資源簡介

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《正比例與反比例》單元整體設計
一、單元主題解讀
（一）課程標準要求分析
《正比例與反比例 》單元是數與代數第三學段“數與代數”中的重要內容。
《課程標準》在“內容要求”提出了：
通過具體情境，認識成正比的量(如=5)；能探索規律或變化趨勢(如y=5x)。
《課程標準》在“學業要求”中指出：
能在具體情境中描述成正比的量 =(k≠0)，能找出生活中成正比的量的實例；能根據給出的成正比關系的數據在方格紙上畫圖了解y=kx(k≠0)的形式，能根據其中一個量的值計算另一個量的值。
單元教材內容分析
主要包含正比例和反比例的相關知識。
學生認知情況
本單元是在學生已經學習了比和比例等知識的基礎上進行學習的。
二、單元目標擬定
1.結合具體情境，體會生活中存在著大量互相依賴的變量，體會數學與生活的聯系；在具體情境中，嘗試用自己的語言描述兩個變量之間的關系，知道列表或畫圖都是表示變量之間關系常用的方法。
2.結合豐富的實例，經歷正比例、反比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”從而認識正比例和反比例；能根據正比例和反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例或反比例；能舉出生活中成正比例和成反比例量的實例。
3.初步了解正比例的圖象是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的圖象。
三、關鍵內容確定
（一）教學重點
理解正、反比例的意義，初步了解正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的圖
教學難點
會判斷兩種量是否成正、反比例關系；會利用正比例關系圖象解決簡單的問題；能用多種方法解決有關正、反比例的實際問題。
四、單元整合框架及說明
整合指導思想定位：
會用數學的眼光觀察現實世界
會用數學的思維思考現實世界
會用數學的語言表達現實世界
這是數學課程的核心素養內涵。運用正比例與反比例的相關知識，分析、解決實際問題，并在經歷問題解決的過程中，積累和豐富解決問題的經驗策略，提高解決問題的能力。體會正比例反比例與其他知識之間的聯系，綜合運用多種知識，靈活解決實際問題。
從具體編排來說，
本單元教科書編寫的基本思路主要體現在以下幾個方面：
1.提供具體情境，引導學生體會生活中存在大量互相依存的變量，拓寬知識學習的背景。函數是刻畫變量之間相互關系的重要模型，體會函數思想需要豐富的情境，學生需要結合具體的情境感受生活中存在著很多變量，并體會到有的變量之間是存在一定關系的，如一個變量隨另一個變量的變化而變化等。
2.經歷知識的形成過程，引導學生從變化中看到“不變”，理解正比例和反比例的意義；正比例和反比例在生活中有著廣泛應用，但是對于六年級的小學生來說很難自己從生活現象中抽象出數學關系。
3.充分利用直觀圖象，數形結合，幫助學生進一步認識正比例。教科書安排了“畫一畫”的活動，讓學生先填表判斷“看電影的人數與所付票費”是否成正比例，再將這組數據用“描點法”畫在方格紙上，引導學生發現描出的點正好在一條直線上，了解正比例圖象的特點。然后，引導學生讀懂圖，理解正比例圖象上的點所表示的實際意義，并利用直線上的點的特征進行分析推斷，借助圖象直觀進一步認識成正比例的兩個量的變化規律。
五、單元課時規劃
單元劃分依據 □課程標準 教材章節 □知識結構
課程內容模塊 數與代數 □圖形與幾何 統計與概率 □綜合與實踐
單元數量 4
單元主題 單元名稱 主要內容 課時
數與代數 正比例與反比例 變化的量 1
正比例 1
畫一畫 1
反比列 1
重點滲透的數學思想方法 抽象 符號化 分類 集合 對應 演繹 歸納 類比 轉化 數形結合 □極限 模型 □方程 函數 □統計 分析 綜合 比較 □假設 □其他
課時 學習目標 評價形式 評價標準
變化的量 目標：結合具體的數學情境認識“變化的量”，并通過描述活動，了解其中一個變量是怎樣隨著另一個變量而變化的，知道列表與畫圖都是表示變量關系的常用的方法，積累表征變量的數學活動經驗。 任務一：學習相關聯的量。 1.通過學習活動認識“變化的量”，并通過描述活動，了解其中一個變量是怎樣隨著另一個變量而變化的，知道列表與畫圖都是表示變量關系的常用的方法，積累表征變量的數學活動經驗。
正比例 目標：結合“正方形的周長與邊長，正方形的面積與邊長，路程、時間與速度”等情境，經歷正比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”，認識正比例。 能根據正比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例，能舉出生活中成正比例的實例，感受正比例在生活中的廣泛應用。 任務一：認識正比例。 任務二：判斷兩個量是否成正比例的方法。 1.通過小組合作探究活動建構正比例意義，能從變化中看到“不變”，認識正比例。 2.通過學習活動能根據正比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例。
畫一畫 目標：初步認識正比例圖象，體會“正比例圖象是一條直線”的特點，深化對正比例的認識。 會在方格紙上描出成正比例的量所對應的點，理解正比例圖象上的點所表示的意義。 任務一：正比例圖像。 1.通過小組合作探究活動，初步認識正比例圖象，體會“正比例圖象是一條直線”的特點，會在方格紙上描出成正比例的量所對應的點，理解正比例圖象上的點所表示的意義。
反比例 目標：經歷反比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”認識反比例。能根據反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成反比例，能舉出生活中成反比例的實例，感受反比例在生活中的廣泛應用。 任務一：反比例的意義。 任務二：判斷兩個量是否成反比例的方法。 1.通過學習活動，建構反比例意義，能從變化中看到“不變”認識反比例。 1.通過學習活動，能根據反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成反比例，能舉出生活中成反比例的實例。
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《 反比例 》教學設計
課題 反比例 單元 第四單元 學科 數學 年級 六年級
教材分析 本節課著重讓學生理解反比例的意義，并會判斷兩個量是否成反比例關系，體會函數思想對于反比例意義的認識。教材從不同的角度、圖形、生活實例提供了有利于學生探索并理解反比例意義的情境，引導學生研究兩個變量之間的關系，從變化中看到不變，經歷從具體情境中抽象出反比例的過程。
學習目標 學習目標描述：結合“長方形相鄰兩邊的邊長，路程、時間與速度”等情境，經歷反比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”認識反比例。學習內容分析：能根據反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成反比例，能舉出生活中成反比例的實例，感受反比例在生活中的廣泛應用。學科核心素養分析：經歷比較、分析、歸納等數學活動、提高分析比較、歸納概括能力，初步體會函數思想。
重點 認識反比例，能根據反比例的意義判斷兩個相關聯的量是不是成反比例。
難點 能根據反比例的意義判斷兩個相關聯的量是不是成反比例。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 師：什么是正比例？師：判斷下面各題中的兩個量是否成正比例？并說明理由。書包的單價一定，買書包的個數和總價。一本書頁數一定，已讀頁數和剩下的頁數。（3）汽車行駛的路程一定，行駛的速度和時間。師：我們已經知道了兩個量成正比例關系的變化規律，今天我們探究的是與正比例關系相反的一種關系——反比例，它有什么變化規律呢？ 生：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關系叫做正比例關系。學生獨自完成，然后集體訂正。 復習導入，從已有知識過渡到新知識的學習，使學生主動構建新舊知識之間的聯系。
講授新課 任務一：反比例的意義。師：用 x、y表示長方形相鄰兩邊的邊長，表1是面積為24cm2的長方形相鄰兩邊邊長的變化關系，表2是周長為24cm的長方形相鄰兩邊邊長的變化關系。請把表格填寫完整，并說說你分別發現了什么。 師：通過表格中的數據，你發現了什么 誰能說說你的發現？師：表1和表2中，長方形相鄰兩邊邊長之間的變化規律相同嗎？先獨立思考，然后在組內說說你找到的規律。課件出示：思考：表中有哪兩個相關聯的量？兩個相關聯的量，一個量是怎樣對著另一個量的變化而變化的？變化規律是什么？一行一行地看，發現了什么？一列一列地看,又發現了什么？師：根據我們的發現，你能說說路程和時間的變化規律嗎？師小結：像這樣，速度和時間兩個量，速度變化，所用的時間也隨著變化，而且速度與時間的積（也就是路程）一定，我們就說速度和時間成反比例。師：想一想，第一個問題中表1和表2中的長方形相鄰兩邊的長成反比例嗎？師：請你們想一想，怎樣的兩個量成反比例？教師根據學生的回答小結：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。 學生先獨立思考，然后組內交流。生：我發現長方形相鄰兩邊的邊長都在變化，長方形一條邊的邊長都隨著鄰邊的邊長的增加而減少。生：面積是24平方厘米的長方形相鄰兩邊邊長之間的關系：1×24=2×12=3×8……，相鄰兩邊長的積都是24。生：周長是24厘米的長方形相鄰兩邊邊長之間的關系：1×11=11，2×10=20，3×9=27，……積不相等。1+11=2+10=3+9……，相鄰兩邊長的積不相等，但相相鄰兩邊長的和相等。生：路程都是120千米生：我發現時間是隨著速度的變化而變化的。生：我發現10×12=60×2=80×1.5，積都是120。學生互相與同桌說一說。生：表1中，長方形的面積一定，長方形相鄰兩邊邊長的積一定，相鄰兩邊邊長成反比例。生：表2中，長方形的周長一定，長方形相鄰兩邊邊長的積不是一個確定的值，相鄰兩邊邊長不成反比例。學生獨立思考，然后組內交流匯報。 讓學生通過獨立思考、合作探究這一學習過程理解知識，學會思考，懂得交流，從中獲得情感體驗，實現了以原有的知識經驗為基礎，主動地建構知識，獲得數學思想方法的過程。引導學生了解題目中有哪些數學信息，有助于提高學生收集、處理、分析有效的數學信息的能力，繼而提高學生分析問題的能力，根據數量關系列式。借助畫圖，使學生直觀地看到兩個量之間的數量關系，能夠更好地引導學生理解反比例的具體意義。
任務二：判斷兩個量是否成反比例的方法。課件展示： 師：除此之外，還可以怎么驗證蘋果的單價與數量是否成反比例？課件出示：師：從這個表中你發現了什么？教師根據據學生回答小結：單價和數量的乘積一樣，蘋果的單價和數量成反比例。師：你喜歡誰的方法呢？課件出示：奇思讀一本書，已讀的頁數與剩下的頁數的情況如下。已讀頁數與剩下的頁數成反比例嗎？為什么？師：通過這兩個問題，你知道判斷兩個相關聯的量是否成反比例的關鍵是什么嗎？師：請舉一個成反比例的例子，并與同伴交流。 生：成反比例。因為蘋果的單價高了，數量就少了；蘋果的單價低了，數量就多了，反過來了。 生：還可以列表假設。生：我發現單價和數量的乘積總是相同。生：列表法比較好。因為根據表中的數據可以知道，蘋果的數量隨著單價的變化而變化，單價和數量的乘積一定，蘋果的單價和數量成反比例。生：已讀4頁，還剩下76頁，已讀5頁，還剩下75頁。已讀的頁數與剩下的頁數不成反比例。剩下的頁數隨著已讀的頁數的變化而變化，已讀的頁數與剩下的頁數的和一定，但積不相等，所以它們不成反比例。生：兩個相關聯的量是否成反比例，關鍵是它們的積是否一定。積一定，它們成反比例，積不一定，它們不成反比例學生自由舉例。 列舉生活中的例子，促使學生積極參與討論交流，啟迪學生智慧，激發學生探求知識的興趣，從而達到解決問題的目的。激發學生團隊合作精神。
課堂練習 基礎題：1.（1）把上表補充完整。（2）說一說看完全書所需天數與平均每天看的頁數的變化關系。（3）平均每天看的頁數與看完全書所需天數是不是成反比例？ 說明理由。 習題設計有針對性，層次性，不僅能鞏固本節課所學知識，還能提高學生解決問題的能力。
提高題：2.電腦興趣小組練習打同一份稿件，下表記錄的是每人打字所 用的時間。請把上表補充完整，再回答下列問題。（1）不同的人在打同一份稿件的過程中，哪個量沒有變？（2）打字的速度和所用的時間有什么關系？（3）李老師打這份稿件用了24分，你知道她平均每分打多少字嗎？
拓展題 3.判斷下面各題中的兩個量是否成反比例，并說明理由。（1）行駛的路程一定，車輪的周長與車輪需要轉動的圈數。（2）一個人跑步的速度和他的體重。（3）平行四邊形的面積一定，它的底和高。（4）笑笑從家步行到學校，已走的路程和剩下的路程。
課堂小結 通過本節課的學習，你們有什么收獲？ 學生自由說說。 課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內在聯系，形成知識系列及一定的結構框架。
板書 反比例 兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量的積一定,這兩種量就叫作反比例的量,它們之間的關系叫作反比例關系。如果用x和y表示兩種相關聯的量,用k表示它們的乘積(一定),反比例關系式可表示為xy=k(一定)。 利用簡潔的文字呈現本節課的重難點，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系。
作業設計 【知識技能類作業】 1.運一批貨物，每天運的噸數和需要的天數如下表。根據表回 答下面的問題。（1）表中有哪兩種量？它們是不是相關聯的量？（2）寫出幾組這兩種量中相對應的兩個數的積， 并比較積的大小。（3）說明這個積所表示的意義。（4）表中相關聯的兩種量成反比例嗎？為什么？2.截至2002年年底，我國探明可直接利用的煤炭儲量2298.86億噸。我國煤炭年均開采量與可開采年數之間的關系如下表。判斷我國煤炭年均開采量與可開采年數之間是否成反比例，并說明理由。
【綜合實踐類作業】3. 如圖是兩個互相嚙合的齒輪，它們在同一時間內轉動時，大齒輪和小齒輪轉過的總齒數是相同的。嘗試回答下面的問題。（1）大齒輪和小齒輪在同一時間內轉動時，哪個齒輪轉得更快？哪個齒輪轉的圈數多？（2）轉過的總齒數一定時，每個齒輪的齒數和轉過的圈數是什么關系？（3）大齒輪有40個齒，小齒輪有24個齒。如果大齒輪每分轉90圈，小齒輪每分轉多少圈？
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