資源簡介

專題10 正余弦定理在解三角形中的高級靈活應用與最值問題
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 5
05 核心精講·題型突破 17
題型一：倍長定比分線模型 17
題型二：倍角定理與正弦平方差 21
題型三：角平分線模型與張角定理 26
題型四：隱圓問題 32
題型五：正切比值與和差問題 36
題型六：四邊形定值和最值與托勒密定理 39
題型七：邊角特殊，構建坐標系 44
題型八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題 48
題型九：三角形的形狀判定 53
題型十：三角形中的幾何計算 57
題型十一：中線長定理與余弦和為0 64
重難點突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍 71
解三角形問題作為每年高考數學中的必考內容，其考查頻率頗高，尤其在選擇題和填空題中占據重要地位。有時，它甚至以壓軸小題的形式出現，挑戰考生的思維極限。在綜合考查方面，解三角形問題也常作為解答題的重點，難度適中，旨在全面檢驗考生的數學素養和解題能力。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
正弦定理 掌握定理應用，解決三角問題 2024年II卷第15題，13分 2023年北京卷第7題，4分 2023年乙卷第4題，5分 2022年II卷第18題，12分 2025年高考數學中，解三角形問題預計仍將是考查的重點。考試將著重測試考生利用正弦定理處理三角形邊角關系，以及運用正余弦定理解析平面圖形邊、角與面積的能力。題型上將涵蓋選擇、填空和解答題，其中解答題預計將占據較大比例，且多被安排在前兩題位置，難度適中，屬于中檔題。而選擇題和填空題則可能作為基礎題或中檔題出現，也不排除成為壓軸題的可能。考生需熟練掌握相關知識，以應對多樣化的題型挑戰。
余弦定理 理解定理推導，應用解三角形題 2024年I卷第15題，13分 2024年甲卷第11題，5分 2022年乙卷第17題，12分 2021年乙卷第15題，5分 2021年浙江卷第14題，6分
三角形的幾何計算 掌握定理，解決幾何計算問題 2023年甲卷第16題，5分 2023年II卷第17題，10分 2022年天津卷第16題，15分 2021年乙卷第9題，5分
范圍與最值問題 熟練方法，準確求解 2022年上海卷第19題，14分 2022年甲卷第16題，5分 2022年I卷第18題，12分
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是將三角形中已知條件的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系，基本思想是方程思想，即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．
2、與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．
3、對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意靈活運用面積公式，三角形內角和、基本不等式、二次函數等知識．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周長或面積最值問題的殺手锏，要牢牢掌握并靈活運用．利用三角公式化簡三角恒等式，并結合正弦定理和余弦定理實現邊角互化，再結合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值問題，可以通過構建目標函數，將問題轉化為求函數的最值，再利用單調性求解．
7、“坐標法”是求解與解三角形相關最值問題的一條重要途徑．充分利用題設條件中所提供的特殊邊角關系，建立恰當的直角坐標系，選取合理的參數，正確求出關鍵點的坐標，準確表示出所求的目標，再結合三角形、不等式、函數等知識求其最值．
1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，則由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根據正弦定理得，
所以，
因為為三角形內角，則，則.
故選：C.
2．（2024年北京高考數學真題）在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）由題意得，因為為鈍角，
則，則，則，解得，
因為為鈍角，則.
（2）選擇①，則，因為，則為銳角，則，
此時，不合題意，舍棄；
選擇②，因為為三角形內角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
因為為三角形內角，則，
則
，
則
3．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
【解析】（1）方法一：常規方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規方法（同角三角函數的基本關系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點求解
設，則，
顯然時，，注意到，
，在開區間上取到最大值，于是必定是極值點，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數量積公式（柯西不等式）
設，由題意，，
根據向量的數量積公式， ，
則，此時，即同向共線，
根據向量共線條件，，
又，故
方法五：利用萬能公式求解
設，根據萬能公式，，
整理可得，，
解得，根據二倍角公式，，
又，故
（2）由題設條件和正弦定理
，
又，則，進而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長為
4．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【解析】（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
因為，所以，
從而，
又因為，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
5．（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
【解析】（1）因為，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
6．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
7．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
【解析】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
8．（2023年北京高考數學真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
9．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，
則.
故選：C.
10．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
【答案】
【解析】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
11．（2022年新高考浙江數學高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
【答案】.
【解析】因為，所以．
故答案為：.
12．（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
【答案】/
【解析】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.
13．（2022年新高考全國II卷數學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
【解析】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
14．（2022年高考全國乙卷數學（文）真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
15．（2022年新高考全國I卷數學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
題型一：倍長定比分線模型
【典例1-1】設a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．
(1)求AD的長度；
(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．
【解析】（1）依據題意，由可得
，則，，
，，解得，
，解得AD為
（2）G為的重心，，，
，，，， ，
【典例1-2】在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D為邊AB上一點，且，求的值．
【解析】（1），
，
所以，即，
故，
因為，所以；
（2）因為，所以，
，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，故，所以或，
當時，，，
當時，，.
所以的值為或1.
如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接，易知∥，且，．．
【變式1-1】在① ，② ，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．
在中，內角的對邊分別為，且滿足____．
(1)求；
(2)若的面積為在邊上，且 ， ，求的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．
【解析】（1）方案一：選條件①.
由，可得 ，
由正弦定理得 ，
因為 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因為 ，所以
方案二：選條件②．
，由正弦定理得 ，
即 ， ，
由余弦定理得
又 ，所以
（2）由題意知 ，得．①
，即 ②
聯立①②解得
而 ，
由余弦定理得
，故
即的值為
1．在中，角所對的邊分別為，且是的中點，，則 ， .
【答案】 /
【解析】空1：
在中，則，即，
整理得：，解得或（舍去），
故，
在中，則，
故；
空2：
在中，由，則，
在中，由，則，
故.
故答案為：；.
題型二：倍角定理與正弦平方差
【典例2-1】從①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并解答問題．
在銳角中，角所對的邊分別為，且________．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）選擇①：由及余弦定理可得
；
即，
又，
所以，
即，可得．
又易知，可得，
所以或，
即或（舍），
故．
選擇②：由及，得，
則由正弦定理得，
又，
，
即，
所以．
又，可得，
所以，
故．
選擇③：由可得，
即，所以．
又，可得，
所以，
故．
（2）令，
由（1）可知，可得．
由銳角可得，
即，解得，
所以．
令，
根據對勾函數的性質知在上單調遞增，
可得，
即的取值范圍是．
【典例2-2】已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，．
(1)證明：；
(2)若，且為銳角三角形，求的取值范圍．
【解析】（1）證明：∵，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴A，B，C∈（0，π），∴即．
（2）∵，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴，
∵為銳角三角形，所以,
∴，∴，
由a＝2，，所以，則，
且，
設,，
設，則，
∴，，
所以,為減函數，
∴．
，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．
推論1：
推論2：
正弦平方差：
【變式2-1】在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面積；
(2)若A＝2B，求BC的長．
【解析】（1）在中，設角A、B、C所對的邊分別為a，b，c．
由余弦定理得，
即，得或（舍），
由，，得，
所以的面積．
（2）在中，由正弦定理得，
所以．
在中，再由余弦定理得，
所以，解得．
【變式2-2】在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【解析】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
∴，
∴．
（2）由銳角△ABC，可得，，．
即， ∴．
∵．
令，，
因為在上單調遞增，
所以當，
當，
∴．
1．在銳角中，角所對的邊為，且.
(1)證明:
(2)若，求的取值范圍.
【解析】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
（2）由銳角△ABC，可得，，．
即， ∴．
由正弦定理可得：，
所以.
所以的取值范圍為：.
題型三：角平分線模型與張角定理
【典例3-1】在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)設是邊上一點，為角平分線且，求的值.
【解析】（1）由題意及正弦定理可得：，
可得，即，
在中，，所以，
因為，所以；
（2）因為，，，
由余弦定理得，
所以，即，
所以，，由正弦定理可得：，
可得，
因為，則，則，
可得，
且，
所以
；
（3）因為，是角平分線，即，
因為，
所以，由正弦定理可知，
所以，所以，
整理可得，
又因為，且，
即，解得.
【典例3-2】已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(1)求角B；
(2)若點D在上，為的角平分線，，求的最小值．
【解析】（1）因為，
所以由正弦定理可得，即，
又因為，則，
因為，所以.
（2）因為
所以，
因為，所以，
所以，即，
所以，
當且僅當時，取得最小值.
角平分線張角定理：如圖，為平分線，（參考一輪復習）
斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積一下積．
【變式3-1】（2024·河北滄州·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；
(2)若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．
【解析】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，則，
因此，即，則，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
則，解得，從而，又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的長為.
【變式3-2】 中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線.
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
【解析】（1）因為中，，
故
，
因為，故；
（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，
又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分線，則，
則，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
則
，
即；
（ii）因為，故，
則由⑤得，則，
由以及（i）知，
即，則，
當且僅當，結合，即時等號成立，
故，即的最大值為.
1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三條角平分線相交于點O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．
【解析】（1）由及，
有，
又由正弦定理，有，
有，有，有，
又由，可得；
（2）由，有，
可得，
在△OAB中，由△OAB的面積為，有，
可得，
又由余弦定理及AB＝7，有，
有，
代入，有AO＋BO＝8，
聯立解得或
由對稱性不妨設
在△OAB中，有，可得，
又由OA為角A的角平分線，有，
在△OAC中，由正弦定理有，有，
可得．
題型四：隱圓問題
【典例4-1】（2024·四川眉山·三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數學家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內到兩定點的距離的比值為常數的動點的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，設的外接圓半徑為，
則，
以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：
則、，
設點，由，可得，
化簡可得，
所以，的邊上的高的最大值為，因此，.
故選：A.
【典例4-2】在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D為坐標原點，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標系，則,因為，，所以由平面幾何知識得A點軌跡為圓弧（因為為平面四邊形，所以取圖中第四象限部分的圓弧），設圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對角線的最大值為
故選：A
若三角形中出現，且為定值，則點C位于阿波羅尼斯圓上．
【變式4-1】已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.
【答案】/
【解析】以的中點為原點建立平面直角坐標系，，，
設，則，
當時要使，則在坐標原點，顯然不成立，
當時要使，則，解得，顯然不成立，
所以且，因為
所以，即
整理得，(且)
所以當點的縱坐標為時，的面積取得最大值為.
故答案為：
【變式4-2】已知等邊的邊長為2，點G是內的一點，且，點P在所在的平面內且滿足，則的最大值為________.
【答案】
【解析】由，可知點G為的重心，以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，表示出的坐標，設，由可知在以為圓心，為半徑的圓上，根據點與圓上的點的距離最值求出的最大值.由，可知點G為的重心.
以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，.
設，由可知P為圓上的動點，
所以的最大值為.
故答案為：
1．在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為____．
【答案】
【解析】如圖，以的中點為坐標原點，以方向為軸正向，建立如下平面直角坐標系.
則，，
設，則，，
因為
所以，即：
整理得：，所以點在以原點為圓心，半徑為2的圓上.
在軸上取，連接
可得，所以，所以
由圖可得：當三點共線時，即點在圖中的位置時，最小.
此時最小為.
故答案為．
題型五：正切比值與和差問題
【典例5-1】在△ABC中，且，則△ABC面積的最大值為 ．
【答案】6
【解析】因為，故，
又，所以，
，故，所以，
故同號，因 ，故．
設邊上的高為，則，
由基本不等式有，當且僅當時等號成立，所以即面積的最大值為，當且僅當時取最大值，
綜上，填．
【典例5-2】已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則 ，的最小值為 .
【答案】 2 /
【解析】∵，
∴，
∴，.
又，
∴
∴
又∵在銳角ΔABC中，
∴，
當且僅當時取等號，檢驗可取，
∴，
故答案為：2，
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
【變式5-1】（2024·浙江·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】由余弦定理，得，則由，得，所以，
由正弦定理，得，所以，
所以，，．
因為，
所以，
則．
令，而
則，
，
當且僅當時，等號成立，
故的最小值為．
故答案為：
【變式5-2】在中，角所對的邊分別為，若，且，則 ．
【答案】
【解析】中，，，
，
由正弦定理有，，
由，得，
有，即，
，得，
由，可得，
即，代入，
得，∴，
由余弦定理，
，得，
故答案為：
1．在銳角中，分別為角所對的邊，，且的面積．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
【解析】（1），解得：；
，，，
由余弦定理得：，解得：.
（2），即，
由正弦定理得：，
，
，
；
，，，
則當時，取得最小值，的最大值為.
題型六：四邊形定值和最值與托勒密定理
【典例6-1】克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數學家、天文學家和地理學家．托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當且僅當四點共圓時，等號成立．已知在凸四邊形中，，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，則，
在中，由余弦定理得，
由題知，，即，
所以，當且僅當四點共圓時取等號，
所以的最大值為.
故選：D
【典例6-2】托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.已知四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】設，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因為，，
因此，
.
故選：C.
正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內接的四邊形，尤其是擁有對角互補的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四邊形中，有，當且僅當四邊形ABCD四點共圓時，等號成立．
【變式6-1】如圖．在平面四邊形中，．設，證明：為定值．
【解析】證明：設，則．
在中，因為，，所以．
在中，由余弦定理，
即，
則，即，
故為定值．
【變式6-2】如圖，平面四邊形的對角線分別為，，其中，，．

(1)若，的面積為，求的面積；
(2)若，，求的值．
【解析】（1）由題意得，，，
在中，由余弦定理得，．
由余弦定理得，，
∵，
∴，
∴，
故，
∴．
（2）在中，由正弦定理得，，
∴．
在中，，，
由正弦定理得，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
解得．
1．克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因為四邊形ABCD內接于半徑為的圓，
它的對角互補，所以，
所以,所以，
所以四邊形ABCD的周長為．
故選：A．
題型七：邊角特殊，構建坐標系
【典例7-1】已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在中，在中，
故，，
因為，故，
又角的平分線交于點，則，故.
故.
以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，
故，，設，則，
即，故，
化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.
故當縱坐標最大，即時面積取最大值為.
故選：C
【典例7-2】在中，，點在邊上，且，若，則長度的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】如圖，
以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，
設，因為，則 ，
所以，即，
所以點軌跡是一個圓，圓心，半徑，
，，，
求長度的最大值即為求長度的最大值,
在中，由正弦定理，
則，當時，即與圓相切時，，
則長度的最大值為4，長度的最大值為5.
故選：C.
利用坐標法求出軌跡方程
【變式7-1】已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；
(2)求cos∠ACB的取值范圍.
【解析】（1）以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
設的中點為，則共線且，
設，則，，，，
故，故，故，
所以.
（2）設，則，
故，，
故，
故，所以，
故，而，
，
故
，
而，故，故，
所以，.
1．在中，，，，M是所在平面上的動點，則的最小值為________．
【答案】
【解析】以A為原點，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據題意，可得A、B、C坐標，設，可得的坐標，根據數量積公式，可得的表達式，即可求得答案.以A為原點，AC所在直線為x軸，建立坐標系，如圖所示：
因為，，，
所以，設，
則，
所以
=，
當時，有最小值，且為，
故答案為：
題型八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題
【典例8-1】（2024·高三·河北滄州·期中）記的內角，，所對的邊分別為，，，已知．
(1)求A；
(2)若的面積為，，求的周長．
【解析】（1）由正弦定理及，
可得
，因，則，
則，結合，
則；
（2）因的面積為，則，
則，由正弦定理及，
則，則.
由余弦定理，，
則，
則三角形周長為.
【典例8-2】在中，角對應的邊分別為．已知．
(1)求；
(2)若點為邊的中點，且，，求的面積．
【解析】（1）因為，
所以由正弦定理得，
即，
化簡可得，
又因為在中，，
所以有，即，
又，故，所以．
（2）由余弦定理，
可得①，
易知，則，
即②，
②①可得，解得，
故的面積為．
與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．
【變式8-1】已知的三個角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)若，求C；
(2)若，，求的面積．
【解析】（1）因為，
所以，則.
因為，由正弦定理可得，
，
所以，由為三角形內角，故，
所以，又，
故.
（2）法一：由（1）知，，
則，
由正弦定理可得，
由，且代入可得
，化簡得，聯立，
解得，又由可得，
則，
故.
法二：由可知，均為銳角，且，
所以，
如圖在中，過點作邊上的高，垂足為，
由可得，，則有，
由，可得.
設，則，
，
由可得，
解得，即，故高.
所以的面積為.
【變式8-2】（2024·四川眉山·一模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，且.
(1)求；
(2)若的外接圓半徑為，周長為，且，求.
【解析】（1）因為，
故，
所以.
因為，所以，
又，所以.
（2）由正弦定理可知，，，
因為，所以，
所以.
所以.
又，所以，
所以，故.
1．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周長.
【解析】（1）由得，
，
即，
故，
因為，
所以，
即，
因為，所以，故，
因為，所以；
（2），由正弦定理得，
因為，所以，
由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周長為.
題型九：三角形的形狀判定
【典例9-1】已知的三條邊和與之對應的三個角滿足等式則此三角形的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由余弦定理，可得
，
整理，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或或，故三角形為等腰三角形.
故選：A
【典例9-2】（2024·高三·福建南平·期中）在△中，內角的對邊分別為，已知向量共線，則△的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．鈍角三角形
C．有一個內角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因為向量，共線，
則，由正弦定理可得：，
則，
因為，則，可知，，，均不為，
可得，則，即；
同理由向量，共線可得：；
綜上所述：.
所以的形狀為等邊三角形.
故選：A
余弦定理判定：三角形三條邊從小到大排列，即，
若，則是銳角三角形；
若，則是直角三角形；
若，則是鈍角三角形；
【變式9-1】（2024·高三·上海閔行·期中）在中，已知，且，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一個角為的直角三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【解析】由可得，
又，所以，
由和正弦定理可得，即，
所以，所以，所以的形狀為等邊三角形，
故選：D.
【變式9-2】在中，角，，分別為，，三邊所對的角，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】由得：，且，
，且，
，
，
化簡整理得：，即，
或，又，
是直角三角形但一定不是等腰三角形．
故選：．
1．已知分別是三個內角的對邊，下列關于的形狀判斷一定正確的為（ ）
A．，則為直角三角形
B．，則為等腰三角形
C．，則為直角三角形
D．，則為等腰三角形
【答案】C
【解析】對于AB，當時，由正弦定理可得，即，
因為，所以，
所以，即，得，
所以，則，
于是為直角三角形或鈍角三角形，故AB錯誤；
對于CD，當時，由，
得，
整理得，
由正弦定理，，（是外接圓的半徑）
由余弦定理，，即，
解得或，即，
解得或，故為直角三角形，故C正確，D錯誤；
故選：C.
2．已知的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，
因為，所以，
所以，即，
即，因為，所以，
所以，因為，所以，所以，
因為，所以，
所以，即，
即，因為，所以，所以，
因為.所以，
所以的形狀為頂角為的等腰三角形.
故選：B.
題型十：三角形中的幾何計算
【典例10-1】（2024·高三·安徽·期中）如圖，在平面四邊形中，與的交點為E，平分，，．
(1)證明：；
(2)若，求．
【解析】（1）如圖，
由題意知，則，
由余弦定理得，
即，整理得，
因為，所以．
（2）因為，所以，
因為，所以，所以．
又因為，，所以四邊形是等腰梯形，所以．
設，則，解得．
．
在中，由正弦定理可得，
又因為，所以．
【典例10-2】在平面四邊形中，，，且.
(1)求的長；
(2)若為的中點，求.
【解析】（1）
在三角形中，，，
所以由余弦定理得：，
所以，又，所以，
又，所以.
（2）在三角形中，，所以，
所以，
所以在中，為的中點，所以，，，
所以由余弦定理得：，
所以，
在中，，，，
所以由余弦定理得：
所以，
所以在中，由余弦定理得：.
解決三角形中幾何計算的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
【變式10-1】（2024·江蘇揚州·模擬預測）如圖，四邊形中，已知，．
(1)若的面積為，求的周長；
(2)若，，，求的值．
【解析】（1）在中，，
因為，所以，
由，得，
∴，即，
∴，即的周長為；
（2）設，則，
又，所以，，
在中，由，得，
在中，由，得，
∴，即，
即，，
即，即，
∴，
∵，∴，
∴，解得，即的值為.
【變式10-2】如圖所示，在中，設分別為內角的對邊，已知，．
(1)求角；
(2)若，過作的垂線并延長到點，使四點共圓，與交于點，求四邊形的面積．
【解析】（1）由，聯立方程組，解得，
不妨設，可得
由余弦定理得，
因為，所以.
（2）由，由（1）知，可得，
因為過作的垂線并延長到點，使四點共圓，
在直角中，可得，則，
因為，可得，
在直角中，可得，即，
所以，
所以，
所以四邊形的面積為.
1．在中，.
(1)求角B的大小；
(2)若E為的中點，F是邊上的點，且滿足，，求的值.
【解析】（1）由，
得，即，
所以，
又，所以，
所以，所以；
（2）由及正弦定理可得：
，
又，所以，
如圖以點為原點建立平面直角坐標系，
設，則，
則，
所以，設，
則，
因為，
所以，解得，
所以.
題型十一：中線長定理與余弦和為0
【典例11-1】記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【解析】（1）方法1：在中，因為為中點，，，
則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，
所以.
方法2：在中，因為為中點，，，
則，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，則，
，過作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因為為中點，則，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
【典例11-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，．
(1)求角；
(2)是邊上的點，若，，求的值．
【解析】（1）由得：，
由正弦定理得：，
，又，，
；
有意義，，，即，
又，.
（2）
，，
設，則，
在中，由正弦定理得：，即；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，
即，又，.
方向一：中線長定理
若分別為的中線，則有：
方向二：余弦和為0
在中，點為線段上一點，則有：
即．
【變式11-1】（2024·高三·江蘇揚州·期中）在中，，且邊上的中線長為1.
(1)若，求的面積；
(2)若，求的長.
【解析】（1）由題可知，
由勾股定理得，，所以是直角三角形，
又，所以，
又邊上中線，
所以，，，
所以.
（2）方法一：由題可知，
設，則，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，則，①
在和中，由余弦定理得
所以，②
在中，由余弦定理得，
即，即，③
將代入得，④
由①④得，即，即，
即，即，
因為，所以，則，所以.
故的長為2.
方法二：作的角平分線，交與，
設，則，
在和中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以.
由題可知，所以，
在和中，，
所以，所以，
則，即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
則，解得.
故的長為2.
方法三：延長到，使，連接，
由題可知，
設，則，
在和中，，
所以，所以，則，
所以，
即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
則，解得.
故的長為2.
【變式11-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.
【解析】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）由余弦定理得：，則.
由正弦定理得
所以，
因為是銳角三角形，所以，即，
則.
中線長的取值范圍是.
1．如圖，在中，已知邊上的兩條中線AM，BN相交于點．
(1)求中線AM的長；
(2)求的余弦值；
(3)求面積．
【解析】（1）因為為BC的中點，，
，
.
（2）因為
,
，
.
（3）為中線的交點，為重心，
，
，，
.
重難點突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍
【典例12-1】在中，角，，的對邊分別為，，，，．
(1)求角；
(2)若是線段的中點，且，求；
(3)若為銳角三角形，求的周長的取值范圍．
【解析】（1）由題及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.
（2）由（1）及余弦定理得：，即，①
又因為，則，
所以，②
由得：，
所以．
（3）由（1）得，則，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因為為銳角三角形，所以，，
即，，則，即，
則，故的周長的取值范圍為．
【典例12-2】在三角形中，內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍.
【解析】（1）根據正弦定理可知：，
因為，所以，所以.
（2）由余弦定理可知：，因為，所以，，，
因為，所以，，
由正弦定理得：，
所以
，
因為，所以，所以，
所以時，取得最小值，
并且，
所以的范圍是.
對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．
【變式12-1】在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【解析】（1），
，即，
由正弦定理得：，
，
，，，又，.
（2）由正弦定理得：，，
，
，為銳角三角形，，，
，，
即面積的取值范圍為.
【變式12-2】（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）若△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記作a，b，c．若，，且．
(1)若，求；
(2)證明：；
(3)求的范圍．
【解析】（1）由題，可得，由正弦定理得，即．
由于，且由余弦定理，
化簡可得，解得．
（2）由（1）得，代入，則有，
化簡可得，
即，
當且僅當即時，等號可以取到．
因此，．
（3）由（2），可得及，解得．
又因為，，有，及，
解得．
綜上，．
1．在銳角三角形中，分別為角所對的邊，.
(1)證明：.
(2)求的范圍.
【解析】（1）因為在銳角中，，
由正弦定理得，
則，
所以，
則，所以或（舍去），
所以.
（2）因為是銳角三角形，又，所以，
所以的范圍為，則，
又
則
，
設，
令，
則，，
所以，在上單調遞增，
所以，即，
則，即，
所以的取值范圍是.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題10 正余弦定理在解三角形中的高級靈活應用與最值問題
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 5
05 核心精講·題型突破 8
題型一：倍長定比分線模型 8
題型二：倍角定理與正弦平方差 9
題型三：角平分線模型與張角定理 11
題型四：隱圓問題 13
題型五：正切比值與和差問題 13
題型六：四邊形定值和最值與托勒密定理 14
題型七：邊角特殊，構建坐標系 17
題型八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題 18
題型九：三角形的形狀判定 19
題型十：三角形中的幾何計算 21
題型十一：中線長定理與余弦和為0 23
重難點突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍 25
解三角形問題作為每年高考數學中的必考內容，其考查頻率頗高，尤其在選擇題和填空題中占據重要地位。有時，它甚至以壓軸小題的形式出現，挑戰考生的思維極限。在綜合考查方面，解三角形問題也常作為解答題的重點，難度適中，旨在全面檢驗考生的數學素養和解題能力。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
正弦定理 掌握定理應用，解決三角問題 2024年II卷第15題，13分 2023年北京卷第7題，4分 2023年乙卷第4題，5分 2022年II卷第18題，12分 2025年高考數學中，解三角形問題預計仍將是考查的重點。考試將著重測試考生利用正弦定理處理三角形邊角關系，以及運用正余弦定理解析平面圖形邊、角與面積的能力。題型上將涵蓋選擇、填空和解答題，其中解答題預計將占據較大比例，且多被安排在前兩題位置，難度適中，屬于中檔題。而選擇題和填空題則可能作為基礎題或中檔題出現，也不排除成為壓軸題的可能。考生需熟練掌握相關知識，以應對多樣化的題型挑戰。
余弦定理 理解定理推導，應用解三角形題 2024年I卷第15題，13分 2024年甲卷第11題，5分 2022年乙卷第17題，12分 2021年乙卷第15題，5分 2021年浙江卷第14題，6分
三角形的幾何計算 掌握定理，解決幾何計算問題 2023年甲卷第16題，5分 2023年II卷第17題，10分 2022年天津卷第16題，15分 2021年乙卷第9題，5分
范圍與最值問題 熟練方法，準確求解 2022年上海卷第19題，14分 2022年甲卷第16題，5分 2022年I卷第18題，12分
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是將三角形中已知條件的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系，基本思想是方程思想，即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．
2、與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．
3、對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意靈活運用面積公式，三角形內角和、基本不等式、二次函數等知識．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周長或面積最值問題的殺手锏，要牢牢掌握并靈活運用．利用三角公式化簡三角恒等式，并結合正弦定理和余弦定理實現邊角互化，再結合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值問題，可以通過構建目標函數，將問題轉化為求函數的最值，再利用單調性求解．
7、“坐標法”是求解與解三角形相關最值問題的一條重要途徑．充分利用題設條件中所提供的特殊邊角關系，建立恰當的直角坐標系，選取合理的參數，正確求出關鍵點的坐標，準確表示出所求的目標，再結合三角形、不等式、函數等知識求其最值．
1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年北京高考數學真題）在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
3．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
4．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
5．（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
6．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
7．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
8．（2023年北京高考數學真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
11．（2022年新高考浙江數學高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
12．（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
13．（2022年新高考全國II卷數學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
14．（2022年高考全國乙卷數學（文）真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
15．（2022年新高考全國I卷數學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
題型一：倍長定比分線模型
【典例1-1】設a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．
(1)求AD的長度；
(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．
【典例1-2】在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D為邊AB上一點，且，求的值．
如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接，易知∥，且，．．
【變式1-1】在① ，② ，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．
在中，內角的對邊分別為，且滿足____．
(1)求；
(2)若的面積為在邊上，且 ， ，求的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．
1．在中，角所對的邊分別為，且是的中點，，則 ， .
題型二：倍角定理與正弦平方差
【典例2-1】從①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并解答問題．
在銳角中，角所對的邊分別為，且________．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【典例2-2】已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，．
(1)證明：；
(2)若，且為銳角三角形，求的取值范圍．
，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．
推論1：
推論2：
正弦平方差：
【變式2-1】在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面積；
(2)若A＝2B，求BC的長．
【變式2-2】在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
1．在銳角中，角所對的邊為，且.
(1)證明:
(2)若，求的取值范圍.
題型三：角平分線模型與張角定理
【典例3-1】在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)設是邊上一點，為角平分線且，求的值.
【典例3-2】已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(1)求角B；
(2)若點D在上，為的角平分線，，求的最小值．
角平分線張角定理：如圖，為平分線，（參考一輪復習）
斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積一下積．
【變式3-1】（2024·河北滄州·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；
(2)若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．
【變式3-2】 中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線.
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三條角平分線相交于點O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．
題型四：隱圓問題
【典例4-1】（2024·四川眉山·三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數學家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內到兩定點的距離的比值為常數的動點的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
若三角形中出現，且為定值，則點C位于阿波羅尼斯圓上．
【變式4-1】已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.
【變式4-2】已知等邊的邊長為2，點G是內的一點，且，點P在所在的平面內且滿足，則的最大值為________.
1．在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為____．
題型五：正切比值與和差問題
【典例5-1】在△ABC中，且，則△ABC面積的最大值為 ．
【典例5-2】已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則 ，的最小值為 .
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
【變式5-1】（2024·浙江·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是 ．
【變式5-2】在中，角所對的邊分別為，若，且，則 ．
1．在銳角中，分別為角所對的邊，，且的面積．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
題型六：四邊形定值和最值與托勒密定理
【典例6-1】克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數學家、天文學家和地理學家．托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當且僅當四點共圓時，等號成立．已知在凸四邊形中，，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.已知四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內接的四邊形，尤其是擁有對角互補的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四邊形中，有，當且僅當四邊形ABCD四點共圓時，等號成立．
【變式6-1】如圖．在平面四邊形中，．設，證明：為定值．
【變式6-2】如圖，平面四邊形的對角線分別為，，其中，，．

(1)若，的面積為，求的面積；
(2)若，，求的值．
1．克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
題型七：邊角特殊，構建坐標系
【典例7-1】已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例7-2】在中，，點在邊上，且，若，則長度的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
利用坐標法求出軌跡方程
【變式7-1】已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；
(2)求cos∠ACB的取值范圍.
1．在中，，，，M是所在平面上的動點，則的最小值為________．
題型八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題
【典例8-1】（2024·高三·河北滄州·期中）記的內角，，所對的邊分別為，，，已知．
(1)求A；
(2)若的面積為，，求的周長．
【典例8-2】在中，角對應的邊分別為．已知．
(1)求；
(2)若點為邊的中點，且，，求的面積．
與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．
【變式8-1】已知的三個角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)若，求C；
(2)若，，求的面積．
【變式8-2】（2024·四川眉山·一模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，且.
(1)求；
(2)若的外接圓半徑為，周長為，且，求.
1．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周長.
題型九：三角形的形狀判定
【典例9-1】已知的三條邊和與之對應的三個角滿足等式則此三角形的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【典例9-2】（2024·高三·福建南平·期中）在△中，內角的對邊分別為，已知向量共線，則△的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．鈍角三角形
C．有一個內角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
余弦定理判定：三角形三條邊從小到大排列，即，
若，則是銳角三角形；
若，則是直角三角形；
若，則是鈍角三角形；
【變式9-1】（2024·高三·上海閔行·期中）在中，已知，且，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一個角為的直角三角形 D．等邊三角形
【變式9-2】在中，角，，分別為，，三邊所對的角，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
1．已知分別是三個內角的對邊，下列關于的形狀判斷一定正確的為（ ）
A．，則為直角三角形
B．，則為等腰三角形
C．，則為直角三角形
D．，則為等腰三角形
2．已知的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形 D．等腰直角三角形
題型十：三角形中的幾何計算
【典例10-1】（2024·高三·安徽·期中）如圖，在平面四邊形中，與的交點為E，平分，，．
(1)證明：；
(2)若，求．
【典例10-2】在平面四邊形中，，，且.
(1)求的長；
(2)若為的中點，求.
解決三角形中幾何計算的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
【變式10-1】（2024·江蘇揚州·模擬預測）如圖，四邊形中，已知，．
(1)若的面積為，求的周長；
(2)若，，，求的值．
【變式10-2】如圖所示，在中，設分別為內角的對邊，已知，．
(1)求角；
(2)若，過作的垂線并延長到點，使四點共圓，與交于點，求四邊形的面積．
1．在中，.
(1)求角B的大小；
(2)若E為的中點，F是邊上的點，且滿足，，求的值.
題型十一：中線長定理與余弦和為0
【典例11-1】記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【典例11-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，．
(1)求角；
(2)是邊上的點，若，，求的值．
方向一：中線長定理
若分別為的中線，則有：
方向二：余弦和為0
在中，點為線段上一點，則有：
即．
【變式11-1】（2024·高三·江蘇揚州·期中）在中，，且邊上的中線長為1.
(1)若，求的面積；
(2)若，求的長.
【變式11-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.
1．如圖，在中，已知邊上的兩條中線AM，BN相交于點．
(1)求中線AM的長；
(2)求的余弦值；
(3)求面積．
重難點突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍
【典例12-1】在中，角，，的對邊分別為，，，，．
(1)求角；
(2)若是線段的中點，且，求；
(3)若為銳角三角形，求的周長的取值范圍．
【典例12-2】在三角形中，內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍.
對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．
【變式12-1】在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【變式12-2】（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）若△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記作a，b，c．若，，且．
(1)若，求；
(2)證明：；
(3)求的范圍．
1．在銳角三角形中，分別為角所對的邊，.
(1)證明：.
(2)求的范圍.
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