資源簡介

專題09 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
目錄
01考情透視·目標導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預(yù)測 6
05 核心精講·題型突破 13
題型一：齊次化模型 13
題型二：輔助角與最值問題 15
題型三：與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題 18
題型四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型 24
題型五：三角函數(shù)的綜合性質(zhì) 29
題型六：換元法配湊角 35
題型七：三倍角公式 37
重難點突破：ω的取值與范圍問題 40
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)在高考中占據(jù)重要地位，是考查的重點和熱點。高考對這部分內(nèi)容的考查主要集中在兩個方面：
1、三角函數(shù)的圖象方面，這包括圖象的變換問題以及根據(jù)圖象來確定三角函數(shù)的解析式。這類問題通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查學生對圖象變換和解析式確定的理解和掌握。
2、三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用方面，這涉及利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域以及單調(diào)區(qū)間等問題。這類問題通常以解答題的形式出現(xiàn)，要求學生能夠靈活運用三角函數(shù)的性質(zhì)來解決問題。
此外，三角恒等變換的求值和化簡也是高考命題的熱點之一。這部分內(nèi)容既可以單獨命題，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度相對較低；也可以作為工具，與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合，求解最值、范圍等問題，這時多以解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。
考點要求 目標要求 考題統(tǒng)計 考情分析
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 理解同角關(guān)系，熟練運用解題 2024年甲卷第8題，5分 2023年甲卷第7題，5分 2023年乙卷第14題，5分 2021年I卷第6題，5分 2025年高考三角函數(shù)考查重點：一是同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，需復(fù)習三角函數(shù)定義，題型為選擇或填空，難度適中；二是三角恒等變換，注重公式變形、應(yīng)用及最值問題，同樣以選擇或填空形式出現(xiàn)，難度為基礎(chǔ)至中檔；三是三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及變換，組合考查為熱點，題型靈活，既可為基礎(chǔ)或中檔題，也可能成為壓軸題。考生需全面掌握三角函數(shù)相關(guān)知識，靈活運用，以應(yīng)對高考挑戰(zhàn)。
三角恒等變換 掌握恒等變換，提高解題技巧與靈活性 2024年I卷第4題，5分 2024年II卷第13題，5分 2024年北京卷第12題，5分 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分 2022年浙江卷第13題，6分 2021年甲卷第9題，5分
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 理解三角圖像性質(zhì)，提升函數(shù)應(yīng)用能力 2024年I卷第7題，5分 2024年II卷第6、9題，11分 2024年天津卷第7題，5分 2024年北京卷第6題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年甲卷第10題，5分 2023年乙卷第6題，5分 2023年I卷第15題，5分 2023年II卷第16題，5分
1、三角函數(shù)圖象的變換
（1）將的圖象變換為的圖象主要有如下兩種方法：
（2）平移變換
函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對作的變換；
（3）伸縮變換
①沿軸伸縮時，橫坐標伸長或縮短為原來的（倍）（縱坐標不變）；
②沿軸伸縮時，縱坐標伸長或縮短為原來的（倍）（橫坐標不變）．
（4）注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移．
2、三角函數(shù)的單調(diào)性
（1）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）三角函數(shù)的單調(diào)性有時也要結(jié)合具體的函數(shù)圖象如結(jié)合，，
，的圖象進行判斷會很快得到正確答案．
3、求三角函數(shù)最值的基本思路
（1）將問題化為的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（2）將問題化為關(guān)于或的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性從而求解.
4、對稱性及周期性常用結(jié)論
（1）對稱與周期的關(guān)系
正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.
（2）與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為奇函數(shù)，則有．
5、已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范刪的三種方法
（1）子集法：求出原函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正弦、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（3）周期性：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過個周期列不等式（組）求解.
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
2．（2024年北京高考數(shù)學真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，
則，即，
且，所以.
故選：B.
3．（2024年天津高考數(shù)學真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，則，所以，
即，當時，，
所以當，即時，
故選：D
4．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，
注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因為，則，當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，
所以符合題意；
綜上所述：.
解法二：令，
原題意等價于有且僅有一個零點，
因為，
則為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，
即，解得，
若，則，
又因為當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
即有且僅有一個零點0，所以符合題意；
故選：D.
5．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，
函數(shù)的最小正周期為，
所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，
在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.
故選：C
6．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
而，所以，
故即，
從而，故，
故選：A.
7．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
【答案】BC
【解析】A選項，令，解得，即為零點，
令，解得，即為零點，
顯然零點不同，A選項錯誤；
B選項，顯然，B選項正確；
C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；
D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.
故選：BC
8．（2024年北京高考數(shù)學真題）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱.若，則的最大值為 ．
【答案】/
【解析】由題意，從而，
因為，所以的取值范圍是，的取值范圍是，
當且僅當，即時，取得最大值，且最大值為.
故答案為：.
9．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）函數(shù)在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】，當時，，
當時，即時，.
故答案為：2
10．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
【答案】
【解析】法一：由題意得，
因為，，
則，，
又因為，
則，，則，
則，聯(lián)立 ，解得.
法二： 因為為第一象限角，為第三象限角，則,
，，
則
故答案為：.
11．（2023年北京高考數(shù)學真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
【答案】
【解析】因為在上單調(diào)遞增，若，則，
取，
則，即，
令，則，
因為，則，
即，則.
不妨取，即滿足題意.
故答案為：.
12．（2023年北京高考數(shù)學真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
題型一：齊次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由題意若，則，不符合題意，
所以，
即，解得，
故選：D
【典例1-2】（2024·高三·河北滄州·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故.
故選：D
齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：
（一次顯型齊次化）
或者（二次隱型齊次化）
這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構(gòu)造成的代數(shù)式，這個思想在圓錐曲線里面關(guān)于斜率問題處理也經(jīng)常用到.
【變式1-1】（2024·陜西安康·三模）已知，則（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
故選：C.
【變式1-2】若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以 ，
，
故選：A
1．設(shè)，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因為，，
所以，即，
又，，
所以，
解法二：因為
，
故選：D．
題型二：輔助角與最值問題
【典例2-1】若函數(shù)在處取得最大值，則 .
【答案】
【解析】因為，
設(shè)，，
則，，
當，時，
即當，函數(shù)取最大值，最大值為，
所以，
所以.
故答案為：.
【典例2-2】（2024·高三·江西萍鄉(xiāng)·期中）設(shè)，且，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】，
令，則，且，
所以，
因為是上的減函數(shù)，所以，
即．
故答案為：
第一類：一次輔助角:=．（其中）
第二類：二次輔助角
【變式2-1】（2024·高三·山東臨沂·期中）已知關(guān)于x的方程有解，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由，其中，
則，可得，即，
兩邊平方化簡可得，因此，
由，則，當且僅當時，等號成立.
故答案為：.
【變式2-2】已知，求的最大值 .
【答案】
【解析】∵，且，
∴，即，
所以，
設(shè)，
由.
故的最大值為.
故答案為：
1．[新考法]（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因為，
所以，
，
當且僅當時取等，
令，，，
所以.
則的范圍是：.
故答案為：
題型三：與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題
【典例3-1】已知函數(shù)，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】導(dǎo)數(shù)法
．
令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
則．
故答案為：.
［方法二］： 三元基本不等式的應(yīng)用
因為，
所以
．
當且僅當，即時，取等號．
根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是，此時．
故答案為：.
［方法三］： 升冪公式＋多元基本不等式
，
，
當且僅當，即時，．
根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是．
故答案為：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放縮
，當且僅當時等號成立．
故答案為：.
［方法五］：萬能公式＋換元+導(dǎo)數(shù)求最值
設(shè)，則可化為，
當時，；當時，，對分母求導(dǎo)后易知，
當時，有最小值．
故答案為：.
［方法六］： 配方法
，
當且僅當即時，取最小值．
故答案為：.
［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應(yīng)用＋導(dǎo)數(shù)法
因為，所以，
即函數(shù)的一個周期為，因此時，的最小值即為函數(shù)的最小值．
當時，，
當時， 因為
，令，解得或，由，，，所以的最小值為．
故答案為：.
【典例3-2】函數(shù)的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知，
整理得，
令，易知，
所以知在時是單調(diào)遞減函數(shù)，
因為，
整理得，
解得，代入中有的最大值為，
即的最大值為.
故選：D.
三角函數(shù)最值問題，一直是高考中的難點與重點。這類題目常融合三角恒等變換，結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式，求解不易。通常，處理三角函數(shù)最值問題，可采用以下策略：化一簡化法、變量替換法（換元）、主元突出法、圖形與數(shù)值結(jié)合法，以及導(dǎo)數(shù)求極值法。
【變式3-1】已知，則的最大值為
【答案】
【解析】，設(shè)，，
，其中，
可知當時，.
故答案為：
【變式3-2】在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，令所求代數(shù)式為M，則
，
等號當，且，即時取得．
因此所求代數(shù)式的最大值為2．
故選：C
1．已知函數(shù)（），則函數(shù)的最大值為 .
【答案】
【解析】因為
因為，，
所以，
即
根據(jù)基本不等式取等條件得，
當時取最大值，即,
即，解得，
所以，
即的最大值為．
故答案為：.
2．函數(shù)的值域是 ．
【答案】
【解析】令，則，
，
不妨設(shè)，
則，
由，得，
由，得，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
且，，，
，即，
，
故答案為：
題型四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型
【典例4-1】已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．的最小值為
C． D．在上有解
【答案】D
【解析】，
是以為周期的函數(shù)，
當時，，
則，
，
∴函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小值為1，故AB錯誤，
由，故C錯誤；
由，∴在上有解，故D正確.
故選：D.
【典例4-2】（2024·高三·上海寶山·開學考試）已知，給出下述四個結(jié)論:
①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);
③在上為增函數(shù); ④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】對于①，易得的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，所以是偶函數(shù)，故正確；
對于②和③，因為，
，
且，所以在不是減函數(shù)，在也不是增函數(shù)，故②，③錯誤；
對于④，當時，，
因為，所以，
所以，所以；
當時，，
因為，
所以，所以；
當時，；
當時，，
因為，
所以，所以，
所以，綜上所述，當時，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當時，的最大值也為，故的最大值為，故④正確；
故選：D
關(guān)于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：
，
【變式4-1】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②在區(qū)間上單調(diào)；
③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；
④若，則函數(shù)在上有4個零點．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】由，可知為偶函數(shù)，①對.
由，得關(guān)于對稱；
由，得的周期為；當時，
其中且；作出在上的圖象，并根據(jù)的對稱性及周期性作出的大致圖象.
由圖可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上不單調(diào)，②錯；
的最大值，最小值，故，③錯；
若，則在上有4個零點，④對，
故選：A.
【變式4-2】關(guān)于函數(shù)，其中有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)； ②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；
③在有3個零點； ④的最小正周期為．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】的定義域為，
，所以是偶函數(shù)，①正確.
當時，是嚴格增函數(shù)，②正確.
當時，，
所以在有無數(shù)個零點，則③錯誤.
，
所以不是的最小正周期，④錯誤.
綜上所述，正確的為①②.
故選：A
1．（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．是的一個周期 B．是的一條對稱軸
C．的值域為 D．在上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】，圖像如圖所示：
由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為，故選項A錯誤，不符合題意；
是的一條對稱軸，故選項B正確，符合題意；
的值域為，故選項C正確，符合題意；
在上單調(diào)遞減，選項D正確，符合題意；
故選：BCD.
題型五：三角函數(shù)的綜合性質(zhì)
【典例5-1】（多選題）已知函數(shù)，若及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．的圖象關(guān)于點中心對稱
D．的最大值為
【答案】AB
【解析】因為，所以，根據(jù)圖象可知，當時，，所以單調(diào)遞增，故，從而．
又，所以，由得，
故，．
選項A：的最小正周期為，故，A正確．
選項B：令，解得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確．
選項C：由于，，
故的圖象不關(guān)于點中心對稱，故C錯誤．
選項D：，
其中為銳角，且，（輔助角公式的應(yīng)用）,所以的最大值為，D錯誤．
故選：AB
【典例5-2】（多選題）已知函數(shù)，若，且，則函數(shù)的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】的解析式經(jīng)過輔助角公式變換可轉(zhuǎn)化為正弦型，因為，
所以當時函數(shù)取得最小值，即直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，
又，所以，根據(jù)圖象的對稱性得到，
即，所以，
所以．
所以，解得，
則的最小正周期，，
當時，；當時，．驗證得AD不符合題意，
故選：BC．
三角函數(shù)的綜合性質(zhì)解題，關(guān)鍵在于掌握其基本關(guān)系、圖像變換及周期性。解題時，先識別函數(shù)類型，利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合圖像分析性質(zhì)，如單調(diào)性、最值等。最后，靈活運用三角函數(shù)公式求解，注意計算準確性。
【變式5-1】（多選題）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，且對于恒成立，則（ ）
A．函數(shù)為偶函數(shù)
B．當時，的值域為
C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可得函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱
【答案】ACD
【解析】由題意的最小正周期為，
得：，
對于恒成立，則，
圖象關(guān)于直線對稱，代入，得到，
由于，取，則，
所以為偶函數(shù)，
當時，，所以，
所以的值域為，故B錯誤；
將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；
將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，
得到的圖象.
因為當時，，
所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確.
故選：ACD.
【變式5-2】（多選題）已知函數(shù)（，）圖象的兩條對稱軸間距離的最小值為，且為的一個零點，則（ ）
A．的最小正周期為
B．
C．在上單調(diào)遞增
D．當時，曲線與直線的所有交點的橫坐標之和為
【答案】AB
【解析】對于A，因圖象的兩條對稱軸間距離的最小值為，則的最小正周期為，故A正確；
對于B，由A分析可得，，因為的一個零點，
則，因，取，則.
得，故B正確；
對于C，，因在上不單調(diào)，故C錯誤；
對于D，由AB分析可畫出在上的圖象如圖所示，則與有4個交點，設(shè)其橫坐標從左到右依次為，，，，
令，，得，，
所以函數(shù)的對稱軸方程為，，
當時，，當時，，
數(shù)形結(jié)合可知，故D錯誤．
故選：AB．
1．[新考法]（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對稱
B．的最大值為
C．在上單調(diào)遞增
D．方程在上最多有4個解
【答案】BD
【解析】當時，；
當時，，畫出函數(shù)的大致圖象，如圖．
由圖象可知，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故A錯誤；
的最大值為，故B正確；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；
當時，方程在上有4個解，故D正確．
故選：BD．
2．[新考法]（多選題）設(shè)函數(shù)的最小正零點為，則（ ）
A．的圖象過定點 B．的最小正周期為
C．是等比數(shù)列 D．的前項和為
【答案】AC
【解析】對于A，因為，
所以，故A正確；
對于B，的最小正周期為，故B錯誤；
對于C，令，得，所以，
整理得，即的零點為，
而是的最小正零點，則，，
顯然，，，
所以是，的等比數(shù)列，故C正確；
對于D，的前項和為，故D錯誤.
故選：AC.
題型六：換元法配湊角
【典例6-1】[新考法]若，則 .
【答案】/0.5
【解析】由得：
，
所以
化簡得到：
，
所以；
所以.
故答案為：.
【典例6-2】已知，且，則 .
【答案】
【解析】由于，，故.
而，故.
所以.
故答案為：
三角函數(shù)“湊角拆角”問題，常規(guī)配湊解法繁瑣。采用換元法，可簡化步驟，快速求解。
【變式6-1】已知，則 .
【答案】
【解析】所以.
故答案為：.
【變式6-2】設(shè)，若，則的值為 ．
【答案】
【解析】，若，，
，
，，
．
故答案為：.
1．已知，，則 .
【答案】/
【解析】由可得，則，
因為，所以，
則
.
故答案為：
題型七：三倍角公式
【典例7-1】著名數(shù)學家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用．黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式和二倍角角公式，則t與的關(guān)系式正確的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，即，令，
則，，，
即，
因為，所以，
即，整理得，
解得，
因為，所以，
故．
故選：B
【典例7-2】（多選題）（2024·高三·浙江寧波·期末）已知為坐標原點，曲線：，，為曲線上動點，則（ ）
A．曲線關(guān)于y軸對稱 B．曲線的圖象具有3條對稱軸
C． D．的最大值為
【答案】ABC
【解析】對于選項A:將用替換代入方程，方程不變，故曲線關(guān)于y軸對稱，A正確；
對于選項B:由
，
令，，
代入整理可得，
其中，為點所在終邊對應(yīng)的角度，且，
因為，故，
因為曲線關(guān)于y軸對稱，
故對應(yīng)的圖象關(guān)于軸（即y軸對稱）對稱，
注意到關(guān)于的周期為，
故曲線也關(guān)于和（即）對稱，
故B選項正確；
對于選項C:，C正確；
對于選項D:，D錯誤；
故選：ABC．
C另，
該方程關(guān)于有解，令，則在上有根，
由，
則， 或，
解得；或
綜上：．
D另，
解得．
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
【變式7-1】若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為，所以原不等式可變形為
令，則，
.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以.又，所以.
故答案為：．
1．已知為銳角，且.則 .
【答案】
【解析】由題設(shè)及三倍角的余弦公式，得
，即.
故.
故答案為:
重難點突破：w的取值與范圍問題
【典例8-1】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，
又，得，
令，得，
所以在上的圖象與直線的第一個交點的橫坐標為，第二個交點的橫坐標為，
所以，解得，
綜上所述，.
故選：.
【典例8-2】（2024·高三·河北石家莊·期中）已知函數(shù)在上恰有2個零點，則的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，
令，即，；
又因為，所以，
令，有，則問題轉(zhuǎn)化為，如圖所示，
因為函數(shù)在上恰有2個零點，所以，
所以，解得.
故選：C.
1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
3、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
【變式8-1】（2024·新疆阿勒泰·三模）已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有個零點，則的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵在區(qū)間上有且只有個零點，
∴令，當時，，
∴在區(qū)間上有且只有個零點，即在區(qū)間上有且只有個零點，
又∵的零點（即對稱中心的橫坐標）為，，
∴當時，，當時，，
當時，，當時，，
當時，，
∴，解得.
故選：D.
【變式8-2】（2024·高三·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【解析】因直線是一條對稱軸，所以，.
整理可得：，即，.
由，得.
則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因為函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以.
解得.因為，且，所以的最小值為11.
故選：C.
1．若函數(shù)在內(nèi)存在最小值但無最大值，則的范圍是
【答案】
【解析】函數(shù)，，
所以當時，，
又在內(nèi)存在最小值但無最大值，
結(jié)合圖象可得，
解得.
故答案為：
2．已知（其中），其函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點，則的范圍為 ．
【答案】
【解析】函數(shù)關(guān)于直線對稱，
所以，所以，
因為，所以，所以，
當，則，
要使函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點，所以，
所以的范圍為：.
故答案為：
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題09 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
目錄
01考情透視·目標導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預(yù)測 6
05 核心精講·題型突破 8
題型一：齊次化模型 8
題型二：輔助角與最值問題 9
題型三：與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題 9
題型四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型 10
題型五：三角函數(shù)的綜合性質(zhì) 12
題型六：換元法配湊角 14
題型七：三倍角公式 15
重難點突破：ω的取值與范圍問題 16
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)在高考中占據(jù)重要地位，是考查的重點和熱點。高考對這部分內(nèi)容的考查主要集中在兩個方面：
1、三角函數(shù)的圖象方面，這包括圖象的變換問題以及根據(jù)圖象來確定三角函數(shù)的解析式。這類問題通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查學生對圖象變換和解析式確定的理解和掌握。
2、三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用方面，這涉及利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域以及單調(diào)區(qū)間等問題。這類問題通常以解答題的形式出現(xiàn)，要求學生能夠靈活運用三角函數(shù)的性質(zhì)來解決問題。
此外，三角恒等變換的求值和化簡也是高考命題的熱點之一。這部分內(nèi)容既可以單獨命題，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度相對較低；也可以作為工具，與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合，求解最值、范圍等問題，這時多以解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。
考點要求 目標要求 考題統(tǒng)計 考情分析
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 理解同角關(guān)系，熟練運用解題 2024年甲卷第8題，5分 2023年甲卷第7題，5分 2023年乙卷第14題，5分 2021年I卷第6題，5分 2025年高考三角函數(shù)考查重點：一是同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，需復(fù)習三角函數(shù)定義，題型為選擇或填空，難度適中；二是三角恒等變換，注重公式變形、應(yīng)用及最值問題，同樣以選擇或填空形式出現(xiàn)，難度為基礎(chǔ)至中檔；三是三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及變換，組合考查為熱點，題型靈活，既可為基礎(chǔ)或中檔題，也可能成為壓軸題。考生需全面掌握三角函數(shù)相關(guān)知識，靈活運用，以應(yīng)對高考挑戰(zhàn)。
三角恒等變換 掌握恒等變換，提高解題技巧與靈活性 2024年I卷第4題，5分 2024年II卷第13題，5分 2024年北京卷第12題，5分 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分 2022年浙江卷第13題，6分 2021年甲卷第9題，5分
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 理解三角圖像性質(zhì)，提升函數(shù)應(yīng)用能力 2024年I卷第7題，5分 2024年II卷第6、9題，11分 2024年天津卷第7題，5分 2024年北京卷第6題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年甲卷第10題，5分 2023年乙卷第6題，5分 2023年I卷第15題，5分 2023年II卷第16題，5分
1、三角函數(shù)圖象的變換
（1）將的圖象變換為的圖象主要有如下兩種方法：
（2）平移變換
函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對作的變換；
（3）伸縮變換
①沿軸伸縮時，橫坐標伸長或縮短為原來的（倍）（縱坐標不變）；
②沿軸伸縮時，縱坐標伸長或縮短為原來的（倍）（橫坐標不變）．
（4）注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移．
2、三角函數(shù)的單調(diào)性
（1）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）三角函數(shù)的單調(diào)性有時也要結(jié)合具體的函數(shù)圖象如結(jié)合，，
，的圖象進行判斷會很快得到正確答案．
3、求三角函數(shù)最值的基本思路
（1）將問題化為的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（2）將問題化為關(guān)于或的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性從而求解.
4、對稱性及周期性常用結(jié)論
（1）對稱與周期的關(guān)系
正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.
（2）與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為奇函數(shù)，則有．
5、已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范刪的三種方法
（1）子集法：求出原函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正弦、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（3）周期性：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過個周期列不等式（組）求解.
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年北京高考數(shù)學真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024年天津高考數(shù)學真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
8．（2024年北京高考數(shù)學真題）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱.若，則的最大值為 ．
9．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）函數(shù)在上的最大值是 ．
10．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
11．（2023年北京高考數(shù)學真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
12．（2023年北京高考數(shù)學真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
題型一：齊次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例1-2】（2024·高三·河北滄州·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：
（一次顯型齊次化）
或者（二次隱型齊次化）
這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構(gòu)造成的代數(shù)式，這個思想在圓錐曲線里面關(guān)于斜率問題處理也經(jīng)常用到.
【變式1-1】（2024·陜西安康·三模）已知，則（ ）
A．6 B． C． D．2
【變式1-2】若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
1．設(shè)，若，則（ ）
A． B． C． D．
題型二：輔助角與最值問題
【典例2-1】若函數(shù)在處取得最大值，則 .
【典例2-2】（2024·高三·江西萍鄉(xiāng)·期中）設(shè)，且，則實數(shù)的取值范圍是 ．
第一類：一次輔助角:=．（其中）
第二類：二次輔助角
【變式2-1】（2024·高三·山東臨沂·期中）已知關(guān)于x的方程有解，則的最小值為 .
【變式2-2】已知，求的最大值 .
1．[新考法]（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是 ．
題型三：與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題
【典例3-1】已知函數(shù)，則的最小值是 ．
【典例3-2】函數(shù)的最大值是（ ）
A． B． C． D．
三角函數(shù)最值問題，一直是高考中的難點與重點。這類題目常融合三角恒等變換，結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式，求解不易。通常，處理三角函數(shù)最值問題，可采用以下策略：化一簡化法、變量替換法（換元）、主元突出法、圖形與數(shù)值結(jié)合法，以及導(dǎo)數(shù)求極值法。
【變式3-1】已知，則的最大值為
【變式3-2】在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
1．已知函數(shù)（），則函數(shù)的最大值為 .
2．函數(shù)的值域是 ．
題型四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型
【典例4-1】已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．的最小值為
C． D．在上有解
【典例4-2】（2024·高三·上海寶山·開學考試）已知，給出下述四個結(jié)論:
①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);
③在上為增函數(shù); ④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
關(guān)于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：
，
【變式4-1】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②在區(qū)間上單調(diào)；
③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；
④若，則函數(shù)在上有4個零點．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【變式4-2】關(guān)于函數(shù)，其中有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)； ②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；
③在有3個零點； ④的最小正周期為．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
1．（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．是的一個周期 B．是的一條對稱軸
C．的值域為 D．在上單調(diào)遞減
題型五：三角函數(shù)的綜合性質(zhì)
【典例5-1】（多選題）已知函數(shù)，若及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．的圖象關(guān)于點中心對稱
D．的最大值為
【典例5-2】（多選題）已知函數(shù)，若，且，則函數(shù)的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
三角函數(shù)的綜合性質(zhì)解題，關(guān)鍵在于掌握其基本關(guān)系、圖像變換及周期性。解題時，先識別函數(shù)類型，利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合圖像分析性質(zhì)，如單調(diào)性、最值等。最后，靈活運用三角函數(shù)公式求解，注意計算準確性。
【變式5-1】（多選題）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，且對于恒成立，則（ ）
A．函數(shù)為偶函數(shù)
B．當時，的值域為
C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可得函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱
【變式5-2】（多選題）已知函數(shù)（，）圖象的兩條對稱軸間距離的最小值為，且為的一個零點，則（ ）
A．的最小正周期為
B．
C．在上單調(diào)遞增
D．當時，曲線與直線的所有交點的橫坐標之和為
1．[新考法]（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對稱
B．的最大值為
C．在上單調(diào)遞增
D．方程在上最多有4個解
2．[新考法]（多選題）設(shè)函數(shù)的最小正零點為，則（ ）
A．的圖象過定點 B．的最小正周期為
C．是等比數(shù)列 D．的前項和為
題型六：換元法配湊角
【典例6-1】[新考法]若，則 .
【典例6-2】已知，且，則 .
三角函數(shù)“湊角拆角”問題，常規(guī)配湊解法繁瑣。采用換元法，可簡化步驟，快速求解。
【變式6-1】已知，則 .
【變式6-2】設(shè)，若，則的值為 ．
1．已知，，則 .
題型七：三倍角公式
【典例7-1】著名數(shù)學家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用．黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式和二倍角角公式，則t與的關(guān)系式正確的為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（多選題）（2024·高三·浙江寧波·期末）已知為坐標原點，曲線：，，為曲線上動點，則（ ）
A．曲線關(guān)于y軸對稱 B．曲線的圖象具有3條對稱軸
C． D．的最大值為
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
【變式7-1】若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
1．已知為銳角，且.則 .
重難點突破：w的取值與范圍問題
【典例8-1】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】（2024·高三·河北石家莊·期中）已知函數(shù)在上恰有2個零點，則的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
3、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
【變式8-1】（2024·新疆阿勒泰·三模）已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有個零點，則的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（2024·高三·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
1．若函數(shù)在內(nèi)存在最小值但無最大值，則的范圍是
2．已知（其中），其函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點，則的范圍為 ．
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