板的總塊數。
【詳解】20＝2×2×5
12＝2×2×3
20和12的最大公因數是：2×2＝4
即每塊擋板最長是4米。
（20＋12）×2
＝32×2
＝64（米）
64÷4＝16（塊）
答：至少需要16塊長度相等的擋板。
【考點精講八】（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）為了展示少先隊員的風采，我校舉行了“淳美小歌手”才藝大賽，五年級參賽選手在20～30人之間，正好是3的倍數，也是4的倍數。擔任評委的有學生代表、家長代表和教師代表，學生代表人數是最小的質數，家長代表人數是3的最大因數，教師代表人數是最小的合數。
（1）五年級參賽選手有（ ）人；擔任評委的有（ ）人。
（2）五年級參賽選手中女生人數是男生人數的1.4倍，參加比賽的男、女生各有多少人？（列方程解答）
（3）在這次比賽中，女選手平均得分9.6分，女選手總得分比男選手高40.4分，男選手平均得分是多少分？（列方程解答）
（4）比賽時，每位選手平均用時3.2分鐘，每兩位選手上、下場平均耗時0.8分鐘。這次比賽從第一位選手表演開始，到最后一位選手表演結束為止。一共用時多少分鐘？
【答案】（1）24；9
（2）男生：10人；女生：14人
（3）9.4分
（4）95.2分
【分析】（1）根據求最小公倍數的方法：兩個數的最小公倍數是兩個數的公有質因數與每一個獨有質因數的連乘積；如果兩個數為倍數關系，最小公倍數是較大的數；如果兩個數為互質數；最小公倍數是兩個數的乘積；據此求出3和4的最小公倍數，再找出在20～30之間3和4的倍數，就是五年級參賽的人數；
一個數，只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，除了1和它本身，還有其他因數，這樣的數叫做合數；最小的質數是2，最小的合數是4；一個是最大的因數是它本身；據此解答。
（2）設男生人數有x人，女生人數是男生人數的1.4倍，則女生人數有1.4x人，男生人數＋女生人數＝五年級參賽人數，據此列方程，解方程即可。
（3）設男選手平均得分是x分，用男生人數×男選手平均分，求出男選手獲得分數；用女生人數×女選手平均分，求出女選手獲得分數，再用女選手獲得分數－男選手活動分數＝40.4，據此列方程，解方程，即可解答。
（4）用每位選手平均用時乘選手人數，求出表演時間；用每兩位選手上下場平均消耗時乘選手人數減1，求出上下場耗時，最后把表演時間＋上下場耗時，即可解答。
【詳解】（1）3和4是互質數，3和4的最小公倍數是3×4＝12；
12×2＝24；12×3＝36；……
五年級參賽選手有24人。
最小的質數是2；最小的合數是4；3的最小因數是3；
學生代表人數是2人，家長代表人數是3人，教師代表人數4人。
2＋3＋4
＝5＋4
＝9（人）
五年級參賽選手有24人；擔任評委的有9人。
（2）解：設男生人數有x人，則女生人數是1.4x人。
x＋1.4x＝24
2.4x＝24
2.4x÷2.4＝24÷2.4
x＝10
女生：10×1.4＝14（人）
答：男生有10人，女生有14人。
（3）解：設男選手平均得分是x分。
9.6×14－10x＝40.4
134.4－10x＝40.4
134.4－10x＋10x＋40.4＝40.4－40.4＋10x
10x＝94
10x÷10＝94÷10
x＝9.4
答：男選手平均得分是9.4分。
（4）3.2×24＋0.8×（24－1）
＝76.8＋0.8×23
＝76.8＋18.4
＝95.2（分）
答：一共用時95.2分。
【考點精講九】（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）在校園“讀寫節”活動中，學校準備把54本科普書和36本文藝書平均分給一些班級，且每個班分得的科普書數量相同，文藝書數量也相同。
（1）最多可以分給幾個班級？
（2）這時每個班級分得多少本？
【答案】（1）18個
（2）5本
【分析】（1）由題意可知，最多可以分給的班級數量就是54和36的最大公因數，據此解答即可；
（2）用54和36分別除以它們的最大公因數，再相加即可。
【詳解】（1）54＝2×3×3×3
36＝2×2×3×3
54和36的最大公因數為：2×3×3＝18
答：最多可以分給18個班級。
（2）54÷18＋36÷18
＝3＋2
＝5（本）
答：這時每個班級分得5本。
【考點精講十】（23-24五年級下·江蘇·期中）用長4厘米、寬3厘米的長方形，照下圖的樣子接著拼，拼成正方形。拼成的正方形邊長最小是多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】正方形的四條邊長度相等。用長方形拼成正方形，則正方形的邊長是長方形的長與寬的公倍數。求拼成的正方形邊長最小是多少厘米，也就是求4和3的最小公倍數是多少。據此解答即可。
【詳解】3和4的最小公倍數：3×4＝12
答：拼成的正方形邊長最小是12厘米。
一、解答題
1．（22-23五年級下·安徽蚌埠·期末）某學校藝術團為慶祝建校80周年編排節目，需要用彩帶制作花籃。如果把圖中兩根彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？一共可以剪成這樣的短彩帶多少根？
【答案】12厘米；7根
【分析】把圖中兩根彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，就是找到一個數既能被48整除，也能被36整除。最長的長度就是找出36和48的最大公因數。再分別除以最大公因數，算出兩根彩帶可以剪幾根，相加即可。
【詳解】
2×2×3＝12（厘米）
36÷12＝3（根）
48÷12＝4（根）
3＋4＝7（根）
答：每根短彩帶最長是12厘米，一共可以剪成這樣的短彩帶7根。
2．（23-24五年級下·安徽合肥·期末）在城市較高建筑物的頂端應當設置航空障礙燈，通過間隔一段時間閃光的方式提醒過往飛機。一天晚上，小蘭觀察高樓上的障礙燈，發現第一盞燈每2秒閃一次，第二盞燈每3秒閃一次，第三盞燈每5秒閃一次，從某次三盞燈同時閃了之后開始計時，到2分鐘結束時，三盞燈同時又閃了多少次？
【答案】4次
【分析】2，3，5的最小公倍數是30，也就是說每30秒三盞燈同時閃動1次；2分鐘＝120秒，因為從某次三盞燈同時閃了之后開始計時，所以到下一次同時閃動需要30秒；用120除以30，求出120里面有幾個30就是三盞燈又同時閃動了幾次。
【詳解】2，3，5的最小公倍數是2×3×5＝30，所以這三盞燈每隔30秒同時閃動一次。
2分＝120秒
120÷30＝4（次）
答：到2分鐘結束時，三盞燈同時又閃了4次。
3．（23-24五年級下·河南平頂山·期末）給一個長40分米，寬32分米的房間鋪正方形地磚，如果要讓使用的地磚必須都是整塊，選擇的地磚邊長最大是多少分米？至少需要幾塊？
【答案】8分米；20塊
【分析】先求出40和32的最大公因數，即為正方形地磚的邊長；據此分別求出房間的長邊、寬邊含有的正方形地磚的塊數，再把兩個數相乘即可求出可以需要的正方形地磚的塊數
【詳解】40＝2×2×2×5
32＝2×2×2×2×2
所以40和32的最大公因數是2×2×2＝8，即地磚邊長最大是8分米。
（40÷8）×（32÷8）
＝5×4
＝20（塊）
答：選擇的地磚邊長最大是8分米，至少需要20塊。
4．（23-24五年級下·江蘇宿遷·期末）縱槳飛舟，粽葉飄香，賽龍舟是端午佳節的重要組成部分，是中華文化的傳承。為弘揚中華傳統文化，彰顯“水潤之城”的城市內涵，6月10日，有38支來自各縣區的代表隊在市區古黃河金鷹段舉辦2024宿遷端午龍舟賽。賽道上原來有21個浮漂（首尾各有一個），每兩個浮漂之間距離是15米。現在每兩個浮漂之間距離改為20米，不需要重新替換的浮漂有多少個？
【答案】6個
【分析】賽道上原來有21個浮漂，首尾各有一個，所以賽道總長是（21－1）個15米，即300米。現在每兩個浮漂之間距離改為20米，不需要重新替換的浮漂就是15和20的公倍數，15和20的最小公倍數是60，所以不需要重新替換的浮漂有（300÷60＋1）個。
【詳解】21－1＝20（個）
20×15＝300（米）
15＝3×5
20＝2×2×5
所以15和20的最小公倍數是：5×3×2×2＝60
300÷60＋1
＝5＋1
＝6（個）
答：不需要重新替換的浮漂有6個。
5．（23-24五年級下·山西大同·期末）五（1）班的同學分組合作學習，每4人一組多1人，每5人一組多1人，每8人一組也多1人。五（1）班至少有多少人？
【答案】41人
【分析】每4人一組多1人，每5人一組多1人，每8人一組也多1人，說明五（1）班的總人數比4、5、8的公倍數多1。求五（1）班至少有多少人，求出4、5、8的最小公倍數，再加上1即可解答。
用質因數分解法可以求幾個數的最小公倍數。全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。
【詳解】4＝2×2
5的質因數只有5。
8＝2×2×2
則4、5、8的最小公倍數是2×2×5×2＝40。
40＋1＝41（人）
答：五（1）班至少有41人。
6．（23-24五年級下·江蘇淮安·期末）工地上有兩根鋼管，一根長36分米，另一根長63分米。因施工需要，把它們都鋸成長度相等的小段，每段要盡可能長，且沒有剩余。每段鋼管長多少分米？一共能鋸成多少段？
【答案】9分米；11段
【分析】已知兩根鋼管要把它們剪成同樣長的小段，每段長要盡可能長，且沒有剩余，求每段鋼管長多少米，就是求36和63的最大公因數；然后分別用36和63除以它們的最大公因數，即可求出兩根鋼管各自剪成的段數，最后相加即可。
【詳解】36＝2×2×3×3
63＝3×3×7
36和63的最大公因數3×3＝9
36÷9＋63÷9
＝4＋7
＝11（段）
答：每段鋼管長9分米，一共能鋸成11段。
7．（23-24五年級下·江蘇淮安·期末）小張和小李在同一家公司上班。小張每5天值一次夜班，小李每4天值一次夜班。5月13日他們同時值夜班，下一次他們值班的是幾月幾日？
【答案】6月2日
【分析】由小張每5天值一次夜班，小李每4天值一次夜班，可知：他們從5月13日到下一次都值夜班之間的天數是5和4的最小公倍數的數，最小公倍數是20，因此再求出5月里還有幾天，最后用20減去5月里剩下的天數，得數是幾就是6月幾日。據此解答。
【詳解】5和4互質，所以5和4的最小公倍數：5×4＝20；
5月是大月有31天，所以5月里還有：31－13＝18（天）；
還剩下：20－18＝2（天）；
答：下一次都值班是6月2日。
8．（23-24五年級下·江蘇淮安·期末）李明家客廳長7.5米，寬6米，用正方形的地磚鋪地正好鋪滿（不需要切割），正方形的地磚邊長最大是多少分米？一共需要多少塊這樣的地磚？
【答案】15分米；20塊
【分析】先統一單位，根據1米＝10分米，7.5米＝75分米，6米＝60分米。
根據題意，給長7.5米，寬6米的客廳的地面輔設同樣大小的正方形地磚，正好輔滿，那么地磚的邊長是75和60的公因數；當正方形地磚的邊長最大時，邊長為75和60的最大公因數；把75和60分解質因數后，把公有的質因數乘起來就是它們的最大公因數；用客廳總面積除以一塊地磚的面積，就是一共需要的地磚塊數。
【詳解】7.5米＝75分米
6米＝60分米
75＝3×5×5
60＝2×2×3×5
75和60的最大公因數是：3×5＝15
即正方形地磚邊長最大是15分米；
75×60÷（15×15）
＝75×60÷225
＝4500÷225
＝20（塊）
答：正方形的地磚邊長最大是15分米，一共需要20塊這樣的地磚。
9．（23-24五年級下·江蘇揚州·期末）有一筐桃，數量不超過100個，平均分給5個小朋友，還剩2個，平均分給7個小朋友，也剩2個，這筐桃最多有多少個？
【答案】72個
【分析】根據題意，要求這筐桃子最多有多少個，先求出5和7的最小公倍數，再找出100以內5和7的最小公倍數的倍數，再加上2，即可解答。
【詳解】5和7的最小公倍數是5×7＝35
100以內35的倍數有：35，70；
70＋2＝72（個）
72＜100，最多有72個。
答：這筐桃最多有72個。
10．（23-24五年級下·貴州畢節·期末）體育課上，為了使隊形整齊，要求站隊時每行人數都相等。五一班有32名同學，可以排幾行？共有幾種站隊的方法？（每行或每列不少于2人）
【答案】4行或8行；2種
【分析】根據題意可知，每行人數×行數＝32，據此將32拆分成2個因數相乘，已知每行或每列不少于2人，據此判斷有幾種方法即可。
【詳解】32＝1×32＝2×16＝4×8
因為每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合題意，所以有兩種站隊方法：①4行8列，②8行4列。
答：可以排4行或8行，共有2種站隊的方法。
11．（23-24五年級下·安徽滁州·期末）去年暑假期間，小林每4天游泳一次，小軍每3天游泳一次，7月31日兩人在游泳館相遇，八月份他們一共相遇了幾次？
【答案】2次
【分析】已知小林每4天游泳一次，小軍每3天游泳一次，那么兩人同時去游泳的間隔天數就是4和3的公倍數。4和3是互質數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是兩數的乘積12。用八月的總天數除以它們的最小公倍數得到的整數商就是兩人相遇的次數。
【詳解】4和3的最小公倍數是：4×3＝12
即每12天他們相遇了一次。
8月份有31天。
31÷12＝2（次）……7（天）
答：八月份他們一共相遇了2次。
12．（23-24五年級下·江蘇·期末）把一些蘋果分給小朋友們，每人分3個或每人分5個都能正好分完。已知蘋果個數在80~100個之間，一共有多少個蘋果？
【答案】90個
【分析】一些蘋果分給小朋友們吃，每人分3個或每人分5個都能正好分完，蘋果的個數應是3和5的公倍數，先根據求最小公倍數的方法：兩個數的公有質因數與每一個數的獨有質因數的連乘積；如果兩個數為倍數關系，最小公倍數為較大的那個數；如果兩個數為互質數，最小公倍數為兩個數的乘積；求出3和5的最小公倍數；已知蘋果在80～100個之間，所以這個公倍數應是在80和100之間的3和5的公倍數。據此解答。
【詳解】3和5的最小公倍數：3×5＝15
蘋果個數在80和100之間；
15×5＝75；75＜80；
15×6＝90；80＜90＜100，所以一共有90個蘋果。
答：一共有90個蘋果。
13．（22-23五年級下·江蘇鹽城·期中）一筐蘋果在40~50個之間，丁丁6個6個地數，或8個8個地數，都余1個。這筐蘋果一共有多少個？
【答案】49個
【分析】根據題意可知，如果將蘋果總數減去1，則蘋果總數是6和8的公倍數，最小公倍數是兩個數公有的質因數和各自獨有的質因數的乘積，先求出6和8的最小公倍數，再求出對應的公倍數；已知蘋果在40~50個之間，則求出在40~50之間的6和8的公倍數再加1，即可求出蘋果的總個數。
【詳解】6＝2×3
8＝2×2×2
2×2×2×3＝24
24×2＝48
48＋1＝49
49在40~50之間。
答：這筐蘋果一共有49個。
【點睛】本題考查了最小公倍數的求法和應用。
14．（22-23五年級下·江蘇泰州·期中）一張長方形的紙片長28厘米，寬22厘米。如下圖，在紙的四邊留2厘米的空白，然后把中間的長方形平均分成若干個相同的正方形，正方形的邊長最大是多少厘米（邊長是整厘米數）？至少可以分成多少個正方形？
【答案】6厘米；12個
【分析】根據題意可知，中間長方形的長為（28－2－2）厘米，寬為（22－2－2）厘米，把中間的長方形平均分成若干個相同的正方形，求正方形的邊長最大是多少厘米，就是求24和18的最大公因數，最大公因數是兩個數的公有的質因數的乘積，也就是6厘米，然后根據長方形的面積公式，用24×18即可求出中間的長方形的面積，根據正方形的面積公式，用6×6即可求出一個正方形的面積，最后用中間的長方形的面積除以一個正方形的面積，即可求出正方形的個數。
【詳解】中間長方形的長為：28－2－2＝24（厘米）
寬為：22－2－2＝18（厘米）
24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6
24和18的最大公因數是6，
（24×18）÷（6×6）
＝432÷36
＝12（個）
答：正方形的邊長最大是6厘米；至少可以分12個正方形。
【點睛】本題考查了最大公因數的求法和應用。
15．（22-23五年級下·江蘇淮安·期中）大賽組委會把46本編程圖書和37個益智玩具分別平均分給一等獎獲得者，結果編程圖書少2本，益智玩具剩1個，那么最多有多少位同學獲得一等獎？
【答案】12位
【分析】由題意可知，圖書和益智玩具如果分的沒有剩余，則圖書有46＋2＝48（套），益智玩具有37－1＝36（個），要想每人分得的數量相等，最多有多少位同學獲得一等獎，就是求48和36的最大公因數。據此解答。
【詳解】46＋2＝48（套）
37－1＝36（個）
48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因數是：2×2×3＝12
答：最多有12位同學獲得一等獎。
【點睛】此題考查的是最大公因數的應用，求兩個數的最大公因數的方法是把兩個數共有的因數相乘。
16．（23-24五年級下·江蘇常州·期中）學校買來了若干只籃球。如果把這些籃球平均分給3個班，則余1只；如果平均分給4個班，則余1只；如果平均分給5個班，則余1只。學校至少買來多少只籃球？
【答案】61只
【分析】平均分給3個班，則余1只；如果平均分給4個班，則余1只；如果平均分給5個班，則余1只。說明籃球的數量比3、4、5的公倍數多1，求出3、4、5的最小公倍數，加1即可。
【詳解】3×4×5＝60（只）
60＋1＝61（只）
答：學校至少買來61只籃球。
17．（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）某小學五年級組成腰鼓隊，人數在60－80之間，他們無論是站成8人一行還是站成12人一行，都正好沒有剩余。這支腰鼓隊一共有多少人？
【答案】72人
【分析】根據題意可知腰鼓隊的人數是8和12的公倍數，且人數在60到80之間，求出8和12的最小公倍數并在限定范圍內找出合適的公倍數即可解答。
【詳解】
8和12的最小公倍數是
8和12的公倍數有24、48、72、96……而在60和80之間的是72。
答：這支腰鼓隊的人數是72人。
18．（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）用長8分米、寬6分米的長方形地磚鋪地，至少用多少塊可以鋪成一個正方形？
【答案】12塊
【分析】鋪成的正方形的邊長應是6和8的最小公倍數，計算求出6和8的最小公倍數，也就是鋪成正方形的邊長；要求至少用多少塊長方形地磚，用鋪成的正方形面積除以每塊長方形的面積；結合正方形面積＝邊長×邊長，長方形面積＝長×寬，代入相應數值計算，據此解答。
【詳解】6＝2×3
8＝2×2×2
2×3×2×2＝24，6和8的最小公倍數是24，也就是鋪成的正方形的邊長是24分米。
24×24÷（8×6）
＝576÷48
＝12（塊）
答：至少用12塊可以鋪成一個正方形。
19．（23-24五年級下·江蘇淮安·期中）在一條長72米的長廊的一邊擺花，原來每隔9米放一盆花，現在每隔6米放一盆花，一共有多少盆花不需要移動？（長廊兩端各放一盆）
【答案】5盆
【分析】原來每隔9米放一盆花，現在每隔6米放一盆花，先求出9和6的最小公倍數，9和6的最小公倍數就是不需要移動的花盆的間隔距離；根據盆數＝全長÷間隔距離＋1，代入數值計算現在一共需要放的盆數，也就是不需要移動的花盆數。
【詳解】9＝3×3
6＝2×3
3×3×2＝18，9和6的最小公倍數是18。
72÷18＋1
＝4＋1
＝5（盆）
答：一共有5盆花不需要移動。
20．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）甲、乙兩人到圖書館去借書，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果4月7日兩人在圖書館相遇，那么他們下一次在圖書館相遇是幾月幾日？
【答案】5月1日
【分析】全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。求出兩人間隔時間的最小公倍數是兩人同時去借書的間隔時間。根據起點時間＋經過時間＝終點時間，結合4月有30天，推算出他們下一次在圖書館相遇的日期即可。
【詳解】6＝2×3
8＝2×2×2
2×3×2×2＝24（天）
他倆再過24天就能都到圖書館，4月7日＋24天＝5月1日
答：他們下一次在圖書館相遇是5月1日。
21．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）園林工人在長60米的小路兩邊每隔6米栽一棵樹（首尾都栽），現在要改成每隔4米栽一棵樹，那么不用移栽的樹有多少棵？
【答案】12棵
【分析】不用移栽的樹的間隔距離應是4和6的公倍數，用60除以4和6的公倍數，再加上1，就是一邊不用移栽的樹；因為在路兩邊都栽樹，計算出結果再乘2即可。
【詳解】4＝2×2
6＝2×3
因為4和6的最小公倍數是：2×2×3＝12
60÷12＝5（棵）
5＋1＝6（棵）
6×2＝12（棵）
答：不用移栽的樹有12棵。
22．（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）用96朵紅花和72朵黃花扎成花束，要求每束花里紅花的朵數相同，黃花的朵數也相同，且所有的花正好分完且沒有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中紅花和黃花各有多少朵？
【答案】24束；紅花4朵，黃花3朵
【分析】要使每束花里紅花的朵數相同，黃花的朵數也相同，且所有的花正好分完且沒有剩余，則扎成的花束的數量是96和72的公因數，最多扎的束數就是96和72的最大公因數。用質因數分解法可以求兩個數的最大公因數，全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數。
分別用96和72除以求得的最大公因數，即最多扎的束數，即可求出每束花中紅花和黃花各有多少朵。
【詳解】96＝2×2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3
96和72的最大公因數是2×2×2×3＝24，則最多可以扎24束花。
紅花：96÷24＝4（朵）
黃花：72÷24＝3（朵）
答：最多可以扎24束花。每束花中紅花有4朵，黃花有3朵。
23．（23-24五年級下·山西大同·期中）今年1月份，小軍和小丁去參加讀書分享會。小軍每6天去一次，小丁每8天去一次。1月2日兩人在讀書會上相遇，1月幾日他們會再次相遇？
【答案】1月26日
【分析】還需要經過6和8的最小公倍數的天數，兩人會再次相遇。將6和8分別分解質因數，公有質因數和獨有質因數的乘積是這兩個數的最小公倍數。據此解題。
【詳解】6＝2×3
8＝2×2×2
所以，6和8的最小公倍數是2×3×2×2＝24。
1月2日＋24日＝1月26日
答：1月26日他們會再次相遇。
24．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）有兩根鋼絲，長度分別是16米和20米，現在要把它們截成長度相同的小段，但每一根都不許剩余，每小段最長是多少米？一共可以截成多少段？
【答案】4米，9段
【分析】要把它們截成長度相同的小段，但每一根都不許剩余，求每小段最長的米數就是求兩根鋼絲米數的最大公因數；可以截成的段數＝兩根鋼絲的長度之和÷每段的長度，據此解答。
【詳解】16＝2×2×2×2
20＝2×2×5
2×2＝4（米）
（16＋20）÷4
＝36÷4
＝9（段）
答：每小段最長是4米，一共可以截成9段。
25．（23-24五年級下·江蘇南京·期中）（1）探索：6和9的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。6和9的最大公因數與最小公倍數的乘積（ ）6×9。（填“＞”“小于”或“＝”）。
（2）發現：再找兩組數繼續研究一下，并寫下你的發現。
（3）應用：如果兩個數的最大公因數是a，最小公因數是b。已知其中一個數是24，那么另一個數是（ ）。
【答案】（1）3；18；＝；
（2）兩個不為0的不同的自然數，它們的最大公因數與最小公倍數的乘積等于這個兩個數的乘積。
（3）
【分析】（1）可先將6和9分解質因數，將相同因數相乘得到最大公因數，最大公因數再乘不同的因數得到最小公倍數。據此可得出答案。
（2）可找出6和8、4和6兩組數，分別運用質因數法求出最大公因數及最小公倍數，據此可發現規律。
（3）根據找到的規律，則最大公因數a與最小公因數b的乘積等于這兩個數的乘積，可計算得出答案。
【詳解】（1）6＝2×3，9＝3×3，即6和9的最大公因數是3；最小公倍數是：2×3×3＝18。
3×18＝54，6×9＝54，即6和9的最大公因數與最小公倍數的乘積＝6×9。
（2）6和8，6＝2×3，8＝2×2×2，即6和8的最大公因數是2；最小公倍數是2×3×2×2＝24
2×24＝48，6×8＝48，即6和8的最大公因數與最小公倍數的乘積＝6×8。
4和6，4＝2×2，6＝2×3，即4和6的最大公因數是2；4和6最小公倍數是：2×2×3＝12。
2×12＝24，4×6＝24，即4和6的最大公因數與最小公倍數的乘積＝4×6。
我的發現：兩個不為0的不同的自然數，它們的最大公因數與最小公倍數的乘積等于這個兩個數的乘積。
（3）根據規律得，另一個數為：ab÷24＝
26．（23-24五年級下·江蘇南京·期中）實踐園的朱爺爺要把長24米、寬16米的長方形菜地分割成相同的正方形菜地，要使菜地全部用上沒有剩余，所分割的正方形菜地邊長最大是多少米？能分割成多少塊這樣的菜地？
【答案】8米；6塊
【分析】要把長24米、寬16米的長方形菜地分割成相同的正方形菜地，要使菜地全部用上沒有剩余，就是求24和16的最大公因數。用24除以這個最大公因數，就得到它的長可以平均分成幾段，再用16除以這個最大公因數，就可以得到它的寬可以平均分成幾段，最后把這兩個數相乘，就得到分割多少塊這樣的菜地。據此解答即可。
【詳解】24＝3×2×2×2
16＝2×2×2×2
24和16的最大公因數是2×2×2＝8。
（24÷8）×（16÷8）
＝3×2
＝6（塊）
答：所分割的正方形菜地邊長最大是8米，能分割成6塊這樣的菜地。
27．（23-24五年級下·江蘇南京·期中）你們聽說過“韓信點兵——多多益善”這句歇后語嗎？其實在數學中也有“韓信點兵”這一說法，它指代的是一種類型的數學問題，下面我們就來試著解答吧。
韓信帶領1500名士兵去打仗，戰死了四五百人。還未來得及清點人數，敵軍已經追來，韓信急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韓信馬上向將士們宣布：我軍還有1049名勇士。
同學們，你知道韓信是怎么算出來的嗎？嘗試說一說。
【答案】見詳解
【分析】根據題意可知，士兵3人一排，多出2人；5人排，多出4人；7人一排，多出6人，說明士兵的人數是3、5、7的公倍數少1，先求出3、5、7的最小公倍數，再根據士兵的人數在1000－1100之間，據此解答即可。
【詳解】3、5、7的最小公倍數是：3×5×7＝105
105×10＝1050（名）
1050－1＝1049（名）
即還有1049名勇士。
28．（23-24五年級下·廣西防城港·期中）一種長方形木塊的長是12厘米，寬是10厘米，用這種木塊鋪成一個正方形（不允許切割），這個正方形的邊長最少是多少厘米？至少要用多少塊這樣的木塊？
【答案】60厘米；30塊
【分析】求正方形的邊長最小是多少厘米，即求12和10的最小公倍數，先把12和10進行分解質因數，這兩個數的公有質因數與獨有質因數的連乘積即是最小公倍數，再用除法計算正方形的邊長包含幾個木塊的長邊、幾個木塊的短邊，據此解答。
【詳解】12＝2×2×3
10＝2×5
12和10的最小公倍數是2×2×3×5＝60
（60÷12）×（60÷10）
＝5×6
＝30（塊）
答：這個正方形的邊長最少是60厘米，至少要用30塊這樣的木塊。
【點睛】本題考查的是求最小公倍數應用題，掌握求最小公倍數的方法是解答關鍵。
29．（23-24五年級下·江蘇鹽城·期中）王老師每4天去圖書館一次，李老師每6天去圖書館一次，如果今年3月23日，他們兩人在圖書館相遇，下一次他們倆在圖書館相遇應是幾月幾日？
【答案】4月4日
【分析】全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。
從題意可知：王老師每4天去圖書館一次，李老師每6天去圖書館一次。求出4和6的最小公倍數就是兩人同時去借書的間隔時間。根據起點時間＋經過時間＝終點時間，結合3月有23日，推算出他們下一次在圖書館相遇的日期即可。
【詳解】4＝2×2 6＝2×3
4和6的最小公倍數：2×2×3＝12
再過12天，兩人在圖書館再一次相遇，3月23日＋12天＝4月4日。
答：下一次他們倆在圖書館相遇應是4月4日。
30．（23-24五年級下·江蘇·期中）用長12厘米、寬8厘米的長方形，照下圖的樣子拼成正方形。拼成的正方形邊長最小是多少厘米？至少要用多少個這樣的長方形才能拼成一個正方形？
【答案】24厘米；6個
【分析】拼成正方形的邊長是12厘米、8厘米的公倍數，拼成的最小邊長是這兩個數的最小公倍數；根據求兩個數最小公倍數的方法：兩個數的公有質因數與每一個獨有質因數的連乘積；如果兩個數為倍數關系：最小公倍數為較大的那個數；如果兩個數為互質數，最小公倍數為兩個數的乘積；據此求出正方形最小邊長，再分別利用除法求出需要幾行幾列的小長方形，從而利用乘法求出一共需要多少個長方形，據此解答。
【詳解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最小公倍數為2×2×2×3＝24；正方形最小邊長是24厘米。
（24÷12）×（24÷8）
＝2×3
＝6（個）
答：拼成的正方形邊長最小是24厘米，至少要用6個這樣的長方形才能拼成一個正方形。
31．（23-24五年級下·江蘇徐州·期中）先在圖中畫一畫，再填空。把一張長15厘米，寬9厘米的長方形紙裁成同樣大的正方形。如果要求紙沒有剩余，裁出的正方形邊長最大是（ ）厘米，一共可以裁出（ ）個這樣的正方形。
【答案】畫圖見詳解；3；15
【分析】在圖中畫正方形時，要保證正方形邊長最大，且沒有剩余。
把一張長15厘米，寬9厘米的長方形紙裁成同樣大的正方形且沒有剩余，說明小正方形的邊長是長、寬的公因數，求裁出的正方形的最大邊長，就是求長、寬的最大公因數；用分解質因數的方法求出長、寬的最大公因數，再分別求出長、寬各可以剪幾個，最后相乘就是至少剪的個數。
【詳解】如圖：
15＝3×5
9＝3×3
15和9的最大公因數是3；
即裁出的正方形邊長最大是3厘米。
15÷3＝5（個）
9÷3＝3（個）
一共：5×3＝15（個）
裁出的正方形邊長最大是3厘米，一共可以裁出15個這樣的正方形。
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