資源簡介

專題16 直線與圓幾何問題題型深度剖析與總結(jié)
目錄
01考情透視·目標導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預(yù)測 6
05 核心精講·題型突破 15
題型一：直線的方程 15
題型二：圓的方程 19
題型三：直線、圓的位置關(guān)系 23
題型四：圓的動點與距離問題 27
題型五：阿氏圓 30
題型六：米勒定理與角度問題 35
題型七：圓的數(shù)形結(jié)合 39
重難點突破：與距離問題有關(guān)的最值 43
直線與圓是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容。考查形式多為選擇題、填空題，難度中檔。常考求直線（圓）方程、點到直線距離、判斷直線與圓位置關(guān)系，以及簡單弦長與切線問題。其中，直線方程、圓的方程、兩直線平行與垂直關(guān)系等是基礎(chǔ)考點，需熟練掌握相關(guān)公式和判定方法 ，注重數(shù)形結(jié)合解題.
考點要求 目標要求 考題統(tǒng)計 考情分析
直線與方程 掌握直線方程，運用數(shù)形結(jié)合解題 2024年北京卷第3題，4分 2023年I卷第6題，5分 2025年高考數(shù)學(xué)可能會涉及直線與圓的方程，包括直線方程的一般形式、圓方程的標準形式等。同時，可能會考察直線與圓的位置關(guān)系，如相交、相切、相離等，以及相關(guān)的計算和應(yīng)用。
直線與圓的位置關(guān)系 理解位置關(guān)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法 2024年甲卷（理）第12題，5分 2023年甲卷（理）第8題，5分 2023年II卷第15題，5分 2022年II卷第15題，5分
圓與圓的圓的位置關(guān)系 掌握判定方法及應(yīng)用 2022年II卷第14題，5分
1、直線與圓的位置關(guān)系
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
2、圓與圓的位置關(guān)系
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；.
302
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征 無實數(shù)解 一組實數(shù)解 兩組實數(shù)解 一組實數(shù)解 無實數(shù)解
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0
3、關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因為直線，即，令，
則，所以直線過定點，設(shè)，
將圓化為標準式為，
所以圓心，半徑，
當時，的最小，
此時.
故選：C
2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，即，
則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過，設(shè)，圓化為標準方程得：，
設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，
，此時.
故選：C
4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，且兩曲線在第一象限的交點為，則原點到直線的距離為 ．
【答案】/
【解析】圓的圓心為，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直線即，
故原點到直線的距離為，
故答案為：
5．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
【答案】（中任意一個皆可以）
【解析】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個皆可以）．
6．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因為存在實數(shù)，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
7．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，
則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角，
結(jié)合對稱性可得所求概率.
故選：C.
8．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.
9．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）若直線被圓截得的弦長為，則的值為 ．
【答案】
【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得，因為，解得.
故答案為：.
10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
11．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三點共圓
∵點M在直線上，
∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質(zhì)
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(1,-1)., 的方程為.
故答案為：
12．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圓的一般方程
依題意設(shè)圓的方程為，
（1）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）
設(shè)
（1）若圓過三點，圓心在直線，設(shè)圓心坐標為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過三點， 設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過 三點，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯(lián)立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯(lián)立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．
題型一：直線的方程
【典例1-1】已知，，若的平分線方程為，則所在直線的一般方程為 .
【答案】
【解析】直線的斜率，其方程為，即，
由，解得，令，
依題意，的平分線為直線，
由正弦定理得，
由于，由此整理得，
則，設(shè)，則，
整理得，解得，則，，
直線的方程為，即.
故答案為：
【典例1-2】光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為 .
【答案】
【解析】如圖，入射角，設(shè)折射角為，，，
則，，
所以，則，，
所以，且.
該光線再次返回空氣中時，其所在直線的傾斜角為，
則其所在直線的斜率為
，
直線的方程為，整理得.
故答案為：
1、已知直線，直線，則，且(或)，.
2、點到直線(A，B不同時為零)的距離.
3、兩條平行直線，(A，B不同時為零)間的距離.
【變式1-1】已知過原點的直線與圓相交于兩點，若，則直線的方程為 ．
【答案】
【解析】圓的圓心，半徑
直線截圓所得弦長，則弦心距
當過原點的直線斜率不存在時，的方程為，圓心到直線的距離為1，不符合題意要求；
當過原點的直線斜率存在時，的方程可設(shè)為，
由，可得，此時的方程為
綜上，直線的方程為.
故答案為：.
【變式1-2】一條光線經(jīng)過點射到直線上，被反射后經(jīng)過點，則入射光線所在直線的方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則解得
所以．又點，
所以，直線的方程為，
由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡得入射光線所在直線的方程為．
故答案為：.
1.過定點A的直線與圓交于B，C兩點，點B恰好為AC的中點，寫出滿足條件的一條直線的方程 ．
【答案】或
【解析】由直線，整理可得，當時，故直線過定點，
設(shè)，則，
由在圓，則，整理可得，
聯(lián)立可得，消去可得：，解得或，
當點的坐標為，由兩點式方程，可得，整理可得，
當點的坐標為，由兩點式方程，可得，整理可得，
故答案為：或
題型二：圓的方程
【典例2-1】如圖是一個中國古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標系中，以地面所在的直線為軸，過圓心的豎直直線為軸，則門的輪廓所在圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)該圓的半徑為，如圖，
由題意知：，，，
由勾股定理得：，即，解得：，
，即圓的圓心為，則圓的方程為.
故選：A.
【典例2-2】過點引圓：的兩條切線，切點分別為，．若，則過，，三點的圓的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由，得，可得圓心，半徑．
由，得，所以，
故，即，
解得或，則或，
根據(jù)，，故四點共圓，且為直徑，
所以線段的中點為或，且，
所以過，，三點的圓的方程為或．
故選：C．
1、圓的方程
（1）圓的定義
在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓
（2）圓的標準方程
設(shè)圓心的坐標，半徑為，則圓的標準方程為：
（3）圓的一般方程
圓方程為，圓心坐標：，半徑：
【變式2-1】已知直線l與拋物線交于A，B兩點（B在第一象限），C是拋物線的準線與直線l的交點，F(xiàn)是拋物線G的焦點，若，則以AB為直徑的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意得拋物線的焦點為，焦準距，
設(shè)準線與x軸交與點D，設(shè)，
設(shè)的中點為，
過點作準線的垂線，垂足為，
設(shè)，由可得，
由拋物線定義得，
由于，故，則,
則直線AB的傾斜角為，
故，即，故，
設(shè)，則，
則，故，
則，即，
又由可知直線l過拋物線焦點，
故l方程為，將代入得，
即的中點，，
故以AB為直徑的圓的方程為，
故選：D
【變式2-2】“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為橢圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，
于是橢圓的上頂點，右頂點，經(jīng)過兩點的橢圓切線方程分別為，，
則兩條切線的交點坐標為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點在橢圓的蒙日圓上，
圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日圓半徑，
所以橢圓的蒙日圓方程為.
故選：B
1.已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點到直線的距離，即當點運動到時，最小，直線的斜率為，此時直線的方程為，由，解得，所以，因為是直角三角形，所以斜邊的中點坐標為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.
故選：C.
題型三：直線、圓的位置關(guān)系
【典例3-1】若直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由知直線過定點，
由曲線，兩邊平方得，
則曲線是以為圓心，1為半徑的上半圓（包含軸上的兩點），
當直線過點時，直線與曲線有兩個不同的交點，
此時，解得，
當直線與曲線相切時，直線和圓有一個交點，
圓心到直線的距離，解得，
要使直線與曲線恰有兩個交點，
則直線夾在兩條直線之間，因此，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
【典例3-2】在平面直角坐標系中，滿足不等式組的點表示的區(qū)域面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，，
所以不等式組表示的區(qū)域是圓與圓公共的內(nèi)部區(qū)域，
畫出圖象如下圖所示，，兩圓半徑都是，
設(shè)兩個圓相交于兩點，則，
由于，，
所以是圓的切線，是圓的切線，
同理是圓的切線，是圓的切線，
，所以四邊形是正方形，
所以區(qū)域面積為.
故選：D
1、直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.
2、圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.
【變式3-1】設(shè)圓和不過第三象限的直線，若圓上恰有三點到直線的距離均為2，則實數(shù)（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【答案】D
【解析】的圓心為，半徑為
若圓上恰有三點到直線的距離均為2，則圓心到直線的距離為
解得或，
由于直線不經(jīng)過第三象限，則直線與軸的交點，
故，
故選：D
【變式3-2】已知圓與圓交于、兩點，則（為圓的圓心）面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得：，所以圓心，半徑，
由兩圓相交于、兩點可知：，
所以的面積，
因為是半徑為的圓，所以，
當時，，
又，
此時由，解得，，故可以取最大值，
所以當時，最大，且是銳角，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當時，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，所以，
故選：C.
1.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點到原點的距離為1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓，其圓心為，半徑為．
因為圓上恰有兩點到原點的距離為1，所以圓與圓有兩個交點．
因為圓心距為，所以，解得．
故選：B
題型四：圓的動點與距離問題
【典例4-1】若實數(shù)、滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，可得，
則直線與圓有公共點，
所以，，解得，
即的取值范圍是.
故選：B.
【典例4-2】已知點，，若圓上存在點P滿足，則實數(shù)a的取值的范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè)點，則，而，
則，整理得，即點的軌跡是原點為圓心，2為半徑的圓，
因為點在圓，即圓與圓有公共點，
而圓的圓心為，半徑為1，
因此，即，解得或，
所以實數(shù)a的取值的范圍是.
故答案為：
解決與圓相關(guān)的長度或距離的最值問題，通常的策略是根據(jù)所涉及的長度或距離的幾何定義，借助圓的幾何特性，通過數(shù)形結(jié)合的方法來尋找解答。
【變式4-1】已知點是圓上一點，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以圓心，半徑為1，
表示圓上的點到直線的距離的2倍，
因為圓心到直線的距離為，
所以圓上的點到直線的距離的最小值為1，最大值為3，
所以的最小值為2，最大值為6，
所以的范圍為，
故答案為：.
【變式4-2】已知點P(m，n)在圓上運動，則的最大值為 ，最小值為 ，的范圍為 ．
【答案】 64 4
【解析】由圓C的圓心為，半徑為3，且P在圓上，
則表示在圓上點到距離的平方，
而圓心到的距離為，
所以在圓上點到距離的最大值為8，最小值為2，
故的最大值為64，最小值為4；
又表示在圓上點到原點的距離，而圓心到原點距離為，
所以的范圍為.
故答案為：64，4，
1.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
【答案】1
【解析】聯(lián)想數(shù)量積公式，
得，
記，，則z為向量，的夾角余弦值的倍，
且由題意點B在以為圓心，1為半徑的圓上，
如圖所示，
若與的夾角余弦值要取得最小值，
則與的夾角需取得最大值，
由圖像可知，當時，與的夾角最大，
代入上式可得，此時．
故答案為：1.
題型五：阿氏圓
【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點是圓上任一點，點，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，不妨取，使得，
則，
整理得，
此方程與相同，
所以有，解得，
所以，
所以，當且僅當在線段上時，取等號.
因為，所以在圓內(nèi)；
，所以在圓外；
所以線段與圓必有交點（記為），
當重合時，，為其最小值，
故選：C.
【典例5-2】古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
則，
化簡整理得，
所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，
拋物線的焦點，準線方程為，
則
，
當且僅當（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”．特殊地，當時，點P的軌跡是線段AB的中垂線．
【變式5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動點M與兩個定點A，B的距離之比為常數(shù)（，），則點M的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知，M是平面內(nèi)一動點，且，則點M的軌跡方程為 .若點Р在圓上，則的最小值是 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，
整理得（或）.
設(shè)，則，
故
.
令，則=.
故答案為：；
.
【變式5-2】已知實數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因為，
所以
，
則，
相當于圓上的任一點到點與的距離之和，如圖，
因為，當在線段與圓的交點處時，即為所求，
所以所求最小值為.
故答案為：.
1.阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德并稱亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓.”人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，，點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，則該阿氏圓的方程為 ；若Q為拋物線上的動點，Q在y軸上的射影為M，則的最小值為 .
【答案】 或（）
【解析】設(shè)，由得，
化簡得，
拋物線的焦點為，，
，
，
易知當四點共線時，取得最小值為，
所以的最小值是．
故答案為：；．
題型六：米勒定理與角度問題
【典例6-1】（多選題）已知點在圓：上，點，，則下列說法中正確的是（ ）
A．點到直線的距離小于6 B．點到直線的距離大于2
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】BCD
【解析】，，所以線段的中點為，，所以線段的垂直平分線為，即，因為圓：，圓心，半徑，
又點恰在直線上，所以點到直線的距離最小值為，最大值為，故A錯誤，B正確；
由正弦定理可知，當?shù)耐饨訄A與圓相內(nèi)切時，最小，此時最大，此時恰在與的一個交點上，由解得或，所以，所以，，所以且，當?shù)耐饨訄A與圓相外切時，最大，此時，故C、D正確；
故選：BCD
【典例6-2】德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點是的邊上的兩個定點，C是邊上的一個動點，當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點C時，最大．在平面直角坐標系中，已知點，，點F是y軸負半軸的一個動點，當最大時，的外接圓的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知當最大時，的外接圓與軸負半軸相切，此時圓心位于第四象限，
因為點，，
所以圓心在直線上，
又圓與軸負半軸相切，
所以圓的半徑為3，
設(shè)圓心為，，
則，解得，
又，
所以
所以的外接圓的方程是，
故選：A．
米勒定理：已知點，是的邊上的兩個定點，點是邊上的一動點，則當且僅當三角形的外接圓與邊相切于點時，最大．
【變式6-1】已知為坐標原點，點，圓，點為圓上的一動點，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑為（如圖）.
由圖可知，當與圓相切，且位于第一象限時最小，
此時，即，所以，
故的最小值為.
故答案為：.
【變式6-2】已知圓C：，點P是圓C上的動點，點，當最大時，所在直線的方程是 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，在中，由余弦定理，得
，當且僅當時，等號成立，此時最大，且，
故，又，所以，故所在直線的方程為
，即.
故答案為：.
1.已知，，是圓上的一個動點，則的最大值為 .
【答案】/
【解析】設(shè)，則，其中.
因為，，所以.
由余弦定理得：，因為，所以.
所以.
記.
則
所以令，解得：，函數(shù)遞增；令，解得：，函數(shù)遞減；
所以.
故答案為：．
題型七：圓的數(shù)形結(jié)合
【典例7-1】過直線上一點作圓的兩條切線，當直線關(guān)于直線對稱時，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圓的圓心為，
由圖知，當直線關(guān)于直線對稱時，與直線垂直.
(理由：設(shè)直線切圓于點，易得平分，
又直線關(guān)于直線對稱，故直線平分的鄰補角，故可得)
故直線的方程為，即，
由解得：，即點的坐標為.
故選：B.
【典例7-2】已知是圓上一動點，若直線上存在兩點，使得能成立，則線段的長度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心，半徑，
由直線上存在兩點，使得成立，
得以為直徑的圓與圓有公共點，當長度最小時，兩圓外切，且兩圓連心線與垂直，如圖，
圓心到直線的距離，
所以.
故選：A
利用幾何意義轉(zhuǎn)化
【變式7-1】已知是圓上一個動點，且直線與直線相交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直線的方程可化為，由可得，
所以，直線過定點，
直線的方程可化為，由可得，
所以，直線過定點，
對于直線、，因為，則，即，
設(shè)線段的中點為，設(shè)點，
由直角三角形的幾何性質(zhì)可得，
即，化簡可得，
所以，點的軌跡為圓，
因為，所以，圓與圓外離，
所以，，，
因此，的取值范圍是.
故選：B.
【變式7-2】過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將圓化為標準方程為，
所以圓心為，半徑為1，
根據(jù)題意及圖形可知切線的斜率存在，
設(shè)切線的方程為，即，
則有，整理可得，
則，
設(shè)兩切線的斜率分別為、，
則、為關(guān)于的方程的兩根，
由韋達定理可得，，
所以，
所以，
由題意可知，所以，
由，解得．
故選：D．
1.在平面直角坐標系xOy中，已知直線與直線交于點P，則對任意實數(shù)a，的最小值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由題意知直線與直線，滿足，
故兩直線垂直，
直線過定點，直線過定點，
故兩直線的交點P在以AB為直徑的圓上（不含點），
該圓方程為，設(shè)其圓心為，半徑為3，
則，當且僅當共線時，即位于B點時，等號成立，
故的最小值為，
故選：C
重難點突破：與距離問題有關(guān)的最值
【典例8-1】已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)點為直線上的動點，
由，
則其幾何意義為與的距離和與的距離之和，
設(shè)點，
則點關(guān)于直線的對稱點為點，
故，且，
所以，
當且僅當三點共線時取等號，
所以的最小值為.
故選：C.
【典例8-2】，，函數(shù)的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)點，和直線，
，到的距離分別為，，易知，
如圖，
顯然.
故答案為：
利用幾何意義轉(zhuǎn)化
【變式8-1】已知，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由，得，
即，解得.
，
表示點與點的距離之和.
如圖，點關(guān)于x軸的對稱點為，連接，
則，
當且僅當三點共線時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
1.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．已知，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】
相當于動點到的距離之和，
因為四邊形為矩形，所以，
所以當為矩形對角線交點時，，
此時最小，最小為，
故答案為：.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題16 直線與圓幾何問題題型深度剖析與總結(jié)
目錄
01考情透視·目標導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預(yù)測 6
05 核心精講·題型突破 8
題型一：直線的方程 8
題型二：圓的方程 9
題型三：直線、圓的位置關(guān)系 10
題型四：圓的動點與距離問題 11
題型五：阿氏圓 12
題型六：米勒定理與角度問題 13
題型七：圓的數(shù)形結(jié)合 14
重難點突破：與距離問題有關(guān)的最值 15
直線與圓是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容。考查形式多為選擇題、填空題，難度中檔。常考求直線（圓）方程、點到直線距離、判斷直線與圓位置關(guān)系，以及簡單弦長與切線問題。其中，直線方程、圓的方程、兩直線平行與垂直關(guān)系等是基礎(chǔ)考點，需熟練掌握相關(guān)公式和判定方法 ，注重數(shù)形結(jié)合解題.
考點要求 目標要求 考題統(tǒng)計 考情分析
直線與方程 掌握直線方程，運用數(shù)形結(jié)合解題 2024年北京卷第3題，4分 2023年I卷第6題，5分 2025年高考數(shù)學(xué)可能會涉及直線與圓的方程，包括直線方程的一般形式、圓方程的標準形式等。同時，可能會考察直線與圓的位置關(guān)系，如相交、相切、相離等，以及相關(guān)的計算和應(yīng)用。
直線與圓的位置關(guān)系 理解位置關(guān)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法 2024年甲卷（理）第12題，5分 2023年甲卷（理）第8題，5分 2023年II卷第15題，5分 2022年II卷第15題，5分
圓與圓的圓的位置關(guān)系 掌握判定方法及應(yīng)用 2022年II卷第14題，5分
1、直線與圓的位置關(guān)系
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
2、圓與圓的位置關(guān)系
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；.
302
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征 無實數(shù)解 一組實數(shù)解 兩組實數(shù)解 一組實數(shù)解 無實數(shù)解
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0
3、關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，且兩曲線在第一象限的交點為，則原點到直線的距離為 ．
5．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
6．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
7．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）若直線被圓截得的弦長為，則的值為 ．
10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是 ．
11．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
12．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
題型一：直線的方程
【典例1-1】已知，，若的平分線方程為，則所在直線的一般方程為 .
【典例1-2】光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為 .
1、已知直線，直線，則，且(或)，.
2、點到直線(A，B不同時為零)的距離.
3、兩條平行直線，(A，B不同時為零)間的距離.
【變式1-1】已知過原點的直線與圓相交于兩點，若，則直線的方程為 ．
【變式1-2】一條光線經(jīng)過點射到直線上，被反射后經(jīng)過點，則入射光線所在直線的方程為 ．
1.過定點A的直線與圓交于B，C兩點，點B恰好為AC的中點，寫出滿足條件的一條直線的方程 ．
題型二：圓的方程
【典例2-1】如圖是一個中國古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標系中，以地面所在的直線為軸，過圓心的豎直直線為軸，則門的輪廓所在圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】過點引圓：的兩條切線，切點分別為，．若，則過，，三點的圓的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
1、圓的方程
（1）圓的定義
在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓
（2）圓的標準方程
設(shè)圓心的坐標，半徑為，則圓的標準方程為：
（3）圓的一般方程
圓方程為，圓心坐標：，半徑：
【變式2-1】已知直線l與拋物線交于A，B兩點（B在第一象限），C是拋物線的準線與直線l的交點，F(xiàn)是拋物線G的焦點，若，則以AB為直徑的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
1.已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型三：直線、圓的位置關(guān)系
【典例3-1】若直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在平面直角坐標系中，滿足不等式組的點表示的區(qū)域面積為（ ）
A． B． C． D．
1、直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.
2、圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.
【變式3-1】設(shè)圓和不過第三象限的直線，若圓上恰有三點到直線的距離均為2，則實數(shù)（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【變式3-2】已知圓與圓交于、兩點，則（為圓的圓心）面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
1.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點到原點的距離為1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型四：圓的動點與距離問題
【典例4-1】若實數(shù)、滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知點，，若圓上存在點P滿足，則實數(shù)a的取值的范圍是 ．
解決與圓相關(guān)的長度或距離的最值問題，通常的策略是根據(jù)所涉及的長度或距離的幾何定義，借助圓的幾何特性，通過數(shù)形結(jié)合的方法來尋找解答。
【變式4-1】已知點是圓上一點，則的范圍是 ．
【變式4-2】已知點P(m，n)在圓上運動，則的最大值為 ，最小值為 ，的范圍為 ．
1.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
題型五：阿氏圓
【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點是圓上任一點，點，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【典例5-2】古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為 .
一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”．特殊地，當時，點P的軌跡是線段AB的中垂線．
【變式5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動點M與兩個定點A，B的距離之比為常數(shù)（，），則點M的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知，M是平面內(nèi)一動點，且，則點M的軌跡方程為 .若點Р在圓上，則的最小值是 .
【變式5-2】已知實數(shù)滿足，則的最小值為 .
1.阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德并稱亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓.”人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，，點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，則該阿氏圓的方程為 ；若Q為拋物線上的動點，Q在y軸上的射影為M，則的最小值為 .
題型六：米勒定理與角度問題
【典例6-1】（多選題）已知點在圓：上，點，，則下列說法中正確的是（ ）
A．點到直線的距離小于6 B．點到直線的距離大于2
C．的最大值為 D．的最大值為
【典例6-2】德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點是的邊上的兩個定點，C是邊上的一個動點，當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點C時，最大．在平面直角坐標系中，已知點，，點F是y軸負半軸的一個動點，當最大時，的外接圓的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
米勒定理：已知點，是的邊上的兩個定點，點是邊上的一動點，則當且僅當三角形的外接圓與邊相切于點時，最大．
【變式6-1】已知為坐標原點，點，圓，點為圓上的一動點，則的最小值為 .
【變式6-2】已知圓C：，點P是圓C上的動點，點，當最大時，所在直線的方程是 .
1.已知，，是圓上的一個動點，則的最大值為 .
題型七：圓的數(shù)形結(jié)合
【典例7-1】過直線上一點作圓的兩條切線，當直線關(guān)于直線對稱時，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】已知是圓上一動點，若直線上存在兩點，使得能成立，則線段的長度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
利用幾何意義轉(zhuǎn)化
【變式7-1】已知是圓上一個動點，且直線與直線相交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
1.在平面直角坐標系xOy中，已知直線與直線交于點P，則對任意實數(shù)a，的最小值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
重難點突破：與距離問題有關(guān)的最值
【典例8-1】已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】，，函數(shù)的最小值為 .
利用幾何意義轉(zhuǎn)化
【變式8-1】已知，則的最小值為 .
1.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．已知，則的最小值為 ．
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