資源簡介

專題06 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)領(lǐng)域中的典型壓軸小題全歸納與剖析
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 7
05 核心精講·題型突破 10
題型一：唯一零點求值問題 10
題型二：不動點與穩(wěn)定點 11
題型三：運用反函數(shù)思想妙解壓軸題 12
題型四：倍值函數(shù) 13
題型五：最值函數(shù) 15
題型六：嵌套函數(shù) 16
題型七：共零點問題 17
題型八：雙參數(shù)比值型問題 18
題型九：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點 19
題型十：曼哈頓距離問題 20
題型十一：平口單峰函數(shù) 22
題型十二：三次函數(shù) 23
題型十三：指對同構(gòu) 25
題型十四：切線放縮與夾逼 26
題型十五：整數(shù)解問題 28
題型十六：導(dǎo)數(shù)中的“最短距離”問題 29
題型十七：等高線問題 31
重難點突破：多變量問題 32
高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典壓軸小題，往往聚焦于函數(shù)的零點、不等式恒成立等核心考點，這些考點與函數(shù)的性質(zhì)、表達式及圖像緊密相連。解題過程要求考生展現(xiàn)出堅實的邏輯推理能力和空間直觀想象力，以及熟練的數(shù)學(xué)運算技巧。此外，面對貼近實際的數(shù)學(xué)問題，考生還需具備敏銳的數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)建模思維，能夠?qū)嶋H問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并運用所學(xué)知識進行求解。
考點要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
零點 掌握零點概念，熟練求解方法。 2024年天津卷第15題，5分 2024年II卷第6題，5分 2023年II卷第11題，5分 2022年I卷第10題，5分 2021年I卷第7題，5分 預(yù)測2025年高考數(shù)學(xué)，導(dǎo)數(shù)知識將成為重頭戲。它或以簡潔明了的選擇題、填空題形式獨立出現(xiàn)，主要考察基礎(chǔ)計算與幾何理解，難度相對較低；或巧妙融入解答題之中，成為解題關(guān)鍵。特別是利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值等深層次應(yīng)用，預(yù)計將作為選擇題、填空題的難點部分，出現(xiàn)在題序后端，難度適中偏上，綜合考察學(xué)生的分析能力和解題技巧。這樣的設(shè)計既考驗學(xué)生的基礎(chǔ)知識，又挑戰(zhàn)其綜合運用能力，是高考數(shù)學(xué)中的一大亮點。
不等式 掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，解決不等式問題。 2024年II卷第8題，5分 2021年II卷第16題，5分
三次函數(shù) 理解性質(zhì)，熟練求解應(yīng)用。 2024年 I卷第10題，6分 2022年 I卷第10題，5分 2021年 乙卷第12題，5分
1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．
2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）．
3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的特點解不等式．
4、分段函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成球函數(shù)值域的問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
5、動態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：
解決這類問題主要考慮二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開口、對稱軸是否存在不變的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象是否過定點，從而簡化解題．
6、動態(tài)二次函數(shù)零點個數(shù)和分布問題：
通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，通過對稱軸，根的判別式，相應(yīng)區(qū)間端點函數(shù)值等來考慮．
7、求二次函數(shù)最值問題，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見類型：
（1）對稱軸變動，區(qū)間固定；
（2）對稱軸固定，區(qū)間變動；
（3）對稱軸變動，區(qū)間也變動．
這時要討論對稱軸何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外．討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)情況，從而確定函數(shù)的最值．
8、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導(dǎo)函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的圖象．如借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究原函數(shù)的單調(diào)性；借助導(dǎo)函數(shù)的（變號）零點研究原函數(shù)的極值點（最值點）；綜合借助導(dǎo)函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點…
具體來說，對于三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，根的判別式．
判別式
圖象
單調(diào)性 增區(qū)間：，； 減區(qū)間： 增區(qū)間： 增區(qū)間：
圖象
（1）當(dāng)時，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒有極值點，有且只有一個零點；
（2）當(dāng)時，有兩根，，不妨設(shè)，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個不相等的極值點，那么：
① 若，則有且只有個零點；
② 若，則有個零點；
③ 若，則有個零點．
特別地，若三次函數(shù)存在極值點，且，則地解析式為．
同理，對于三次函數(shù)，其性質(zhì)也可類比得到．
9、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當(dāng)具有對稱性，其圖象對稱中心應(yīng)當(dāng)為點，此結(jié)論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標(biāo)正是三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的極值點．
10、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設(shè)切點坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
11、恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題．
12、如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值．
13、當(dāng)不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．
14、兩類零點問題的不同處理方法
利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．
①直接法：判斷-一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明．
②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明．
15、利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧
（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等．
（2）根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置．
（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
16、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法
（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為 ．
4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，函數(shù).若恰有一個零點，則的取值范圍為 ．
5．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時，有三個零點
B．當(dāng)時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
6．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，
7．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，存在最大值；
③設(shè)，則；
④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
10．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
11．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為 ．
12．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
13．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，用表示中的較小者．若函數(shù)至少有3個零點，則的取值范圍為 .
14．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)則 ；若當(dāng)時，，則的最大值是 ．
15．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
16．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
題型一：唯一零點求值問題
【典例1-1】已知函數(shù)有唯一零點，則（ ）
A．1 B． C． D．
【典例1-2】已知函數(shù)有唯一零點，則（ ）
A． B． C． D．1
根據(jù)偶函數(shù)零點特性可知：若偶函數(shù)有唯一零點，則必然在處取得，即.
【變式1-1】已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（ ）
A． B．2 C． D．
【變式1-2】已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
1．已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．1
2．已知函數(shù)，，若與的圖象有且只有一個公共點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型二：不動點與穩(wěn)定點
【典例2-1】設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.若曲線 上存在使得，則的取值范圍是 .
【典例2-2】設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在一點使得，則的取值范圍是 ．
1、不動點
定義：一般地，對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在，使得，則稱是函數(shù)的一階不動點，簡稱不動點．
從代數(shù)角度看，一階不動點是方程的根．
從幾何角度看，一階不動點是曲線與直線的交點的橫坐標(biāo)．
2、穩(wěn)定點
定義：若存在，使，則稱是函數(shù)的二階不動點，簡稱穩(wěn)定點．
從代數(shù)角度看，二階不動點是方程的解，也就是方程組的解；
從幾何角度看，函數(shù)的二階不動點是指：函數(shù)圖象上關(guān)于直線對稱的兩點的橫坐標(biāo)（即函數(shù)與其反函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)），或直線與函數(shù)交點的橫坐標(biāo)．
3、不動點與穩(wěn)定點的結(jié)論
（1）有解等價于有解．特別地，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，的解與的解相同．
（2）無解等價于無解．
（3）有解等價于有解．
（4）無解等價于無解．
【變式2-1】已知函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【變式2-2】設(shè)函數(shù)，若曲線上存在點,使得成立，求實數(shù)的取值范圍為 .
1．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是 ．
2．已知.若，則的取值范圍是 .
3．對于函數(shù)，若，則稱為函數(shù)的“不動點”；若，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點”．如果函數(shù)的“穩(wěn)定點”恰是它的“不動點”，那么實數(shù)的取值范圍是 ．
題型三：運用反函數(shù)思想妙解壓軸題
【典例3-1】（2024·高三·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為 ．
【典例3-2】已知函數(shù)，，且，給出下列結(jié)論：
（1），（2），（3），（4），（5），
則上述正確結(jié)論的序號是 .
1、反函數(shù)定義：已知函數(shù)，其值域為．如果對中的任意給定的一個值，在中滿足的值有且僅有一個，那么由此得到的關(guān)于的函數(shù)叫作的反函數(shù)，記作．因為習(xí)慣上將視為自變量，視為函數(shù)值，所以通常將該函數(shù)寫為．
2、反函數(shù)性質(zhì)：原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于對稱．
【變式3-1】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，若的最小值為，則 .
【變式3-2】（2024·高三·湖北黃岡·期中）已知函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于對稱．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
1．設(shè)分別是方程和的根，則 ．
2．（2024·高三·廣東佛山·開學(xué)考試）已知函數(shù)，對任意的正實數(shù)x都有恒成立，則a的取值范圍是 ．
題型四：倍值函數(shù)
【典例4-1】已知函數(shù)（且），若存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域恰好為，則的取值范圍為 .
【典例4-2】已知函數(shù)，當(dāng)時，的值域為，則實數(shù)的取值范圍是 .
對于函數(shù)，這樣的問題稱之為倍值函數(shù)問題，該類問題主要有三個模型：（1）模型一：函數(shù)單調(diào)遞增，方程同構(gòu)即可；（2）模型二：函數(shù)單調(diào)遞減，兩式相減即可；（3）模型三：函數(shù)有增有減，分類討論即可．
【變式4-1】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間的值域為，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【變式4-2】已知函數(shù)，的解集為，若在上的值域與函數(shù)在上的值域相同，則實數(shù)的取值范圍為 .
1．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：(1)在上是單調(diào)函數(shù)；(2)在上的值域為，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有 ．（填上所有正確的序號）
①；
②；
③；
④．
2．已知函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間使得：
（Ⅰ）在上是單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）在上的值域是，
則稱區(qū)間為函數(shù)的“倍值區(qū)間”．
下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有 （填上所有你認(rèn)為正確的序號）
①； ②；
③； ④．
3．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時的值域為，則稱為倍值函數(shù).若是上倍值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .
題型五：最值函數(shù)
【典例5-1】（2024·天津北辰·三模）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【典例5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為 ．
指的是二者之中取最小， 指的是二者之中取最大．
性質(zhì)一：
．
性質(zhì)二： ．
【變式5-1】定義為數(shù)集M中最大的數(shù)，已知，若或，則的最小值為 .
【變式5-2】（2024·云南昆明·三模）以表示數(shù)集中最大的數(shù)．已知，，，則的最小值為
1．設(shè)表示，，中最大的數(shù)，設(shè)，且，則的最小值為 ．
2．設(shè)表示，，，中最大的數(shù)，已知，均為正數(shù)，則的最小值為 .
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）記表示這3個數(shù)中最大的數(shù)．已知都是正實數(shù)，，則的最小值為 ．
題型六：嵌套函數(shù)
【典例6-1】已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點個數(shù)為 個．
【典例6-2】（2024·高三·遼寧大連·期末）已知函數(shù)有三個零點，且有，則的值為 .
嵌套函數(shù)：又名復(fù)合函數(shù)，指的是形如的函數(shù)，嵌套函數(shù)零點問題的求解關(guān)鍵在于“設(shè)”，注意定義域與值域的轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖像解題．
【變式6-1】（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為 .
【變式6-2】已知函數(shù)有三個不同的零點，其中則的值為 .
1．（2024·高三·湖北襄陽·期中）若函數(shù)有極值點，，則關(guān)于的方程 +的不同實數(shù)根的個數(shù)是 .
2．若函數(shù)有兩個極值點，其中,，且，則方程的實根個數(shù)為 個.
3．若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為
題型七：共零點問題
【典例7-1】設(shè)函數(shù)，若，則（ ）
A．0 B．1 C．e D．前3個答案都不對
【典例7-2】（2024·高三·湖北武漢·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
共零點問題：此類問題往往是的形式，其特征是兩個函數(shù)具備相同的零點．
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．9
【變式7-2】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
1．若函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，已知，,且在定義域內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
2．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為 .
3．設(shè)函數(shù)，若，且，則的最小值為 .
題型八：雙參數(shù)比值型問題
【典例8-1】（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若不等式恒成立，則的最大值為 ．
【典例8-2】（2024·高三·浙江寧波·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則的最大值為 ．
對于雙參數(shù)比值型問題，零點比大小法是一種有效的解決策略。這種方法類似于數(shù)形結(jié)合的思想，首先我們將問題中的曲線和直線部分“曲直分開”，分別繪制出它們的圖像，并找出它們的零點。
在這里，直線的零點具有特殊的意義，它通常對應(yīng)著我們待求的雙參數(shù)比值。接下來，我們觀察直線和曲線的交點情況，特別是當(dāng)直線的零點與曲線的零點重合時，這意味著雙參數(shù)比值取得了最值（這個最值可能是最大值，也可能是最小值，具體取決于題目的要求）。
在圖像上，這種最值情況表現(xiàn)為直線與曲線在曲線的零點處相切。換句話說，當(dāng)直線與曲線僅有一個交點，并且這個交點恰好是曲線的零點時，雙參數(shù)的比值就達到了它的最值。
因此，通過繪制曲線和直線的圖像，尋找它們的零點，并觀察它們之間的交點情況，我們可以直觀地找到雙參數(shù)比值的最值。這種方法不僅直觀易懂，而且在實際應(yīng)用中非常有效。
【變式8-1】（2024·河北滄州·三模）若不等式，對于恒成立，則的最大值為 .
【變式8-2】已知關(guān)于不等式對任意和正數(shù)恒成立，則的最小值為 ．
1．已知m、n為實數(shù)，，若對恒成立，則的最小值為 ．
2．已知a，，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則的最大值為 ．
3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是 .
題型九：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點
【典例9-1】（2024·山東濟南·一模）設(shè)分別是函數(shù)和的零點(其中)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
當(dāng)時，方程有且只有三解；
當(dāng)時，方程有且只有一解．
當(dāng)，方程無解
當(dāng)時，方程有且只有一解．
當(dāng)時，方程有且只有兩解
【變式9-1】設(shè)，分別是函數(shù)和的零點（其中），則的取值范圍
A． B． C． D．
【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)與其反函數(shù)的圖像有交點，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
1．已知關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是
2．已知指數(shù)函數(shù)（，且）圖象與其反函數(shù)的圖象有公共點，則的取值范圍是 .
題型十：曼哈頓距離問題
【典例10-1】（2024·浙江·一模）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記的最大值為，則的最小值為 .
【典例10-2】設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記最大值為，則的最小值為 .
結(jié)論1：已知，為定點，且，則到直線上任意一點的“曼哈頓距離”為：．
結(jié)論2：已知兩平行直線：，，分別為上任意一點，則之間的“曼哈頓距離”為：．（證明過程留給讀者）
【變式10-1】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點，之間的“折線距離”，則橢圓上一點和直線上一點的“折線距離”的最小值為
【變式10-2】（2024·山西晉中·三模）已知函數(shù)的最大值為，則滿足條件的整數(shù)的個數(shù)為 ．
1．“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼 閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點的曼哈頓距離為：.已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記的最大值為，若恒成立，則的最大值為（ ）
A．e B． C．0 D．
3．（2024·高三·北京豐臺·期末）已知函數(shù)，當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為（ ）
A．3.5 B．4
C．4.5 D．5
題型十一：平口單峰函數(shù)
【典例11-1】已知函數(shù)，當(dāng)，時，的最大值為，則的最小值為　　
A． B． C． D．1
【典例11-2】已知，，記的最大值為，則的最小值是　　
A． B． C． D．
若為上連續(xù)的單峰函數(shù)，且，則稱為平口單峰函數(shù)．
結(jié)論：若為上的平口單峰函數(shù)，且，為極值點，則當(dāng)變化時，的最大值中的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時取得．
【變式11-1】已知函數(shù)定義域為，，記的最大值為，則的最小值為　　
A．4 B．3 C．2 D．
【變式11-2】已知，，，若對于任意的恒成立，則 ．
1．已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)，，總存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B．， C．， D．，
2．設(shè)函數(shù)，若對任意的正實數(shù)和實數(shù)，總存在，，使得，則實數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
3．已知函數(shù)，對于任意的，，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
題型十二：三次函數(shù)
【典例12-1】（2024·河南鄭州·一模）已知函數(shù)，實數(shù)滿足， ，則
A．6 B．8 C．10 D．12
【典例12-2】（2024·山西·一模）已知函數(shù)存在極值點，且，其中，
A．3 B．2 C．1 D．0
1、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當(dāng)具有對稱性，其圖象對稱中心應(yīng)當(dāng)為點，此結(jié)論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標(biāo)正是三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的極值點．
2、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設(shè)切點坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
【變式12-1】已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．當(dāng)時，若有三個零點，則b的取值范圍為
B．若滿足，則
C．若過點可作曲線的三條切線，則
D．若存在極值點，且，其中，則
【變式12-2】（2024·河北唐山·三模）已知函數(shù)有兩個極值點，且，若，函數(shù)，則
A．僅有一個零點 B．恰有兩個零點
C．恰有三個零點 D．至少兩個零點
1．已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，
則實數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）對于三次函數(shù)（），給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
3．設(shè)分別滿足方程，.則 .
題型十三：指對同構(gòu)
【典例13-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程（，，）可化為同構(gòu)方程，則 ， ．
【典例13-2】（2024·高三·黑龍江雞西·期中）同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式（或不等式、方程式）通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或相近的式子，然后通過同構(gòu)函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性解題，此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或不等式問題.如與（可化為）可以同構(gòu)為.若已知恒成立，則的取值范圍是 .
常見同構(gòu)式
①積型
對數(shù)化:令，得
指數(shù)化:令，得
不等式兩邊同時取對數(shù)變形：令，得
②商型
對數(shù)化:令，得
指數(shù)化:令，得
不等式兩邊同時取對數(shù)變形：令，得
③和差型
對數(shù)化:令，得
指數(shù)化:令，得
再比如令，得．
【變式13-1】同構(gòu)式通俗的講是結(jié)構(gòu)相同的表達式，如：，，稱與為同構(gòu)式．已知實數(shù)滿足，，則 ．
【變式13-2】（2024·高三·四川內(nèi)江·期中）若恒成立，則的取值范圍為 .
1．（2024·湖南郴州·三模）設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
2．設(shè)實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
3．若關(guān)于的不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
題型十四：切線放縮與夾逼
【典例14-1】（2024·山西晉中·二模）若存在實數(shù)x，y滿足，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【典例14-2】（2024·云南昆明·一模）若存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
（1）指數(shù)函數(shù)的切線不等式：
①；②．
（2）對數(shù)函數(shù)的切線不等式：
①；②；③．
（3）三角函數(shù)的切線不等式：
①當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；
②當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．
③切線與割線相結(jié)合的形式：當(dāng)時， ．
【變式14-1】（2024·河南·一模）已知實數(shù)滿足，則
A． B． C． D．
【變式14-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)使得成立，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
1．若，是實數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，，則 .
2．若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為 ．
3．完成下列各問
（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是 ；
（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是 ；
（4）已知不等式對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實數(shù)a與b的大小關(guān)系是 ；
（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（8）已知不等式，對恒成立，則k的最大值為 ；
（9）若，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
4．已知，則的值是 .
題型十五：整數(shù)解問題
【典例15-1】已知，存在唯一的整數(shù)，使得成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例15-2】若滿足在上恒成立的a唯一，則整數(shù)b的值為（ ）
A．3 B． C．4 D．
1、直接法：為了得到含參函數(shù)的單調(diào)性與最值，往往需要對參數(shù)進行分類討論；
2、參數(shù)分離法：參數(shù)分離后，根據(jù)所得函數(shù)的圖象，討論參數(shù)的取值范圍，分離又有完全分離與不完全分離兩種．
【變式15-1】已知函數(shù)，若不等式的解集中有且僅有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式15-2】若不等式（其中）的解集中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·高三·重慶·期中）若關(guān)于x的不等式 的解集中恰有三個整數(shù)解，則整數(shù)a的取值是（ ）(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型十六：導(dǎo)數(shù)中的“最短距離”問題
【典例16-1】曲線上的點到直線的最短距離是（ ）
A． B． C． D．
【典例16-2】設(shè)表示自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)（），若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C．0 D．
此類問題可以通過構(gòu)造函數(shù)、平移直線或者利用不等式等方法來求解
【變式16-1】（2024·高三·天津和平·期中）已知函數(shù)，若對任意的正實數(shù)t，在R上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式16-2】（2024·河北石家莊·一模）已知函數(shù)，若存在使得成立，則實數(shù)的值為
A． B． C． D．
1．點是曲線上的一個動點，點是曲線上的一個動點，則的最小值為．
A． B．
C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為曲線在點處的切線上的一個動點，為圓上的一個動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．已知點P是曲線上一點，若點P到直線的距離最小，則點P的坐標(biāo)為 .
題型十七：等高線問題
【典例17-1】函數(shù)，若，且a，b，c，d互不相等，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】設(shè)函數(shù)，若互不相等的實數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
對于函數(shù)，若，則直線叫做函數(shù)的等高線．此類題通常以求取值范圍的形式出現(xiàn)，其基本方法是“減元”，即充分利用函數(shù)值相等這一條件實施“消元”．
【變式17-1】已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個不同的實根，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式17-2】設(shè)函數(shù)，若（其中），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實根、，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知函數(shù)，若，其中，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．方程恰有3個不同的實數(shù)解
B．函數(shù)有兩個極值點
C．若關(guān)于x的方程恰有1個解，則
D．若，且，則存在最大值
重難點突破：多變量問題
【典例18-1】已知函數(shù)，若有兩個極值點，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例18-2】已知函數(shù)有兩個極值點，，若不等式恒成立，那么的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
求解雙變量函數(shù)或不等式問題的基本思想是通過消元，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題加以解決．可以利用雙變量之間的關(guān)系代入消元；也可以通過整體換元后化為單變量函數(shù)；還可以分離雙變量后，根據(jù)同構(gòu)式直接構(gòu)造函數(shù)；對于多變量問題，可以合理選擇其中一個變量為主元，逐個處理變量；對于某些含有“任意”“存在”等關(guān)鍵詞的恒成立或有解問題，則通過分析函數(shù)的值域或最值來解決．
【變式18-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有兩個極值點、且，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式18-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)，，實數(shù)，滿足，若，，使得成立，則的最大值為（ ）
A．7 B．6 C． D．
2．對任意的實數(shù)，都存在兩個不同的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
3．（多選題）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x+lnx有兩個不同的極值點x1，x2，若不等式恒成立，則t的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題06 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)領(lǐng)域中的典型壓軸小題全歸納與剖析
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 7
05 核心精講·題型突破 25
題型一：唯一零點求值問題 25
題型二：不動點與穩(wěn)定點 29
題型三：運用反函數(shù)思想妙解壓軸題 35
題型四：倍值函數(shù) 39
題型五：最值函數(shù) 46
題型六：嵌套函數(shù) 51
題型七：共零點問題 58
題型八：雙參數(shù)比值型問題 63
題型九：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點 69
題型十：曼哈頓距離問題 74
題型十一：平口單峰函數(shù) 80
題型十二：三次函數(shù) 86
題型十三：指對同構(gòu) 92
題型十四：切線放縮與夾逼 97
題型十五：整數(shù)解問題 103
題型十六：導(dǎo)數(shù)中的“最短距離”問題 110
題型十七：等高線問題 115
重難點突破：多變量問題 122
高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典壓軸小題，往往聚焦于函數(shù)的零點、不等式恒成立等核心考點，這些考點與函數(shù)的性質(zhì)、表達式及圖像緊密相連。解題過程要求考生展現(xiàn)出堅實的邏輯推理能力和空間直觀想象力，以及熟練的數(shù)學(xué)運算技巧。此外，面對貼近實際的數(shù)學(xué)問題，考生還需具備敏銳的數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)建模思維，能夠?qū)嶋H問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并運用所學(xué)知識進行求解。
考點要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
零點 掌握零點概念，熟練求解方法。 2024年天津卷第15題，5分 2024年II卷第6題，5分 2023年II卷第11題，5分 2022年I卷第10題，5分 2021年I卷第7題，5分 預(yù)測2025年高考數(shù)學(xué)，導(dǎo)數(shù)知識將成為重頭戲。它或以簡潔明了的選擇題、填空題形式獨立出現(xiàn)，主要考察基礎(chǔ)計算與幾何理解，難度相對較低；或巧妙融入解答題之中，成為解題關(guān)鍵。特別是利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值等深層次應(yīng)用，預(yù)計將作為選擇題、填空題的難點部分，出現(xiàn)在題序后端，難度適中偏上，綜合考察學(xué)生的分析能力和解題技巧。這樣的設(shè)計既考驗學(xué)生的基礎(chǔ)知識，又挑戰(zhàn)其綜合運用能力，是高考數(shù)學(xué)中的一大亮點。
不等式 掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，解決不等式問題。 2024年II卷第8題，5分 2021年II卷第16題，5分
三次函數(shù) 理解性質(zhì)，熟練求解應(yīng)用。 2024年 I卷第10題，6分 2022年 I卷第10題，5分 2021年 乙卷第12題，5分
1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．
2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）．
3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的特點解不等式．
4、分段函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成球函數(shù)值域的問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
5、動態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：
解決這類問題主要考慮二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開口、對稱軸是否存在不變的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象是否過定點，從而簡化解題．
6、動態(tài)二次函數(shù)零點個數(shù)和分布問題：
通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，通過對稱軸，根的判別式，相應(yīng)區(qū)間端點函數(shù)值等來考慮．
7、求二次函數(shù)最值問題，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見類型：
（1）對稱軸變動，區(qū)間固定；
（2）對稱軸固定，區(qū)間變動；
（3）對稱軸變動，區(qū)間也變動．
這時要討論對稱軸何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外．討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)情況，從而確定函數(shù)的最值．
8、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導(dǎo)函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的圖象．如借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究原函數(shù)的單調(diào)性；借助導(dǎo)函數(shù)的（變號）零點研究原函數(shù)的極值點（最值點）；綜合借助導(dǎo)函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點…
具體來說，對于三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，根的判別式．
判別式
圖象
單調(diào)性 增區(qū)間：，； 減區(qū)間： 增區(qū)間： 增區(qū)間：
圖象
（1）當(dāng)時，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒有極值點，有且只有一個零點；
（2）當(dāng)時，有兩根，，不妨設(shè)，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個不相等的極值點，那么：
① 若，則有且只有個零點；
② 若，則有個零點；
③ 若，則有個零點．
特別地，若三次函數(shù)存在極值點，且，則地解析式為．
同理，對于三次函數(shù)，其性質(zhì)也可類比得到．
9、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當(dāng)具有對稱性，其圖象對稱中心應(yīng)當(dāng)為點，此結(jié)論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標(biāo)正是三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的極值點．
10、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設(shè)切點坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
11、恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題．
12、如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值．
13、當(dāng)不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．
14、兩類零點問題的不同處理方法
利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．
①直接法：判斷-一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明．
②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明．
15、利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧
（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等．
（2）根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置．
（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
16、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法
（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】解法一：由題意可知：的定義域為，
令解得；令解得；
若，當(dāng)時，可知，
此時，不合題意；
若，當(dāng)時，可知，
此時，不合題意；
若，當(dāng)時，可知，此時；
當(dāng)時，可知，此時；
可知若，符合題意；
若，當(dāng)時，可知，
此時，不合題意；
綜上所述：，即，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為；
解法二：由題意可知：的定義域為，
令解得；令解得；
則當(dāng)時，，故，所以；
時，，故，所以；
故， 則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原題意等價于當(dāng)時，曲線與恰有一個交點，
注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，
所以符合題意；
綜上所述：.
解法二：令，
原題意等價于有且僅有一個零點，
因為，
則為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，
即，解得，
若，則，
又因為當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即有且僅有一個零點0，所以符合題意；
故選：D.
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，即，令
則，令得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，
因為曲線與在上有兩個不同的交點，
所以等價于與有兩個交點，所以.
故答案為：
4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，函數(shù).若恰有一個零點，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，即，
由題可得，
當(dāng)時，，有，則，不符合要求，舍去；
當(dāng)時，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，
由，可得或，
當(dāng)時，則，則，
即，整理得，
當(dāng)時，即，即，
當(dāng)，或（正值舍去），
當(dāng)時，或，有兩解，舍去，
即當(dāng)時，在時有唯一解，
則當(dāng)時，在時需無解，
當(dāng)，且時，
由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，即，
故時，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，
由的漸近線方程為，
即部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故有，解得，故符合要求；
當(dāng)時，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，
由，可得或，
當(dāng)時，則，則，
即，整理得，
當(dāng)時，即，即，
當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，
當(dāng)時，或，有兩解，舍去，
即當(dāng)時，在時有唯一解，
則當(dāng)時，在時需無解，
當(dāng)，且時，
由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
同理可得：時，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，
部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故有，解得，故符合要求；
綜上所述，.
故答案為：.
5．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時，有三個零點
B．當(dāng)時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
【答案】AD
【解析】A選項，，由于，
故時，故在上單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，
又，，則，
則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；
B選項，，時，，單調(diào)遞減，
時，單調(diào)遞增，
此時在處取到極小值，B選項錯誤；
C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；
D選項，
方法一：利用對稱中心的表達式化簡
，若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，事實上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.
方法二：直接利用拐點結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，
由題意也是對稱中心，故，
即存在使得是的對稱中心，D選項正確.
故選：AD
6．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，
【答案】ACD
【解析】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，
易知當(dāng)時，，當(dāng)或時，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；
對B，當(dāng)時，，所以，
而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；
對C，當(dāng)時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，正確；
對D，當(dāng)時，，
所以，正確；
故選：ACD.
7．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，則，
若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當(dāng)時，，
當(dāng)，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個零點，則，即，解得，
故選：B.
8．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，
因此方程有兩個不等的正根，
于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.
故選：BCD
9．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，存在最大值；
③設(shè)，則；
④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】②③
【解析】依題意，，
當(dāng)時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；
當(dāng)時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；
當(dāng)時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；
對于①，取，則的圖像如下，
顯然，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；
對于②，當(dāng)時，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，顯然取得最大值；
當(dāng)時，，
綜上：取得最大值，故②正確；
對于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，
當(dāng)時，，當(dāng)且接近于處，，
此時，，故③正確；
對于④，取，則的圖像如下，
因為，
結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，
同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，
此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
顯然在上，滿足取得最小值，
即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.
故答案為：②③.
10．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
11．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】（1）當(dāng)時，，
即，
若時，，此時成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時，，此時成立．
（2）當(dāng)時，，
即，
若時，，顯然不成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若時，，顯然不成立；
綜上，
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，只有一個零點；
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，只有一個零點；
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，零點為．
所以，當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，且．
故答案為：．
12．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【解析】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
13．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，用表示中的較小者．若函數(shù)至少有3個零點，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設(shè)，，由可得.
要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，
解得或.
①當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；
②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有個零點，則，
所以，，解得；
③當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；
④當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有個零點，則，
可得，解得，此時.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)則 ；若當(dāng)時，，則的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知，，
所以，
當(dāng)時，由可得，所以，
當(dāng)時，由可得，所以，
等價于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
15．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點
因為，所以方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時，，即圖象在上方
當(dāng)時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)
=0的兩個根為
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設(shè)函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時若，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)
且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
16．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若時，，∴；
若時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
題型一：唯一零點求值問題
【典例1-1】已知函數(shù)有唯一零點，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】把函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)性質(zhì)，有唯一零點，由得解.因為，
令 則，
因為函數(shù)有唯一零點，
所以也有唯一零點，且為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，由偶函數(shù)對稱性得，所以，解得，
故選：D.
【典例1-2】已知函數(shù)有唯一零點，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因為函數(shù)，
令，
則為偶函數(shù)，
因為函數(shù)有唯一零點，
所以有唯一零點，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，則，
解得，
故選：B
根據(jù)偶函數(shù)零點特性可知：若偶函數(shù)有唯一零點，則必然在處取得，即.
【變式1-1】已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個交點求的值，分，，三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論.函數(shù)有唯一零點，等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個交點，
當(dāng)時，，此時有兩個零點，不滿足題意；
當(dāng)時，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的圖象最低點為，函數(shù)的圖象最低點為，由于，故兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，不滿足題意；
當(dāng)時，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的圖象最低點為，函數(shù)的圖象最低點為，若兩函數(shù)只有一個交點，則，即.
故選：D.
【變式1-2】已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，求出，結(jié)合函數(shù)的對稱性得出和都關(guān)于對稱，由有唯一零點，可知，即可求.已知，①
且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
則，
得：，②
①+②得：，
由于關(guān)于對稱，
則關(guān)于對稱，
為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，
則關(guān)于對稱，
由于有唯一零點，
則必有，，
即：，
解得：或.
故選：A.
1．已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】，
即有唯一解，等價于的圖象與的圖象只有一個交點，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最高點為
①當(dāng)時，原方程有兩個解，不合題意；
②當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且圖象關(guān)于對稱，最高點為，，故不合題意，
③當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且圖象關(guān)于對稱，最低點為，
若兩函數(shù)圖象只有一個交點，則，得，
故選：C
2．已知函數(shù)，，若與的圖象有且只有一個公共點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將問題轉(zhuǎn)化為與有唯一交點的問題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此得到大致圖象，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.與圖象有且僅有一個公共點，有唯一解，
即有唯一解，
令，則，，
，，在上單調(diào)遞增，
又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
可得大致圖象如下圖所示：
有唯一解等價于與有唯一交點，
由圖象可知：當(dāng)時，與有唯一交點，即與的圖象有且只有一個公共點.
故選：C.
3．函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】令函數(shù)，則該函數(shù)圖象的對稱軸為 ，
令，則，
即，故函數(shù)關(guān)于對稱，
又因為，
所以函數(shù)的對稱軸為，
因為有且只有一個零點，
故，
故選：D．
題型二：不動點與穩(wěn)定點
【典例2-1】設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.若曲線 上存在使得，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由已知可得，且，
由已知存在，使得，則，
所以，存在，使得，可得，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則.
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
若，則，不合乎題意；
若，則，不合乎題意；
若，則，合乎題意.
故存在，使得，可得，則，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【典例2-2】設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在一點使得，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題設(shè)及函數(shù)的解析式可知，所以．
由題意問題轉(zhuǎn)化為“存在，使得有解”，即在有解，
令，則
當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)；所以，
當(dāng)，即
所以，故應(yīng)填答案
1、不動點
定義：一般地，對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在，使得，則稱是函數(shù)的一階不動點，簡稱不動點．
從代數(shù)角度看，一階不動點是方程的根．
從幾何角度看，一階不動點是曲線與直線的交點的橫坐標(biāo)．
2、穩(wěn)定點
定義：若存在，使，則稱是函數(shù)的二階不動點，簡稱穩(wěn)定點．
從代數(shù)角度看，二階不動點是方程的解，也就是方程組的解；
從幾何角度看，函數(shù)的二階不動點是指：函數(shù)圖象上關(guān)于直線對稱的兩點的橫坐標(biāo)（即函數(shù)與其反函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)），或直線與函數(shù)交點的橫坐標(biāo)．
3、不動點與穩(wěn)定點的結(jié)論
（1）有解等價于有解．特別地，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，的解與的解相同．
（2）無解等價于無解．
（3）有解等價于有解．
（4）無解等價于無解．
【變式2-1】已知函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】曲線上存在點,
.
函數(shù)在上單調(diào)遞增.
下面證明.
假設(shè),則,不滿足.
同理假設(shè),則不滿足.
綜上可得:.
令函數(shù),化為 .
令 ,.
,
函數(shù)在單調(diào)遞增.
.
的取值范圍是.
所以A選項是正確的.
【變式2-2】設(shè)函數(shù)，若曲線上存在點,使得成立，求實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】,
【解析】，
當(dāng)時，取得最大值，
當(dāng)時，取得最小值，
即函數(shù)的取值范圍為,，
若上存在點,使得成立，則,.
又在定義域上單調(diào)遞增.
假設(shè)，則，不滿足；
假設(shè)，也不滿足；
綜上可得：，,.
函數(shù)有解，等價為，在,上有解，即平方得，則，
設(shè)，則，
由得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，即，
當(dāng)時，，
則.則，
故實數(shù)的取值范圍為,.
故答案為：,.
1．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】依題意，，而，即函數(shù)是奇函數(shù)，
由曲線上存在點，使得，
得存在，使得成立，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
下面證明：成立，
假設(shè)，則，不滿足，假設(shè)不成立，
假設(shè)，則，不滿足，假設(shè)不成立，
因此，
則原問題等價于“在上有解”，即“在上有解”，
設(shè)，，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，由，解得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上遞減，在遞增，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是的值域為，即，則，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
2．已知.若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設(shè).則，
，
.
從而，方程的解集為方程的解集的子集.
若，則.
若，則.
因此，.
于是，的取值范圍是.
3．對于函數(shù)，若，則稱為函數(shù)的“不動點”；若，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點”．如果函數(shù)的“穩(wěn)定點”恰是它的“不動點”，那么實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為函數(shù)的“不動點”一定是“穩(wěn)定點”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點”恰是它的“不動點”，即不存在非“不動點”的“穩(wěn)定點”，
因此方程有解，但方程組無解，
由，得有解，則有，解得，
由，得，兩式相減得，
而，于是，從而，
顯然方程無解或僅有兩個相等的實根，因此，解得，
所以a的取值范圍是.
故答案為：
題型三：運用反函數(shù)思想妙解壓軸題
【典例3-1】（2024·高三·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.
函數(shù)上的點到直線的距離為.
設(shè)函數(shù)，則
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以當(dāng)時，
所以
所以最小值為.
故答案為：
【典例3-2】已知函數(shù)，，且，給出下列結(jié)論：
（1），（2），（3），（4），（5），
則上述正確結(jié)論的序號是 .
【答案】（2）（5）
【解析】因為函數(shù)，，都是增函數(shù)，所以，都是增函數(shù)．
，，即，
，，即，
則，故（2）正確，（1）錯誤；
因為，所以（3）（4）都錯誤；
令，，則，，
由于函數(shù)，和都相交，且和關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，
和的交點為，則，即（5）正確．
故答案為（2）（5）
1、反函數(shù)定義：已知函數(shù)，其值域為．如果對中的任意給定的一個值，在中滿足的值有且僅有一個，那么由此得到的關(guān)于的函數(shù)叫作的反函數(shù)，記作．因為習(xí)慣上將視為自變量，視為函數(shù)值，所以通常將該函數(shù)寫為．
2、反函數(shù)性質(zhì)：原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于對稱．
【變式3-1】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，若的最小值為，則 .
【答案】-1
【解析】因為與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，
又點在曲線上，點在曲線上，的最小值為，
所以曲線上的點到直線的最小距離為，
設(shè)與直線平行且與曲線相切的切線的切點，
，解得，所以，
得到切點，點到直線即的距離，
解得或3.
當(dāng)時，過點和，過點和，
又，，所以與相交，不符合題意；
當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即恒成立，
所以與不相交，符合題意.
綜上，.
故答案為：-1.
【變式3-2】（2024·高三·湖北黃岡·期中）已知函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于對稱．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由恒成立，可得，此時直線恒在直線上方，
不等式恒成立只需不等式恒成立即可，
令，則，由可得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
.
故答案為：.
1．設(shè)分別是方程和的根，則 ．
【答案】9
【解析】分別將方程變形為+9和，
記，，
則為與圖象交點的橫坐標(biāo)，為與圖象交點的橫坐標(biāo)，
又與的圖象關(guān)于直線對稱，
而的圖象與直線相交于點，所以．
故答案為：9.
2．（2024·高三·廣東佛山·開學(xué)考試）已知函數(shù)，對任意的正實數(shù)x都有恒成立，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為對任意的正實數(shù)x都有恒成立，
所以，即對任意的正實數(shù)x恒成立，
因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，且，
所以對任意的正實數(shù)x恒成立，即，
令，則，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，所以，解得.
故答案為：.
題型四：倍值函數(shù)
【典例4-1】已知函數(shù)（且），若存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域恰好為，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
故在單調(diào)遞增，
，，
即有兩個解，設(shè)，，即有兩個不相等的正根，
故，解得.
故答案為：.
【典例4-2】已知函數(shù)，當(dāng)時，的值域為，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為，故，又 二次函數(shù)圖像的對稱軸為，
當(dāng)時，有，故，兩式相減并化簡得到，所以，
故，同理，
所以方程有兩個大于或等于的不等的實數(shù)根，
令，則
，所以.
若，則，即，
所以兩個小于或等于的不等式的實數(shù)根，故且.
若，則①或②，
對于①，
當(dāng)時，有；
當(dāng)時，無解.
對于②，有，整理得到，
得，，
綜上， 且.
故答案為：.
對于函數(shù)，這樣的問題稱之為倍值函數(shù)問題，該類問題主要有三個模型：（1）模型一：函數(shù)單調(diào)遞增，方程同構(gòu)即可；（2）模型二：函數(shù)單調(diào)遞減，兩式相減即可；（3）模型三：函數(shù)有增有減，分類討論即可．
【變式4-1】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間的值域為，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為，所以在上單調(diào)遞增，
要使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，
所以，即，所以為方程的兩不相等的非負(fù)實數(shù)根，
所以，解得，即
故答案為：
【變式4-2】已知函數(shù)，的解集為，若在上的值域與函數(shù)在上的值域相同，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由已知得函數(shù)的定義域為，且,∵，∴，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上的值域為；
根據(jù)題意有； 的解集為，
則設(shè)，當(dāng)時，；在上的值域與函數(shù)在上的值域相同；
即在上的值域為；只需，即，得.
故答案為:.
1．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：(1)在上是單調(diào)函數(shù)；(2)在上的值域為，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有 ．（填上所有正確的序號）
①；
②；
③；
④．
【答案】①③④．
【解析】由題意(1) 在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)，或，
對于①. ，若存在“倍值區(qū)間” ，則在單調(diào)遞增，
則，即解得，
所以，故存在“倍值區(qū)間” ；
對于②. ，若存在“倍值區(qū)間” ，則在單調(diào)遞增，
則，則，則為方程的兩個實數(shù)根.
構(gòu)建函數(shù)，故，
則函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，
所以函數(shù)在處取得極小值，且為最小值，由，
所以無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
對于③. ，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
若存在“倍值區(qū)間” ，
則，即，解得，故存在“倍值區(qū)間” ；
對于④. 且，則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，不妨設(shè)，
若存在“倍值區(qū)間” ，則，即，
則為方程的兩個實數(shù)根，即為方程的兩個實數(shù)根.
設(shè)，在方程中，，故又兩個不等實數(shù)根，設(shè)為
則，所以均為正數(shù).
所以方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區(qū)間” ；
綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④，
故答案為: ①③④
2．已知函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間使得：
（Ⅰ）在上是單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）在上的值域是，
則稱區(qū)間為函數(shù)的“倍值區(qū)間”．
下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有 （填上所有你認(rèn)為正確的序號）
①； ②；
③； ④．
【答案】①②④
【解析】函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，
則（Ⅰ）在，內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，（Ⅱ），
對①，，若存在“倍值區(qū)間” ，則，，存在“倍值區(qū)間” ；
對②，，若存在“倍值區(qū)間”，當(dāng)時，，故只需即可，故存在；
對③，；當(dāng)時，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
若存在“倍值區(qū)間”，，
不符題意；
若存在“倍值區(qū)間” ，不符題意，故此函數(shù)不存在“倍值區(qū)間“；
對④，，易得在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，若存在“倍值區(qū)間” ，，，即存在“倍值區(qū)間” ，；
故答案為：①②④.
3．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時的值域為，則稱為倍值函數(shù).若是上倍值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由已知可得，當(dāng)時，值域為，而在上單調(diào)遞增，所以有，為在上的兩個解，即在由兩個解，顯然不是方程的解，分離參數(shù)可得，設(shè)
，轉(zhuǎn)化為的圖像有兩個交點，通過求導(dǎo)，求出的單調(diào)區(qū)間，極值，分析函數(shù)值的變化趨勢，即可求出的取值范圍.在上單調(diào)遞增，依題意，
所以為在上的兩個解，
即在有兩個解，顯然不是方程的解，
，設(shè)，
只需的圖像有兩個交點，
，當(dāng)時，或
當(dāng)時，，
所以單調(diào)遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是，
所以時，取得極小值為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)，，
要使的圖像有兩個交點，
需.
故答案為:.
題型五：最值函數(shù)
【典例5-1】（2024·天津北辰·三模）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】令，
因為函數(shù)有一個零點，函數(shù)至多有兩個零點，
又有三個零點，
所以必須有兩個零點，且其零點與函數(shù)的零點不相等，
且函數(shù)與函數(shù)的零點均為函數(shù)的零點，
由可得，，所以，
所以為函數(shù)的零點，
即，
所以，
令，可得，
由已知有兩個根，
設(shè)，則有兩個正根，
所以，，
所以，故，
當(dāng)時，有兩個根，
設(shè)其根為，，則，
設(shè)，則，，
所以，
令，則，
則，，
且，，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，為函數(shù)的零點，又也為函數(shù)的零點，
且與互不相等，
所以當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.
故答案為：.
【典例5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為 ．
【答案】/0.2
【解析】令其中，
所以，
若，則，故，
令，
因此,故,則，
若，則，即，
，
則,故,則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，
如取時可滿足等號成立，
綜上可知的最小值為，
故答案為：
指的是二者之中取最小， 指的是二者之中取最大．
性質(zhì)一：
．
性質(zhì)二： ．
【變式5-1】定義為數(shù)集M中最大的數(shù)，已知，若或，則的最小值為 .
【答案】
【解析】解法一：令，，，其中，，，所以，
若，則，可得，
令，
則，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立.
若，則，即，
令，
則，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立，
綜上可得，的最小值為.
解法二：根據(jù)數(shù)軸上點的距離公式，可得分別為線段的長，
如圖所示，若點固定，即求三個線段中最長線段的長的最小值，
可知當(dāng)三個線段等長時，最長的線段長取最小值，
不妨設(shè)為，的長為，則，即，
若，則，即，解得；
若，則，即，解得，
因為，所以的最小值為.
故答案為：.
【變式5-2】（2024·云南昆明·三模）以表示數(shù)集中最大的數(shù)．已知，，，則的最小值為
【答案】2
【解析】由題意可知,
所以有，因為
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
另外，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
綜合上述，所以有即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故答案為：2.
1．設(shè)表示，，中最大的數(shù)，設(shè)，且，則的最小值為 ．
【答案】/0.2
【解析】令其中，
所以，
因為，則，即，
，
則,故,則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，
如取時可滿足等號成立，
所以的最小值為，
故答案為：
2．設(shè)表示，，，中最大的數(shù)，已知，均為正數(shù)，則的最小值為 .
【答案】
【解析】都是正數(shù)，因此
，，其最小值是，
，，其最小值是，
，
所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得，
故答案為：．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）記表示這3個數(shù)中最大的數(shù)．已知都是正實數(shù)，，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】因為，所以，，
又都是正實數(shù)，所以，所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．
故答案為：．
題型六：嵌套函數(shù)
【典例6-1】已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點個數(shù)為 個．
【答案】
【解析】令，得，
令，得或，
解得或或，
所以或或，
作出函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖象可知有個解，有個解，有個解，
所以共有個零點.
故答案為：.
【典例6-2】（2024·高三·遼寧大連·期末）已知函數(shù)有三個零點，且有，則的值為 .
【答案】12
【解析】若，則，即
當(dāng)時，可得，不成立，故
等式兩邊同除以，得
即
令，則
方程有兩個不等的實根，，
令，則，令，
當(dāng)時，，當(dāng)或時，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
如下圖所示
函數(shù)有三個零點，
由圖可知，
故答案為：
嵌套函數(shù)：又名復(fù)合函數(shù)，指的是形如的函數(shù)，嵌套函數(shù)零點問題的求解關(guān)鍵在于“設(shè)”，注意定義域與值域的轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖像解題．
【變式6-1】（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為 .
【答案】36
【解析】因為
所以
因為，所以
有三個不同的零點，
令，則，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以,當(dāng)時，
令，則
必有兩個根，不妨令，
且,
即必有一解，-有兩解，
且，
故
.
故答案為：36.
【變式6-2】已知函數(shù)有三個不同的零點，其中則的值為 .
【答案】1
【解析】設(shè)，
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且時，；時，，
∴，
作出的圖象，如圖
要使有三個不同的零點，其中
令，則需要有兩個不同的實數(shù)根（其中）
可得，
∵，∴，則
∴，則，且
∴，
故答案為：1.
1．（2024·高三·湖北襄陽·期中）若函數(shù)有極值點，，則關(guān)于的方程 +的不同實數(shù)根的個數(shù)是 .
【答案】3
【解析】由題意，得，顯然是方程的根，
于是關(guān)于的方程的解就是或，
根據(jù)題意畫圖如圖所示，
由圖知有兩個不等實根，只有一個不等實根，
所以有3個不同的實數(shù)根．
2．若函數(shù)有兩個極值點，其中,，且，則方程的實根個數(shù)為 個.
【答案】
【解析】有兩個極值點
有兩個不等正根
即有兩個不等正根
且，
令，則方程的判別式
方程有兩解，且，
由得：，又
且
根據(jù)可得簡圖如下：
可知與有個交點，與有個交點
方程的實根個數(shù)為：個
本題正確結(jié)果：
3．若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為
【答案】
【解析】由得：，
設(shè)，則，，
令，則，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，當(dāng)時，，可得大致圖像如下.
要使關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，且.
結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個不等的實數(shù)根，
且，，，則，.
.
故答案為：.
題型七：共零點問題
【典例7-1】設(shè)函數(shù)，若，則（ ）
A．0 B．1 C．e D．前3個答案都不對
【答案】A
【解析】顯然的定義域為，
若，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，可得；
又因為在上單調(diào)遞增，可知過點，
則，即，所以.
故選：A.
【典例7-2】（2024·高三·湖北武漢·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定義域為，
令，得，
①當(dāng)時，滿足題意，；
②當(dāng)時，，由，得，
要使任意，恒成立，則，
所以；
③當(dāng)時，，由，得，
要使任意，恒成立，則，
所以；
綜上，，即.
又，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.
所以的最小值為.
故選：A.
共零點問題：此類問題往往是的形式，其特征是兩個函數(shù)具備相同的零點．
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【解析】解法一：的定義域為，易知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
在R單調(diào)遞減，
令解得或；
由恒成立可知必有，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為．
故選：C．
解法二：同法一得，
設(shè)點，則點在定直線上，
設(shè)點，則，
當(dāng)時有最小值，由點線距公式可得，
故的最小值為．
故選：C．
【變式7-2】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】或
【解析】先求得的定義域，然后對和的符合進行分類討論，由此求得實數(shù)的取值范圍.依題意，定義域為.
由于在定義域內(nèi)恒成立，則
①，恒成立，即在恒成立.令，，故在上遞減，在上遞增，故.所以，由可得，即.
②，恒成立，即在恒成立，不存在這樣的.
③，當(dāng)時，由于在上遞增，在上遞減，要使在定義域內(nèi)恒成立，則需和有相同的零點.由，解得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或.
故答案為：或
1．若函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，已知，,且在定義域內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】或
【解析】由函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，
則可知在上恒成立，
，故，
則函數(shù)，由題可知在定義域內(nèi)恒成立，
①當(dāng)時，函數(shù)恒成立，故原不等式可轉(zhuǎn)化為恒成立，
，
令，解得，
則在上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
則，
則，即
滿足前提，故
②當(dāng)時，令，解得，
則當(dāng)時，，恒成立
可轉(zhuǎn)化為恒成立，
，則在上單調(diào)遞增，
故在上也單調(diào)遞增，
則，解得；
當(dāng)時，，恒成立
可轉(zhuǎn)化為恒成立，
由上可知，在上單調(diào)遞增，
故，解得，即；
要使得兩種情形下都能恒成立，則取其交集得到，，
綜上所述，可得要使得在定義域內(nèi)恒成立，
則實數(shù)的取值范圍為或．
故答案為：或.
2．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】當(dāng)時，，則，即，
當(dāng)時，，則，即，
即有，即，
則，令，，
，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即的最小值為.
故答案為：.
3．設(shè)函數(shù)，若，且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意可知：的定義域為，
令，解得；令，解得；
則當(dāng)時，，故，所以；
當(dāng)時，，故，所以；
故，即.
當(dāng)時，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
題型八：雙參數(shù)比值型問題
【典例8-1】（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若不等式恒成立，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時，，不合題意，舍去，
當(dāng)時，由可得：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即，
即：，
整理可得：，
即恒成立，
則原問題轉(zhuǎn)化為求解的最大值.
求導(dǎo)可得：，
令，
則，令可得：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，取得最大值：，
且：當(dāng)時，所以，，
據(jù)此可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
即函數(shù)的最大值為，
綜上可得：的最大值為.
【典例8-2】（2024·高三·浙江寧波·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】不等式對任意恒成立,即，恒成立，
設(shè)
所以在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時
當(dāng)時
作出的圖像如圖，
再設(shè)，當(dāng)可得表示過點，斜率為的一條射線（不含端點），要求的最大值且滿足不等式恒成立，可求的最大值，由點在軸上方移動，只需找到合適的，且與圖像相切于點，如圖所示，此時
故答案為：
對于雙參數(shù)比值型問題，零點比大小法是一種有效的解決策略。這種方法類似于數(shù)形結(jié)合的思想，首先我們將問題中的曲線和直線部分“曲直分開”，分別繪制出它們的圖像，并找出它們的零點。
在這里，直線的零點具有特殊的意義，它通常對應(yīng)著我們待求的雙參數(shù)比值。接下來，我們觀察直線和曲線的交點情況，特別是當(dāng)直線的零點與曲線的零點重合時，這意味著雙參數(shù)比值取得了最值（這個最值可能是最大值，也可能是最小值，具體取決于題目的要求）。
在圖像上，這種最值情況表現(xiàn)為直線與曲線在曲線的零點處相切。換句話說，當(dāng)直線與曲線僅有一個交點，并且這個交點恰好是曲線的零點時，雙參數(shù)的比值就達到了它的最值。
因此，通過繪制曲線和直線的圖像，尋找它們的零點，并觀察它們之間的交點情況，我們可以直觀地找到雙參數(shù)比值的最值。這種方法不僅直觀易懂，而且在實際應(yīng)用中非常有效。
【變式8-1】（2024·河北滄州·三模）若不等式，對于恒成立，則的最大值為 .
【答案】
【解析】令函數(shù)，則，
由，解得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，
也是最小值為，
由不等式，可得，
所以，
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，即，所以的最大值為.
故答案為：.
【變式8-2】已知關(guān)于不等式對任意和正數(shù)恒成立，則的最小值為 ．
【答案】1
【解析】不等式，化為不等式，
設(shè)，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
則函數(shù)無最小值，不符合題意，
若時，令，，
在時，，為增函數(shù)，
在時，，為減函數(shù)．
由題意可得，
當(dāng)時，，
因為，所以，所以
則，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
所以，
即的最小值為1．
故答案為：1.
1．已知m、n為實數(shù)，，若對恒成立，則的最小值為 ．
【答案】0
【解析】由，可知，由題可知，
當(dāng)時，恒成立，則單調(diào)遞增，，不恒成立，
當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，
∵恒成立，∴，
∴，
∴，
令，則，
由，可得，由，可得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，即的最小值為0．
故答案為：0.
2．已知a，，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則在上單調(diào)遞增，
且由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，的圖像增長越來越快，
而在上恒成立，等價于的圖象恒不在直線的下方，
所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時，滿足題意，
設(shè)切點為,則，
所以切線方程為，
所以，
所以，
令，則，設(shè)，
則，當(dāng)時，單調(diào)遞增.
.
故答案為：
3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是 .
【答案】/
【解析】由題意知，不等式在上恒成立，
令，則在上恒成立，
令，所以，
若，則在遞增，當(dāng)時，，不等式不恒成立，
故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得最大值，
所以，所以，所以，
令，則，
所以，當(dāng)時，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得最小值的最小值是.
又，所求最小值是.
故答案為：
題型九：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點
【典例9-1】（2024·山東濟南·一模）設(shè)分別是函數(shù)和的零點(其中)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，得即，所以是圖像與圖像的交點，且顯然，
令，得，即，所以是圖像與圖像的交點，
因為與關(guān)于對稱，所以兩根也關(guān)于對稱，所以有，
所以，令在上單調(diào)遞減，所以
故選：C
【典例9-2】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令、，則、，
在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，
因為函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，所以，，
解方程組，
因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，
則，，，A、B、D錯誤，
因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，，
所以，因為點在直線上，
所以，，故C正確，
故選：C．
當(dāng)時，方程有且只有三解；
當(dāng)時，方程有且只有一解．
當(dāng)，方程無解
當(dāng)時，方程有且只有一解．
當(dāng)時，方程有且只有兩解
【變式9-1】設(shè)，分別是函數(shù)和的零點（其中），則的取值范圍
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，分別是函數(shù)和的零點（其中）可知是方程的解；是方程的解；
則，分別為函數(shù)的圖象與函數(shù)和函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)；
設(shè)交點分別為
由，知；
又因為和以及的圖像均關(guān)于直線，
所以兩交點一定關(guān)于對稱，
由于點，關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為，
所以，
有，，
則，由于，故等號不能成立，
的取值范圍.
故選A.
【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)與其反函數(shù)的圖像有交點，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時，無反函數(shù)，故不符合題意；
由選項可知只需考慮即可.此時為指數(shù)函數(shù)，我們知道函數(shù)的反函數(shù)為，
當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，在切點處兩直線兩函數(shù)值與斜率相等，
則，由③可得，代入②可得：，
解得：，綜上，由于，故，
故選：B
1．已知關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】
【解析】若關(guān)于的方程有解，
即與的圖像有交點，
因為與互為反函數(shù)，
所以與的圖像關(guān)于直線對稱，
如圖所示：
設(shè)函數(shù)與直線相切，切點為，
，則有，解得：，
由圖像可知，當(dāng)時，曲線與直線有交點，
即與的圖像有交點，
即方程有解.
故答案為：
2．已知指數(shù)函數(shù)（，且）圖象與其反函數(shù)的圖象有公共點，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由于與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以問題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線在第一象限有公共點，令，則問題轉(zhuǎn)化為有正零點，
，
①當(dāng)時，，從而，在上遞減，
又在由零點存在定理知，此時有且只有一個正零點，滿足題意；
②當(dāng)時，令得：，
時，，時，，
在遞減，在上遞增，且，
所以
由于，所以，進而，得：
③當(dāng)時，，無零點.
綜上：的取值范圍是.
題型十：曼哈頓距離問題
【典例10-1】（2024·浙江·一模）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記的最大值為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】去絕對值，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)
所以在的最大值為，，，中之一，
所以可得，
，
，
，
上面四個式子相加可得
即有，
可得的最小值為.
故答案為：.
【典例10-2】設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記最大值為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，
設(shè)，，
令，
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減
令，
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增
所以當(dāng)時，
，
，
則
則，
即
故答案為：.
結(jié)論1：已知，為定點，且，則到直線上任意一點的“曼哈頓距離”為：．
結(jié)論2：已知兩平行直線：，，分別為上任意一點，則之間的“曼哈頓距離”為：．（證明過程留給讀者）
【變式10-1】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點，之間的“折線距離”，則橢圓上一點和直線上一點的“折線距離”的最小值為
【答案】
【解析】設(shè)直線上的任意一點坐標(biāo)，
橢圓1上任意一點的坐標(biāo)為
由題意可知
分類討論：
①，
②解同上；
③，
∴橢圓1上一點P與直線上一點Q的“折線距離”的最小值為．
故答案為：
【變式10-2】（2024·山西晉中·三模）已知函數(shù)的最大值為，則滿足條件的整數(shù)的個數(shù)為 ．
【答案】5
【解析】因為
，
且不等號取等的充要條件是，即，展開并化簡即得.
由及，結(jié)合零點存在定理知關(guān)于的方程一定有解.
所以的最大值是，從而，即.
若要，，則，所以，這得到.
從而，且.
若，則；
若，則；
若，則.
所以滿足條件的共有5個：.
故答案為：5．
1．“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼 閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點的曼哈頓距離為：.已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，過點作平行于軸的直線交直線于點，過點作于點表示的長度，因為直線的方程為，所以，即，
當(dāng)固定點時，為定值，此時為零時，最小，即與重合（平行于軸）時，最小，如圖所示，
設(shè)，，則，
，
由三角函數(shù)知識可知，其中，
則其最大值是，
所以，故D正確.
故選：D.
2．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記的最大值為，若恒成立，則的最大值為（ ）
A．e B． C．0 D．
【答案】C
【解析】∵取絕對值后有以下四種情況:
，，
，
設(shè),故在恒成立,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
又∵函數(shù)在上為增函數(shù),
所以函數(shù)，在上為增函數(shù),
函數(shù)，在上為減函數(shù),
∴，，
，
∴
∴，
∴
∵恒成立，
∴，解得.
∴ 的最大值為
故選：C.
3．（2024·高三·北京豐臺·期末）已知函數(shù)，當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為（ ）
A．3.5 B．4
C．4.5 D．5
【答案】C
【解析】易判斷函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，上的最大值.
當(dāng)時，，二次函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時，，
因為，所以在上遞增，在上也是遞增，
所以；
當(dāng)時，，
因為，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，
所以或，
若，則；
若，則;
當(dāng)時，，（因為），
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以.
綜上可知：的最小值為.
故選：C
題型十一：平口單峰函數(shù)
【典例11-1】已知函數(shù)，當(dāng)，時，的最大值為，則的最小值為　　
A． B． C． D．1
【解析】解：函數(shù)，
當(dāng)，時，的最大值為，
可得，，①
（1），②
（4），③
由①②③，
可得，，，
，
則，
即有的最小值為，
故選：．
【典例11-2】已知，，記的最大值為，則的最小值是　　
A． B． C． D．
【解析】解：由題意，即求函數(shù)最大值中的最小值，
，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時，兩縱坐標(biāo)的豎直距離，
作示意圖如下，
由圖觀察可知，當(dāng)位于直線和直線正中間時，函數(shù)取得最大值的最小值，
易知，直線的方程為，
又，令，解得，則直線的方程為（1），
．
故選：．
若為上連續(xù)的單峰函數(shù)，且，則稱為平口單峰函數(shù)．
結(jié)論：若為上的平口單峰函數(shù)，且，為極值點，則當(dāng)變化時，的最大值中的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時取得．
【變式11-1】已知函數(shù)定義域為，，記的最大值為，則的最小值為　　
A．4 B．3 C．2 D．
【解析】解：函數(shù)定義域為，，記的最大值為，
可得，
（1），（2），
由于，
可得
，
，
可得的最小值為2．
故選：．
【變式11-2】已知，，，若對于任意的恒成立，則 ．
【解析】解：由恒成立，可得，則，
當(dāng)時，可得，即，
當(dāng)時，可得，．
那么：
；
綜上可得．
故答案為：．
1．已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)，，總存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B．， C．， D．，
【解析】解：存在，，使得成立，，
對任意的實數(shù)，，，；
可看作橫坐標(biāo)相同時，
函數(shù)與函數(shù)圖象上點的縱向距離，
則問題等價于求函數(shù)與函數(shù)圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值；
如圖，
記，，連接，則圖中直線的斜率為，
直線的方程為，
設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)相切于點，，
又，令，解得，
切點，則切線的方程為，
當(dāng)直線與直線，平行且與兩直線距離相等時，
即恰好處于兩直線正中間的位置時，
函數(shù)與函數(shù)圖象上點的縱向距離能取得最大值中的最小值，
此時，此時，，
．
故選：．
法二：記函數(shù)的最大值為，
由題意可知，對任意，恒成立，
所以，依題意，，，，，
分別令，0，2，
可得，，，，（2），
所以，，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，
所以．
故選：．
2．設(shè)函數(shù)，若對任意的正實數(shù)和實數(shù)，總存在，，使得，則實數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解析】解：設(shè)的最大值為（b），令，
當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞減，．
，．
由，解得．
①由，時，（b）；時，（b）．當(dāng)時，（b）．
②由，（b），（b）．
③由時，，（b），（b）．
綜上可得：（b），．
故選：．
3．已知函數(shù)，對于任意的，，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解析】解：的定義域為，，
，，
函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
，（1），
存在，使得成立，
存在，使的（1）或成立，
或，即，或
若且，則不存在，使得成立．
則，即，，．
，
故當(dāng)存在，使得成立時，，
實數(shù)的取值范圍是：，．
故選：．
題型十二：三次函數(shù)
【典例12-1】（2024·河南鄭州·一模）已知函數(shù)，實數(shù)滿足， ，則
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，則有，
整理得，
比較系數(shù)可得．
所以函數(shù)圖象的對稱中心為．
又，，且，
∴點關(guān)于對稱，
∴．選A．
【典例12-2】（2024·山西·一模）已知函數(shù)存在極值點，且，其中，
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】由題意，求得導(dǎo)數(shù)，
因為函數(shù)存在極值點，，即，
因為，其中，所以，
化為：，
把代入上述方程可得：，
化為：，
因式分，，．
故選C．
1、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當(dāng)具有對稱性，其圖象對稱中心應(yīng)當(dāng)為點，此結(jié)論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標(biāo)正是三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的極值點．
2、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設(shè)切點坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
【變式12-1】已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．當(dāng)時，若有三個零點，則b的取值范圍為
B．若滿足，則
C．若過點可作曲線的三條切線，則
D．若存在極值點，且，其中，則
【答案】B
【解析】對于A ，，當(dāng)時，，，
令，解得或，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時取得極大值，當(dāng)時取得極小值，
有三個零點，，解得，故選項A正確；
對于B ，滿足，根據(jù)函數(shù)的對稱可知的對稱點為，將其代入，得，
解得，故選項B錯誤；
對于C ，，
設(shè)切點為，則切線的斜率
化簡
由條件可知該方程有三個實根，有三個實根，
記，，
令，解得或，
當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，
所以當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，
因為過點可作出曲線的三條切線，
所以，解得，故選項C正確；
對于D ，，，
當(dāng)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
存在極值點，
由得
令，
，于是，
所以
，
化簡得：，
，，于是，
.故選項D正確；
故選：B
【變式12-2】（2024·河北唐山·三模）已知函數(shù)有兩個極值點，且，若，函數(shù)，則
A．僅有一個零點 B．恰有兩個零點
C．恰有三個零點 D．至少兩個零點
【答案】A
【解析】由有兩個極值點，且，所以函數(shù)在遞增，在上遞減，在遞增，大致圖像如下圖
又因為，所以顯然為與的中點，結(jié)合上面函數(shù)圖像可知，函數(shù)與函數(shù)的交點只有一個，所以方程的根只有一個，即函數(shù)的零點只有一個，故選擇A.
1．已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，
則實數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，設(shè)切點為，所以切線的斜率，曲線在點處的切線方程為，因為該切線過點，所以，即，
過點可作曲線的三條切線，
關(guān)于的方程有三個不同的根，
令，
，解得或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，取得極大值，
當(dāng)時，取得極小值，
關(guān)于的方程有三個不同的根，等價于與的圖象有三個不同的交點，
，
，
實數(shù)的取值范圍為．
故選：A．
2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）對于三次函數(shù)（），給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
【答案】A
【解析】，所以，令 ， ，所以的對稱中心為 ，
故選：A
3．設(shè)分別滿足方程，.則 .
【答案】2
【解析】整理得
，
，即為方程的解.
而只有一個解，則.
題型十三：指對同構(gòu)
【典例13-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程（，，）可化為同構(gòu)方程，則 ， ．
【答案】 3 8
【解析】對兩邊取自然對數(shù)得 ①．對兩邊取自然對數(shù)得，即 ②．
因為方程①，②為兩個同構(gòu)方程，所以，解得．
設(shè)（），則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個，所以，
所以，故．
故答案為：3；8．
【典例13-2】（2024·高三·黑龍江雞西·期中）同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式（或不等式、方程式）通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或相近的式子，然后通過同構(gòu)函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性解題，此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或不等式問題.如與（可化為）可以同構(gòu)為.若已知恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】令則在單調(diào)遞增，
由可得，
則，
由于，所以，故，
記，
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，
故，
因此，
故答案為：
常見同構(gòu)式
①積型
對數(shù)化:令，得
指數(shù)化:令，得
不等式兩邊同時取對數(shù)變形：令，得
②商型
對數(shù)化:令，得
指數(shù)化:令，得
不等式兩邊同時取對數(shù)變形：令，得
③和差型
對數(shù)化:令，得
指數(shù)化:令，得
再比如令，得．
【變式13-1】同構(gòu)式通俗的講是結(jié)構(gòu)相同的表達式，如：，，稱與為同構(gòu)式．已知實數(shù)滿足，，則 ．
【答案】5
【解析】易判斷為增函數(shù)，，
，
即，，
所以，.
故答案為：5
【變式13-2】（2024·高三·四川內(nèi)江·期中）若恒成立，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】依題意，．得，所以，
所以，
因為，所以，若，顯然成立，此時滿足；
若，令，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，而，所以．
綜上，在上恒成立，所以．
令，所以，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以，即．
所以的取值范圍為.
1．（2024·湖南郴州·三模）設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】因為通分得：即：；設(shè)
，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
恒成立，得：即
設(shè)，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
故答案為：
2．設(shè)實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為恒成立即，
可得，令，則恒成立.
又，故當(dāng)時，，故在區(qū)間上為增函數(shù).
又恒成立，則在區(qū)間上恒成立，即，.
構(gòu)造，則，令有，
故當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù).
故，故，即.
故答案為：.
3．若關(guān)于的不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意知，，將原不等式變形可得，
即，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，原不等式顯然成立；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的最小值為，
故，
故答案為：.
題型十四：切線放縮與夾逼
【典例14-1】（2024·山西晉中·二模）若存在實數(shù)x，y滿足，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】令函數(shù)，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，可得，
令函數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又由，所以，
所以，所以．
故選：C.
【典例14-2】（2024·云南昆明·一模）若存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，則它們函數(shù)圖象的一個公共點為，函數(shù)在點處的切線斜率為，所以在處的切線方程為，所以要存在滿足，則，所以取值范圍是，選A.
（1）指數(shù)函數(shù)的切線不等式：
①；②．
（2）對數(shù)函數(shù)的切線不等式：
①；②；③．
（3）三角函數(shù)的切線不等式：
①當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；
②當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．
③切線與割線相結(jié)合的形式：當(dāng)時， ．
【變式14-1】（2024·河南·一模）已知實數(shù)滿足，則
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將原式作如下變形得：.由此可構(gòu)造函數(shù)：.不妨設(shè)，可得，由知，時，，時，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.即解得，故.故選C.
【變式14-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)使得成立，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)兩個不等式同時取等號時，等號成立.
若存在實數(shù)使得成立，則，
即.
故選：D
1．若，是實數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，，則 .
【答案】
【解析】令，則，時有，時有，從而得在上遞增，在上遞減，
即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
于是有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
顯然，即，從而得當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
即，從而得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
解得，此時.
故答案為：-2
2．若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則在上恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，對恒成立.
由已知可得，對恒成立，
等價于.
設(shè)，
顯然單調(diào)遞增，值域為R，所以有解.
當(dāng)時，有成立，滿足題意；
當(dāng)時，有，由可知，
當(dāng)時，有，
，
所以，不恒成立.
綜上所述，.
故答案為：.
3．完成下列各問
（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是 ；
（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是 ；
（4）已知不等式對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實數(shù)a與b的大小關(guān)系是 ；
（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
（8）已知不等式，對恒成立，則k的最大值為 ；
（9）若，則實數(shù)a的取值范圍是 ；
【答案】 ； ； ； ； ； ； ； ; .
【解析】解析：（1），
．又，，令，得或，令，得，所以在，遞減，在遞增，
所以，當(dāng)時，，時，
（2），
當(dāng)時，原不等式恒成立；
當(dāng)時，，由于，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ裕?br/>（3），
當(dāng)時，原不等式恒成立；
當(dāng)時，，由（1）中可得，當(dāng)時，等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br/>所以．
（4），由于，所以．
（5）．
由于，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ裕?br/>（6），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ瑒t，所以．
（7），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ瑒t，所以．
（8），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ裕瑒t，所以．
（9），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．由有解，
，，易知在上遞增，在遞減，
所以
故答案為:；；；；；；；；
4．已知，則的值是 .
【答案】0
【解析】由，得，從而可得，進而可求出的值由，得，
因為
所以，
所以，
故答案為：0
題型十五：整數(shù)解問題
【典例15-1】已知，存在唯一的整數(shù)，使得成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，
由題意可知函數(shù)在直線下方的圖象有且只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
因為，所以，
由，解得，由，解得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又，，，即過點，，
且當(dāng)時，當(dāng)時；
如圖，作出的大致圖象如下所示：
因為直線過定點，且當(dāng)時，
所以，即，故，
即的取值范圍是．
故選：D
【典例15-2】若滿足在上恒成立的a唯一，則整數(shù)b的值為（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】不妨設(shè)，，
對于A，，
滿足在上恒成立的a唯一，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；
當(dāng)時，令得；
若，即，有在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；
若，即，，在上單調(diào)遞增；
，在上單調(diào)遞減；
，，，；
可知，解得，符合題意，A正確；
對于B，當(dāng)時成立，只需驗證
當(dāng)時，在 上單調(diào)遞增，則，即，與矛盾；
當(dāng)時，令得；
若，即，有在 上單調(diào)遞增，則，即，可知不唯一，B錯誤；
對于C,D，，
滿足在上恒成立的 a唯一，
則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；
當(dāng)時，令得；
若，即，有在上單調(diào)遞減，
則，即，與矛盾；
若，即，，在上單調(diào)遞增；
，在上單調(diào)遞減；
，，，；
可知，解得，不符合題意，C，D錯誤；
故選：A.
1、直接法：為了得到含參函數(shù)的單調(diào)性與最值，往往需要對參數(shù)進行分類討論；
2、參數(shù)分離法：參數(shù)分離后，根據(jù)所得函數(shù)的圖象，討論參數(shù)的取值范圍，分離又有完全分離與不完全分離兩種．
【變式15-1】已知函數(shù)，若不等式的解集中有且僅有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，且，
作出的函數(shù)圖象如圖所示：
由僅有一個整數(shù)解，
得只有一個整數(shù)解，
設(shè)，由圖象可知：
當(dāng)時，在上恒成立，不符合題意，
當(dāng)時，若只有1個整數(shù)解，則此整數(shù)解必為1，
所以，即，解得．
故選：D．
【變式15-2】若不等式（其中）的解集中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
當(dāng)時，，當(dāng)，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，且，
而當(dāng)無限趨向于負(fù)無窮大時，無限趨向于0，
當(dāng)無限趨向于正無窮大時，無限趨向于正無窮大，
令，該函數(shù)圖象為恒過的動直線，
因為不等式的解集中恰有一個整數(shù)，
結(jié)合圖象可得，即，所以.
故選：D
1．（2024·高三·重慶·期中）若關(guān)于x的不等式 的解集中恰有三個整數(shù)解，則整數(shù)a的取值是（ ）(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】不等式可整理為，
當(dāng)時，成立，所以其它兩個整數(shù)解大于1，
當(dāng)時，原不等式可整理為，
令，則，
令，則，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
又，所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以不等式的兩個整數(shù)解只能是2,3，
所以不等式的三個整數(shù)解為1,2,3，
則，解得，
因為，，，
所以整數(shù).
故選：B.
2．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】設(shè)，，
則，
設(shè)，
則，
當(dāng)時，，故，
而，
故當(dāng)時，，故在為增函數(shù)，
故，故在為增函數(shù)，
所以即恒成立.
當(dāng)時，，
故存在，使得任意，總有，
故在為減函數(shù)，故任意，總有，
所以任意，總有，
故在為減函數(shù)，故，這與題設(shè)矛盾，
故最小整數(shù)為0．
故選:A．
3．若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，且，可得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，
且，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C.
題型十六：導(dǎo)數(shù)中的“最短距離”問題
【典例16-1】曲線上的點到直線的最短距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，將直線平移至與函數(shù)圖象相切時，
切點到直線的距離最短,設(shè)切點坐標(biāo)為，
,令得，，則切點坐標(biāo)為，
所以切點到直線的距離為：.
故選：A.
【典例16-2】設(shè)表示自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)（），若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】設(shè)點，則，
記及，
若直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，
，由，解得：，
則切點為，又切點在上，故，
點到直線的距離為，從而，
又由于有解，則，
此時點P在上，也在直線在點P處的垂線即直線上，
其中直線在點P處的垂線的斜率為-2，
所以直線在點P處的垂線方程為：
即點坐標(biāo)滿足，
解之得，綜上可得，
故選：A．
此類問題可以通過構(gòu)造函數(shù)、平移直線或者利用不等式等方法來求解
【變式16-1】（2024·高三·天津和平·期中）已知函數(shù)，若對任意的正實數(shù)t，在R上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意在R上恒成立，其中，
整理得對恒成立，
所以對恒成立，
，
令，，
時，，遞減，時，，遞增，
所以，
所以的最小值是16，
所以．
故選：D．
【變式16-2】（2024·河北石家莊·一模）已知函數(shù)，若存在使得成立，則實數(shù)的值為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】表示點與點距離的平方，點的軌跡是函數(shù)的圖象，的軌跡是直線．則．作的圖象平行于直線的切線，切點為，則，所以，切點為，所以，若存在使得成立，則，此時恰好為垂足，所以，解得．故本題答案選．
1．點是曲線上的一個動點，點是曲線上的一個動點，則的最小值為．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先由與互為反函數(shù)，得到兩函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱；因此只需兩點關(guān)于直線對稱，點到直線距離最小時，最小；設(shè)，根據(jù)點到直線距離公式、以及導(dǎo)數(shù)的方法求解即可.因為與互為反函數(shù)，所以兩函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱；點是曲線上的一個動點，點是曲線上的一個動點，所以只需兩點關(guān)于直線對稱，點到直線距離最小時，最小；
設(shè)，
由點到直線的距離公式可得，
點到直線距離，
令，
則，
由可得：；由可得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
故,
所以，因此的最小值為.
故選A
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為曲線在點處的切線上的一個動點，為圓上的一個動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，，，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
圓的圓心坐標(biāo)為，故圓心到直線的距離為，所以的最小值為.
故選：D
3．已知點P是曲線上一點，若點P到直線的距離最小，則點P的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】由題意知，曲線，，令，得（舍），所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，如下圖所示，為曲線與直線在坐標(biāo)系中的位置.
在點P的切線與直線平行時，此時曲線上的點P到直線的距離最小.設(shè)，則，則，解得（舍去），所以.
故答案為：
題型十七：等高線問題
【典例17-1】函數(shù)，若，且a，b，c，d互不相等，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，且，
不妨設(shè)，作圖如下：
由圖可知，且二次函數(shù)的對稱軸為直線，
易知，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得；
由圖可知，則，可得，解得.
綜上所述，.
故選：C.
【典例17-2】設(shè)函數(shù)，若互不相等的實數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出的圖像如下圖所示，
，不妨設(shè)，
，時，，
則由圖像可知，，，
所以，
故選：D.
對于函數(shù)，若，則直線叫做函數(shù)的等高線．此類題通常以求取值范圍的形式出現(xiàn)，其基本方法是“減元”，即充分利用函數(shù)值相等這一條件實施“消元”．
【變式17-1】已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個不同的實根，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由關(guān)于x的方程有4個不同的實根可知函數(shù)與圖象有4個交點；
作出函數(shù)函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知，又可得，
易知，可知，則有，
即，所以，
易知二次函數(shù)圖象關(guān)于對稱，
即可得關(guān)于對稱，即，即可得，
令，解得或，所以，
因此.
故選：A
【變式17-2】設(shè)函數(shù)，若（其中），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
設(shè)，
由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點，
交點的橫坐標(biāo)分別為，且，
當(dāng)時，令，解得或.
由圖可知，,，
由，可得，所以，
則有，所以.
令，
易知在上為減函數(shù)，且，
故，則的取值范圍是.
故選：D
1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實根、，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函數(shù)和函數(shù)的圖象可知，
假設(shè)兩個函數(shù)的圖象共有4個交點，
且橫坐標(biāo)分別為，
由，得，則有，
所以，所以．
由于二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
則點兩點關(guān)于直線對稱，所以．則．
令，解得或，所以，
所以．
故選：A
2．已知函數(shù)，若，其中，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，
所以，
所以當(dāng)時，當(dāng)或時，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
且時，或，
又，
，
整理得：，
所以的對稱中心為，
如圖所示：
令，
則由圖可知：且，，，所以A錯誤；
對于B：，
又因為，所以，且，
所以，
所以，
因為在上單調(diào)遞減，故，所以，故B錯誤；
對于C，因為，，，
所以，由，知，，
由B知，，所以，
故，又，所以，所以C正確；
對于D，因為的對稱中心為，當(dāng)時，所以，
或者根據(jù)三次方程的韋達定理知，，所以D錯誤.
故選：C
3．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．方程恰有3個不同的實數(shù)解
B．函數(shù)有兩個極值點
C．若關(guān)于x的方程恰有1個解，則
D．若，且，則存在最大值
【答案】C
【解析】由已知得，作出圖象，如下圖，
對于A選項：由方程得或或，
有圖可知無解，無解，有個解，故A正確；
對于B選項：由圖可知，和是函數(shù)的兩個極值點，故B正確；
對于C選項：若方程恰有1個解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象僅有一個交點，可得或，故C錯誤；
對于D選項：令，則，且，
則， ，，
那么，
設(shè)，，
則，
令，，則，顯然在時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
且，，所以存在，使得，
那么當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，
所以在上存在最大值，即存在最大值，故D正確.
故選：C.
重難點突破：多變量問題
【典例18-1】已知函數(shù)，若有兩個極值點，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，令可得：.
有兩個極值點，有兩根
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
令，則，解得：，此時.
有兩根等價于與交于兩點，，
即的取值范圍為.
故選：.
【典例18-2】已知函數(shù)有兩個極值點，，若不等式恒成立，那么的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的定義域為，且，
因為函數(shù)有兩個極值點，，
所以方程在上有兩個不相等的正實數(shù)根，
則，解得．
因為
，
設(shè)，
，易知在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
故，
所以，
所以的取值范圍是．
故選：D．
求解雙變量函數(shù)或不等式問題的基本思想是通過消元，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題加以解決．可以利用雙變量之間的關(guān)系代入消元；也可以通過整體換元后化為單變量函數(shù)；還可以分離雙變量后，根據(jù)同構(gòu)式直接構(gòu)造函數(shù)；對于多變量問題，可以合理選擇其中一個變量為主元，逐個處理變量；對于某些含有“任意”“存在”等關(guān)鍵詞的恒成立或有解問題，則通過分析函數(shù)的值域或最值來解決．
【變式18-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有兩個極值點、且，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，有兩個極值點，則有兩個零點，
即方程有兩個實根，也即方程有兩個實根，
令，則，
所以解得，解得，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
時；時，，
據(jù)此可作出函數(shù)的圖像如下：
首先當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
其次，由圖可知，且當(dāng)時，隨a的減小而增大，
不妨考慮的情形，此時，因為，所以，
將代入得：，兩式相除得，故，即．
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，有兩個極值點、且．
故選：A
【變式18-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時，不等式恒成立，則，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
整理可得，令，則.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
，.
故選：D.
1．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)，，實數(shù)，滿足，若，，使得成立，則的最大值為（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】先用導(dǎo)數(shù)法研究，然后的同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)，，使得成立求解.因為，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，，
所以在處取得極小值，且為定義域內(nèi)唯一極值，
.，
作函數(shù)與的圖象，
如圖所示：
當(dāng)時，方程兩根分別為和，
則的最大值為：.
故選：B
2．對任意的實數(shù)，都存在兩個不同的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題得
設(shè)
所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，
由函數(shù)的圖像得y=a與y=f(t)有兩個不同的交點，
所以.
故答案為A
3．（多選題）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x+lnx有兩個不同的極值點x1，x2，若不等式恒成立，則t的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，，
由題意得，為的兩不等正根，
所以，
解得，
，
，
，
，
令（a），，
則，（a）在上單調(diào)遞增，（a），
因為恒成立，
所以恒成立，
所以．
故選：BD．
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