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專題04 高級應用函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對稱性特性以解析函數(shù)性質(zhì)問題
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 7
05 核心精講·題型突破 8
題型一：函數(shù)單調(diào)性的合應用 8
題型二：函數(shù)的奇偶性的綜合應用 10
題型三：已知f(x)=奇函數(shù)+M 11
題型四：利用軸對稱解決函數(shù)問題 12
題型五：利用中心對稱解決函數(shù)問題 14
題型六：奇偶性對稱偏移 15
題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性 17
題型八：雙對稱與周期性 18
題型九：雙函數(shù)與對稱性 20
題型十：類周期與倍增函數(shù) 21
重難點突破：函數(shù)性質(zhì)與導數(shù) 23
從近五年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點關注單調(diào)性、奇偶性結合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數(shù)形結合思想．
考點要求 目標要求 考題統(tǒng)計 考情分析
函數(shù)的性質(zhì) 掌握函數(shù)性質(zhì)，熟練解題應用 2024年新高考I卷第8題，5分 2024年新高考II卷第11題，6分 2023年新高考II卷第4題，5分 2023年新高考I卷第4題，5分 2022年乙卷第12題，5分 2022年新高考II卷第8題，5分 2021年甲卷第12題，5分 2021年新高考II卷第8題，5分 預計2025年高考中，題目將更傾向于以小題（如選擇題或填空題）的形式來考察學生，這些小題將可能融合在解答題的解答過程中，作為一個相對獨立的考察點。具體來說，可以預見的是： （1）題目將采用選擇題或填空題的形式，旨在檢驗學生的綜合邏輯推理和解析能力。 （2）考試的熱點將聚焦于函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及對稱性這三個特性的綜合應用和分析。
1、單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；
④得出結論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；
③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
2、奇偶性技巧
（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱．
（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關于原點中心對稱．
（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足．
（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．
（5）若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．
（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．
對于運算函數(shù)有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）復合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．
（8）常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關于①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)：①函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
3、周期性技巧
4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．
5、對稱性技巧
（1）若函數(shù)關于直線對稱，則．
（2）若函數(shù)關于點對稱，則．
（3）函數(shù)與關于軸對稱，函數(shù)與關于原點對稱．
1．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，則（ ）
A．當時，有三個零點
B．當時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點
5．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）若為偶函數(shù)，則 ．
6．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
10．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
題型一：函數(shù)單調(diào)性的合應用
【典例1-1】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
函數(shù)單調(diào)性常與奇偶性、對稱性結合，用于求解最值、解不等式、證明數(shù)列單調(diào)性等。通過導數(shù)法或定義法判斷單調(diào)性，結合圖像直觀分析，可簡化復雜問題，提高解題效率。
【變式1-1】定義域為的函數(shù)滿足條件：①對任意的，恒有；②；③，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
1．已知函數(shù)，若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
2．設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是定義域為R的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：函數(shù)的奇偶性的綜合應用
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)，若不等式成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
函數(shù)的奇偶性是一個強大的工具，它能幫助我們簡化計算，快速求解問題。通過驗證函數(shù)是否滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，我們可以利用這一性質(zhì)來預測函數(shù)在對稱區(qū)間上的行為，從而簡化求解過程。此外，奇偶性還可以用于求解參數(shù)、判斷函數(shù)圖像的對稱性、輔助求解最值問題。掌握函數(shù)的奇偶性，不僅能使我們的解題過程更加高效，還能培養(yǎng)我們的數(shù)學直覺和邏輯推理能力。
【變式2-1】（2024·河北石家莊·模擬預測）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·海南海口·模擬預測）已知定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
1．已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．已知為定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
題型三：已知f(x)=奇函數(shù)+M
【典例3-1】[新考法]已知函數(shù)，當時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為 .
【典例3-2】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則 ．
已知奇函數(shù)，，則
（1）
（2）
【變式3-1】[新考法]函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則 ．
【變式3-2】已知函數(shù)，若，則 ．
1．設函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則 .
2．若關于x的函數(shù)的最大值和最小值之和為4，則 ．
3．函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則 ．
題型四：利用軸對稱解決函數(shù)問題
【典例4-1】已知偶函數(shù)的定義域為，對任意的滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，若，則（ ）
A． B．
C． D．
軸對稱的特性表現(xiàn)為：等式兩側的外部符號保持相同；其求解方法是：通過計算兩側的平均值來找出對稱軸。
(1)已知函數(shù)滿足,則的對稱軸為直線.
(2)已知函數(shù)滿足,則的對稱軸為直線.
(3)已知函數(shù)滿足,則的對稱軸為直線.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且函數(shù)的最小值為1，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式4-2】函數(shù)滿足：對，都有，則a+b為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．已知函數(shù)，且滿足，則（ ）.
A． B． C． D．
2．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
A．(0，2) B．[0，1) C．(﹣∞，1] D．(0，1]
3．已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．1009
題型五：利用中心對稱解決函數(shù)問題
【典例5-1】（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】[新考法]已知：定義在上的可導函數(shù)的圖象關于點對稱的充要條件是導函數(shù)的圖象關于直線對稱.任給實數(shù)，滿足，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
點對稱的特性是：等式兩邊外部的符號不相同；其求解方法是：通過計算等式兩邊的中點（即平均值）來確定對稱中心的位置。
（1）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點（0，0）．
（2）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點（a，0）．
（3）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點（a，b）．
（4）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點．
【變式5-1】（2024·四川宜賓·一模）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與 圖象的交點為，則
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·高三·山西·期中）已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·寧夏石嘴山·一模）設函數(shù)的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對稱性，其中點為函數(shù)的對稱中心，研究函數(shù)的對稱中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
1．設函數(shù)的定義域為，若對于任意、，當時，恒有，則稱點為函數(shù)圖象的對稱中心．研究函數(shù)的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到的值為（ ）
A． B．4031 C． D．8062
2．已知函數(shù)，則（ ）
A．4025 B．-4025 C．8050 D．-8050
3．若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
題型六：奇偶性對稱偏移
【典例6-1】（2024·高三·浙江·期中）已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．設，則（ ）
A． B． C． D．
（1）若為奇函數(shù)，則．
（2）若為奇函數(shù)，則．
（3）若為偶函數(shù)，則．
（4）若為偶函數(shù)，則．
【變式6-1】已知是定義域為的奇函數(shù)，是定義域為的偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A．2 B． C． D．1
【變式6-3】（多選題）已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（ ）
A． B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于點中心對稱 D．
1．設是定義域的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當，.若，則( )
A． B． C． D．
2．奇函數(shù)的定義域為R，若 為偶函數(shù)，且，則（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性
【典例7-1】若，且，則（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【典例7-2】已知函數(shù)的定義域為，，且，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性解題技巧關鍵在于：首先，通過代入特殊值或利用已知條件判斷函數(shù)的性質(zhì)；其次，對于單調(diào)性，可利用導數(shù)或定義法判斷；奇偶性則通過觀察函數(shù)表達式或圖像來判斷；周期性需找出函數(shù)重復出現(xiàn)的規(guī)律；對稱性則需找出函數(shù)圖像的對稱軸或對稱中心。最后，結合這些性質(zhì)，可以簡化函數(shù)表達式，求解最值、解不等式或證明等式等問題，提高解題效率和準確性。
【變式7-1】已知函數(shù)滿足，，，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式7-2】（2024·安徽·模擬預測）若定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
1．（多選題）若定義在R上且不恒為零的函數(shù)滿足：對于，總有恒成立，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．是偶函數(shù) D．，則周期為6
2．（多選題）已知函數(shù)滿足：，，則（ ）
A． B．為奇函數(shù) C．為周期函數(shù) D．
3．（多選題）已知定義在上的函數(shù)滿足，，且對任意，都有，則下列結論正確的是（ ）
A．是周期為4的奇函數(shù) B．圖象關于直線對稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．
4．（多選題）若定義在上的函數(shù)滿足：對任意都有且，則下列結論一定正確的是（ ）
A．點是圖象的一個對稱中心 B．點是圖象的一個對稱中心
C．是周期函數(shù) D．
題型八：雙對稱與周期性
【典例8-1】設定義在上的函數(shù)的圖象關于對稱，為奇函數(shù)，若，則（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
【典例8-2】已知函數(shù)對稱軸為，且，則（ ）
A． B． C． D．
（1）已知函數(shù)關于直線和直線對稱，則的周期為．
（2）已知函數(shù)關于點（a，0）和點（b，0）對稱，則的周期為．
（3）已知函數(shù)關于點（a，0）和直線對稱，則的周期為．
【變式8-1】若函數(shù)的定義域為，其圖象關于點成中心對稱，且是偶函數(shù)，則（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
【變式8-2】（2024·貴州黔西·一模）已知函數(shù)的定義域為R，，為奇函數(shù)，且，則（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
1．已知及其導函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，的圖象關于點對稱，則（ ）
A． B． C． D．
2．[新考法]已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關于直線對稱，是奇函數(shù)，則下列選項中值一定為0的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多選題）已知定義在上的函數(shù)分別滿足：為偶函數(shù)，，則下列結論正確的是（ ）
A．函數(shù)為周期函數(shù)
B．
C．的圖像關于點中心對稱
D．
4．[新考法]（多選題）已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A． B．
C．的圖象關于點對稱 D．若，則
題型九：雙函數(shù)與對稱性
【典例9-1】已知函數(shù)，則下列函數(shù)的圖象關于直線對稱的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例9-2】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，已知當時，圖像與的圖像關于直線對稱，且，則（ ）
A． B． C． D．
（1）函數(shù)和函數(shù)關于軸對稱．
（2）函數(shù)和函數(shù)關于軸對稱．
（3）函數(shù)和函數(shù)關于對稱．
（4）函數(shù)和函數(shù)關于對稱．
【變式9-1】（2024·上海黃浦·三模）若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，且，則實數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】[新考法]已知函數(shù)為常數(shù)，在處取得最小值，則函數(shù)是（ ）
A．偶函數(shù)且它的圖象關于點(，0)對稱 B．偶函數(shù)且它的圖象關于點對稱
C．奇函數(shù)且它的圖象關于點對稱 D．奇函數(shù)且它的圖象關于點(，0)對稱
1．已知函數(shù)與的定義域均為，且它們的圖象關于對稱，若奇函數(shù)滿足，下列關于函數(shù)的性質(zhì)說法不一定正確的有（ ）
A．關于對稱 B．關于點對稱
C．是的一個周期 D．
2．已知函數(shù)與關于直線對稱，則 ．
3．[新考法]已知函數(shù)，若函數(shù)和的圖象關于點對稱，且對任意，恒成立，則 ．
題型十：類周期與倍增函數(shù)
【典例10-1】[新考法]對于函數(shù)，有下列四個命題
①任取，，都有；
②（為正整數(shù)），對一切恒成立；
③若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則；
④函數(shù)有5個零點
上述四個命題中正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例10-2】設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
1、類周期函數(shù)
若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．
2、倍增函數(shù)
若函數(shù)滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．
【變式10-1】已知函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，
B．（）
C．在區(qū)間內(nèi)的最大值為4
D．若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)
【變式10-2】函數(shù)的定義域為，滿足，且時，，若，恒有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1．設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．則下列結論正確的個數(shù)是（ ）
①；
②若對任意，都有，則a的取值范圍是；
③若方程恰有3個實數(shù)根，則m的取值范圍是．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．設是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)，其中，給出以下關于函數(shù)的結論：
①②當時，函數(shù)值域為③當時方程恰有四個實根④當時，若恒成立，則．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
重難點突破：函數(shù)性質(zhì)與導數(shù)
【典例11-1】已知可導函數(shù) 的定義域為， 為奇函數(shù)，設 是 的導函數(shù)， 若 為奇函數(shù)，且 ，則（ ）
A．-1012 B．-506
C．506 D．1012
【典例11-2】[新考法]（多選題）已知函數(shù)，均是上的連續(xù)函數(shù)，，分別為函數(shù)和的導函數(shù)，且，，若為奇函數(shù)，則（ ）
A．是周期函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．關于對稱 D．存在，使
（1）若函數(shù)關于直線對稱，則導函數(shù)關于點（a，0）對稱．
（2）若函數(shù)關于點（a，b）對稱，則導函數(shù)關于直線對稱．
（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，則導函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù)為偶函數(shù)，則導函數(shù)為奇函數(shù)．
（4）若導函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)；若導函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)不一定為奇函數(shù)．
（5）若原函數(shù)為周期函數(shù)，則導函數(shù)一定為周期函數(shù)，且原函數(shù)和導函數(shù)周期相同．
（6）若導函數(shù)為周期函數(shù)，則原函數(shù)不一定為周期函數(shù)．
【變式11-1】已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域都為R，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（　 ）
A． B．
C． D．
【變式11-2】已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，記的導函數(shù)為，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
1．（多選題）已知定義域為的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．
C．
D．對，，
2．（多選題）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為和都是奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．關于點對稱 B．
C． D．
3．（多選題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，記.若，均為奇函數(shù)，且，則（ ）
A．關于直線對稱 B．關于點對稱
C．的周期為4 D．
4．（多選題）已知定義在上的函數(shù)，，其導函數(shù)分別為，，，，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關于對稱
B．
C．
D．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題04 高級應用函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對稱性特性以解析函數(shù)性質(zhì)問題
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 7
05 核心精講·題型突破 17
題型一：函數(shù)單調(diào)性的合應用 17
題型二：函數(shù)的奇偶性的綜合應用 22
題型三：已知f(x)=奇函數(shù)+M 26
題型四：利用軸對稱解決函數(shù)問題 29
題型五：利用中心對稱解決函數(shù)問題 33
題型六：奇偶性對稱偏移 38
題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性 42
題型八：雙對稱與周期性 47
題型九：雙函數(shù)與對稱性 52
題型十：類周期與倍增函數(shù) 56
重難點突破：函數(shù)性質(zhì)與導數(shù) 64
從近五年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點關注單調(diào)性、奇偶性結合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數(shù)形結合思想．
考點要求 目標要求 考題統(tǒng)計 考情分析
函數(shù)的性質(zhì) 掌握函數(shù)性質(zhì)，熟練解題應用 2024年新高考I卷第8題，5分 2024年新高考II卷第11題，6分 2023年新高考II卷第4題，5分 2023年新高考I卷第4題，5分 2022年乙卷第12題，5分 2022年新高考II卷第8題，5分 2021年甲卷第12題，5分 2021年新高考II卷第8題，5分 預計2025年高考中，題目將更傾向于以小題（如選擇題或填空題）的形式來考察學生，這些小題將可能融合在解答題的解答過程中，作為一個相對獨立的考察點。具體來說，可以預見的是： （1）題目將采用選擇題或填空題的形式，旨在檢驗學生的綜合邏輯推理和解析能力。 （2）考試的熱點將聚焦于函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及對稱性這三個特性的綜合應用和分析。
1、單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；
④得出結論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；
③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
2、奇偶性技巧
（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱．
（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關于原點中心對稱．
（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足．
（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．
（5）若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．
（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．
對于運算函數(shù)有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）復合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．
（8）常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關于①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)：①函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
3、周期性技巧
4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．
5、對稱性技巧
（1）若函數(shù)關于直線對稱，則．
（2）若函數(shù)關于點對稱，則．
（3）函數(shù)與關于軸對稱，函數(shù)與關于原點對稱．
1．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為當時，所以，
又因為，
則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；
且無證據(jù)表明ACD一定正確.
故選：B.
2．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，則（ ）
A．當時，有三個零點
B．當時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
【答案】AD
【解析】A選項，，由于，
故時，故在上單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，
又，，則，
則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；
B選項，，時，，單調(diào)遞減，
時，單調(diào)遞增，
此時在處取到極小值，B選項錯誤；
C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；
D選項，
方法一：利用對稱中心的表達式化簡
，若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，事實上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.
方法二：直接利用拐點結論
任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，
由題意也是對稱中心，故，
即存在使得是的對稱中心，D選項正確.
故選：AD
3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因為為偶函數(shù)，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
4．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點
【答案】ABC
【解析】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
5．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【解析】因為為偶函數(shù)，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數(shù)，
所以.
故答案為：2.
6．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以
一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯(lián)立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以.
故選：D
8．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因為，均為偶函數(shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數(shù)可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
9．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關于原點對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
10．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]：
因為是奇函數(shù)，所以①；
因為是偶函數(shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因為是奇函數(shù)，所以①；
因為是偶函數(shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
11．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，
所以，，即，
故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，
故，其它三個選項未知.
故選：B.
12．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
題型一：函數(shù)單調(diào)性的合應用
【典例1-1】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以函數(shù)為偶函數(shù).
由二次函數(shù)知識知函數(shù)在上遞減，在上遞增.
所以由是偶函數(shù)，可知在和上遞減，在和上遞增.
①當時，在上遞減，不滿足條件；
②當時，在上遞增，不滿足條件；
③當時，在上遞減，在上遞增，所以在上不單調(diào)，滿足條件；
④當時，在上遞增，在上遞減，所以在上不單調(diào)，滿足條件；
⑤當時，在上遞減，在上遞增，所以在上不單調(diào)，滿足條件.
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
故選：A.
【典例1-2】已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，
又由對任意，且，都有成立，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
又，，，
又，所以，由函數(shù)的圖象關于直線對稱，知，
又，所以，故，
故選：A．
函數(shù)單調(diào)性常與奇偶性、對稱性結合，用于求解最值、解不等式、證明數(shù)列單調(diào)性等。通過導數(shù)法或定義法判斷單調(diào)性，結合圖像直觀分析，可簡化復雜問題，提高解題效率。
【變式1-1】定義域為的函數(shù)滿足條件：①對任意的，恒有；②；③，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，恒有，
所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
因為，所以，即是定義在上的偶函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，
對于不等式，
當時，，可得；
當時，，可得；
綜上，不等式的解集是.
故選：A
【變式1-2】已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當時，恒成立，
當時，，即，
函數(shù)在上為增函數(shù)，
函數(shù)是偶函數(shù)，即，
函數(shù)的圖象關于直線對稱，，
又函數(shù)在上為增函數(shù)，，
即，.
故選：B.
1．已知函數(shù)，若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
將的圖象向右平移一個單位可得，
故圖象關于對稱，且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
由于,故，
又得，由于，
綜上可得
故選：D
2．設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，易知函數(shù)是增函數(shù)，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以由復合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減.
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即.
故選：D.
3．已知，是定義域為R的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，
因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
所以，
聯(lián)立，解得，
又因為對于任意的，都有成立，
所以，
所以成立，
構造，
所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，
（1）若，則對稱軸，解得；
（2）若，則在單調(diào)遞增，滿足題意；
（3）若，則對稱軸恒成立；
綜上，.
故選：D.
題型二：函數(shù)的奇偶性的綜合應用
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得：，的定義域為；
，為定義在上的偶函數(shù)，
，，
當時，，即，又，，
，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，
圖象關于軸對稱，在上單調(diào)遞減，
由得：，解得：，
的解集為.
故選：D.
【典例2-2】（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)，若不等式成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，則，故是奇函數(shù)．
不等式等價于不等式
即不等式
因為是奇函數(shù)，所以
易證是上的減函數(shù)，則，即，解得．
故選：B.
函數(shù)的奇偶性是一個強大的工具，它能幫助我們簡化計算，快速求解問題。通過驗證函數(shù)是否滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，我們可以利用這一性質(zhì)來預測函數(shù)在對稱區(qū)間上的行為，從而簡化求解過程。此外，奇偶性還可以用于求解參數(shù)、判斷函數(shù)圖像的對稱性、輔助求解最值問題。掌握函數(shù)的奇偶性，不僅能使我們的解題過程更加高效，還能培養(yǎng)我們的數(shù)學直覺和邏輯推理能力。
【變式2-1】（2024·河北石家莊·模擬預測）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
所以在上是減函數(shù)，
，即，
所以，
所以，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：.
【變式2-2】（2024·海南海口·模擬預測）已知定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】記，則，
故為的奇函數(shù)，
又，
因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因為，
由可得，進而，
故，解得，
故選：D
1．已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，易知其定義域為R，
，
所以為奇函數(shù)，且在上、、均遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且函數(shù)在R上連續(xù)，故在定義域上遞增，
由，
所以，顯然該式在上恒成立，
所以.
故選：D
2．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】B
【解析】
，
是上的奇函數(shù)，
又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，
，.
故選：.
3．已知為定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，即，
所以是定義在R上的偶函數(shù).
對于選項A，因為，所以函數(shù)定義域為，所以不滿足題意；
對于選項B，函數(shù)定義域為R，
，是奇函數(shù)，不符合題意；
對于選項C，函數(shù)定義域為R，
當時，，，
當時，，，
且，所以為偶函數(shù)，符合題意；
對于選項D，函數(shù)定義域為R，
，為奇函數(shù)，不符合題意；
故選：C.
題型三：已知f(x)=奇函數(shù)+M
【典例3-1】[新考法]已知函數(shù)，當時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】根據(jù)題意，，是偶函數(shù)，
當時，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，在上的最大值為或，
由偶函數(shù)對稱性，在上的最大值為或，
，則，
即.
，即的最小值為.
故答案為：.
【典例3-2】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則 ．
【答案】6
【解析】設，
則的定義域為，且連續(xù)不斷，
由，可知為奇函數(shù)，
設在上的最大值為，
由奇函數(shù)的對稱性可知在上的最小值為，
則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
所以.
故答案為：6.
已知奇函數(shù)，，則
（1）
（2）
【變式3-1】[新考法]函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則 ．
【答案】1
【解析】，
設，則，
記，
因為，
所以是在上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，
所以，
又因為，
所以，
故答案為：1．
【變式3-2】已知函數(shù)，若，則 ．
【答案】
【解析】由，則，
又，故．
故答案為：
1．設函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則 .
【答案】4046
【解析】，
設，定義域關于原點對稱，
由，知函數(shù)為奇函數(shù)，
因為，，
所以.
故答案為：4046.
2．若關于x的函數(shù)的最大值和最小值之和為4，則 ．
【答案】2
【解析】當時，，當或時，，
所以的定義域為.
又，
設，則，∴ g(x) 為奇函數(shù)；設 g(x) 的最大數(shù)值為M，最小值為N，
則，則的最大數(shù)值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為，得．
故答案為：2．
3．函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則 ．
【答案】
【解析】因為，
設，
則，
設，
則，
所以是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，
所以，
由，得，
故答案為：
題型四：利用軸對稱解決函數(shù)問題
【典例4-1】已知偶函數(shù)的定義域為，對任意的滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以關于對稱，
又因為為偶函數(shù)，
所以，
所以為周期函數(shù)，，
因為，且，
所以，，
因為，
所以
又因為，
所以，
因為在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
故選：D.
【典例4-2】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，故其圖象關于y軸對稱，則的圖象關于直線對稱，
當時，，因為在上單調(diào)遞增且，
而在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞增，
故由可得，即，
則，故，
故選：A
軸對稱的特性表現(xiàn)為：等式兩側的外部符號保持相同；其求解方法是：通過計算兩側的平均值來找出對稱軸。
(1)已知函數(shù)滿足,則的對稱軸為直線.
(2)已知函數(shù)滿足,則的對稱軸為直線.
(3)已知函數(shù)滿足,則的對稱軸為直線.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且函數(shù)的最小值為1，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，
所以，即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，即，
所以，
又因為函數(shù)有最小值為1，
所以且，即，
所以，即，
所以，所以不等式，
即，即，
解得或，
故選：D．
【變式4-2】函數(shù)滿足：對，都有，則a+b為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因為函數(shù)滿足：對，都有，
所以，即，解得，
經(jīng)檢驗滿足題意，所以，
故選：C.
1．已知函數(shù)，且滿足，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以的圖象關于對稱，
而關于對稱，
所以，.
故選：B.
2．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
A．(0，2) B．[0，1) C．(﹣∞，1] D．(0，1]
【答案】D
【解析】函數(shù)f(x)=lnx+ln(a﹣x)的圖象關于直線x=1對稱 f(2﹣x)=f(x),可求得a=2,利用復合函數(shù)的單調(diào)性解求得答案.∵函數(shù)f(x)=lnx+ln(a﹣x)的圖象關于直線x=1對稱,
∴f(2﹣x)=f(x),即ln(2﹣x)+ln[a﹣(2﹣x)]=lnx+ln(a﹣x),
即ln(x+a﹣2)+ln(2﹣x)=lnx+ln(a﹣x),
∴a=2.
∴f(x)=lnx+ln(2﹣x)=lnx(2﹣x),.
由于y=x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1為開口向下的拋物線,其對稱軸為x=1,定義域為(0,2),
∴它的遞增區(qū)間為(0,1],
由復合函數(shù)的單調(diào)性知,
f(x)=lnx+ln(2﹣x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1],
故選：D.
3．已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．1009
【答案】C
【解析】由題意，是和的圖像的交點，
是和的圖像的交點，
又和的圖像關于直線對稱，且和垂直且交于，
所以和關于對稱，故.
故選：C.
題型五：利用中心對稱解決函數(shù)問題
【典例5-1】（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由誘導公式可得，
， ，
．
故選：B.
【典例5-2】[新考法]已知：定義在上的可導函數(shù)的圖象關于點對稱的充要條件是導函數(shù)的圖象關于直線對稱.任給實數(shù)，滿足，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】設函數(shù)，則，其圖像關于對稱，故原函數(shù)的圖像關于點對稱，且，故對稱點的坐標為．
又由已知可得，，則，
又當時，知在上恒單調(diào)遞增．
故點與點關于點對稱．所以即．
故選：B．
點對稱的特性是：等式兩邊外部的符號不相同；其求解方法是：通過計算等式兩邊的中點（即平均值）來確定對稱中心的位置。
（1）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點（0，0）．
（2）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點（a，0）．
（3）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點（a，b）．
（4）已知函數(shù)滿足，則的對稱點為點．
【變式5-1】（2024·四川宜賓·一模）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與 圖象的交點為，則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，），
∴的圖象關于直線 對稱，、
又的圖象關于直線對稱，
當為偶數(shù)時，兩圖象的交點兩兩關于直線對稱，
∴．
當為奇數(shù)時，兩圖象的交點有個兩兩對稱，另一個交點在對稱軸上，
∴
故選B．
【變式5-2】（2024·高三·山西·期中）已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】將函數(shù)解析式變形為，求得，進而可求得所求代數(shù)式的值.，
所以，，
，函數(shù)的定義域為，
，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，
因此，.
故選：B.
【變式5-3】（2024·寧夏石嘴山·一模）設函數(shù)的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對稱性，其中點為函數(shù)的對稱中心，研究函數(shù)的對稱中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【解析】令函數(shù)，則，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，
可得的圖象關于點中心對稱，
即當，可得，
設
，
所以
所以.
故選：C.
1．設函數(shù)的定義域為，若對于任意、，當時，恒有，則稱點為函數(shù)圖象的對稱中心．研究函數(shù)的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到的值為（ ）
A． B．4031 C． D．8062
【答案】C
【解析】∵，
∴當時，，
∴根據(jù)對稱中心的定義，可得當時，恒有，
∴
．
故選：C．
2．已知函數(shù)，則（ ）
A．4025 B．-4025 C．8050 D．-8050
【答案】D
【解析】應用倒序相加法求和．∵
，
記，
則，
∴，．
故選：D.
3．若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題可知，函數(shù)的圖象關于原點對稱，則其為奇函數(shù)，
因為為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，
故，即，則.
因為恒成立，則，
解得.
故選：B
題型六：奇偶性對稱偏移
【典例6-1】（2024·高三·浙江·期中）已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，
令可得，所以，，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，
所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，關于點對稱，
又因為函數(shù)的定義域為，則，則，
、、的值都不確定.
故選：D.
【典例6-2】已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】為偶函數(shù)，，圖象關于直線對稱，
；
為奇函數(shù)，，圖象關于點對稱；
.
故選：A.
（1）若為奇函數(shù)，則．
（2）若為奇函數(shù)，則．
（3）若為偶函數(shù)，則．
（4）若為偶函數(shù)，則．
【變式6-1】已知是定義域為的奇函數(shù)，是定義域為的偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為是定義域為的奇函數(shù)，
所以，所以函數(shù)關于點對稱，且
因為是定義域為的偶函數(shù)，
所以，所以函數(shù)關于直線對稱，
所以，即.
故選：A
【變式6-2】已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，故可得，
又為偶函數(shù)，所以有：，
所以，有，即
所以，故以為周期，
故．
因為當時，，
所以.
故選：B
【變式6-3】（多選題）已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（ ）
A． B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于點中心對稱 D．
【答案】BCD
【解析】由是定義在上的奇函數(shù)可知，且；
又為偶函數(shù)，可得，
令，所以，即A錯誤；
由可知的圖象關于直線對稱，即B正確；
易知關于成中心對稱，又關于直線對稱，
所以的圖象關于點中心對稱，即C正確；
顯然，即；
所以，即，所以，
可得是以8為周期的周期函數(shù)，
即，即D正確.
故選：BCD
1．設是定義域的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當，.若，則( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為是定義域的奇函數(shù)，所以，，
因為當，，所以，從而，
因為是偶函數(shù)，即的圖像關于軸對稱，
因為圖像是圖像向左平移一個單位得到的，
所以的圖像關于對稱，故，
因為，所以，
因為，，
所以.
故選：B.
2．奇函數(shù)的定義域為R，若 為偶函數(shù)，且，則（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】由題意，奇函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，
則，即，
則，即是周期為4的周期函數(shù)，
，，
則，
故選：B．
3．已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得
函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，
所以，即，即，
即，即
故函數(shù)是以8為周期的函數(shù)，
由，令，得，知
由，令，得，故A正確；
其它選項，根據(jù)題目中的條件無法確定函數(shù)值的結果，故BCD不一定成立.
故選：A
題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性
【典例7-1】若，且，則（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【答案】A
【解析】令，，得，得，
令，，
又，故，即，
故得到周期，
令，，即，故是偶函數(shù)，
又，，所以得到圖象關于對稱，
所以，，，，
所以.
故選：A
【典例7-2】已知函數(shù)的定義域為，，且，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】B
【解析】令，，則，因為，所以，
令，則，
則，
則，所以以6為周期，
令，得，所以，
則．
故選：B．
抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性解題技巧關鍵在于：首先，通過代入特殊值或利用已知條件判斷函數(shù)的性質(zhì)；其次，對于單調(diào)性，可利用導數(shù)或定義法判斷；奇偶性則通過觀察函數(shù)表達式或圖像來判斷；周期性需找出函數(shù)重復出現(xiàn)的規(guī)律；對稱性則需找出函數(shù)圖像的對稱軸或對稱中心。最后，結合這些性質(zhì)，可以簡化函數(shù)表達式，求解最值、解不等式或證明等式等問題，提高解題效率和準確性。
【變式7-1】已知函數(shù)滿足，，，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由題，，，
令，可得，
則，
即，即，
所以，函數(shù)是周期為12的周期函數(shù)，
則.
故選：C.
【變式7-2】（2024·安徽·模擬預測）若定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】D
【解析】令，則有，
又，∴.令，.
則有，∴.
令，則有.
∵，∴，∴，
∴
.
故選：D.
1．（多選題）若定義在R上且不恒為零的函數(shù)滿足：對于，總有恒成立，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．是偶函數(shù) D．，則周期為6
【答案】ACD
【解析】令，得，所以
且函數(shù)不恒為零,∴，A選項正確，B選項錯誤；
令，，
即.
∴對任意的實數(shù)總成立，
∴為偶函數(shù)，C選項正確；
若，令，得，
所以，
兩式相加得
所以，即得
所以，可得函數(shù)周期為6.
故選：ACD.
2．（多選題）已知函數(shù)滿足：，，則（ ）
A． B．為奇函數(shù) C．為周期函數(shù) D．
【答案】ACD
【解析】取，代入，
得，解得，故A正確，B錯誤；
令，則，即，
故，
所以是周期為6的周期函數(shù)，故C正確；
又，，所以，故D正確．
故選：ACD
3．（多選題）已知定義在上的函數(shù)滿足，，且對任意，都有，則下列結論正確的是（ ）
A．是周期為4的奇函數(shù) B．圖象關于直線對稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．
【答案】ABD
【解析】任意，有，
令，則，解得，
任意，令，則，
即，所以是奇函數(shù)，則的圖象關于原點對稱；
又，則函數(shù)的圖象關于直線對稱；
又，則，
所以函數(shù)為周期函數(shù)，4為函數(shù)的一個周期，
故A正確，B正確；
C項，對任意，都有，
故在單調(diào)遞增，又圖象關于原點對稱，
則在單調(diào)遞增，又的圖象關于直線對稱，
則在單調(diào)遞減，故C錯誤；
D項，由的周期為4，且的圖象關于直線對稱，
則，故D正確：
故選：ABD.
4．（多選題）若定義在上的函數(shù)滿足：對任意都有且，則下列結論一定正確的是（ ）
A．點是圖象的一個對稱中心 B．點是圖象的一個對稱中心
C．是周期函數(shù) D．
【答案】ABD
【解析】令，則，有，
令，則，得，
又，所以點是圖象的一個對稱中心，故A正確；
令，則，
令，則，又，
所以點是圖象的一個對稱中心，故B正確；
設，符合題意，但不是周期函數(shù)，故C錯誤；
令，有，則，
令，有，，
所以時是3為首項1為公差的等差數(shù)列，
這樣，故D正確.
故選：ABD
題型八：雙對稱與周期性
【典例8-1】設定義在上的函數(shù)的圖象關于對稱，為奇函數(shù)，若，則（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
【答案】B
【解析】在上的函數(shù)的圖象關于對稱，則，
由為奇函數(shù)，得，于是，
，因此函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
由，得，由，得，
而，則，所以.
故選：B
【典例8-2】已知函數(shù)對稱軸為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以當時，，即，
又函數(shù)對稱軸為，所以，
令，則，解得，
故選：D
（1）已知函數(shù)關于直線和直線對稱，則的周期為．
（2）已知函數(shù)關于點（a，0）和點（b，0）對稱，則的周期為．
（3）已知函數(shù)關于點（a，0）和直線對稱，則的周期為．
【變式8-1】若函數(shù)的定義域為，其圖象關于點成中心對稱，且是偶函數(shù)，則（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
【答案】C
【解析】由是偶函數(shù)知，的圖象關于直線對稱，①,
又的圖象關于中心對稱，所以②,
則③,
由①②③可得，,故函數(shù)的周期為4，
則，，，則，
則．
故選：C
【變式8-2】（2024·貴州黔西·一模）已知函數(shù)的定義域為R，，為奇函數(shù)，且，則（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得關于點對稱，且，
所以，即，
又因為，可得，
即，則，所以，
所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
因為，，可得，，
所以.
故選：C.
1．已知及其導函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，的圖象關于點對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由為偶函數(shù)，得，則．
兩邊取導數(shù)，得①．
由的圖象關于點對稱，得②．
①②，得，所以，
則數(shù)列中所有奇數(shù)項是公差為2的等差數(shù)列，所有偶數(shù)項是公差為2的等差數(shù)列．
在中，令，得．
在中，令，得．
在中，令，得，
所以，
所以數(shù)列是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，
則．
故選：D．
2．[新考法]已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關于直線對稱，是奇函數(shù)，則下列選項中值一定為0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的圖象關于直線對稱，則.
即，令，則，
則也關于對稱.
是奇函數(shù)，則，，
令，則，則也關于對稱.且令，得.
由前面知道，且令，則.
且，令，則，
故周期為4.則.，，都不確定是否為0．
故選：B.
3．（多選題）已知定義在上的函數(shù)分別滿足：為偶函數(shù)，，則下列結論正確的是（ ）
A．函數(shù)為周期函數(shù)
B．
C．的圖像關于點中心對稱
D．
【答案】ACD
【解析】對于A，由可得，即的周期為2，A正確.
對于B，因為為偶函數(shù)，令可得無法確定，B錯誤，
對于C，因為為偶函數(shù)，所以，
可得，
因此關于點中心對稱，即C正確；
對于D，，，
累加可得，所以，即D正確.
故選：ACD
4．[新考法]（多選題）已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A． B．
C．的圖象關于點對稱 D．若，則
【答案】ACD
【解析】對于A，，
，，
，即是周期的周期函數(shù)，
，A正確；
對于C，為奇函數(shù)，，
即，關于點中心對稱，C正確；
對于B，，令，則，
，又，，B錯誤；
對于D，且關于點中心對稱，，
，，
又，，圖象關于軸對稱，
又關于點中心對稱，的圖象關于軸對稱；
當時，，，，，
，
，
，D正確.
故選：ACD.
題型九：雙函數(shù)與對稱性
【典例9-1】已知函數(shù)，則下列函數(shù)的圖象關于直線對稱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為函數(shù)的定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，
函數(shù)的圖象為函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度得到，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，
而函數(shù)的圖象為函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度得到，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，則可排除B,D選項；
又函數(shù)的圖象關于直線對稱，因此函數(shù)的圖象關于直線對稱.
而又函數(shù)的圖象關于點對稱，故排除A選項.
故選：C.
【典例9-2】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，已知當時，圖像與的圖像關于直線對稱，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為與函數(shù)圖像關于對稱，所以即點在上，
則在上，所以當時，，因為是奇函數(shù)，
所以，所以，所以.
故選：.
（1）函數(shù)和函數(shù)關于軸對稱．
（2）函數(shù)和函數(shù)關于軸對稱．
（3）函數(shù)和函數(shù)關于對稱．
（4）函數(shù)和函數(shù)關于對稱．
【變式9-1】（2024·上海黃浦·三模）若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，且，則實數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，
所以，
所以a=-1.
故選B
【變式9-2】[新考法]已知函數(shù)為常數(shù)，在處取得最小值，則函數(shù)是（ ）
A．偶函數(shù)且它的圖象關于點(，0)對稱 B．偶函數(shù)且它的圖象關于點對稱
C．奇函數(shù)且它的圖象關于點對稱 D．奇函數(shù)且它的圖象關于點(，0)對稱
【答案】D
【解析】，.
∵在處取得最小值，∴，∴ ，
∴ ，
∴是奇函數(shù)，且圖象關于點對稱.
故選：D.
1．已知函數(shù)與的定義域均為，且它們的圖象關于對稱，若奇函數(shù)滿足，下列關于函數(shù)的性質(zhì)說法不一定正確的有（ ）
A．關于對稱 B．關于點對稱
C．是的一個周期 D．
【答案】B
【解析】對于A，令是函數(shù)的圖象上任意一點，則在的圖象上，
即，則，由為奇函數(shù)，得，
則有，函數(shù)的圖象關于點對稱，
又，則，函數(shù)的圖象關于對稱，A正確；
對于C，，即，
則，的周期，C正確；
對于D，，則，D正確；
對于B，由，得，函數(shù)的圖象關于對稱，
若圖象關于點對稱，則，即，
而沒有條件確保恒成立，B錯誤.
故選：B
2．已知函數(shù)與關于直線對稱，則 ．
【答案】
【解析】在函數(shù)上任取一點，
則點關于直線的對稱點為，
由題意可知，點在函數(shù)圖象上，
則，
所以，，解得.
故答案為：.
3．[新考法]已知函數(shù)，若函數(shù)和的圖象關于點對稱，且對任意，恒成立，則 ．
【答案】
【解析】由題意知，
又恒成立，
所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，
所以，即，解得．
故答案為：
題型十：類周期與倍增函數(shù)
【典例10-1】[新考法]對于函數(shù)，有下列四個命題
①任取，，都有；
②（為正整數(shù)），對一切恒成立；
③若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則；
④函數(shù)有5個零點
上述四個命題中正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于①，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，，
任取，，都有，
故①正確；
對于②，當時，，而由解析式可知，
故②不正確；
對于③，函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示，
若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，
則，由對稱性可知，故③正確；
對于④，函數(shù)和的圖象如圖所示，
由圖可知兩函數(shù)圖象有個交點，所以函數(shù)有個零點，
故④不正確；
所以四個命題中正確的個數(shù)為.
故選：B.
【典例10-2】設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】當時，，
則，
即當時，，
同理當時，；
當時，.
以此類推，當時，都有.
函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：
由圖可知，，，解得，
即對任意，都有，即的取值范圍是.
故選：D.
1、類周期函數(shù)
若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．
2、倍增函數(shù)
若函數(shù)滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．
【變式10-1】已知函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，
B．（）
C．在區(qū)間內(nèi)的最大值為4
D．若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)
【答案】B
【解析】令，則是上的奇函數(shù)，
所以，即，
所以，①
令，則是上的偶函數(shù)，
所以，即，
所以，②
由①②得，
對于A項，當時，，，
所以，故A項錯誤；
對于B項，當時，，則，
由A項知，當時，，
同理可得：當時，，……
作出函數(shù)的部分圖象，如圖所示，
因為，所以為奇數(shù)，設，，
由圖可知，，，，，……
所以，即，，故B項正確；
對于C項，當時，，
所以在區(qū)間的最大值為6，故C項錯誤；
對于D項，因為有三個零點，
所以的圖象與有三個交點，
又因為直線恒過定點，
所以當直線與（）相切時，的圖象與有三個交點，
設切點為（），則，
所以切線方程為，
代入得，，
整理得：，解得：，
此時，故D項錯誤.
故選：B.
【變式10-2】函數(shù)的定義域為，滿足，且時，，若，恒有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，且時，，
所以當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
所以當時，，解得或，
作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，
由圖可知，，恒有，必有，
即的取值范圍是，
故選：B
1．設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．則下列結論正確的個數(shù)是（ ）
①；
②若對任意，都有，則a的取值范圍是；
③若方程恰有3個實數(shù)根，則m的取值范圍是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】依題意，，當時，，且在區(qū)間上的最大值為1，
當時，，，在區(qū)間上的最大值為2，
當時，，，在區(qū)間上的最大值為4，
當時，，，在區(qū)間上的最大值為8，
顯然，①正確；
作出函數(shù)的部分圖象，如圖，
當時，必有，由整理得：，于是得，
因為對任意，都有，因此，所以a的取值范圍是，②正確；
方程恰有3個實數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象恰有3個公共點，
顯然直線與在區(qū)間上的圖象有且只有1個公共點，
當直線與在區(qū)間上的圖象相切時，由消去y整理得：
，則，解得，
而在區(qū)間上的最大值為，直線，
當時，，此時該直線與在區(qū)間上的圖象有兩個公共點，
因此直線與函數(shù)在時的圖象有公共點時，公共點個數(shù)大于3，不符合題意，
當直線與在區(qū)間上的圖象相切時，由消去y整理得：
，則，解得，
當直線與在區(qū)間上的圖象相切時，由消去y整理得：
，則，解得，
觀察圖象知，方程恰有3個實數(shù)根，則m的取值范圍是，③錯誤.
所以正確結論的個數(shù)是2.
故選：C
2．設是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
所以，解得，
由，
當時，則，所以，
同理：當時，，
以此類推，可以得到的圖象如下：
由此可得，當時，，
由，得，解得或，
又因為對任意的，恒成立，
所以，所以實數(shù)的最大值為.
故選：B.
3．已知函數(shù)，其中，給出以下關于函數(shù)的結論：
①②當時，函數(shù)值域為③當時方程恰有四個實根④當時，若恒成立，則．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】當時，，是把向右平移2個單位變成后，再把縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，如圖：
∵，故①正確；
由題知函數(shù)在上函數(shù)值域為，在上函數(shù)值域為，在上函數(shù)值域為，在上函數(shù)值域為，故當時，函數(shù)值域為，故②正確；
當時有無數(shù)個實數(shù)根，故③錯誤；
當時，函數(shù)的圖象與的圖象交于點，結合圖象，即，故④正確,
故選：C
重難點突破：函數(shù)性質(zhì)與導數(shù)
【典例11-1】已知可導函數(shù) 的定義域為， 為奇函數(shù)，設 是 的導函數(shù)， 若 為奇函數(shù)，且 ，則（ ）
A．-1012 B．-506
C．506 D．1012
【答案】D
【解析】∵為奇函數(shù)，∴，∴兩邊求導得，
∵，可知關于直線對稱，
又∵為奇函數(shù)，則，可知關于點對稱，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，可得 ，即，
令，可得；
令，可得 ;
且，可知8為的周期，
可知，，，
所以
故選: D
【典例11-2】[新考法]（多選題）已知函數(shù)，均是上的連續(xù)函數(shù)，，分別為函數(shù)和的導函數(shù)，且，，若為奇函數(shù)，則（ ）
A．是周期函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．關于對稱 D．存在，使
【答案】ACD
【解析】函數(shù)，均是定義在上的連續(xù)函數(shù)，①，
②，將②式中換為得③，
①+③得，則的圖象關于點中心對稱；
將②式中換為得：④，
①-④得：，因此不是奇函數(shù)，B錯誤；
，即，所以關于對稱，C正確；
由及為奇函數(shù)，得，
即，同時求導可得：，
即，所以是周期函數(shù)，周期為2，故A正確；
又為奇函數(shù)，，，則，結合
當時，數(shù)列是首項為3，公差為6的等差數(shù)列，
則，
當時，數(shù)列是首項為6，公差為6的等差數(shù)列，
則，因此時，，顯然滿足上式，
即，，
令，解得：，D正確.
故選：ACD
（1）若函數(shù)關于直線對稱，則導函數(shù)關于點（a，0）對稱．
（2）若函數(shù)關于點（a，b）對稱，則導函數(shù)關于直線對稱．
（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，則導函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù)為偶函數(shù)，則導函數(shù)為奇函數(shù)．
（4）若導函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)；若導函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)不一定為奇函數(shù)．
（5）若原函數(shù)為周期函數(shù)，則導函數(shù)一定為周期函數(shù)，且原函數(shù)和導函數(shù)周期相同．
（6）若導函數(shù)為周期函數(shù)，則原函數(shù)不一定為周期函數(shù)．
【變式11-1】已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域都為R，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】為偶函數(shù)，
，
，
為奇函數(shù)，
，
，即，
，
，即函數(shù)的周期為4，
，
，
，
，
，即，
由得，
，
.
故選：.
【變式11-2】已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，記的導函數(shù)為，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
所以，，
所以為偶函數(shù)，故B錯誤；
又對兩邊求導，得，
即，所以是偶函數(shù)，故D錯誤；
由，可得，
由，可得，
所以，即，即得，
所以是周期為4的函數(shù)，則，兩邊求導，得，
所以是奇函數(shù)，故A正確；
由，可得，即，
又由，可得，
所以，即為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故C錯誤.
故選：A.
1．（多選題）已知定義域為的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．
C．
D．對，，
【答案】ABC
【解析】由題意定義域為的函數(shù)滿足
令，則，
令，則，即，
故為奇函數(shù)，A正確；
由于，故，即，
則為偶函數(shù)，由可得，
由，令得，
故，令，則，B正確；
又，
則，
令，則，
由柯西方程知，，故，
則，由于，故，
即，則，C正確；
對
,
故，D錯誤，
故選：ABC.
2．（多選題）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為和都是奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．關于點對稱 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】對于A：把的圖象向左平移1個單位，可得的圖象，
又為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，所以的圖象關于點對稱，故A正確；
對于B：由為奇函數(shù)，則，
又為的導函數(shù)，所以，即，則，
又為奇函數(shù)，所以，即，
由上得，故，故，
即，即是奇函數(shù)，故B正確；
對于C：由于，
故，即，故4是的一個周期，
又，即，所以為周期為4的周期函數(shù)，
因為，令可得，即，
所以，故C錯誤；
對于D：因為是上的奇函數(shù)，故，結合得，
，
故，故D正確．
故選：ABD
3．（多選題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，記.若，均為奇函數(shù)，且，則（ ）
A．關于直線對稱 B．關于點對稱
C．的周期為4 D．
【答案】BCD
【解析】對于A，由為奇函數(shù)可得，
故關于對稱，故A錯誤，
對于B，由于為奇函數(shù)，故，故關于點對稱，B正確，
對于C，由和可得，
令，故，故，因此，
結合關于對稱可得，
故的周期為4，C正確，
對于D，由于，故，
且，由于，令，則，
，故D正確，
故選：BCD
4．（多選題）已知定義在上的函數(shù)，，其導函數(shù)分別為，，，，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關于對稱
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由題意可得，兩式相減可得①，
所以,令，可得,
所以，
所以的圖象關于對稱，故A正確；
因為為奇函數(shù)，所以關于中心對稱，
所以②，②式兩邊對求導可得，
結合，可得：
所以，令，可得：，
所以即，故B錯，
因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，
即，兩邊求導可得，所以，故C正確；
是周期為4的周期函數(shù)，所以，
因為，令，則，即，
又，所以，又因為是周期為4的周期函數(shù)，
則，由可得，
所以，所以，D正確.
故選：ACD
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